第 28届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析

1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分）1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜1 C．D．2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④一定没有意义．其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（1分）已知8个数：，，0.236，，3.1416，﹣π，，，其中无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（1分）若A=，A的算术平方根是（）A．a2+3 B．（a2+3）2C．（a2+9）2D．a2+95．（1分）下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（）A．1，2，3 B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c D．1，m，n，其中1＜m＜n6．（1分）方程x2+|x|﹣6=0的最大根与最小根的差是（）A．6 B．5 C．4 D．37．（1分）等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（）A．50°，50°，80°B．50°，50°，80°或130°，25°，25°C．50°，65°，65°D．50°，50°，80°或50°，65°，65°8．（1分）如果x+y=，x﹣y=，那么xy的值是（）A．B．C．D．9．（1分）如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（1分）已知﹣＜x＜1，将化简得（）A．3﹣3x B．3+3x C．5+x D．5﹣x11．（1分）如图，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．（1分）关于x的一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，则k的最小整数是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．513．（1分）对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．414．（1分）若方程9x2﹣6（a+1）x+a2﹣3=0的两根之积等于1，则a的值是（）A．B．C．D．15．（1分）有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是（）A．①，②B．②，③C．③，④D．②，④二、填空题（共15小题，每小题1分，满分15分）16．（1分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是．17．（1分）实数x满足x+=10，则的值为．18．（1分）设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=．19．（1分）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=．20．（1分）设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有个．21．（1分）+++┉┉+=．22．（1分）当0＜x＜2时，=．23．（1分）已知方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，那么m为．24．（1分）已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，那么a+b+c+d=．25．（1分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接）26．（1分）如果x﹣y=+1，y﹣z=﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx=．27．（1分）若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．28．（1分）如图，B、C、D在同一条直线上，且AB=BC=AC，CD=DE=EC，若BM：ME=r，则DN：NA=．29．（1分）设方程x2﹣y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=．30．（1分）若，x+=3，则=．1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分）1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜1 C．D．【解答】解：A、如果a＜b＜0，则；故不成立；B、ab＞1，故不成立；C、，故不成立；D、不等式成立的是．故选：D．2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④一定没有意义．其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：1的平方根是1或﹣1，故①正确．﹣1的立方根是﹣1，所以负数有立方根，故②错误．无限循环小数是有理数，所以③正确．当a≤0④中的根式有意义．所以①③两项正确．故选：B．3．（1分）已知8个数：，，0.236，，3.1416，﹣π，，，其中无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：=、=﹣1、﹣π，这三个数是无理数，、0.236、3.1416、=﹣、=8这五个数都是有理数，故选：A．4．（1分）若A=，A的算术平方根是（）A．a2+3 B．（a2+3）2C．（a2+9）2D．a2+9【解答】解：∵a2≥0，∴a2+9＞0，∴A==（a2+9）2，∵==a2+9，∴A的算术平方根是a2+9．故选：D．5．（1分）下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（）A．1，2，3 B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c D．1，m，n，其中1＜m＜n【解答】解：A、∵1+2=3，∴1，2，3不能构成三角形，故此选项错误；B、∵（a+1）+（a+2）=2a+3＞a+3，a+3﹣a﹣2=1＜a+1（a＞0），∴a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，故此选项正确；C、例如：5+1＞2，而1+2＜5，∴以a，b，c，其中a+b＞c为边的不一定能够成直角三角形；D、例如：m=2，n=3，∵1+2=3，∴以1，m，n（1＜m＜n）为边不一定能构成三角形．故选：B．6．（1分）方程x2+|x|﹣6=0的最大根与最小根的差是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：原方程化为（|x|+3）（|x|﹣2）=0，解得|x|=﹣3，或|x|=2．但应舍去|x|=﹣3．=±2．故由|x|=2得：x1，2则x1﹣x2=4．故选：C．7．（1分）等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（）A．50°，50°，80°B．50°，50°，80°或130°，25°，25°C．50°，65°，65°D．50°，50°，80°或50°，65°，65°【解答】解：∵等腰三角形的某个内角的外角是130°∴等腰三角形的这个内角是50°①若50°的角是底角，则三个内角是50°，50°，80°；②若50°的角是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．故选：D．8．（1分）如果x+y=，x﹣y=，那么xy的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵（x+y）2=，（x﹣y）2=∴4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=﹣（）=12（）∴xy=．故选：B．9．（1分）如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A错，B错，C对，D错．故选C．10．（1分）已知﹣＜x＜1，将化简得（）A．3﹣3x B．3+3x C．5+x D．5﹣x【解答】解：∵﹣＜x＜1，∴2x+1＞0，x﹣1＜0，∴x﹣4＜0，∴原式=|2x+1﹣（4﹣x）|=|3x﹣3|=3﹣3x．故选：A．11．（1分）如图，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：①∵AB=AC，G是三角形的重心，∴AD=AE，∠BAF=∠CAF，∵AG=AG，∴△AGD≌△AGE；②∴DG=EG，∵BD=EC，∠DGB=∠EGC，∴△DGB≌△EGC；③∴BG=CG，∵BF=CF，GF=GF，∴△BGF≌△CGF；④∵AB=AC，AG=AG，BG=CG，∴△AGB≌△AGC；⑤∵AB=AC，AF=AF，BF=CF，∴△AFB≌△AFC；⑥∵BE=CD，AD=AE，AB=AC，∴△AEB≌△ADC；⑦∵BD=CE，BE=CD，BC=BC，∴△DBC≌△ECB．故选：C．12．（1分）关于x的一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，则k的最小整数是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．5【解答】解：∵一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×6（k﹣4）＜0，解得k＞．k最小整数=5．故选D．13．（1分）对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设三个连续自然数为k、k+1、k+2（k＞1），则k+（k+1）+（k+2）=3（k+1），故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除．又∵以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，显然不能被2、4整除，∴①，④错误．∵以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，∴②错误．正确的结论是③．故选：A．14．（1分）若方程9x2﹣6（a+1）x+a2﹣3=0的两根之积等于1，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△=36（a+1）2﹣4×9×（a2﹣3）=36（2a+4）≥0∴a≥﹣2．∵x1•x2==1∴a2=12∴a1=2，a2=﹣2（舍去）故选：B．15．（1分）有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是（）A．①，②B．②，③C．③，④D．②，④【解答】解：①此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，故错误；②正确，两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形是全等三角形，故正确．③不正确，举一反例说明，如图：在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC 与△ABC1显然是不全等的；④正确，可举一例说明，如图：在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的．所以正确的是②④．故选：D．二、填空题（共15小题，每小题1分，满分15分）16．（1分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是65．【解答】解：∵自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，又∵1002=10000，92=81，∴这个自然数只能是两位数，∵个位数字是5，∴这个自然数的个位数字也为5，∵602=3600，802=6400，∴它的十位数字可能是6或7，∵752=5625，652=4225，∴它的十位数字是6，∴这个数为65．故答案为：65．17．（1分）实数x满足x+=10，则的值为6．【解答】解：∵x+=10，∴5x+16=（10﹣x）2，经整理得x2﹣25x+84=0，解得x=4或21，经检验x=4是方程的根，故=6．故答案为6．18．（1分）设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=1993．【解答】解：∵195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5与200分别相差﹣4.5，﹣3.5，﹣2.5，﹣1.5，﹣0.5，0，+0.5，+1，+1.5，+2.5，∵[（﹣4.5）+（﹣3.5）+（﹣2.5）+（﹣1.5）+（﹣0.5）+0+0.5+1+1.5+2.5]÷10=﹣0.7，∴A=200﹣0.7=199.3，则10A=1993．故答案为：1993．19．（1分）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=．【解答】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0，即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0，因为x，y均是实数，∴x﹣3y=0，x﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为．20．（1分）设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有5个．【解答】解：∵a+b+c=13∴a+b=13﹣c∵a+b＞c∴13﹣c＞c∴c＜∵a+b+c=13∴c可取的值为5，6∴三边可能的取值为：∴以a，b，c为三边的三角形共有5种．21．（1分）+++┉┉+=9．【解答】解：原式=﹣1++┉┉+﹣=﹣1+=9．22．（1分）当0＜x＜2时，=．【解答】解：原式=+=+=+∵0＜x＜2，∴x+2＞0，x﹣2＜0，上式去掉绝对值符号得：+===．故答案是：．23．（1分）已知方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，那么m为任何实数．【解答】解：∵方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，∴△＜0，而△=（2m+1）2﹣4（m2+m+1）=﹣3，即无论m取何实数，△总是小于0．所以m的取值范围为：任何实数．故答案为任何实数．24．（1分）已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，那么a+b+c+d=0．【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，∵|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，∴﹣a﹣1=b+1，1﹣c=d﹣1，整理得：a+b=﹣2，c+d=2，则a+b+c+d=0．故答案为：025．（1分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC＜DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接）【解答】解：在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，∵∠GAD=∠CAD，AD是公共边，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴AG=AC，DG=DC，∴DB+DC=DB+DG，又∵DB+DG＞BG，BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．故答案为：＜．26．（1分）如果x﹣y=+1，y﹣z=﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx=7．【解答】解：∵x﹣y=+1①，y﹣z=﹣1②，∴x﹣z=2③，则①2+②2+③2=（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2=（+1）2+（﹣1）2+（2）2=14，即2（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣yx）=14，∴x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣yx=7．故答案为：7．27．（1分）若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．28．（1分）如图，B、C、D在同一条直线上，且AB=BC=AC，CD=DE=EC，若BM：ME=r，则DN：NA=1：r．【解答】解：AB=BC=AC，CD=DE=EC，△ABC、△CDE是等边三角形，AB∥CE，AC∥DE，△ABM∽△CEM，AB：CE=BM：ME=r，同理AC∥DE，△ACN∽△DEN，AN：DN=AC：DE，∵AB=AC，DE=EC，∴AN：DN=AB：CE=r，∴DN：NA=1：r．29．（1分）设方程x2﹣y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=993012．【解答】由方程可知（x+y）（x﹣y）=1993×1，可得或或或，解得或或或．∴|αβ|=997×996=993012．30．（1分）若，x+=3，则=．【解答】解：∵x+=3，∴（x+）2=9，即x2+=7，∴（x2+）2=49，∴x4+=47，（x+）3=27，∴x3++3（x2•+•x）=27，即x3+=18，∴==．故答案为：．。

八年级数学竞赛试题一．精心选一选（本题共10小题，每题3分，共30分．请把你认为正确结论的代号填入下面表格中）1．16的算术平方根是 （ ）A ． 2B ． ±2C ．4D ． ±42．在实数23-，0，34，π，9中，无理数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ ）4．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）A ．30oB ．50oC ．90oD ．100o5．如果实数y 、x 满足y=111+-+-x x ，那么3y x +的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-2 6．与三角形三个顶点的距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使 △AB C ≌△AED 的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（ ）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．A CA ′B ′′ （第4题） 50o30ol 第7题图12C AE DA ．211 B ．1.4 C ．3 D ．29．如图，在直角坐标系xoy 中，△ABC 关于直线y =1成轴对称，已知点A 坐标是（4，4），则点B 的坐标是 （ ）A ．（4，－4）B ．（4，－2）C ．（－2，4）D ．（－4，2）10．一个正方体的体积是99，估计它的棱长的大小在 （ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果） 11．计算︱2-3︱+２2的结果是 ．12．若25x 2=36，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．13．点P 关于x 轴对称的点是（3，–4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是 ．14．如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）． 15．等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的顶角应该为 ．16．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：n ＝（用含三．计算题（计算要认真仔细，善于思考！本大题有3个小题，共24分） 17．（8分）计算 ()32281442⨯+--）（第16题DO CBA第14题图18．（8分）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222)(b a b a -+-19．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．四．解答题（本大题有3个小题，共26分） 20．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ，B 选项SSA 不能判定全等；C 明显不是判定全等的条件，D 项正确，选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=，得ky k x -+-=-+=122121，，∵交点为整点，∴k 可取1-，0，2，3，共计4个不同的值，故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++，故选D .4、【解析】解不等式2|1|＞+x ，得1＞x 或3-＜x ；解不等式)0(||≥≤a a x ，得a x a ≤≤-，∵它们的解集没有公共部分，∴1≤a 且3-≥-a ，∴10≤≤a ，故选A .5、【解析】解不等式组，得5＜x 且21m x -＞，∵要满足不等式组只有四个整数解，∴需要满足以下关系：1210＜m -≤，解得11≤-m ＜，故选C .6、【解析】∵ED AE =，∴A EDA ∠=∠，∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2；∵DB ED =，∴A DEB DBE ∠=∠=∠2，∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3；∵CD BC =，∴A CBD CDB ∠=∠=∠3，∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5；∵AC AB =，∴A ABC C ∠=∠=∠5，∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ，∴11180︒=∠A ，故选D .7、【解析】当0=n 时，4205==A ；当1=n 时，44411==A ；当2=n 时，47619==A ；当3=n 时，411629==A ……，要使得p A +的平方根是有理数，需满足p A +是一个平方数，观察发现，有且仅有各项的分子加上5，就使各数均成为平方数，故45=p ，答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯，63)42(504=⨯÷，∴动点p 回到A 点；∵7251820151⋯=÷⨯，即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点，故选D .9、【解析】不妨从1开始，取1，2，3，5，8，13共六个数，其中没有任何3条线段可以构成三角形，如果往其中加入任意一个141-的其它数，那么必有3可以构成一个三角形；故n 最小可取值为7，选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ，)00(＞，＞k a ，则ak BC BC a OB 2'===，，设'AA 的中点为D ，延长'AA 交'BC 于E ；∵A 点在xy 1=上，∴1=⋅DO AD ；易证CBO Rt ODA Rt △∽△，∴有22a k OB BC AD DO ==，∴222ak DO =，∴a k DO =，k a D A AD =='，∴k a a D A OB E A -=-=''，a k a OB AD AE +=+=，a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=，ak a k EB BC EC -=-=2''；∴10'=+ECA AEC S S △△，即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ，整理得20222=+k ，∴92=k ，∵0＞k ，∴3=k ，∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△，故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1＞ab ，1＞bc ，1＞ca ，∴1)(2＞abc ，∴1＞abc 或1-＜abc ，∴1)(2016＞abc A =，故1＞A .12、【解析】∵A ，B 关于原点对称，∴21x x -=，21y y -=，∴221221253y x y x y x =-；∵422=y x ，∴8222=y x ，即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ，∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ，解得⎩⎨⎧==32y x ，∵无论k 取何值，当32==y x ，时，关于x 的一次函数的值恒为零，∴不论k 取何值，关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(，.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211，原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意，三角形三边长可以有以下情形：16153，，，16144，，，15145，，，16135，，，15136，，，16126，，，14137，，，15127，，，16117，，，14128，，，15118，，，16108，，，13129，，，14119，，15109，，，131110，，，故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ，∵31131=+-=+a ，33663)113324()1(222-=++--=+-a a ，∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ，∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△，∴1==CE FE ，∴2222=-==AE AF AE BE ，∴122+=+=CE AE AC ，∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷，617)32(22⋯=÷+，147)432(222⋯=÷++，577)5432(2222⋯=÷+++，6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++，297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++，∵62877)12016(⋯=÷-，∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ，b ，根据题意有16=+b a ，14422=+b a ，∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ，∴y y x x ++=-+2016201622，∴y x -=，∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图，易证BEC Rt ADB Rt △≌△，∴2==AD BE ，1==DB EC ，∴)25(，C ；∴)25(')32('--，，，C A ，设直线''C A 的解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ，∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(；边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ，解得241-=a ，125=b ，∴83=+b a ，∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ，∴①222c b a =+，∵0111=+--ba b a ，∴②ab a b =-22，②①+得③ab c b +=222，①②-得④ab c a -=222；④③⨯得2222245210(b a b a =-+，∴252+=ab 或252--=ab 舍去，将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去；∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图，将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △，连接AM ，MN ，则EN CM =，∵ND MD =，︒=∠60MDN ，∴MDN △是等边三角形，∴MN MD =；∵CM 与AM 关于BD 对称，∴CM AM =，∴当E 、N 、M 、A 共线时，AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小)，此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ，作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ，则︒=∠90F ，由旋转可得︒=∠60CDE ，2==ED CD ，∴︒=︒-︒=∠306090EDF ，∴在DEF Rt △中，2221==DE FE ，∴2622=-=EF DE DF ，∴262+=+=DF AD AF ；∴AEF Rt △中，22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为：13+，︒60.。

第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛校名 _______________ 班次 ______ 姓名 ___________ 辅导教师 ____________ 成绩 _______ 一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

题号 1 23 4 5 678910共得分答案1一2 + 3-4 + ・——14 + 15— 2 + 4 —6 + 8—…+ 28 —30等于2、已知兀=3是不等式mx + 2<l-4m 的一个解，如果加是整数，那么加的最大值是3、 一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9,这样的两位 数中，质数有A. 1个B. 3个C. 5个D. 6个4、 有三组数兀I ，兀2，兀3； yp $2，『3； Zi ，Z2，Z3，它们的平均数分別是d ，b, C,那么兀| + 戸―Z1，也+力―Z2，乃+旳―Z3的平均数是a+b+c 、 a+b-c 小 >亠一 ，、A. --------------B. -------------------------- C ・ a+ b-cD. 3(d + b-c)3 35、 己矢II A = ―— H — -- 1— ------ 1 ---- 1— ---- , 则 A 与］的大小关系是 23 23 + 1 23 + 2 24 -1A. 4>1B. A=\C. A < \ D ・无法确定的 6、Given in the /\ABC . a, b, c are three sides of the triangle, and —=——I, then ZA is a b c A. acute angle C. obtues angleD. acute angle or obtues angle（英汉词典 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）7、如图1,点D 是△ABC 的边BC±一点，如果AB=AD=2. AC=4,9、某人月初心元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加牛即使他每月 末都取III 1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么兀的值是2005年3月20日 上午8 ： 30至10 : 00A. B.--D.A. -1B. 0C. 1D. —2B. right angleWBD : DC=2 : 3,则△ABC 是A.锐角三角形 C.钝角三角形 8> 己知 a <b<c<0,则—^― b + ca b cA ・ ------- < -------- < --------b +c c +d a + bB. ft 角三角形D.锐角三角形或直角三角形 的大小关系是a+bB. a c b --- <----- < ----- h+c a+b c+ac+a b+c a+b cba---- < ------ + — a+b c+a b + 图1D.A- 9000 B. 1000010、判断下列命题的真假：C. 11000D. 11100甲：在边长为1的正三如形屮（包括边界）乙：在边长为1, 一个内角为60°的菱形中的任意四个点，必有两点踽离不人冷（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不人于丄.2那么正确的结论是A.甲真乙真B.甲真乙假C.甲假乙真D.甲假乙假二、A组填空题（每小题4分，共40分。

2010年（第21届）“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）【解析】B ．因B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．故选B2．若230a a ≥≥，则（ ）AB ．1a ≥D ．01a <<【解析1】B ．（特殊值法）令0a =，则230a a ===；令110a =，则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤≤事实上，当0a =或1a ==；当01a <<1132,a a ==如图所示，xy a =（01a <<）在实数集R 上是减函数，∵1123>，∴1132a a <故选B.3有意义，则x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ≤，且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ≤，且2009x ≠-【解析】B ．由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得2010x ≤，且2009x ≠±．故选B.4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】C ．()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，同理4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，同理3a b ==． 综上，这样的等腰三角形有3个．故选C.5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（ ） A ．任意的四边形 B．两条对角线等长的四边形 C ．矩形 D ．平行四边形【解析】B．因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．故选B6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则 （ ）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析1】（特殊值法）如令14a b c d====，则4p ==>=， 25P =>=，排除C 【解析2】A ．因01a <<，故23a a a >>，于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是，根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=．即5p >,故选A.7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（ ）A ．b c a a >B ．0b a c ->C ．22b ac c> D ．0a c ac -<(英汉词典：be sure to 确定；correct 正确的；inequality 不等式) 【解析】C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <，于是∵b c >，0a >，∴b c a a>； ∵b a <，0c <，∴0b a c ->；∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立． 8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】A ．以A 区为原点，从A 区往C 区方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-，由绝对值函数的性质易知在图10x =处，该函数值最小．事实上，554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩，显然，当0x =时，min 4500S =9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时，AD BD =,满足题意，此时，ABC △是等腰三角形；当AC BC ≠时，若ABC △是直角三角形，则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意，故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D ．∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =， ∴cos sin cos sin A BB A=，于是sin 2sin 2A B =，∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（ ） A ．32秒 B ．38秒 C ．42秒 D ．48秒【解析1】C ．设自动扶梯的速度为a /米秒，人行走的速度为b /米秒，则24()56a b a +=，解得43b a =，56564243a a tb a ===（秒）.【解析2】C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）． 【解析3】C ．（可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（秒））. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】②．由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-；③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-；④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-．故填②12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”） 【解析1】=．（特殊值法）如令12b =，则2,1,2a c d ==-=，于是a d =【解析2】=．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=：1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】2-．222510111x x x x ++=--+，()()225110x x x +++-=，22640x x ++=，2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析1】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=，即12324k k -=，由于12,k k 均为非负整数， 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时，2k 的最小值为1，此时350x =，乙跑了400350750+=（米）． 【解析2】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，设甲已跑了x 个整圈，则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数，故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=（米）. 15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________． 【解析】12310(或填12.3)．①当421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾； ②1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾；③当42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==.16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________． 【解析1】8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =--，于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-．294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析1】5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．【解析2】5．()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，线段5955(19)444x y x --=-=（019x ≤≤） 要求整点，只需19x -是4的倍数，于是190,4,8,12,16x -=，故线段AB 上共有5个整点： (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析1】0． 原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得，23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时，23141a x a ->+ ，故只需231141a a -=-+，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________． 【解析1】4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解， 即2a =-或1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950． 【解析1】4950．原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950． 20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）【解析】990．因()()218800811b a c k ++++-++++=，即11()11b a c k +--=，（k 为整数） ∴b a c --能整除11，∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，9abc bc ≤，此时9b c --能整除11， ∴0b a c --=，即b a c =+，三位数abc 最大是990．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】6，3．设长和宽分别为x 、y ，不妨设x y >则()2x y xy +=，即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数，而x y >，∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩，于是长和宽分别为6和3．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析1】196x =-；83x =-，原方程可化为 []673x x +=，设673x t +=，（t 为整数）376t x -=，于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由37016t t -≤-<，解得13733t -<≤-，又t 为整数 4t =-或3t =-，即6743x +=-或6733x +=-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解．【解析2】196x =-；83x =-．∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+≤-，∴67x +=12-或9-，解得196x =-或83x =-． 经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解． 23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisectsDAB ∠，and 21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line ABis______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）【解析1】8；17．如图1，过D 作DF AC ⊥，交AB 于E ，交AC 于F ，连接CE ，过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =，=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=，6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =． 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==．【解析2】8；17．如图2，在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=，12BE AB AE =-=，6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =．9615AF AE EF =+=+=,17AC =．【解析3】8；17．如图3，过C 作CE AB ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =，于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =，则219x x -=+，解得6x =，即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=，依题意得其判别式3613016k ∆=-=，解得36148k =． 事实上，反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时，k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC （直线BC 的方程为31944y x =-+）与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得，此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=，其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点（由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=，其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得）并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】23；1．可由正四边形，正五边形，正六边形等归纳出正n 边形的一般规律：设正n 边形的面积为n S . （1）对于正四边形0123A A A A ：共有4(43)22⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有4个：012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有1个：0123A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个，其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. （2）对于正五边形01234A A A A A ：共有5(53)52⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有5个：012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有5个：四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有1个01234A A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个，其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. （3）对于正六边形012345A A A A A A ：共有6(63)92⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有6个：012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有6个：四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有6个01234A A A A A ， 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形（凸多边形）有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ，则正n 边形的对角线共有()132n n -条，由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个，它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值max 23n =，此时正n 边形的面积是1．。

希望杯第一届〔1990年〕初中二年级第一试试题一、选择题:〔每题1分，共10分〕1．一个角等于它余角5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2平方平方根是 ( )A ．2.B ． 2.C ．±2.D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,假设AB=π27那么以下式子成立是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们交点最多有( )A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-立方根是[ ]〔A 〕12-. 〔B 〕21-.〔C 〕)12(-±. 〔D 〕12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9. 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定值， 那么这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x. 二、填空题〔每题1分，共10分〕 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-+4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，那么∠ABC 度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,那么∠COD 度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 平分线与∠B 平分线交于O 点，那么∠AOB 度数是______度．7．计算下面图形面积〔长度单位都是厘米〕〔见图4〕.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它正根个数是______个．9．x，y，z适合方程组那么1989x-y+25z=______．10．3x2+4x-7=0，那么6x4+11x3-7x2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．应选(B)．2．因为2平方是4，4平方根有2个，就是±2．应选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．应选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C ＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，应选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定值，就是说：不管x，y取何值，原式值不变．于是以x=y=0代入，得：应选(B)．应选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC度数是120度．5．∠COD度数一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得：x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届〔1990〕第二试试题一、选择题:〔每题1分，共5分〕1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3两局部，那么这个三角形底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.P=2)+⨯⨯⨯，那么P值是[ ]1988-+198919891(19901991A．1987 B．1988. C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，那么[ ] A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,那么∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1正方形分割成面积相等四局部，使得在其中一局部内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1正三角形，满足上述性质分割[ ]A ．是不存在.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:〔每题1分，共5分〕1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 平分线与AB 交于L ，∠C 外角平分线与BA 延长线交于N ．CL=3，那么CN=______．2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++值是_____. 3． a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，那么c 取值范围是______． 4． ΔABC 中, ∠B=30053,三个两两互相外切圆全在△ABC 中，这三个圆面积之与最大值整数局部是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc ++++++值等于_________.三、解答题:〔每题5分，共15分〕1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们差是177．2．平面上有两个边长相等正方形ABCD与A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇顶点A＇在正方形ABCD中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形重合局部面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你判断．3．用1，9，9，0四个数码组成所有可能四位数中，每一个这样四位数与自然数n之与被7除余数都不为1，将所有满足上述条件自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．假设底边长为12．那么其他二边之与也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．应选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等四局部．在最外面一局部中显然可以找到三个点，组成边长大于1正三角形．如果三个圆换成任意封闭曲线，只要符合分成四局部面积相等，那么最外面局部中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1正三角形．应选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样组中，任一组内两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取178个数中，必有两个数，它们差是177．证法二从1到354自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b余数一样，也即至少有两个数a，b之差是177倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们差是177．2．如图9，重合局部面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC与△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形重合局部面积必然是一个定值．3．可能四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2, 9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．第二届〔1991年〕初中二年级第一试试题一、选择题:〔每题1分，共15分〕1．如图1，AB=8，AP=5，OB=6，那么OP长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．△ABC是等腰三角形，那么[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,那么a,b,c大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c≠b,那么[ ](1)BOB. C.6．x，y都是正整数，那么三边是x，y与10三角形有[ ] A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．两个角与组成角与这两个角差组成角互补，那么这两个角[ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它个位、十位上两个数之与3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．假设11个连续奇数与是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ]A．179; B．181; C．183; D．185>+[ ]1,A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0根情况是[ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根绝对值大C．一正根、一负根且负根绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里速度行走，另一半时间以每小时b公里速度行走；乙以每小时a公里速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里速度行走．假设a≠b时，那么[ ]到达N地．A．二人同时; B．甲先;C．乙先; D．假设a＞b时，甲先到达，假设a＜b时，乙先二、填空题:〔每题1分，共15分〕1．一个角补角减去这个角余角，所得角等于______度．2.有理化分母=______________.3.x=解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．假设方程x2+(k2-9)x+k+2=0两个实数根互为相反数，那么k值是______．6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式不同形式,那么a b+=__.c7．方程x2-y2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，那么∠B等于______度．(2) (3)(4)10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，与G，连结每两个点线段共可作出__条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上点，且AD=CE，BE与CD交于F，那么∠BFC等于__度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC中线，AE是△ABD角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，那么DF长为______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，那么BC边上中线AD长取值范围是______．14．等腰三角形一腰上高为10cm，这条高与底边夹角为45°，那么这个三角形面积是______．15．方程x2+px+q=0有两个不相等整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．应选(B)．3．∵有两条边相等三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5任何正整数，都可以与10作为三角形三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.那么(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．应选(D)．9．∵不管x为何实数，x2+|x|+1总是大于零．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．那么(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．应选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即(2x+1)(x4-10x2+1)=0．即x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而假设方程两根为x1，x2，那么有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，那么有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，那么甲走6小时，共走了9公里，这时乙走时间为从这个计算中，可以看到，a，b值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，那么有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，那么x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即(k2-9)2-4(k+2)＞0．显然k=3不适合上面不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，那么有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，〔因为BA就是AB〕，从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21〔条〕．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上高与底边夹角是45°，那么顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．那么x1+x2=-p①x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，假设q为奇数，那么x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之与为-2，且不相等，这是不可能．假设q为偶数〔只能是2〕，两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1与-2．∴方程根是-1与-2．希望杯第二届〔1991年〕初中二年级第二试试题一、选择题:〔每题1分，共10分〕1．如图29，B是线段AC上一点，M是线段AB中点，N为线段AC 中点，P为NA中点，Q为MA中点，那么MN∶PQ等于( ) A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n比是t(t＞1)．假设m+n=s，那么m，n中较小数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，那么a，b，c关系可以写成( )A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．那么∠BAE是∠BAC ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC底边BC上一点，那么AD，BD，CD 满足关系式( )A.AD2=BD2+CD2. B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2219 1()1010x x-=+实根个数为( )A．4 B．3. C．2 D．133x yy x-值为x2、y2值是( )2，y2 B. x2，y2;C. x2y2; D. x2y29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数个数为x，偶数个数为y，完全平方数个数为z，合数个数为u．那么x+y+z+u 值为( )A．17 B．15. C．13 D．1110．两个质数a，b，恰好是x整系数方程x2-21x+t=0两个根,那么b aa b+等于( )A.2213;B.5821;C.240249;D.36538. 二、填空题〔每题1分，共10分〕×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]平方根是______．4．边数为a ，b ，c 三个正多边形，假设在每个正多边形中取一个内角,其与为1800,那么111a b c++=_________.51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,那么正整数a=_______. 13升,再加上等量水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并参加等量水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并参加等量水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，那么四边形ABCD 面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++最小值整数局部是______.10．两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,那么a b=______. 三、解答题:〔每题5分，共10分，要求：写出完整推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整〕1.两个正数立方与是最小质数．求证：这两个数之与不大于2．2．一块四边形地〔如图33〕(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直．〔即两边都是直线〕但进水口EF宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．应选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．应选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA与△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．应选(D)．应选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取内角与才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC 中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理逆定理可△ADC 为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角四边形4个内角之与．∴与为360°．10．由条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．那么原题成为a3+b3=2，求证a+b≤2．证明〔反证法〕：假设a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b ≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即此题结论是正确．2．此题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO与FK，即得所求新渠．这时，HG=GM〔都等于OK〕，且OK∥AB，故△OHG面积与△KGM 面积一样．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH ，FG ．②过O 作EH 平行线交AB 于N ，过K 作FG 平行线交于AB 于M ． ③连结EN 与FM ，那么EN ，FM 就是新渠两条边界限． 又：EH ∥ON∴△EOH 面积=△FNH 面积．从而可知左半局部挖去与填出地一样多，同理，右半局部挖去与填出地也一样多．即新渠面积与原渠面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多〔∵要挖面积较大〕． 故应选第一种方法。