2011年第7届新希望杯全国青少年数学大赛八年级试卷

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是 （A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程为（）A．a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）B．a×10%=（a+x）×15%C．a×10%+x=a×15% D．a（1﹣10%）=x（1﹣15%）2．（4分）一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是（）A． B． C．D．3．（4分）当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，那么实数m的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（4分）平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．若函数y=2x﹣1与y=kx+k的图象的交点为整点时，则整数k的值可取（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（4分）The sum of all such integers x that satisfy inequality 2≤|2x﹣1|≤6 is （）（英汉词典：sum和．integer整数．satisfy满足．inequality不等式）A．8 B．5 C．2 D．06．（4分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（4分）As shown in figure point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square．AG intersects BD and CD at points E and F，respectively．If AE=5 and EF=3，then FG=（）（英汉词典：square正方形．intersect…at…与…相交于…）A．B．C．4 D．58．（4分）216﹣1能分解成n个质因数的乘积，n的值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．（4分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠210．（4分）如图，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，若PC=2，则OC 的长是（）A．7 B．6 C．D．二、填空题（共15小题，11-20题，每小题4分，21-25题，每小题8，满分80分）11．（4分）化简：．12．（4分）若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是．13．（4分）如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是．14．（4分）小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是瓦．15．（4分）已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是．16．（4分）已知A、B是反比例函数的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5．设O为原点，则△AOB的面积是．17．（4分）设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是．18．（4分）A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B．甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C地与A地相距km．19．（4分）已知，则直线y=kx+k必经过点．20．（8分）等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是或．21．（8分）已知10个数x1，x2，x3，…，x10中，x1=10，对于整数n＞1，有，则，．22．（8分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中抽签，随机选一名男生和一名女生去参观，则所有可能出现的结果有个；恰好选中男生甲和女生A的概率是．23．（8分）若关于x的方程的解是x1=a，，那么方程的解是，．24．（8分）若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是和．2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程为（）A．a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）B．a×10%=（a+x）×15%C．a×10%+x=a×15% D．a（1﹣10%）=x（1﹣15%）【解答】解：两个水的量一样∴可得a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）．故选：A．2．（4分）一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是（）A． B． C．D．【解答】解：设原来的速度为x，所用的时间为y．xy=x（1+a%）y（1﹣b%），解得b=．故选：D．3．（4分）当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，那么实数m的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵|x+1|+≥m﹣|x﹣2|，∴m≤|x+1|++|x﹣2|，设y=|x+1|++|x﹣2|，当1≤x＜2时，y=x+1++2﹣x=3+≥3，当x≥2时，y=x+1++x﹣2=2x+﹣1≥4，∴y的最小值是3，∵当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，∴m的最大值是3，故选：C．4．（4分）平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．若函数y=2x﹣1与y=kx+k的图象的交点为整点时，则整数k的值可取（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由题意得：，把①代入②得，kx+k=2x﹣1，解得：，∴k可取的整数解有﹣1，1，3，5共4个．故选：C．5．（4分）The sum of all such integers x that satisfy inequality 2≤|2x﹣1|≤6 is （）（英汉词典：sum和．integer整数．satisfy满足．inequality不等式）A．8 B．5 C．2 D．0【解答】解：（1）当2x﹣1＜0时，∴﹣6≤2x﹣1≤﹣2，∴，解得，所有不等式的解集为：，∴在此范围内的整数有﹣2、﹣1两个．（2）当2x﹣1＞0时，∴2≤2x﹣1≤6，∴，解得：，所有原不等式的解集为：≤x≤3，∴在此范围内的整数有2，3．所有同时满足原连续不等式的整数解有2个．故选：C．6．（4分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a2b﹣a2c+b2c﹣b3=a2（b﹣c）﹣b2（b﹣c）=（b﹣c）（a2﹣b2）=（b﹣c）（a﹣b）（a+b）=0，∴b﹣c=o或a﹣b=0或a+b=0（舍去），∴b=c或a=b．∴这个三角形一定是等腰三角形．故选：A．7．（4分）As shown in figure point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square．AG intersects BD and CD at points E and F，respectively．If AE=5 and EF=3，then FG=（）（英汉词典：square正方形．intersect…at…与…相交于…）A．B．C．4 D．5【解答】解：在正方形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∴==，又AD=BC，在△ABG中，∴===，即=，解得FG=．故选：A．8．（4分）216﹣1能分解成n个质因数的乘积，n的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵216﹣1=（28+1）（28﹣1）=（28+1）（24+1）（24﹣1）=（28+1）（24+1）（22+1）（22﹣1）=（28+1）（24+1）（22+1）（2+1）（2﹣1）=257×17×5×3．∴n=4．故选：C．9．（4分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠2【解答】解：，由①得，x=﹣1﹣ay，代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a=0，即（﹣ab﹣2）y=b﹣a，因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2=0，ab=﹣2．故选：A．10．（4分）如图，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，若PC=2，则OC 的长是（）A．7 B．6 C．D．【解答】解：设∠POC=α，则tan2α=，即=1，化简：tanα2+2tanα﹣1=0，解得tanα=﹣1±，∵∠POC=α=22.5°，∴tanα＞0故tanα=﹣1，又tanα=，PC=2，∴OC==2+2．故选：C．二、填空题（共15小题，11-20题，每小题4分，21-25题，每小题8，满分80分）11．（4分）化简：．【解答】解：原式==2+．故答案为2+．12．（4分）若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是．【解答】解：由①×2﹣②×3，并解得y=；③由①×3+②×2，得13x=3k+1，解得x=；④把③④代入4x+7y＞2，得4×+7×＞2，不等式的两边同时除以2，得2×+7×＞1，不等式是两边同时乘以13，得2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13，去括号，得13k﹣26＞13，移项，得13k＞39，不等式的两边同时除以13，得k＞3；故答案为：k＞3．或①×2﹣②得到：4x+7y=2k=4，由题意2k﹣4＞2，∴k＞3．13．（4分）如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．【解答】解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．14．（4分）小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是130瓦．【解答】解：这台冰箱一小时内的运转时间是=小时．设这台冰箱的压缩机运转时的功率是x瓦．则（24×31×）x=24.18×1000．解得x=130．故答案是：130．15．（4分）已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是1．【解答】解：∵a2﹣a﹣2＞0，（a﹣2）（a+1）＞0，∴a＞2或a＜﹣1．a2+b2+c2+42﹣4a﹣4b﹣12c＜0配方得：（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣6）2＜2，∵a，b，c是自然数，∴a=3，b=2，c=6，∴++=++=++=1．故答案是：1．16．（4分）已知A、B是反比例函数的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5．设O为原点，则△AOB的面积是．【解答】解：如图，过A点作AC⊥x轴，过B点作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B的横坐标分别是3，5，∴A（3，），B（5，），∴S=S△AOC+S梯形ACDB﹣S△BOD△AOB=×3×+×（+）×（5﹣3）﹣×5×=．故本题答案为：．17．（4分）设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是121．【解答】解：设11个连续整数分别为：x﹣5，x﹣4，x﹣3，x﹣2，x﹣1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．∴A=（x﹣5）2+（x﹣4）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2+（x﹣1）2+x2+（x+1）2+（x+2）2+（x+3）2+（x+4）2+（x+5）2，=11x2+2×（1+4+9+16+25），=11x2+110，=11（x2+10），∵A为完全平方数，∴x2+10=11n，n为完全平方数，∴当n=1时，A的值最小．此时A=11×11=121．故答案为：121．18．（4分）A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B．甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C地与A地相距10km．【解答】解：设AC相距xkm，乙骑自行车的速度为akm/小时．+=，解得x=10，故答案为10．19．（4分）已知，则直线y=kx+k必经过点（﹣1，0）．【解答】解：∵，∴ak=b+c①；bk=a+c②，ck=a+b③，∴①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=﹣c，∵k===﹣1，∴直线为y=﹣x﹣1；（2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=﹣x﹣1和y=2x+2必经过点（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．20．（8分）等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是75°或100°．【解答】解：设其内角之比为x，则有两种情况：①2x+2x+5x=180°，②5x+5x+2x=180°由①2x+2x+5x=180°，解得x=20，则这个三角形的三个角分别为：40，40.100，那么最大内角的度数为：100°；由②5x+5x+2x=180°解得x=15，则这个三角形的三个角分别为：75，75.30，那么最大内角的度数为：75°故答案为75°或100°．21．（8分）已知10个数x1，x2，x3，…，x10中，x1=10，对于整数n＞1，有，则，．【解答】解：由，x1=10，得x2====，∴x1x2=10×=2．x3====15，同理可得，x4=，x5=，x6=，x7=，x8=，x9=，x10=，∴x2x3…x10=×15×××××××=384．故答案为：2；384．22．（8分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中抽签，随机选一名男生和一名女生去参观，则所有可能出现的结果有6个；恰好选中男生甲和女生A的概率是．【解答】解：根据题意知，所有可能出现的结果有6种：甲、A，甲、B，乙、A，乙、B，丙、A，丙、B，故恰好选中男生甲和女生A的概率是．故本题答案为：6；．23．（8分）若关于x的方程的解是x1=a，，那么方程的解是，．【解答】解：两边同时乘以﹣1得，，两边同时加1得，，可变形为②，∵于x的方程①的解是x1=a，，∴②的解为（1）1﹣x=1﹣a；解得x=a；（2）1﹣x=；解得x=．故答案为x1=a，x2=．24．（8分）若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是37和15．【解答】解：设这两个两位数分别是a、b，由题意得，a﹣b=11n，ab=111m，（m、n代表1～9的任意一个数字），由ab=111m=3×37×m，可知a=37（或b=37），b=3m（或a=3m），由a﹣b=11n，可知a、b被11除的余数相同，37除以11余数是4，3m除以11余数是4，只有当m=5时成立，因此得出另一个两位数为15．故答案为37，15．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第一试2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、 将a 千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（ ） （A ）()()().%151%101-+=-x a a （B ）()%.15%10∙+=∙x a a （C ）%.15%10∙=+∙a x a （D ）()().%151%101-=-x a2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（ ） （A ）%1100a a b +=（B ）%1100a b += （C ）a a b +=1 （D ）aab +=1001003、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（ ）（A ）1． （B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个（A ）2． （B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（ ） （A ）8． （B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形 7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A ）316。

（B ）38。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题第 1 页共277 页目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 016-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 022-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 029-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 034-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 044-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 051-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 058-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 065-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ........................................... 072-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 079-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 089-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题............................................. 95-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题........................................... 103-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 110-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 119-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 128-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 135-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 148-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 155-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 159-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 163-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 169-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 173-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 180-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 184-200第 2 页共277 页29.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (188)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (189)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (189)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题 ................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 ................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 ................................... 288-301第 3 页共277 页第 4 页 共 277 页希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( )A ．a ，b 都是0．B ．a ，b 之一是0．C ．a ，b 互为相反数．D ．a ，b 互为倒数．2．下面的说法中正确的是 ( )A ．单项式与单项式的和是单项式．B ．单项式与单项式的和是多项式．C ．多项式与多项式的和是多项式．D ．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数． B ．没有最小的正有理数．C ．没有最大的负整数．D ．没有最大的非负数．4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么( ) A ．a ，b 同号． B ．a ，b 异号．C ．a ＞0． D ．b ＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( ) A ．2个． B ．3个．C ．4个． D ．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A ．0个．B ．1个．C ．2个．D ．3个．7．a 代表有理数，那么，a 和－a 的大小关系是 ( )A ．a 大于－a ．B ．a 小于－a ．C ．a 大于－a 或a 小于－a ．D ．a 不一定大于－a ．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A ．一样多．B ．多了．C ．少了．D ．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A ．增多．B ．减少．C ．不变．D ．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______．第 5 页 共 277 页 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第 6 页共277 页第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题第7 页共277 页提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－50005000)=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－=－2500．+1)=5x+26．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．第8 页共277 页8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即第9 页共277 页希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m 的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中第10 页共277 页的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y 的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.第11 页共277 页答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m ，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出第12 页共277 页∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．第13 页共277 页3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得第14 页共277 页即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．第15 页共277 页希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+12468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.第16 页共277 页第 17 页 共 277 页10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( )A.%2p q +;B.()%mp nq +;C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++. 二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×16=_______. 3． 计算：(63)36162-⨯=__________.4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.第18 页共277 页答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

八年级数学第7届“希望杯”第2试试题选择题: 1.化简:44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭的结果是[ ]A ．y 2－x 2. B ．x 2－y 2. C ．x 2－4y 2. D ．4x 2－y 22．已知：－1＜b ＜a ＜0，那么a ＋b ，a －b ，a ＋1，a －1的大小关系是 [ ]A ．a ＋b ＜a －b ＜a －1＜a ＋1;B ．a ＋1＞a ＋b ＞a －b ＞a －1C ．a －1＜a ＋b ＜a －b ＜a ＋1;D ．a ＋b ＞a －b ＞a ＋1＞a －13．已知x 2＋ax －12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是[ ] A ．3个 B ．4个. C ．6个 D ．8个4．如图35，△ABC 中，AB=AC ，∠B=36°．D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中的等腰三角形一共有[ ] A ．3个B ．4个.C ．5个D ．6个5．如图36．△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB 交AB 于D ，∠ABC 的平分线BE 交CD 与E ，则∠BEC 的大小是 [ ] A.1350-14A ∠; B.1350+14A ∠; C.900+12A ∠; D.1800-12A ∠.6．三角形的三边长分别为2n 2＋2n ，2n ＋1，2n 2＋2n ＋1（n 是自然数），这样的三角形是[ ]A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．锐角三角形或直角三角形 7．暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的80%收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时 [ ]A ． 甲比乙低.B ．乙比甲低.C ．甲、乙相同.D ．是甲低还是乙低，视原价而定 8.已知x 为整数,且222218339x x x x ++++--为整数,则符合条件的x 的所有值的和为[ ] A ．12 B ．15 C ．18 D ．209．在△ABC 中，∠B=2∠C ，则AC 与2AB 之间的大小关系是 [ ] A ．AC ＞2ABB ．AC=2AB.C ．AC ≤2ABD ．AC ＜2AB10．有一架不准确的天平（左臂长为a 厘米，右臂长为b 厘米，a ≠b ）某人用它来计量某件重物．先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用m 1千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘,需用m 2千克使天平平衡,于是用Q=122m m +千克估算重物的实际重量,若重物的实际重量为p 千克,那么[ ] A ．Q ＞P B ．Q=P. C ．Q ≤P D ．Q ＜P.二、填空题11．因式分解：a 3c －4a 2bc ＋4ab 2c=______．12．如图37，△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE 的大小是______．13.当a=32时,代数式2222276811256a a a a a a ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫-÷∙+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________.14.若1x x -=1,则12x x+的值是__________. 15. 若11a b -=4,则2272a ab b a ab b--+-的值是__________. 16．已知关于x 的方程a （x －3）＋b （3x ＋1）=5（x ＋1）有无穷多个解，那么a=______，b=______．17．如图38，ABCD 是平形四边形，E 在AC 上，AE=2EC ，F 在AB 上，BF=2AF ，如果△BEF 的面积是2平方厘米，则ABCD 的面积是______．18．如图39,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°，D 在AB 上，E 在AC 上，且使AE=EC=DE ，那么AD 2：BC 2等于______．19．某学校现有学生2300人，与去年相比，男生人数增加了25%，女生人数减少了25%，全校人数增加了15%，则现在全校有男生______．20.如图40,P 是等边三角形ABC 中的一个点则三角形ABC 的边长为____.三、解答题21．已知多项式x 2＋ax 2＋bx ＋c 中，a ，b ，c 为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时，多项式的值是2；若当x是8和－5时，多项式的值分别为M与N，求M－N的值．22．如图41，在直角∠AOB内有一点P，OP=a，∠POA=30°，过P点做一直线MN与OA、OB 分别相交于M、N，使△MON的面积最小．（1）此时线段MN的位置是[ ] A．MN⊥OP B．OM=ON. C．OM=2ON D．PM=PN （2）此时△MON的面积是______．（3）若∠AOB为一锐角，P是锐角内一定点（如图42）．过P点的直线与OA、OB交于M、N，使△OMN的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论．答案·提示一、选择题提示：∴选B．2．∵－1＜b＜a＜0，∴a＋b＜a－b．∵b＞－1，∴a－1＜a＋b．又∵－b＜1，∴a－b＜a＋1．综上得a－1＜a＋b＜a－b＜a＋1，∴选C．3．设x2＋ax－12能分解成两个整系数一次因式的乘积，即x2＋ax－12=（x＋m）（x＋n），m，n是整数．∴x2＋ax－12=x2＋（m＋n）x＋mn．∵m，n是整数，且mn=－12．而a=m＋n，只有6种结果，∴选C．4．△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∴∠C=36°，∠A=180°－2×36°=108°．又∠ADE=2∠BAD=∠BAD＋∠B，∴∠BAD=∠B=36°．同理∠EAC=∠C=36°．∴∠ADE=∠AED=72°，∠DAE=36°．∴∠BAE=∠CAD=72°．于是等腰三角形有△ABC，△ADE，△ABD，△AEC，△ABE，△ADC，共6个，选D．5．∵△ABC中，AB=AC，又BE是∠ABC的平分线，∵∠BEC是△BED的外角∴∠BEC=∠BDE＋∠DBE∴选A．6．∵n是自然数∴（2n2＋2n＋1）2－（2n2＋2n）2=[（2n2＋2n＋1）＋（2n2＋2n）][（2n2＋2n＋1）－（2n2＋2n）]=4n2＋4n＋1=（2n＋1）2∴三角形的三边长满足勾股定理．∴三角形是直角三角形，选B．7．设原价为a元．则甲旅行社收费=a＋2·70%a=2.4a．乙旅行社收费=3·80%a=2.4a．∴选C．∴当x－3=1或x－3=－1或x－3=2或x－3=－2时，原式的值为整数．此时x1=4，x2=2，x3=5，x4=1．∴x1＋x2＋x3＋x4=12，选A．9．如图43，延长CB到D，使DB=AB，连接AD．在△ABD中，AB=BD，∴∠BAD=∠D．又∠ABD是△ABD的外角，∴∠ABC=2∠D．由已知∠ABC=2∠C，∴∠C=∠D，△ADC是等腰三角形．∴AD=AC．在△ABD中，AB＋BD＞AD，即2AB＞AC，∴选（D）．10．重物的实际重量为P．∴Pa=m1b．∵a≠b，∴（a－b）2＞0．∴Q＞P，选（A）．二、填空题提示：11．a3c－4a2bc＋4ab2c=ac（a2－4ab＋4b2）=ac（a－2b）2．12．△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．∴∠BAC=180°－（70°＋34°）=76°．又AE平分∠BAC，∴∠BAE=38°．Rt△ABD中，∠B=70°，∴∠BAD=20°．∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=38°－20°=18°∴x=|x|－1．若x≥0，则x=x－1，矛盾．∴x＜0．有x=－x－1，2x=－1．∴a≠0，b≠0．用a b分别除原式的分子分母得16．整理关于x的方程．a（x－3）＋b（3x＋1）=5（x＋1）．（a＋3b－5）x－（3a－b＋5）=0．∵方程有无穷多解17．比较△AEF和△BEF，可以看作是等高不同底的三角形．∴S△AEF：S△BEF=AF：BF=1：2．∴S△ABF=3（平方厘米）．比较△ABE和△CBE，它们也是等高不同底的三角形．∴S△ABE：S△CBE=AE：EC=2：1．S ABCD=2S△ABC=9（平方厘米）18．如图44，连接CD，在△ACD中，AE=EC=DE．∴∠CDA=90°，△ADC是直角三角形．又∵∠A=30°，∴AC=2CD，在Rt△BCD中，∠B=45°，19．解法1：设学校现有男生x人，女生为y人，则由①式得y=2300－x．④∴x=2000（人）．解法2：设学校去年有男生x人，女生y人，则解得x=1600，y=400．∴今年学校有男生1600×（1＋25%）=2000人．20．如图45，将△BAP绕B点逆时针旋转60°，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处．∴BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°．∴△BPM是等边三角形．在△MCP中，PC=4，∴PC2=PM2＋MC2且PC=2MC．∴△PCM是直角三角形，且∠CMP=90°，∠CPM=30°．又△PBM是等边三角形，∠BPM=60°．∴∠BPC=90°，△BPC是直角三角形．三、解答题21．解法1：当x=1时，1＋a＋b＋c=1，∴a＋b＋c=0．①当x=2时，8＋4a＋2b＋c=2，∴4a＋2b＋c=－6 ②联立①，②解得当x=8时，M=512＋64a＋8b＋c，当x=5时，N=－125＋25a－5b＋c．∴M－N=512＋64a＋8b＋c－(－125＋25a－5b＋c)=637＋39a＋13b=637－117＋39=559．解法2：同解法1得M=512＋64a＋8b＋c，N=－125＋25a－5b＋c．M－N=637＋39a＋13b．由②－①得3a＋b=－6，∴M－N=637＋13（3a＋b）=637－78=559．解法3：设P（x）=x3＋ax2＋bx＋c则P（1）=1，P（2）=2．又设Q（x）=P（x）－x，则Q（1）=0，Q（2）=0．∵Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x－1）（x－2）（x－m），其中m为常数．于是M－N=P（8）－P（－5）=[Q（8）＋8]－[Q（－5）＋（－5）]=Q（8）－Q（－5）＋13=7.6（8－m）－（－6）·（－7）(－5－m)＋13=336－42m＋210＋42m＋13=559．22．（1）如图46，当PM=PN时，△MON面积最小，∴选（D）．理由同第（3）小题．（2）由（1）知，当PM=PN时，△MON面积最小．∵△MON是直角三角形．∴MN=2a．又∵∠POM=30°，∴∠PMO=30°，（3）作法1：如图47．①从P点作PC∥OA交OB于C．②在OB上截取CN=OC．③连接NP并延长交OA于M．则MN即为所求线段．此时，∵PC∥OM，OC=CN，∴PM=PN．∴△OMN面积最小．证明：若经过F点另有一条直线EF交OA，OB于E，F（如图47）．从N作NG∥OA交EF于G．可证明△PEM≌△PGN．∴S△PEM=S△PNG＜S△PNF∴S△OMN=S四边形OEPN＋S△PEM＜S四边形OEPN＋S△PNF=S△OEF若E′F′过点P交OA，OB于E′，F′（如图48）则作M′G′∥OB交E′F′于G′，同理可证S△OMN＜S△OEF′∴△OMN是符合要求的面积最小的三角形．说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题．题目：如图49，等腰△ABC中，AB=AC，D，E为AB和AC延长线上的点，且BD=CE，DE与BC 相交于P，求证DP=PE．证明1：过D点作DF∥BC交AC于F．∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB，∴AD=AF．∴FC=BD=CE．在△EDF中，CP∥DF，EC=CF．∴EP=PD．证明2：过D点作DF∥AC交BC于F（图50）．∴∠DFB=∠ACB=∠B．∴DF=DB=CE．在△PDF和△PEC中．∠DPF=∠EPC，∠PDF=∠E，DF=CE ∴△PDF≌△PEC．∴PD=PE．按照此证明思路，可作出图51和图52．作法2：①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD．②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F．③在PF上取PG=PE．④过G作GN∥OA交OB于N．⑤连接NP延长交OA于M．则MN即为所求．作法3：①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD．②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F．③延长PE到G，使PG=PF．④过G作GM∥OB交OA于M．⑤连接MP延长交OB于N．则MN即为所求．。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 第十一届希望杯全国数学邀请赛 初二 第一试 一选择题1+的关系是 [ ]A 互为倒数B 互为相反数C 互为负倒数D 相等 2已知x 0≠的值是 [ ]A0 B-2 C 0或-2 D 0或2 3适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有 [ ]A 5个B 4个C 3个D 2个 4四边形ABCD中AB//CD D=2B 若AD=aAB=b 则CD的长等于 [ ]A b-aB a b 2−C 1(b a)2−D 2(b-a) 5有四条线段a=14b=13c=9d=7用a c 分别作一个梯形的下上两底用b d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)那么这样的梯形 [ ]A 只能作一种B 可以作两种 C可以作无数种 D 一种也作不出 6当1x 2时−可以化简为 [ ]A0 B 2CD − 7a=b=用a b表示为 [ ]A a b 10+B a b 10−C b aD ab 108互不相等的三个正数a b c 恰为一个三角形的三条边长则以下列三个数为长度的线段一定能作成三角形的是 [ ]A 1a ,1b ,1cB a 2,b 2,c 2C,D |a-b|,|b-c|,|c-a| 9在一个凸八边形中每三个顶点形成三个角(如又AB C 三个顶点形成ABCBAC ACB)一共可以作出168个角那么这些角中最小的一个一定小于或等于 [ ] A 20B 22.5C 25D 27.5 10设ab c均为正数若c a b a b b c c a<<+++则a b c三个数的大小关系是 [ ] A c a b <<B b c a <<C a b c <<D c b a << 二A 组填空题: 11分解因式a 3b+ab+30b 的结果是_____. 12若实数a b c 在数轴上对应点的位置如图所示-|b-a|+|b+c|等于_____. a13已知分式x 1x 11x −−−的值是14−那么x 的值应是_____. 14如图:1=27.5,2=95,3=38.5,则4=_____. 15设A 1A 2A 3A n 是一个有n 个顶点的凸多边形对每一个顶点A i (i 1, 2, 3, , n)将构成该角的两边分别向外延长至A i1, A i2, 连接A i1A i2得到两个角A i1, A i2那么所有这些新得到的角的度数的和是_____. 16矩形ABCD中AB=4BC=7过顶点A 作BAD 的平分线交BC 于E 过E 作EF ED 交AB 于F 则EF 的长等于_____. 17Rt ABC中ABC=90C=60BC=2D 是AC 的中点过D 作DE AC 与CB 的延长线交于E 以AB BE 为邻边作长方形ABEF 连接DF 则DF 的长等于_____. 18某次数学竞赛第一试有试题25道阅卷规定每答对一题得4分每答错(包括未答)一题扣除一分若得分不底于60分的同学可以参加二试那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是_____. 19若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a 1, a 2, a 3,, a k (k 是最大的质因数的序号)则(a 1-a 2)(a 2-a 3)(a 3-a 4)(a k-1-a k )的值是_____. 20两个七进制整数454与5的商的七进制表示为_____. 三B 组填空题 21已知a 则531a a+的值等于_____或_____. 22一项工程甲单独完成需要a 天乙单独完成需要b 天a b都是自然数现在乙先工作3天后甲乙再共同工作1天恰好完工则a b 的值等于_____或_____. 23一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500那么这个多边形的边数 是_____或_____. 24小张以两种形式储蓄了500元第一种储蓄的年利率为 3.7%第二种储蓄的年利率为 2.25%一年后得到利息为15.6元那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是_____和_____. 25若a 为整数且分式23232(a 4a a)(a 2)(a 1)(a a 1)a 6a 12a 8a 2−+−+−+−−+−−的值是正整数则a 的值等于_____或_____. 4321。

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分,共40分．)以下每题地四个选项中,仅有一个是正确地,请将表示正确答案地英文字母填在每题后面地圆括号内．1．下列四组根式中,是同类二次根式地一组是( )2．要使代数式有意义,那么实数x地取值范围是( )3．以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形地两底,这样地梯形( ) (A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure地缩写,图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value 数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数,还是奇数． (B)是完全平方数,还是偶数．(C)不是完全平方数,但是奇数． (D)不是完全平方数,但是偶数．6．将任意一张凸四边形地纸片对折,使它地两个不相邻地顶点重合,然后剪去纸片地不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外地两个顶点重合,再剪去不重合地部分后展开,此时纸片地形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l地自然数,且c a=252b,则n地最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数,个数；to satisfy满足；complete square 完全平方(数)；total总地,总数)9．下表是某电台本星期地流行歌曲排行榜,其中歌曲J 是新上榜地歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次地变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注地则表明名次没有变化,已知每首歌地名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名地歌曲分别是( )(A)D,E,H ． (B)C,F,I ． (C)C,E,I ． (D)C,F,H ．10．设n(n ≥2)个正整数1a ,2a ,…,n a ,任意改变它们地顺序后,记作1b ,2b ,…,n b ,若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b ),则( )(A)P 一定是奇数． (B)P 一定是偶数．(C)当n 是奇数时,P 是偶数． (D)当”是偶数时,P 是奇数． 二、填空题(每小题4分,共40分．)11．消防云梯地长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远地地方,则云梯能达到大楼地高度是______米．15．从凸n 边形地一个顶点引出地所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形,若m 等于这个凸n 边形对角线条数地94,那么此n 边形地内角和为_____． 16．某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样地病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样地数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2,等腰△ABC 中,AB=AC,P 点在BC 边上地高AD 上,且21=PD AP ,BP 地延长线交AC于E,若ABC S ∆=10,则ABE S ∆=______,DEC S ∆=_______.20．一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余地两个号码地差地绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题,共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)如图3,正方形ABCD 地边长为a,点E 、F 、G 、H 分别在正方形地四条边上,已知EF ∥GH ．EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31,求四边形EFGH 地周长和面积； (2)求四边形EFGH 地周长地最小值．22．(本小题满分15分)已知A 港在B 港地上游,小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港,到达后立即返回,来回穿梭于A 、B 港之间,若小船在静水中地速度为16千米／小时,水流速度为4千米／小时,在当晚23：OO 时,有人看见小船在距离A 港80千米处行驶．求A 、B 两个港口之间地距离.23．(本小题满分15分) 在2,3两个数之间,第一次写上5132=+,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上27252=+和4235=+,如下所示：第k 次操作是在上一次操作地基础上,在每两个相邻地数之间写上这两个数地和地k1. (1)请写出第3次操作后所得到地9个数,并求出它们地和；(2)经过k 次操作后所有数地和记为k S ,第k+1次操作后所有数地和记为1+k S ,写出1+k S 与k S 之间地关系式；(3)求6S 地值.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准(初中二年级 第2试)一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1,连结HF ．由题知四边形EFGH 是平行四边形,所以又所以所以(3分)所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形,故∠EHG=090,四边形EFGH 是矩形．易求得所以四边形EFGH 地周长 为2a 2,面积为294a ．(5分)(2)如图2,作点H 关于AB 边地对称点H ',连结H F ',交AB 于E ',连结E 'H ．显然,点E 选在E '处时．EH+EF 地值最小,最小值等于H F '. (7分) 仿(1)可知当AE≠AH 时,亦有(8分)所以2．因此,四边形EFGH周长地最小值为2a(10分)22．设A、B两个港口之间地距离为L,显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港,那么在3：00到19：00地时间段内,小船顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以解得 t=6 (5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间地距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上,则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t 小时,则逆流行驶用了小时,所以解得 (12分)即顺流行驶了由于所以A 、B 两个港口之间地距离可能是100千米或200千米． (14分)综上所述,A 、B 两港口之间地距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分) 23．(1)第3次操作后所得到地9个数为它们地和为255(4分) (2)由题设知0S =5,则(10分)(3)因为所以(15分)。

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。