[理学]第6章数理统计的基本概念

Fn(x)=S(x) /n, -∞ <x<+∞
例1.设总体X有样本值x1=1,x2=2,x3=3,x4=2, 则X的经验分布函
数为
F4(x)
0, x<1; ¼, 1≤x<2; ¾, 2≤x<3;
1, x≥3
x x xx
h
6
一般，设样本值x1,x2,…,xn依次排列：
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n)
注1： 观察值用小写表示,记为 x,s2,s,ak,bk,x(1),x(n)
注2： S 2n 1 1i n 1(X iX )2 n 1 1 (i n 1X i2 n X 2)
h
12
统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常 用到如下三个分布：
χ2分布、 t 分布 和 F分布
（一）χ2分布
构造：设 X1, ,Xni~idN(0,1)，则
①同分布性 Xi 与总体X 同分布 ②独立性 X1 ,…,Xn 相互独立
(3)把（X1,…,Xn）的观察值 (x1,…,xn)为称为样本观察值(或样本值)
h
3
来自总体X的样本X1， … ，Xn可记为
iid
X 1, ,X n~X或 f(x),F (x),...
显然，样本联合分布函数或概率密度为
n
F*(x1,x2, ,xn) F(xi)
h
反映总体标准差的信息
10
3. 样本k阶(原点)矩
Ak
1 n
n i1
Xik
反映总体k阶矩E(Xk)的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i1
(Xi
X)k
反映总体k 阶中心矩E[(X-EX)k]的信息
h
11
4. 最小顺序统计量 最大顺序统计量
X(1)=min(X1,X2,…,Xn) X(n)=max(X1,X2,…,Xn)
2 X 1 2 X 2 2 . .X .n 2~2 (n )
称为自由度为 n 的χ2分布
注：若 X1,X2,,Xn 来自正态总体 N(,2)，则
2 12
n
(Xi )2~2(n)
i1
h
13
1. χ2分布的密度函数f(y)曲线
f(y)2n/21(n/2)
n1 y
y2 e 2,
y0
0,
y0
h
i1 n
或 f*(x1,x2, ,xn) f(xi) i1
h
4
3. 总体、样本、样本观察值的关系
总体
理论分布
样本
X1,X2, ,Xn
样本观察值
x1,x2, ,xn
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去 推断总体的情况——总体分布。
h
5
6.3 样本观察值的整理
经验分布函数
设X1,X2,…,Xn是总体F(x)的一个样本，S(x)是X1,X2,…,Xn中不大于x 的个数，定义经验分布函数为
第6章 数理统计的基本概念
第1章至第5章属于概率论范畴； 第6章至第9章属于数理统计范畴。 概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数学分支， 但两者研究角度不同。
概率论：从已知分布出发，研究r.v. X 的性质、规律、数字特征 等等——演绎 数理统计：X 的分布不知道或不完全知道，观察它的取值（采 集数据），通过分析数据来推断 X 服从什么分布或确定未知参 数——归纳
收集、整理数据
数理统计
统计推断
h
1
6.2 总体与样 本
1.总体：研究对象的全体（如：一批灯泡的寿命）
试验的全部可能的观察值
——通常指研究对象的某项数量指标
个体：组成总体的元素（如:某一个灯泡的寿命）
每个可能的观察值
有限总体 如：考察某大学大一2000名男生的身高 无限总体 如：测量一湖泊任一地点的深度
1 n
X n i1 X i
是统计量
S2 n11in1(Xi X)2
2
1 2
n
(Xi
i1
)2
不是统计量
h
9
几个常用的统计量 ：
1. 样本均值
1 n
X n i1 X i
反映总体均值E(X)的信息
2. 样本方差
S2n11in1(Xi X)2 反映总体方差D(X)的信息
样本标准差 S S2
总体对应一个r.v. X，笼统称总体X（或Y、Z大写表示）
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量
h
2
2.样本
(1)简单随机抽样 ①随机性:每个个体被抽到的机会均等 ②独立性:每次抽取后不改变总体的成分
(2)对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体： X1,X2,…,Xn，称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本。
n
E(2) E(Xi2)n 又 D(Xi2)=E(Xi4)-[E(Xi2)]2, 而 i1
E(Xi4)
x4
1 x2
1
e 2dx
2
2
(x3)dex22
1
2
(x3ex22)|
1
2
(3x2)ex22dx03E(Xi2)3
∴ D(Xi2)=2， D (2)nD (X i2)2n
h
16
4. 2 分布的分位点
14
2. χ2分布具有可加性
设
1 2~2(n 1),
2 2~2(n 2)且
2 1
,
2 2
相互独立，ຫໍສະໝຸດ 则 1 22 2~2(n1n2)
h
15
3. 2 分布的数字特征
E (2)n, D (2)2n
证： 2X 12X 22 X n 2 , X1,X2,…,Xn为N(0,1)的样本,
∴E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1,于是
则经验分布函数为
0,
Fn(x) k/ n,
1,
xx(1); x(k) xx(k1);
x(n) x.
定理 (格里汶科)
经验分布函数Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x):
P { ln i m s x u| F n p (x ) F (x )| 0 } 1
h
7
6.4 统计量与抽样分布
对
0 1,
若
2
(
n
)
满足
P {2 2(n)}
则称
2
(n
)为
2(n
)
的
分位数
例2. 0 2 .1 ( 2 0 ) 12.443 0 2 .7 5 ( 2 5 ) 29.339
当n>45, 有近似公式 2(n)12(u 2n1)2
例3.
2 0.9
5
(
5
0
)
0 .5 (1 .6 4 59 9)26 7 .2 2 0 6
h
17
（二）t 分布
构造：若 X~N(0, 1), Y~χ2(n), 且 X 与 Y 独立，则
定义：设(X1,… ,Xn )是来自总体X 的样本，称不含未 知参数的样本函数 g(X1,… ,Xn )为总体 X 的一个统计 量。
注: 统计量是一个一维随机变量， 统计量的分布称为抽样分布.
h
8
例1.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，X~N(,2),
且已知， 2 未知，问下列样本函数哪个是统计量？