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它反映了总体k阶原点 矩的信息
样本k阶原点矩：
样本k阶中心矩：
它反映了总体k阶 中心矩的信息
Ak
1 n
n i 1
X
k i
ak
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k=1,2,…
概率论与数理统计
§6.3 统计量
我们指出，若总体X的k阶原点矩存在且
E(Xk ) k , 由辛钦大数定律，
Ak
1 n
n i 1
2）如果总体X是连续型随机变量，其密度函数 为 f ( x)，则样本( X1, X 2,L , X n )的密度函数为：
f * x1, x2 , , xn f x1 f x2 f xn
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
例1 设电话交换台一小时内的呼唤次数X服从
泊松分布 , 0 ，求来自这一总体的简
• 写出零件质量的频率分布表并作直方图。
零件质量/
频数
236.5概～2率39.论5 与数理1统计
频率 0.01§6.2 直方图
239.5～242.5
5
0.05
由2244此25..55～～得2244到58..55 零件质199量的频率00..10分99 布表：
248.5～251.5
g24
n0.i24
fi
251.5～254.5
22
0.22
254.5～257.5
11
0.11
257.5～260.5
6
0.06
260.5～263.5
1
0.01
263.5～266.5
2
0.02
总计
100
1.00
概率论与数理统计
直方图如图6－2所示
§6.2 直方图
图6－2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
§6.3统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
Si
ti ti1
fi ti ti1
fi
i 1,2, , l .
l
l
所有小矩形的面积的和 Si fi 1.
这样作出的所有小矩形就i构1 成了i1直方图。
ti1 , ti fi P ti1 X ti i 1,2, , l
概率论与数理统计
§6.2 直方图
• 例1 测量100个某种机械零件的质量，得到 样本观测值如下（单位：g）
定理1（构造定理）
§6.3 抽样分布
设 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体X～ N (0,1)
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
定义1 设总体X具有分布函数F ( x), X 1 , X 2 , X n 是来自总体X的样本，若 X 1 , X 2 , X n 相互
独立,且每一个X k与X有相同的分布,则称 X 1 , X 2 , X n 为简单的随机样本，简称样本。
概率论与数理统计
数理统计
从本章起转入课程的第二部分 数理统计
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它
以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数 据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性 作出种种合理的估计和判断．
由于学时有限，课程的的这部分内容我 们只介绍理论部分，即抽样分布。至于具体 的方法,学生可以自己推导并学会处理问题。
单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的分布函数。
例2 设某种电灯泡的寿命X服从指数分布，求 来自这一总体的简单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的联合概率密度。
概率论与数理统计
二、经验分布函数
§6.1 基本概念
中观抽测取值设容总量体为x的1n 分的布样x函本2 数，F得…x到 nP个X样xl本x ，观从测总总计值体， 若频样本数容量nn较1 大，n则2 相同的…n观测n值l 可能n重复
抽样分布就是通常的随机向量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良 性，完全取决于其抽样分布的性质.
抽样分布 精确抽样分布（小样本问题中使用） 渐近分布 （大样本（n≥50）问题中使用)
概率论与数理统计
§6.3 抽样分布
一、三个重要分布
1. 2分布
简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样 本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
设 概率论与数是理来统自计总体X的样本§，6.1 基本概念
3. 样本的分布
(X1, X2, , Xn )
1）如果总体X是离散型随机变量，其分布律为：
PX x p( x，) 则样本 ( X1, X 2,L , X n )的分布律为： p* x1 , x2 , , xn px1 px2 pxn
样本的双重含义：泛指容量为n抽样 X 1 , X 2 , , X n
n维随机向量；指某次具体抽样结果 x1 , x2 , , xn
是一个n维向量,称为样本的一个观测值。
最常用的一种抽样方法叫作“简单n 随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总 体有相同的分布.
出频现若率干次，f1为此，f2应当把…这些观f测l 值整1理，
并其写中出下x1面 的x样2 本频 率xl分 布l表 n：
fi
ni n
i 1,2, , l
l
ni n
i1
l
fi 1
i1
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
0
定义1设函数
Fn
x
fi
xi x
1
x x1 xi x xi1
(4) Fn x 在每个观测值 xi处是右连续的,点 xi 是 Fn x 的跳跃间断点，Fn x 在该点的跃度就等于
频率 fi
样本分布函数Fn x 的图形如图6-1所示
图6-1
时二，数、通理直常统方需计图要中作研出究样连本续的随频机率变直量方X的图样（本简分称布直 方图），作直方图的步骤如下：
1.取 x1* minx1 , x2 , , xn , xn* maxx1 , x2 , , xn
x xl i 1, 2,L l 1
其中和式 是对小于或等于x的一切 xi 的 xi x
频率 fi求和，则称Fn x 为经验分布函数（样本
分布函数）。
易知样本分布函数 Fn x具有下列性质： (1)0 Fn x 1 (2) Fn x 是非减函数
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
(3) Fn 0, Fn 1
概率论与数理统计
§6.3 统计量
几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
样本均值：
X
1 n
n
Xk
k 1
它反映了总体方差 的信息
样本方差：
S2
1 n 1
n k 1
(Xk
X
)2
样本标准差：S
1 n1
n
(Xk
k 1
X )2
未修正样本方差：
S
2 0
1 n
n
(Xk
k 1
X )2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
为此，我们就考虑与这一指
标相联系的随机试验，对这一指
标进行实验观察，我们将试验或
观察的所有可能的观测值称为总
…
体,每一个观测值称为个体
研究某批灯泡的寿命(X)
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
§6.1 基本概念
1.考察我校一年级男生（1000人）的身高(m)。
总体 {11.4734,14.726,41.746,4L3 }
定义1 如果随机变量X的概率密度为
f
(x)
1
2
n 2
n
n 1 x
x2 e 2
2
x0
0
x0
则称X服从自由度为 n的 2分布.记为 X ~ 2 (n).
概率论与数理统计
概率密度图形的示意图
y
§6.3抽样分布
n=2 n=6 n=10
x o
可以将绿色的曲线视为 2 (n)概率密度的代表图形
概率论与数理统计
样本容量为5
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
样本是随机向量 X 1 , X 2 , , X n .
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的
数 x1 , x2 , , xn ,称为样本的一次观察值，简称样
本观测值 .
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它 把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.
