第十届“新希望杯”全国数学大赛八年级A卷(附答案)

2023希望数学——8年级培训80题1.计算111 ________．2.的值是________．3.．4.( )A.B.12C.21E.25. 化简，得（ ）．A. B.C.D.6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．4322(2)2(2)n n n 8121n 12n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________．9. 已知x + y + z = 13，xy + yz + zx =102， xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________．10. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．11. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．12. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．1a 2212a a 1012t112b a13. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________．14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________．15. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________．16. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．18. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________．24x24y x yy x19. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 20. 方程34xx x x有________个实数根．21. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．22. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________．23. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．24. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．26.2 ，得x =________．27. 不等式1248163264x x x x x xx的解集是_________．28.满足不等式32 的最大质数x =_________．29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________．30. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________．2222x y xy x y31.△ABC的三边长a、b、c均为实数且满足b+c=8，bc=a2 –12a+52，则△ABC的周长等于_________．32.关于x的四次方程x4 – 18x3 + kx2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为–32，则k的值是________．33.直角坐标系中有两个点A（– 1，– 1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB – M A最大，则M的横坐标是________．34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x的图象分别交x轴、y轴于点A、B，把直线AB绕点O逆时针旋转90°，交y轴于点A'，交直线AB 于点C，则△A'BC的面积为_________．35. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________．36. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二B.二、三C.三、四D.一、四37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________．38. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________．39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．0 abc p bac a c b c b a p px y40. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．41. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________．43.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．45.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．46.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．48.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，的最小值为________．D(– 1，3)及一个动点P，则PA PB PC PD49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．51.在△ABC中，若AC ，BC ，AB 则△ABC的面积为_______．52.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．53.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）56. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________．57. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．58. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．59. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．60. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 1，P 2，P 3，P 4是正方形内部的4个点，使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三角形，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积等于________．61. 在等腰梯形ABCD 中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A 和∠D 的平分线交于P 点，∠B 和∠C 的平分线交于Q ．则PQ 的长为________．62.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．63.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）64.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．65.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．66.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．67.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）68.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．69.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．70.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．71.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．72.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．73.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）74.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．75.观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6)76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．78. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________．79. a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i 是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．80. 一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．2023希望数学——8年级培训80题答案1.计算111 ________．答案：– 22.的值是________．答案：23.．答案：2022 4.( )A.B.12C.21E.2 答案：D5. 化简，得（ ）．A. B.C.D.答案：C6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．答案：278874322(2)2(2)n n n 8121n 12 n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.答案：A8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________． 答案：9. 已知x + y+ z = 13，xy + yz + zx =102，xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________． 答案：3365210. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．答案：111. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．答案：2512. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．答案：11213. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________． 答案：11a 2212a a 1012t112b a1224x 24y x yy x14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________． 答案：315. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________． 答案：– 516. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．答案：4 17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．答案：5618. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________． 答案：119. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 答案：2017 20. 方程34xx x x有________个实数根． 答案：121. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．答案：322. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________． 答案：– 1523. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．答案：124. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．答案：8228x x y y 或25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．答案：626.2 ，得x =________．答案：±36 27. 不等式1248163264x x x x x x x的解集是_________． 答案：x ＜6428.满足不等式32 的最大质数x =_________．答案：3972222x y xy x y29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________． 答案：130. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________． 答案：– 631. △ABC 的三边长a 、b 、c 均为实数且满足b +c =8，bc =a 2 –12a +52，则△ABC的周长等于_________． 答案：1432. 关于x 的四次方程x 4 – 18x 3 + kx 2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为 –32，则k 的值是________． 答案：8633. 直角坐标系中有两个点A （– 1，– 1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB – M A 最大，则M 的横坐标是________． 答案：– 2.534. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x 的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转90°，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则△A'BC 的面积为_________．答案：62535. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________． 答案：1∶436. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四答案：B37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________． 答案：31038. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________． 答案：60 abc p bac a c b c b a p px y39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．答案：240. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．答案：241. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．答案： 120,22P P,42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________． 答案：56143.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)答案：D44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．答案：2645.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．答案：1646.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．答案：47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．答案：548.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，D(– 1，的最小值为________．3)及一个动点P，则PA PB PC PD答案：49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．答案：11，　50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．答案：251.在△ABC中，若AC ，BC ，AB ，则△ABC的面积为_______．答案：5.552.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．答案：1853.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）答案：π55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）答案：456. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________． 答案：557. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．答案：10858. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．答案：5659. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．答案：960.已知正方形ABCD的边长为1，P1，P2，P3，P4是正方形内部的4个点，使得△ABP1，△BCP2，△CDP3和△DAP4都是正三角形，则四边形P1P2P3P4的面积等于________．答案：261.在等腰梯形ABCD中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A和∠D的平分线交于P点，∠B和∠C的平分线交于Q．则PQ的长为________．答案：24262.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．答案：4863.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）答案：364.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．答案：1765.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．答案：6166.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．答案：867.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）答案：550，80368.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．答案：969.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．答案：6 2570.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．答案：100 24371.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．答案：1 272.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．答案：180，182，19273.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）答案：12， 374.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．答案：A75. 观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)， (2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…… 则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6) 答案：C76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．答案：77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．答案：178. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________． 答案：9679.a，b，c，d，e，f，g，h，i是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．答案：1 28880.一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．答案：13，26。

第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是 （A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

2023 IHC D-8中文卷1.2345671357911132023202320232023202320232023________. 2.如图，1234567891011++++++++++A A A A A A A A A A A =________.A 57A 81011A 23.黑板上写着2023个数，聪明的小希和小望利用它们来做游戏. 两人轮流将这些数擦除，每人每次只能擦除1~10个数，谁最后把黑板上所有的数擦除就能获胜. 若小希先开始擦，他第一次要擦除________个数，才有必赢策略.4.设正数x ，y 满足222410x y x y. x 的取值范围为________． 5.如图△ABC ，△DEB ，△EFC ，△ADF 的面积依次是1，2，3，4.则ABAD=________. 6.当n 是奇自然数时，双阶乘!!n 表示从1至n 的所有奇自然数之积，例如：7!!75 31 ，当n 是偶自然数时，双阶乘!!n 表示从1至n 的所有偶自然数之积， 例如：6!!642 . 则下式1!!2!!3!!2021!!2022!!2023!! 的个位数字是________.7.自然数2552051533,4,5中最大的是________.8. 221211y x x的最小值为________.9. 23223888882222 个个的各位数字之和是________. 10.设k a 是正整数（k = 1，2，…），定义：123111223111111111b b b a a a a a a，，，……则关于这列数下面四个选项中正确的有________个. A. 17b b B. 38b b C. 62b b D. 47b b 11.已知正实数33,a b a b a b满足则=________. 12.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，点A B C 、、的横坐标分别为2,3,1 ，点D 的纵坐标是31，且梯形ABCD 的四个点都在反比例函数)0( k xky 的图像上，那么k 等于________.13.若正数a ，b ，c ，满足2 abc ，31b a ，171c b ，则 ac 1________. 14.一个六位数2022a b 能被12整除，满足条件的所有这样的六位数之和是________.15.代数式2333(12...)(12...)n n （n 为自然数）个位数字可能值之和是________.16.方程202020204a ba b满足a b 的正整数解(,)a b =________. 17.设42026的所有正约数为12,,...,k d d d ，则2222121112026202620262026k d d d=________. 18.解方程：1x ．x ________.19.如图，平行四边形ABCD 中，在边AB AD 、上分别取点E F 、，AB AD 与长度的乘积等于AE AF 与长度乘积的5.8倍.DE BF 与相交于点O ，四边形CBOD 的面积是四边形AEOF 的面积的________倍.20.使得20207+n 是完全平方数的最小正整数n 为________.21.已知关于x 的方程 tx c x x 22 有两个根分别为1x 、2x ，且42522221 t t x x . 当实数t 为________时，实数c 取得最小值是________.22.若干支篮球队进行循环赛，即每支球队与其他球队各进行一场比赛. 已知每支球队赢了10场比赛且输了10场比赛. 如果甲、乙、丙三支球队，甲赢了乙，乙赢了丙，丙赢了甲，称这三支球队为“三平衡组”. 在这若干支篮球队中，有________个“三平衡组”.23.如图，一个大正方形被分割成50×50个边长都为1的方格．一只蚂蚱从大正方形左下角出发，前往右上角．它每次跳跃的距离为5，并且每次跳跃的落点都是格点．蚂蚱至少要跳________次才能到达终点．24.若实数a b 、满足1ab ，且1a 或4a ，13114M a b的最小值是________．25.将所有除以6余3，除以6余4和除以6余5的正整数从小到大排成一列，设n S 表示这列数的前n 项和，[]x 表示不超过x 的最大整数.________.答案。

1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第2 试）一、选择题（共 10 小题，每题4 分，满分 40 分）1．（4 分）以下2 2 22 32 235 个多项式： ① a b ﹣ a ﹣ b ﹣ 1；② x ﹣ 9ax +27xa ﹣ 27a ；③ x （ b+c ﹣ d ）2﹣ y （ d ﹣ b ﹣ c ）﹣ 2c+2d ﹣2b ； ④ 3m （m ﹣ n ） +6n （ n ﹣ m ）； ⑤ （ x ﹣ 2） +4x ．此中在有 理数范围内能够进行因式分解的有（）A ．① 、 ② 、 ③B ．② 、 ③ 、 ④C ． ① 、 ③ 、 ④ 、 ⑤D ． ① 、② 、④ 2．（ 4 分）方程 x 2﹣ y 2＝ 105 的正整数解有（）A ．1 组B ．2 组C ． 3 组D ． 4 组3．（ 4 分）已知实数 x 知足条件 x ＞ x+1，那么的值等于（ ）A ．2x ﹣ 1B ．﹣ 2x+1C ．﹣ 5D ． 14．（ 4 分）已知 a ， b ，c 为正数，且 a ≠ b ，若 x ＝ + + ， y ＝，则 x与 y 的大小关系是（ ）A ．x ＞ yB ． x ＜ yC ． x ﹣ yD ．随 a ， b ， c 的取值而变化5．（ 4 分）如图，凸五边形 ABCDE 中，∠ A ＝∠ B ＝ 120°， EA ＝ AB ＝ BC ＝ DC ＝DE ，则∠ D ＝（）A ．30°B ．45°C ． 60°D ． 67.5°6．（ 4 分）如图，四边形 ABCD 中， AB ＝BD ＝ DA ＝ AC ，则四边形 ABCD 中，最大的内角的度数是（ ）A ．90°B ．120°C． 135°D． 150°7．（ 4 分）如图，四边形ABCD 中， AD ＞ BC， E，F 分别是 AB， CD 的中点， AD ，BC 的延长线分别与EF 的延伸线交于H ， G，则（）A ．∠ AHE ＞∠ BGEB ．∠ AHE ＝∠ BGEC．∠ AHE ＜∠ BGED ．∠ AHE 与∠ BGE 的大小关系不确立8．（ 4 分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A ．30°B． 30°或 150°C． 120°或 150°D． 30°或 120°或 150°9．（ 4 分）如图，正方形 ABCD 中， AB＝ 8，Q 是 CD 的中点，设∠ DAQ＝α，在 CD 上取一点 P，使∠ BAP ＝2α，则 CP 的长是（）A ．1B ．2 C． 3 D．10．（ 4 分）三个整数a， b， c 的和是 6 的倍数，那么它们的立方和被 6 除，获得的余数是（）A ．OB ．2 C． 3 D．不确立的二、填空题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分）211．（5 分）分解因式：（ x ﹣ 1）（ x+3）（ x+5） +12＝．12．（ 5 分）已知 x﹣y﹣ z＝ 0，y﹣z＝0，且 xyz≠0，那么＝．13．（ 5 分）假如，那么＝．2 2 y x．14．（ 5 分）若 x +y + ＝ 2x+y，那么 x +y ＝15．（ 5 分）如图，直角三角形ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ B＝ 36°， D 是 AB 的中点， ED ⊥ AB 交 BC 于 E，连结 CD，则∠ CDE ：∠ ECD ＝．16．（ 5 分）如图， C 在线段 AB 上，在 AB 的同侧作等边三角形△ACM 和△ BCN，连结 AN，BM，若∠ MBN ＝ 38°，则∠ ANB＝．17．（5 分）某个质数，当它分别加上 6，8，12，14 以后仍是质数，那么这个质数是．18．（ 5 分）已知40 个整数，它们都不是 5 的倍数，那么，它们40 次方的和被 5 除的余数是．19．（ 572分）数 2 ﹣ 1 能被 500 与 600 之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是．20．（ 5 分）有若干个同样的球，已知总数大于50，在桌子上恰能摆成一个正方形方阵，从这些球中去掉 21 个球后，能够摆成一个等腰梯形阵，在这个等腰梯形阵中，每一行的球数都比下一行的球数少1，而每腰上的球数比正方形每边的球数少3，梯形较大的底上的球数是每腰上球数的 2 倍，那么球的总数是．三、解答题（共 2 小题，满分0 分）21．求自然数对（a， b），同时知足条件：（1） 0＜ a﹣ b＜ 1；（2） 15O＜（ a+ b）3＜ 200．22．如图，等腰梯形ABCD 中， CD∥ AB，对角线 ACBD 订交于 O，∠ ACD ＝ 6O°，点 S，P，Q 分别是 OD ， OA， BC 的中点，（1）求证：△ PQS 是等边三角形；（2）若 AB ＝5， CD ＝ 3，求△ PQS 的面积；（ 3）若△ PQS 的面积与△ AOD 的面积的比是7： 8，求梯形上、下两底的比CD ： AB．1999 年第 10 届“希望杯” 全国数学邀请赛试卷 （初二第2 试）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分 40 分）1．（4 分）以下2 2 2 2 32 23 5 个多项式： ① a b ﹣ a ﹣ b ﹣ 1；② x ﹣ 9ax +27xa ﹣ 27a ；③ x （ b+c ﹣ d ）2﹣ y （ d ﹣ b ﹣ c ）﹣ 2c+2d ﹣2b ； ④ 3m （m ﹣ n ） +6n （ n ﹣ m ）； ⑤ （ x ﹣ 2） +4x ．此中在有 理数范围内能够进行因式分解的有（）A ．① 、 ② 、 ③B ．② 、 ③ 、 ④C ． ① 、 ③ 、 ④ 、 ⑤D ． ① 、② 、④【剖析】 ① 在有理数范围内不可以够进行因式分解； ② 一四项为一组，二三项为一组进行因式分解； ③ 提取公因式（ b+c ﹣ d ）即可； ④ 提取公因式 3（m ﹣ n ）即可；⑤ 先睁开，发此刻有理数范围内不可以够进行因式分解．2 22 2不可以够进行因式分解；【解答】 解： ① a b ﹣ a ﹣ b ﹣ 123② x ﹣ 9ax +27xa ﹣ 27a 32＝（ x ﹣3a ）（ x 2+3xa+9a 2）﹣ 9ax （ x ﹣ 3a ）＝（ x ﹣3a ）（ x 2+3xa+9a 2﹣ 9ax ）＝（ x ﹣3a ） 3；③ x （ b+c ﹣d ）﹣ y （ d ﹣ b ﹣ c ）﹣ 2c+2d ﹣2b＝（ x+y ﹣2）（ b+c ﹣d ）；④ 3m （ m ﹣ n ） +6 n （n ﹣ m ）＝ 3（m ﹣ n ）（ m ﹣ 2n ）；2⑤ （ x ﹣ 2） +4x2＝ x ﹣ 4x+4+4 x＝ x 2+42x +4 不可以够进行因式分解．故在有理数范围内能够进行因式分解的有② 、③ 、 ④ ．应选： B ．【评论】 本题考察了用提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．2．（ 4 分）方程 x 2﹣ y 2＝ 105 的正整数解有（）A ．1 组B ．2 组C ． 3 组D ． 4 组【剖析】 可先将方程的左侧运用平方差公式睁开，再分类议论的方法找出正整数解的组数．【解答】 解： x 2﹣ y 2＝（ x+y ）（x ﹣ y ）＝ 105又 105＝ 1× 105＝ 3× 35＝5× 21＝7× 15因为题中要求正整数解，故x+y ＞ x ﹣ y∴令 x+y ＝ 105， x ﹣y ＝ 1，解得 x ＝ 53， y ＝ 52．令 x+y ＝ 35， x ﹣ y ＝3，解得 x ＝ 19， x ﹣ y ＝ 16．令 x+y ＝ 21， x ﹣ y ＝5，解得 x ＝ 13， y ＝ 8．令 x+y ＝ 15， x ﹣ y ＝7，解得 x ＝ 11， y ＝ 4．故知足题意的正整数解共有4 组．应选： D ．【评论】 本题主要考察平方差公式的运用和分类议论思想，分类议论时要依据必定的次序，做到不重复不遗漏．3．（ 4 分）已知实数 x 知足条件 x ＞x+1，那么的值等于（）A ．2x ﹣ 1B ．﹣ 2x+1C ．﹣ 5D ． 1【剖析】 第一依据已知条件x ＞ x+1 即可求得 x 的范围，而后依据算术平方根和立方根的定义即可化简．【解答】 解：∵ x ＞x+1，∴（ 1﹣） x ＞ 1，∴ x ＜＝﹣﹣ 1，∴ x ＜﹣ 2，∴ x+2 ＜0，∴＝﹣ x ﹣ 2+x ﹣ 3＝﹣ 5．应选： C ．【评论】 本题主要考察了二次根式的化简，正确求得x 的范围是解题的重点．4．（ 4 分）已知 a ， b ，c 为正数，且 a ≠ b ，若 x ＝ + + ， y ＝，则 x与 y 的大小关系是（ ）A ．x ＞ yB ． x ＜ yC ． x ﹣ yD ．随 a ， b ， c 的取值而变化【剖析】 令＝ m ， ＝ n ， 22≥ 2ab 即可作出解答．＝ p ，而后依据 a +b 【解答】 解：令＝ m ， ＝ n ，＝ p 那么 2x ＝ 2m 222+2n +2p ≥ 2mn+2 np+2mp ＝2y ，只有当 a ＝ b ＝ c 时获得等号，而由题意得 a ≠ b ，∴ x ＞ y ．应选： A ．【评论】 本题考察了二次根式的混淆运算及不等式的性质，有必定的难度，在解答本题时注意经过假定将原式变形．5．（ 4 分）如图，凸五边形ABCDE 中，∠ A ＝∠ B ＝ 120°， EA ＝ AB ＝ BC ＝ DC ＝ DE ，则∠ D ＝（）A ．30°B ．45°C ． 60°D ． 67.5°【剖析】 连结 EC ，不难获得四边形ABCE 是等腰梯形，再依据∠A ＝∠B ＝ 120°能够推出 EC ＝ 2AE ，所以△ EDC 为等边三角形，∠ D 等于 60°．【解答】 解：连结 EC ，易得梯形 ABCE ，∵ EA ＝ AB ＝ BC ，且∠ A ＝∠ B ＝ 120°， ∴∠ AEC ＝∠ BCE ＝ 60°；从而可得 EC ＝ 2AE ．在△ EDC 中，DC ＝ DE ＝ EC ；∴∠ D＝ 60°．应选： C．【评论】本题考察轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的地点关系是相互垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直均分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．6．（ 4 分）如图，四边形ABCD 中， AB＝BD ＝ DA ＝ AC，则四边形ABCD 中，最大的内角的度数是（）A ．90°B ．120°C． 135°D． 150°【剖析】先设∠ CAD ＝ x，获得∠ BAC＝ 60°﹣ x，∠ ACB＝60° +x，∠ ACD＝ 90°﹣x，乞降即可获得答案．【解答】解：设∠ CAD ＝x，∵ AB＝ BD＝ DA ，∴△ ABD 是等边三角形，∴∠ ABD＝∠ ADB＝∠ BAD ＝60°，∴∠ BAC＝ 60°﹣ x，∵ AB＝ DA ＝ AC，∴依据等边三角形的性质得：∠ABC＝∠ ACB＝[180 °﹣（ 60°﹣ x） ] ＝60° +x，∠ ACD＝∠ ADC＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∴∠ BCD＝ 60°+ x+90 °﹣x＝150°．∴∠ CBD+∠ CDB＝ 180°﹣ 150°＝ 30°，∴在四边形ABCD 中，∠ BCD ＞∠ CBA，∠ BCD ＞∠ BAD ，∠ BCD＞∠ ADC ，即：∠ BCD 是最大角，等于150°．应选： D ．【评论】本题主要考察了等边三角形的性质和判断，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，设∠ CAD＝ x，用 x 表示其余角并利用所学的知识获得关系式是解本题的重点．7．（ 4 分）如图，四边形ABCD 中， AD ＞ BC， E，F 分别是 AB， CD 的中点， AD ，BC 的延长线分别与EF 的延伸线交于H ， G，则（）A ．∠ AHE ＞∠ BGEB ．∠ AHE ＝∠ BGEC．∠ AHE ＜∠ BGED ．∠ AHE 与∠ BGE 的大小关系不确立【剖析】连结 BD ，取中点 I ，连结 IE ， IF ，依据三角形中位线定理得IE ＝2AD，且平行AD ， IF ＝ BC 且平行 BC，再利用 AD ＞ BC 和 IE ∥ AD，求证∠ AHE ＝∠ IEF ，同理可证∠ BGE＝∠ IFE ，再利用 IE ＞ IF 和∠ AHE＝∠ IEF ，∠BGE＝∠ IFE 即可得出结论．【解答】解：连结BD ，取中点I，连结 IE ，IF∵ E， F 分别是 AB， CD 的中点，∴IE ， IF 分别是△ ABD ，△ BDC 的中位线，∴IE ＝ 2AD，且平行 AD ， IF ＝ BC 且平行 BC，∵AD＞ BC，∴ IE ＞ IF ，∵IE ∥AD ，∴∠ AHE＝∠ IEF ，同理∠ BGE＝∠ IFE ，∵在△ IEF 中， IE ＞ IF ，∴∠ IFE ＞∠ IEF ，∵∠ AHE＝∠ IEF ，∠ BGE＝∠ IFE ，∴∠ BGE＞∠ AHE．应选： C．【评论】本题主要考察学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有必定的拔高难度，属于难题．8．（ 4 分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A ．30°B． 30°或 150°C． 120°或 150°D． 30°或 120°或 150°【剖析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应当分三种状况进行剖析，从而不难求解．【解答】解：①如图，∵∠ ADB ＝ 90°， AD＝AB ，∴∠ B＝ 30°，∵AC＝ BC，∴∠ CAB＝ 30°，∴∠ ACB＝ 180°﹣ 30°﹣ 30°＝ 120°．②如图，∵∠ ADB＝ 90°， AD＝AC，∴∠ ACD＝ 30°，∵ AC＝ BC，∴∠ CAB＝∠ B＝ 15°，∠ ACB＝ 180°﹣ 30°＝ 150°．③如图，∵∠ ADB＝ 90°， AD＝BC，∴∠ B＝ 30°，∵ AB＝ BC，∴∠ CAB＝∠ C＝ 75°，∴∠ B＝ 30°．应选： D ．【评论】本题主要考察等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．9．（ 4 分）如图，正方形 ABCD 中， AB＝ 8，Q 是 CD 的中点，设∠ DAQ＝α，在 CD 上取一点 P，使∠ BAP ＝2α，则 CP 的长是（）A ．1B ．2C． 3D．【剖析】以以下图，证明△ABE≌△ AFE ，得 EF ＝ BE＝ EC，得△ EFP ≌△ ECP，得△ ECP ∽△ ABE．即可求 CP 的长度．【解答】解：取 BC 的中点 E，连结 AE，作 EF⊥ AP，则△ ABE≌△ ADQ ，得 EB＝ EC＝ 4，由得：△ ABE≌△ AFE ，∴∠ AEB＝∠ AEF ，得EF ＝ EB＝EC，∵ PE＝ PE，∴∠ ECP＝∠ EFP ＝ 90°，∴△ EPC≌△ EPF ，∴∠ FEP ＝∠ PEC ，∴∠ AEP＝∠ AEF +∠ FEP＝ 90°，∴∠ PEF ＝∠ PEC ＝∠ EAP＝∠EAB，∴△ CEP∽△ BAE，∴＝＝＝，即PC＝ 2，应选： B．【评论】本题考察的是全等三角形的判断，相像三角形对应边相等的性质，考察了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，本题求证△ AEP是直角三角形是解本题的重点．10．（ 4 分）三个整数a， b， c 的和是 6 的倍数，那么它们的立方和被 6 除，获得的余数是（）A ．OB ．2 C． 3【剖析】因为本题从正面很难作答，所以要把问题转变成证明（是 6 的倍数问题，即可求出答案．D．不确立的3 3 3）﹣（ a+b+c）a +b +c【解答】解：已知 a、b、 c 三数之和是 6 的倍数，假如想直接获得3 3 3被 6 除的余a +b +c数，很难获得，假如我们做以下结构：3 3 3（ a +b +c ）﹣（ a+b+c）＝（ a 3﹣a） +（b3﹣ b） +（c3﹣ c）＝ a （ a ﹣ 1）（ a+1） +b （ b ﹣ 1）（ b+1） +c （ c ﹣ 1）（ c+1）则能够将问题转变成因为 a 是整数，所以 a ﹣ 1， a ，a+1 是三个连续整数，所以 a （ a ﹣ 1）（a+1）是 6 的倍数，同理可得b （ b ﹣1）（ b+1）和c （ c ﹣1）（ c+1）也是6 的倍数，3 33又因为 a+b+c 是 6 的倍数，所以a +b +c 是 6 的倍数．应选： A ．【评论】本题考察的是带余数的除法，解答本题的重点是把原问题转变成证明﹣（ a+b+c ）是 6 的倍数问题，再进行解答．3 33（a +b +c）二、填空题（共 10 小题，每题 5 分，满分50 分）2） +12＝ 22） ． 11．（5 分）分解因式： （ x ﹣ 1）（ x+3）（ x+5 （ x +4x ﹣ 3）（ x +4x+1 【剖析】 第一把 x 2﹣ 1 利用平方差公式变成 （ x ﹣ 1）（ x+1），而后分别把 （ x ﹣ 1）和（x+5 ）、（ x+1 ）和（ x+3 22 2作为一个整体 ）相乘，而后变成（ x +4x ﹣ 5）（ x +4x+3），接着把 x +4x因式分解，而后即可求解．【解答】 解：（ x 2﹣ 1）（ x+3）（ x+5） +12＝（ x ﹣1）（ x+1）（x+3）（ x+5） +122 2＝（ x +4x ﹣ 5）（ x +4x+3） +12 2 2 2 ＝（ x +4x ） ﹣ 2（ x +4x ）﹣ 15+12 2 22 ＝（ x +4x ） ﹣ 2（ x +4x ）﹣ 322 ＝（ x +4x ﹣ 3）（ x +4x+1）．22故答案为：（ x +4x ﹣3）（ x +4x+1）．【评论】本题主要考察了利用分组分解法分解因式，解题的时候第一把x 2﹣1 分解因式， 而后从头分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题．12．（ 5 分）已知 x ﹣ y ﹣ z ＝ 0， y ﹣ z ＝ 0，且 x yz ≠ 0，那么 ＝．【剖析】 依据 x ﹣ y ﹣ z ＝ 0，y ﹣ z ＝ 0，且 xyz ≠0，得出 y ＝ z ，x ＝ y+z ，x ＝2y ，代入原式即可求出．【解答】 解：∵ x ﹣ y ﹣ z ＝ 0， y ﹣z ＝ 0，且 xyz ≠0，∴ y ＝ z ， x ＝y+z ，∴ x ＝ 2y ，原式得：，＝，＝，＝，故答案为：．【评论】 本题主要考察了分式的混淆运算，运用已知得出x ， y ，z 之间的等量关系是解决问题的重点．13．（ 5 分）假如 ，那么 ＝ 4 ．【剖析】 依据告诉的 x 的值，求得 x 2的值，代入代数式利用分式的分母有理化进一步将分式变形即可．【解答】 解：由得：＝＝ ，，＝+ ，＝+ ，＝+，＝+ ，＝，＝ 4．故填： 4．【评论】 本题考察了二次根式的化简，特别是分式的分母有理化，是进行分式化简和变形的基础．2 2 y x ．14．（ 5 分）若 x +y + ＝ 2x+y ，那么 x +y ＝【剖析】 第一将原式移项配方， 可得： ∴（ x ﹣ 1）2 +（ y ﹣ ）2＝ 0，由非负数的和为零，则每个为零的性质，即可求得x 与 y 的值，则问题得解．22【解答】 解：∵ x +y + ＝ 2x+y ，22∴ x +y + ﹣ 2x ﹣ y ＝0，∴（ x ﹣1） 2+（ y ﹣） 2＝ 0，∴ x ﹣ 1＝ 0， y ﹣ ＝ 0， ∴ x ＝ 1， y ＝ ，∴ x y +y x＝ 1+ ＝ ．故答案为：．【评论】 本题考察了配方法与非负数的和为零，则每个为零的性质．解题的重点是要注意剖析．15．（ 5 分）如图，直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ B ＝ 36°， D 是 AB 的中点， ED⊥ AB 交 BC 于 E ，连结 CD ，则∠ CDE ：∠ ECD ＝1： 2 ．【剖析】 依据 D 是 AB 的中点， 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证CD＝ DB ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠CDE 和∠ ECD 度数，即可．【解答】 解：∵∠ ACB ＝ 90°，∠ B ＝ 36°， D 是 AB 的中点，∴CD ＝ DB，∴∠ ECD＝∠ B＝ 36°，∴∠ CDB＝ 180°﹣∠ ECD﹣∠ B＝ 180°﹣ 36°﹣ 36°＝ 108°，∵ED⊥ AB，∴∠ EDB＝ 90°，∠ CDE＝∠ CDB﹣∠ EDB ＝108°﹣ 90°＝ 18°，∠ CDE：∠ ECD＝ 1： 2．故答案为 1： 2．【评论】本题主要考察学生对直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，本题难度不大，但综合性较强，是一道很典型的题目．16．（ 5 分）如图， C 在线段 AB 上，在 AB 的同侧作等边三角形△ACM 和△ BCN，连结 AN，BM，若∠ MBN ＝ 38°，则∠ ANB＝82°．【剖析】依据等边三角形的边相等，角相等，能证明△ACN 和△ MCB 全等，则∠ ANC 和∠ MBA 相等，∠ MBA ＝ 60°﹣∠ MBN ＝ 60°﹣ 38°＝ 22°，所以可求出∠ANB 的解．【解答】解：∵△ ACM 和△ BCN 是等边三角形，∴AC＝ MC， CB＝ CN，∠ ACM+∠ MCN ＝∠BCN+∠MCN ，即∠ ACN＝∠ MCB ．∴△ ACN≌△ MCB（ SAS）．∴∠ ANC＝∠MBA．∵∠ MBA＝ 60°﹣∠ MBN ＝ 60°﹣ 38°＝22°，∴∠ ANC＝ 22°．∴∠ ANB＝ 22° +60°＝82°．故答案为： 82°．【评论】本题考察等边三角形的性质以及全等三角形的判断和性质，本题重点知道∠ ACN 和∠ MCB 相等．17．（ 5 分）某个质数，当它分别加上6，8，12，14 以后仍是质数，那么这个质数是5．第 16 页（共 22 页）x＝ 5k+3，x＝ 5k+4，而后分别加上6，8，12，14，可得： x+14＝ 5（ k+3），x+8＝ 5（k+2），x+12 ＝ 5（ k+3 ）， x+6＝ 5（ k+2）均为合数，即可获得x的值．【解答】解：设这个质数为x，把x 除以 5，将所得余数分为以下五种状况：当 x＝ 5k+1，则 x+14＝ 5（ k+3）为合数，当 x＝ 5k+2，则 x+8＝ 5（ k+2）为合数，当 x＝ 5k+3，则 x+12＝ 5（ k+3）为合数，当 x＝ 5k+4，则 x+6＝ 5（ k+2）为合数，所以只好取 x＝ 5k，且 k 取 1，即 x＝ 5．注意：以上 k 属于正整数．故答案为： 5．【评论】本题考察了质数的意义．注意分类议论思想的应用．18．（ 5 分）已知40 个整数，它们都不是 5 的倍数，那么，它们40 次方的和被 5 除的余数是0 ．【剖析】先得出尾数的可能值，而后分别写出这些数的一次方、二次方、三次方、四次方、五次方的数的状况，从而可得出一个数的乘方，其尾数每四次方为一个周期，由此可得出经过 40 次乘方后，其尾数的值，尽、既而可得出答案．【解答】解：∵ 40 个整数它们都不是 5 的倍数，∴它们的个位数只好是： 1， 2， 3， 4， 6， 7，8， 9，这九个数字的乘方的尾数有以下规律：一次方： 1， 2，3， 4， 6，7， 8， 9，二次方： 1， 4，9， 6， 6，9， 4， 1，三次方： 1， 8，7， 4， 6，3， 2， 9，四次方： 1， 6，1， 6， 6，1， 6， 1，五次方： 1， 2，3， 4， 6，7， 8， 9，因而可知，一个数的乘方，其尾数每四次方为一个周期．＝10，所以，经过 40 次乘方后，其尾数为： 1， 6， 1， 6，6， 1， 6，1，所以，每个数的 40 次方除以 5 的余数都是 1，所以，这40 个数的 40 次方的和被 5 除的余数是：＝8，余数是0．故答案为： 0．【评论】本题考察带余数的除法的知识，难度较大，重点是得出一个数的乘方，其尾数每四次方为一个周期，这要求同学们有一般总结特别规律的能力．7219．（ 5 分）数 2﹣1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是511，513， 545 ．【剖析】将数721 进行因式分解，获得 272 36 36 36 2 ﹣﹣ 1＝（ 2 +1 ）（ 2 ﹣ 1），再进一步分解（ 2﹣ 1），可得出18 72 511 与 513 能整除，再将 2 +1 运用完整平方公式因式分解，得出 2 ﹣ 1能被 500 与 600 之间整除的全部整数．【解答】解：72﹣1＝（36 362 2 +1）（ 2 ﹣ 1）＝（36 18 18 36 18 9 92 +1）（ 2 +1）（2 ﹣ 1）＝（2 +1）（2 +1 ）（ 2 +1 ）（ 2 ﹣1），9 9﹣1＝ 511，∵ 2 +1＝ 512+1 ＝513， 2 ﹣1＝ 513∴ 511， 513 都能整除 272﹣ 1．18 9 2 9 又 2 +1＝（ 2 +1）﹣ 2× 2 ，＝（9 2﹣（5 2，2 +1） 2 ）＝（9 5 9 52 +1﹣ 2 ）（ 2 +1+2 ），＝481× 545，∴545 能整除 272﹣1．故答案为： 511， 513， 545．【评论】本题主要考察了因式分解法将一个高次数据进行因式分解，这类思想常常用于解决近似问题．20．（ 5 分）有若干个同样的球，已知总数大于50，在桌子上恰能摆成一个正方形方阵，从这些球中去掉21 个球后，能够摆成一个等腰梯形阵，在这个等腰梯形阵中，每一行的球数都比下一行的球数少1，而每腰上的球数比正方形每边的球数少3，梯形较大的底上的球数是每腰上球数的 2 倍，那么球的总数是121．【剖析】设正方形方阵每条边上的球的数是n，则依据“这些球中去掉21 个球后，能够摆成一个等腰梯形阵，在这个等腰梯形阵中，每一行的球数都比下一行的球数少1，而每腰上的球数比正方形每边的球数少3，梯形较大的底上的球数是每腰上球数的 2 倍”列出方程．【解答】 解：设正方形方阵每条边上的球的数是n ，则[2（ n ﹣3） +2 （n ﹣ 3）﹣（ n ﹣ 3）+1] （n ﹣ 3）＝ n 2﹣ 21整理 得 （ n ﹣11）（n ﹣ 6）＝ 0∴ n ﹣11＝0 或 n ﹣ 6＝ 0∴ n ＝11 或 n ＝ 6当 n ＝11 时， n 2＝ 112＝ 121（个）当 n ＝6 时， n 2＝ 62＝ 36（个） （不合题意，舍去）∴共有 121 个球．故答案是： 121．【评论】 本题考察了一元二次方程的应用．解题重点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程，再求解．三、解答题（共 2 小题，满分 0 分） 21．求自然数对（ a ， b ），同时知足条件：（ 1） 0＜ a ﹣b ＜ 1；（2） 15O ＜（ a+b ） 3＜ 200．【剖析】 依据 a ﹣ b ＜ 1，则 a ﹣1＜b ，2a ﹣1＜ a+b ，又（ a+b ）3＜ 200，即可获得（ 2a ﹣ 1）3＜ 200＜ 63，据此即可获得对于 a 的不等式求得 a 的值，而后利用清除法即可求解．【解答】 解：∵ a ﹣ b ＜ 1，∴ a ﹣ 1＜ b ， 2a ﹣ 1＜a+b ，又∵（ a+b ）3＜ 200，∴（ 2a ﹣ 1） 3＜ 200，而 200＜ 216＜ 63， ∴ 2a ﹣1＜ 6，则 a ＜ ，∵ a 是自然数，∴ a 的值可能是 1， 2， 3．由已知 a ﹣ b ＞ 0， a ＞b ，且 b 是自然数，最小是1，∴ a ≠ 1，若 a ＝2，由 2＞ b ，可知 b 只可能为 1，此时（ 2+ ） 3＜ 43＝64＜ 150，与条件（ 2）相矛盾；若 a ＝3，由 a ﹣1＜b ＜ a ，知 2＜ b ＜ 3，∴ b ＝ 2．则 0＜ 3﹣ 2 ＜ 1，知足（ 1），此时，（ a+3 ＝（ 3+2 3 3 2 × 2 2 3＝99+70 b ） ） ＝ 3 +3× 3 +3× 3×（ 2 ） +（ 2 ），设 70 ＝ m ，则 m 2＝9800． ∴ 982＜m 2＜ 992＝9801，∴ 150＜ 197＜（ 3+2 ） 3＜ 198＜200，知足条件（ 2）．则所求的自然数数对是（ 3， 2）．【评论】 本题考察了有理数和无理数的运算，正确对式子进行变化求得a 的可能值是关键．22．如图，等腰梯形 ABCD 中， CD ∥ AB ，对角线 ACBD 订交于 O ，∠ ACD ＝ 6O °，点 S ，P ，Q 分别是 OD ， OA ， BC 的中点，（ 1）求证：△ PQS 是等边三角形；（ 2）若 AB ＝5， CD ＝ 3，求△ PQS 的面积；（ 3）若△ PQS 的面积与△ AOD 的面积的比是 7： 8，求梯形上、下两底的比CD ： AB ．【剖析】（ 1）连结 SC 、PB ，依据等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线可判断出答案．（ 2）依据等腰梯形的性质及∠ AOD ＝ 120°可求出等边三角形的边长， 从而可得出答案．（ 3）设 CD ＝ a ， AB ＝ b （ a ＜ b ），依据题意表示出两面积的比，从而可得出答案．【解答】 解：如图，连结 SC 、PB ，（ 1）证明：∵ ABCD 是等腰梯形，∴ AD ＝ BC ，又∵ AC 、 BD 订交于 O ，∴ AO ＝ BO ，OC ＝ OD ，第 20 页（共 22 页）∴△ OCD 和△ OAB 是等边三角形，∵S 是 OD 的中点，∴ CS⊥ DO ，在 RT△ BSC 中， Q 为 BC 的中点， SQ 是斜边 BC 的中线，∴ SQ＝ BC．同理 BP⊥ AC，在 RT△BPC 中， PQ＝BC，又SP 是△ OAD 的中位线，∴ SP＝ SQ＝ PQ，∴△ SPQ 是等边三角形；（2）∵ AB＝5， CD ＝ 3，∴可得： CS＝，SB＝，∴BC＝ 7，∴PS＝ PQ＝ SQ＝，∴ S△PQS＝；（3）设 CD ＝ a， AB＝ b（ a＜ b），2 2 2+ 2 2BC ＝ SC +BS ＝＝ a +b +ab，∴ S△SPQ＝2 2），（ a +ab+b又，∴ 8×（a 2+ab+b2）＝7×ab，即2a 2﹣5ab+2b2＝0，化简得＝，故＝．【评论】本题考察面积及等积变换，难度较大，注意掌握等腰梯形及等边三角形的知识，基本知识的掌握是解答综合题的重点．。

初二数学杯赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是整数？A. πB. √3C. 0.5D. 2答案：D2. 如果a和b是两个非零实数，那么a² + b²的值：A. 总是正数B. 总是负数C. 可能是正数或负数D. 可能是零答案：A3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是：A. 1C. 0D. 2答案：C5. 如果一个数的立方等于它自身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项答案：D6. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B7. 一个数的绝对值是它自身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 所有选项答案：D8. 如果一个多项式的次数是3，那么它至少有几个项？B. 2C. 3D. 4答案：C9. 一个数的倒数是它自身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A10. 如果一个分数的分子和分母同时乘以同一个数，那么这个分数的值：A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

答案：512. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。

答案：±513. 一个数的立方是-27，那么这个数是______。

答案：-314. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。

答案：±515. 如果一个分数的分子是2，分母是3，那么这个分数的倒数是______。

答案：\(\frac{3}{2}\)16. 一个圆的直径是10，那么它的半径是______。

答案：517. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。

答案：918. 如果一个多项式的次数是4，那么它最多可以有______个项。

第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题 D 卷一、单选题1．已知3,5x y a a ==，则32x y a -=（ ）A ．2aB ．1a -C ．2725D ．22．已知关于x 的分式方程2126636a b x x x x +=-+-有无数个解，则ab 的值为（ ） A ．36 B ．18C ．12D ．6 3．下列说法正确的是（ ）A ．两个图形关于某条直线对称，它们的对称点一定在这条直线的两侧B ．两个全等的三角形一定关于某条直线对称C ．线段是轴对称图形，它的对称轴只有它的垂直平分线D ．在平面内任意的两条直线所组成的图形一定是轴对称图形4．如图，在ABC V 中，AD 平分,BAC BD AD ∠⊥交于点D ，点E 为边BC 的中点，已知10cm,15cm,3cm AB BC DE ===，那么ABC V 的周长为（ ）A ．41cmB ．40cmC ．39cmD ．38cm 5．如图，ABC V 为直角三角形，AB BC =，四边形DEFG 为正方形，且点DE G 、、分别在三角形的边AB BC 、和AC 上，如果正方形DEFG 的面积与ABC V 的面积之比为2:5，那么:BD BE =（ ）A ．3:1B ．2:1C ．3:2D ．5:36．乘积1357201120132015⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 的末两位数字是（ ）A ．25B ．45C ．75D ．95二、填空题7．2201420152014201420142016-⨯=．8．在ABC V 中，48,A ABC ACB ∠=︒∠∠、的三等分线分别交于点D E 、，则E D ∠-∠=．9．如图，等边ABC V 的边长为2014，点D 为AB 边上不同于点B 的任意一点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，过点F 作FG AB ⊥于点G ，当BD =时，点D 与点G 重合．10．已知一个长方形的四条边的长度都是小于10的正整数（单位：cm ），由这个长方形的四条边的长度数可构成一个四位数，且是一个完全平方数，若这个四位数的千位数字与百位数字相同，则这个长方形的面积为2cm ．11．若实数2121b a a b a b--、、、都是整数，且1,1a b >>，则a b +=． 12．如图，ABC V 中，60,2BAC AC AB ∠=︒=，点D 在ABC V 内，且2,1,4AD BD CD ===，则ABC V 的面积为．三、解答题13．已知实数a b c 、、满足等式5a b +=和29c ab b =+-，求345a b c ++的值． 14．如图1，有一个高为cm h 的瓶子，瓶中水面的高度为cm a ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为cm b ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当9,15,21a b h ===时，求出这个比值．15．如图，在ABC V 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点,D CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，点P 为DE 的中点，PQ BC ⊥于点,Q PM AB ⊥于点,M PN AC ⊥于点N ，请给出PQ PM PN 、、之间的等量关系式，并说明理由．16．近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将、、A B C 三地的军用物资全部运往D E 、两地，已知、、A B C 三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少20吨．(1)这批军用物资运往D E 、两地的数量各是多少？(2)若由C 地运往D 地的物资为60吨，A 地运往D 地的物资为x 吨，B 地运往D 地的物资数量少于A 地运往D 地的物资数量的2倍，且B 地运往E 地的物资不超过25吨，则、、A B C 三地的物资运往D E 、两地的方案有哪几种？(3)如果将、、A B C 三地的军用物资运往D E 、两地的费用如下表：那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？。

2010年（第21届）“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）【解析】B ．因B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．故选B2．若230a a ≥≥，则（ ）AB ．1a ≥D ．01a <<【解析1】B ．（特殊值法）令0a =，则230a a ===；令110a =，则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤≤事实上，当0a =或1a ==；当01a <<1132,a a ==如图所示，xy a =（01a <<）在实数集R 上是减函数，∵1123>，∴1132a a <故选B.3有意义，则x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ≤，且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ≤，且2009x ≠-【解析】B ．由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得2010x ≤，且2009x ≠±．故选B.4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】C ．()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，同理4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，同理3a b ==． 综上，这样的等腰三角形有3个．故选C.5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（ ） A ．任意的四边形 B．两条对角线等长的四边形 C ．矩形 D ．平行四边形【解析】B．因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．故选B6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则 （ ）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析1】（特殊值法）如令14a b c d====，则4p ==>=， 25P =>=，排除C 【解析2】A ．因01a <<，故23a a a >>，于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是，根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=．即5p >,故选A.7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（ ）A ．b c a a >B ．0b a c ->C ．22b ac c> D ．0a c ac -<(英汉词典：be sure to 确定；correct 正确的；inequality 不等式) 【解析】C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <，于是∵b c >，0a >，∴b c a a>； ∵b a <，0c <，∴0b a c ->；∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立． 8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】A ．以A 区为原点，从A 区往C 区方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-，由绝对值函数的性质易知在图10x =处，该函数值最小．事实上，554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩，显然，当0x =时，min 4500S =9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时，AD BD =,满足题意，此时，ABC △是等腰三角形；当AC BC ≠时，若ABC △是直角三角形，则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意，故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D ．∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =， ∴cos sin cos sin A BB A=，于是sin 2sin 2A B =，∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（ ） A ．32秒 B ．38秒 C ．42秒 D ．48秒【解析1】C ．设自动扶梯的速度为a /米秒，人行走的速度为b /米秒，则24()56a b a +=，解得43b a =，56564243a a tb a ===（秒）.【解析2】C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）． 【解析3】C ．（可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（秒））. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】②．由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-；③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-；④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-．故填②12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”） 【解析1】=．（特殊值法）如令12b =，则2,1,2a c d ==-=，于是a d =【解析2】=．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=：1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】2-．222510111x x x x ++=--+，()()225110x x x +++-=，22640x x ++=，2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析1】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=，即12324k k -=，由于12,k k 均为非负整数， 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时，2k 的最小值为1，此时350x =，乙跑了400350750+=（米）． 【解析2】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，设甲已跑了x 个整圈，则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数，故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=（米）. 15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________． 【解析】12310(或填12.3)．①当421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾； ②1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾；③当42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==.16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________． 【解析1】8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =--，于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-．294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析1】5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．【解析2】5．()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，线段5955(19)444x y x --=-=（019x ≤≤） 要求整点，只需19x -是4的倍数，于是190,4,8,12,16x -=，故线段AB 上共有5个整点： (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析1】0． 原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得，23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时，23141a x a ->+ ，故只需231141a a -=-+，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________． 【解析1】4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解， 即2a =-或1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950． 【解析1】4950．原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950． 20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）【解析】990．因()()218800811b a c k ++++-++++=，即11()11b a c k +--=，（k 为整数） ∴b a c --能整除11，∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，9abc bc ≤，此时9b c --能整除11， ∴0b a c --=，即b a c =+，三位数abc 最大是990．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】6，3．设长和宽分别为x 、y ，不妨设x y >则()2x y xy +=，即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数，而x y >，∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩，于是长和宽分别为6和3．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析1】196x =-；83x =-，原方程可化为 []673x x +=，设673x t +=，（t 为整数）376t x -=，于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由37016t t -≤-<，解得13733t -<≤-，又t 为整数 4t =-或3t =-，即6743x +=-或6733x +=-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解．【解析2】196x =-；83x =-．∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+≤-，∴67x +=12-或9-，解得196x =-或83x =-． 经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解． 23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisectsDAB ∠，and 21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line ABis______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）【解析1】8；17．如图1，过D 作DF AC ⊥，交AB 于E ，交AC 于F ，连接CE ，过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =，=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=，6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =． 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==．【解析2】8；17．如图2，在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=，12BE AB AE =-=，6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =．9615AF AE EF =+=+=,17AC =．【解析3】8；17．如图3，过C 作CE AB ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =，于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =，则219x x -=+，解得6x =，即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=，依题意得其判别式3613016k ∆=-=，解得36148k =． 事实上，反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时，k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC （直线BC 的方程为31944y x =-+）与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得，此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=，其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点（由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=，其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得）并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】23；1．可由正四边形，正五边形，正六边形等归纳出正n 边形的一般规律：设正n 边形的面积为n S . （1）对于正四边形0123A A A A ：共有4(43)22⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有4个：012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有1个：0123A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个，其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. （2）对于正五边形01234A A A A A ：共有5(53)52⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有5个：012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有5个：四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有1个01234A A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个，其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. （3）对于正六边形012345A A A A A A ：共有6(63)92⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有6个：012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有6个：四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有6个01234A A A A A ， 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形（凸多边形）有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ，则正n 边形的对角线共有()132n n -条，由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个，它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值max 23n =，此时正n 边形的面积是1．。

第十届“新希望杯”全国数学大赛八年级试题（B 卷）简版答案一、选择题（每题4分，共32分）1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．C 8．B二、填空题（每题5分，共40分）9．(22)(22)x x -+-- 10．13 11．12 12．180 13．222m S m ++ 14．12 15．8 16．4028π三、解答题（每题12分，共48分）17．解：(1)h =22()2b a -=22(63)(323)+-+=(933)(33)+⨯-=3(93)-=32． (2)a =22()2b h +=22(261)(261)++-=52． 18．解：设第一次进货时这种笔的进价为x 元，则第二次进货时这种笔的进价为1.2x 元．根据题意得：1200150010 1.2x x+=， 4分 解得：5x =，经检验：5x =是原方程的解， 6分第一次购进这种笔12002405=(支)， 第二次购进这种笔24010250+=(支)，第一次赚钱240(155)2400⨯-=(元)，第二次赚钱200(155 1.2)50(150.45 1.2)1800⨯-⨯+⨯⨯-⨯=(元)，所以两次共赚钱240018004200+=(元)． 11分答：王老板两次售笔总体上是赚钱了，共赚了4200元． 12分19．解：如图，∵四边形ACGH 和四边形BCFE 都是正方形，∴将CFG ∆绕点C 顺时针方向旋转90后则得到CBG'∆，且点A 、C 、G '三点共线，AC CG'=，∴CFG CBG'ABC S S S ∆∆∆==，同理AHK BDE ABC S S S ∆∆∆==，∴图中三个阴影部分的面积之和等于ABC ∆面积的3倍，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，则CP ≤AC ，∴当且仅当AC ⊥AB ，即CP 与AC 重合时CP 取得最大值，此时CP =AC ，∴ABC ∆面积的最大值为12AB AC ⋅=6， ∴图中三个阴影部分的面积之和的最大值为3×6=18．答：图中三个阴影部分的面积之和的最大值为18．20．解：设1x ，2x ，3x ，…，2014x 中有a 个1-，b 个1，c 个2，则212842014.a b c a b c -++=⎧⎨++=⎩，解得943=10713.a c b c =-⎧⎨-⎩， 又0a ≥，0b ≥，所以0357c ≤≤，记3333123201486128S x x x x a b c c=+++⋅⋅⋅+=-++=+，则12863571282270S⨯+=≤≤，当943a=，1071b=，0c=时，S取最小值为128；当586a=，0b=，357c=时，S取最大值为2270．。