2015届高考数学(二轮复习)专题检测：坐标系与参数方程

一、选择题1．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin 20°＋1，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角为( ) A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°【解析】 ∵x ＝t sin 20°＋1，y ＝－t cos 20°，∴y x －1＝－t cos 20°t sin 20°＝－cos 20°sin 20°＝tan 110°.∴α＝110°.【答案】 C2．点(2，π6)关于极点的对称点的坐标是( )A ．(－2，－π6)B ．(－2，π6)C ．(2，－π6)D ．(2，7π6)【解析】 点(2，π6)关于极点的对称点为(2，7π6)．故选D.【答案】 D3．(预测题)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－cos θ，y ＝－sin θ(θ为参数，且0≤θ≤π2)所表示的曲线的弧长为( )A ．2πB ．πC.π2D.3π2【解析】 由0≤θ≤π2知方程表示的曲线为(x －2)2＋y 2＝1.(1≤x ≤2，－1≤y ≤0)为14个圆，其半径为1，则其弧长为14×2π×1＝π2.【答案】 C4．(2014·江西南昌一模)已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1，(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－6cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为( )A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．3 2【解析】 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－6x ，即(x＋3)2＋y 2＝32，圆心C 的坐标为(－3,0)，所以它到直线l 的距离为|－3＋1|12＋(－1)2＝ 2.【答案】 B5．已知圆⎩⎨⎧x ＝3＋3 3cos φy ＝3 3sin φ(φ为参数，且φ∈[0,2π))被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)所截得的劣弧的长为( )A ．3π B.3π C ．3 3π D.6π 【解析】 由题意两圆相交，得⎩⎨⎧3＋3 3cos φ＝3cos θ，3 3sin φ＝3sin θ.两边平方相加消去θ，化简得cos φ＝－32. 又φ∈[0,2π)．∴φ1＝5π6，φ2＝7π6.如图∠MO 1N ＝φ2－φ1＝π3.又∵大圆半径为3 3，∴大圆被小圆所截劣弧长为3 3×π3＝3π.【答案】 B 二、填空题6．(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．【解析】 由题意知直线l 过C 的圆心，直线l 的方程为y －1＝x －2，即x ＝1＋y ， ∴ρcos θ＝1＋ρsin θ，∴ρcos θ－ρsin θ＝1. 【答案】 ρcos θ－ρsin θ＝17．(2014·湖北高考)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3，消去t 得x ＝3y ，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，x ＝3y ，解得x ＝3，y ＝1. 【答案】 (3，1) 8．(2014·湖北武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θy ＝1＋sin 2θ(θ为参数)有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 直线的直角坐标方程为2x －y －a ＝0，曲线的普通方程为x 2＝y (－2≤x ≤2)，画出图象分析，a 的取值范围是0≤a ＜12.【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，12 三、解答题9．(2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，∴2x －y －2a ＝0.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，∴x 2＋y 2＝16.∴直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5. 10．(2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解】 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )， 依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝2y 1， 由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝12x ＋y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。

选修4－4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系(对应学生用书(理)192～194页)1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标． 解：⎝⎛⎭⎫2，2k π＋2π3(k ∈Z )都是极坐标．2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝⎛⎭⎫12，0和⎝⎛⎭⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M (ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n ∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n ∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP·AC ＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P (ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程．解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2×2×2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点， 所以圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)． 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2×1×1×cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3·ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝ 3.备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013·安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程． 解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求|CP|.解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013·上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴ 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013·北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π或⎝⎛⎭⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编坐标系与参数方程1、（东莞市2015届高三）在极坐标系中，直线被曲线C ：＝2所截得弦的中点的极坐标为＿＿＿＿＿2、（佛山市2015届高三）在极坐标系中,曲线1C :)sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______3、（广州市2015届高三）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______4、（惠州市2015届高三）在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆4ρ=截得的弦长为___________ 5、（清远市2015届高三）在极坐标系中，点A （2，6π）与曲线()3R πθρ=∈上的点的最短距离为＿＿＿＿＿ 6、（汕头市2015届高三）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩恒谦网（参数R t ∈），圆的参数方程为2cos 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)0,2θπ∈），则圆心到直线l 的距离为7、（汕尾市2015届高三）已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为3πθ=，则圆心到直线l 的距离等于8、（韶关市2015届高三）在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心到直线6πθ=()R ρ∈的距离是＿＿＿ 9、（深圳市2015届高三）在极坐标系中，点)3,2(π到直线3cos =θρ的距离等于10、（湛江市2015年高考模拟一）11、（珠海市2015届高三）在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与sin cos 2ρθρθ-=相交于点A 、B 两点，则AB =______参考答案1、)43,2(π2、23、sin()42πρθ+=4、、16、225 7、1 9、2 10、211。

高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．直线l 的参数方程是x=1+2t()y=2-t t R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量是d可以是 【答】（C ）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.（汇编年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)3．直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.（汇编上海理，10）评卷人得分三、解答题4．【题文】[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．【结束】5．在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.6．求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.7．已知某圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos(θ－4π)＋6=0． （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．9．从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=.(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．(为参数)3．（）解析：①代入②得y ＝1－2x22x2＋y ＝1解方程得：∴交点坐标为（） 解析：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 评卷人得分三、解答题①②4． 5．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为413-=，即235a =+，因为0a >，所以152a =-. ………………………………………10分6． 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；……4分22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -= ,…… 6分 223203202(1)d ⨯--==+-，…… 8分即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.…… 10分7．解：（1）x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0；22cos 22sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩6分（2）x ＋y ＝4＋2sin （4πα+） 最大值6，最小值 2 4分8．()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 9．(坐标与参数方程)(Ⅰ)设动点P 的坐标为(,)ρθ,M 的坐标为0(,)ρθ, 则0012.cos 4,3cos ρρρθρθ==∴=即为所求的轨迹方程.…………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P 的轨迹是以(0,23)为圆心，半径为23的圆，易得RP 的最小值为1.……(10分)。

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程（p—1）（0—n 0（p> 0）表示的图形是（）A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线［答案］C［解析］原方程等价于尸1或0= n前者是半径为1的圆，后者是一条射线.n（理）（2013北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, 6）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A . p sin 0= 1 B. psin 0= 3C. pcos 0= 1 D . p cos 0= . 3［答案］A［解析］点P（2, n的直角坐标为（3,1）,•••所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k= 0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin 0= 1,故选A.2 .（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x= 1 + 2t,y= 2 +1.（t为参数）被圆p= 3截得的弦长为（）12A飞B敖C."5［答案］B［解析］2 2圆的直角坐标方程为x + y = 9,直线的参数方程化为普通方程为x—2y+ 3 = 0,则圆心（0,0）到直线的距离d= ；•所以弦长为2；32—d2=十5（理）已知点2l x= 4t ,P（3, m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|=（）A . 1B. 2C. 3 D . 4［答案］D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为y2= 4x,则焦点F（1,0），准线方程为x=—1,又P(3, m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|= 3 —(-1) = 4.［x= 2+ t,3.(文)(2013北京海淀期末)已知直线I:l y=—2—t 数)，则直线I的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为n nA. 7, (1,0)B.7, (—1,0)4 4c.35, (1,0) D^, (—1,0)［答案］c［解析］•••直线I的普通方程为x+ y= 0,3 n•••直线l的倾斜角为宁4又•••圆C的普通方程为(x—1)2+ y2= 4 ,•圆心坐标为(1,0),故选C.x= —1 + 2t ,x = 2cos 0+ 1 ,(t为参数)与圆C :彳(0为参|y = 2sin 0)l y=—1 —tx= 1 + 3cos 0,(t为参数)被曲线U1 + 3sin0 (0为参数，0€ R)所截,则截得的弦的长度是( )A ―^―5c 3/22B. 5D . 6迄［答案］Bx=—1+ 2t ,［解析］••x+ 2y+ 3= 0. [y= - 1 -1 ,x= 1 + 3cos 0 ,•叫••(x—1)2+ (y—1)2= 9 ,(理)(2013山西太原测评)若直线7= 1 + 3sin 0,•圆心(1,1)到直线x + 2y+ 3= 0的距离|1 + 2 + 3| ^5 d=.5 =亏，弦长为2- 32—6552=晋,故选B.x= 1 + 3t ,4 .若直线的参数方程为' 厂(t为参数),则直线的倾斜角为()■y = 2—3t.A .30 °B .60 °［答案］直线的倾斜角为150° n5.（文）在极坐标系中，过点（2, 3）且与极轴平行的直线的方程是 （ ）A . p os 0= ■ _ 3B . p in 0= . 3C . p= _ 3cos 0D .尸：：：; 3sin 0［答案］B［解析］设P （p, 0是所求直线上任意一点，则p in 0= 2sin n ，/.psin 0=^/3，故选B.（2专）（理）（2013安徽理，7）在极坐标系中，圆 p= 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 2B . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 2n十C . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 1D . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 1 ［答案］B［解析］由题意可知，圆 p= 2cos 0可化为普通方程为（x — 1）2+ y 2= 1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为x = 0和x = 2，再将两条切线方程化为极坐标方程分n别为 0= 2（p€R ）和 pcos 0= 2,故选 B.x = 2cos 0,x = t ,（0为参数）和直线I ： i （t 为参数，b 为y = 2sin 0. y = t + b.实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b =（D . 1506. （2012淮南市二模）已知曲线 C : A. ,2 B .— 2D . ±. 2［解析］［答案］［解析］将曲线C和直线I的参数方程分别化为普通方程为X2+ y2= 4和y= x+ b，依题意，若要使圆上有3个点到直线I的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|= 1,解得by［2=± 2.二、填空题x= 1 —2t, 7 •若直线11：1y= 2 + kt.x s,（t为参数）与直线b：U （s为参数）垂直，则k= .I y= 1 —2s.［答案］—1［x= 1 —2t,［解析］11： 5 (t为参数)y= 2+ kt.k化为普通方程为y—2= —2(x—1),|x= s,I2：S （s为参数）化为普通方程为y—1 = —2x,7= 1 —2 s.k■•I1 JL2,-—2 （—2）= —1, k=—1.x= t8.（文）（2013江西理，15）设曲线C的参数方程为（ 2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为ly=t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______________ .2［答案］pcos 0—sin B= 0x=t，2［解析］由参数方程$ 2得曲线在直角坐标系下的方程为y= x2.、y=tfx= pcos 0,由公式< 得曲线C的极坐标方程为pcos20= sin 0y= psin 0（理）（2013陕西理，15）如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，则圆x2+ y2—x = 0的参数方程为________ .x= cos2 0,［答案］（0为参数）y= sin 0cos0［解析］y由三角函数定义知 -=tan0x M 0）, y= xtan0 ,x2 2 2 2 2 1 2 由x + y —x= 0 得，x + x tan 0— x = 0, x= — = cos 0,1 + tan 0则y= xtan 0= cos20an 0= sin Ocos 0,又0=中寸，x= 0, y= 0也适合题意,］'x= cos2 0,故参数方程为（0为参数）.y= sin 0cos0［解法探究］因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程.(理)在极坐标系中，圆 尸4cos B 的圆心C 到直线psin ( B+才)=2^2的距离为 __________ .［答案］2［解析］注意到圆p= 4cos 0的直角坐标方程是 x 2 + y 2= 4x ,圆心C 的坐标是(2,0).直线p sin( 0n —|2+ 0— 4|-+ 4)= 2眾的直角坐标方程是 x + y — 4 = 0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于寸㊁=V 2.三、解答题10 .(文)(2012河南六市联考 )曲线 C i 的极坐标方程为 p= 4cos 0,直线 C 2的参数方程为x = 3 + 4t ,(t 为参数).y = 2 + 3t.(1) 将C i 化为直角坐标方程；(2) 曲线C i 与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由.2 2 2•••圆的直径为1.设 P （x , y ），则 OP|= cos 0, 2x = |OP|cos 0= cos 0, y = |OP|sin 0= sin 0os 0.广 2x = cos 0,•圆的参数方程为彳（0为参）9.（文）（2012深圳调研）在极坐标系中，点 P （1 ,寸）到直线I : pcos （0+ ；）=晋上的点的最短距离 为 ________ .［答案］2 ,2［解析］注意到点P （1, n 的直角坐标是（0,1），直线I : pcos （0+ n =节的直角坐标方程是x — yn—3 = 0,因此点P （1, 2）到直线l 上的点的最短距离，即点P 到直线l 的距离，等于 |0— 1 —3|2 将圆x 2 + y 2— x = 0配方得,［解析］(1) '■'= 4cos 0 ••• p = 4 ［:c os 0 , -'x + y = 4x,所以C1的直角坐标方程为x2+ y2—4x= 0.(2)C2的直角坐标方程为3x—4y —1 = 0,C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心C1(2,0)到直线C2的距离|3X 2 —4X 0—1|d = . ------------ = 1<2.小2+ 42所以C1与C2相交.相交弦长AB|= 2 22—12= 2,3.x= 1 + tCOS a,(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：尸1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合) y= tsin a.(1) 当a= 3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2) 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程.［解析］(1)当a= 3时，C1的普通方程为y= . 3(x—1),C2的普通方程为x2+ y2= 1.y=也区-1,法1:联立方程组［x2+ y2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （2，— g 3法2 :原点O 到直线C 1的距离为 --------------- _ , .；'32 + 1 2又圆C 2的半径为1，所以截得的弦长为 2\” 一（%3 （= 2 X 2= 1. (2) C 1 的普通方程为 xs in a- ycos a — sin a= 0. A 点坐标为 (sin 2 a, — cos a sin a ),所以A 点轨迹的普通方程为x 2+ y 2 — x = 0.能力拓展提升、填空题"x = V2cost厂 （t 为参数）,C 在点（1,1）处的切线 剧=7 2sint 为I ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I 的极坐标方程为 ［答案］p in( 0+ n = 2X = V2cost ,［解析］•••曲线C 的参数方程为（t 为参数）,y= int ,•••其普通方程为X 2+ y 2= 2.又点（1,1）在曲线C 上，•曲线I 的斜率k =— 1. 故I 的方程为x + y — 2= 0,化为极坐标方程为 pcos 0+ psin 0= 2, 即 p>in （0+ 4 ）=.2.12 .（文）极坐标系中，点 A 在曲线 尸2si n 0上，点B 在曲线 p os 0=— 2上，则|AB|的最小值为［答案］12［解析］p= 2sin 0? p = 2 p in 0 ••x 2+ y 2 — 2y = 0，即 x 2+ (y — 1)2= 1;),10— 0- ,'3|3故当a 变化时，A 点轨迹的参数方程为叫 x = sin 2 a(a 为参数).［y =— sin a cos a11. （2013广东理，14）已知曲线C 的参数方程为‘ 所以截得的弦长为'•'pcos 0= — 2 ,「x = — 2,易知圆心（0,1）到直线x = — 2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min = 1.（理）在极坐标系中，设 P 是直线I : p cos 0+ sin 0） = 4上任一点，Q 是圆C ： p 2= 4 pcos 0- 3上任 一点，贝U |PQ|的最小值是 _______ .［答案］ 2—1［解析］直线I 方程化为x + y — 4= 0,O C 方程化为 x 2+ y 2— 4x + 3= 0,即（x — 2）2 + y 2= 1.••|PQ|min = . 2 — 1.13 .（文）（2013广东深圳一模）在直角坐标系xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立『x =x/t极坐标系.曲线 C 1的参数方程为，'（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为p in 0- pcos 0= 3,対=t + 1则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为 ___________ .［答案］（2,5）［解析］将曲线C 1的参数方程和曲线 C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程 C 1: y = x 2 + 1,C 2： y — x = 3,y = x 2 + 1, x = 2, 由解得y —x = 3,y = 5,故交点坐标为（2,5）.2 2（理）以椭圆2x5 + ^6 = 1的焦点为焦点，以直线x= sec 0,n［答案］；=2屈n o （片k n+刁［解析］•••椭圆的焦点（±,0），•双曲线中c = 3,x = 2t ,又直线化为y = 2 .2x ,它是双曲线的渐近线,圆心C （2,0）到直线l 的距离d = |2+ 0 — 4| =2, x=/2t、曲=4t为渐近线的双曲线的参数方程为y= 4t.•'b = 2 .2, ■ a = 1, b = 8,「.a= 1, b = 2話2,ax= sec B, n•••双曲线的参数方程为(片k n+ n).y= 2>/2ta n 0.x= cos 014 . (2013广东广州调研)已知圆C的参数方程为(0为参数)，以原点为极点，x轴|y= sin 0+ 2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p in 0+ pcos 0= 1，则直线I被圆C所截得的弦长是_________ .［答案］3［解析］圆C的参数方程化为普通方程为x2+ (y—2)2= 1,直线I的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+ y= 1,|0+ 2—1|圆心到直线的距离 d =--------- =弋2,V2 2故圆C截直线I所得的弦长为2 ；12—d2= 2.二、解答题15 .(文)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位n 长度.已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a=n.6(1) 写出直线I的参数方程；(2) 设I与圆p= 2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.,3x= 1 + R,［解析］(1)直线的参数方程是(t是参数)l y= 1 + ?t.(2)因为点A、B都在直线I上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆P= 2化为直角坐标系的方程x2+ y2= 4.将直线I的参数方程代入圆的方程x2+ y2= 4整理得到t2+ ( .3+ 1)t —2= 0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2=—2,••|PA| |PB|=|t1t2|= 2.(理)(2013辽宁五校协作体联考)已知直线I是过点P(—1,2),方向向量为n= (—1 , - 3)的直线，n圆方程p= 2cos( 0+ 3).(1) 求直线I的参数方程；(2) 设直线I与圆相交于M , N两点，求|PM| |PN|的值.2 n［解析］ ⑴'-'n = (— 13) ,•••直线的倾斜角a= -3.2 n［x = — 1 + tcos 3 , < 22 nI y = 2 + tsin-■p 2= pcos 0+ , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + 3y = 0，将直线的参数方程代入得 t 2+ （3 + 2 3）t + 6 + 2 3= 0.••|皿2|= 6 + 2 .3,即 |PM| |PN| = 6+ 2 ,3.rx = cos （））,16 .（文）（2013贵州六校联考）已知圆C 1的参数方程为〈（$为参数），以坐标原点O 为y = sin $ 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2的极坐标方程为尸2cos （ 0+ .（1）将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆 C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. x= cos $,22［解析］⑴由S得x + y = 1,\y= sin $又■/ p= 2cos( 0+ 3)= cos 0— . 3sin 0,-■p 2= ［:cos 0— , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + ,3y = 0,即(x —》2+(y+^)2= 1.⑵圆心距d =0 — j 2+ 0 + 232•••直线的参数方程为 （t 为参数）,（t 为参数）.1 ⑵•••尸 2(2cos 0+J3gsin 0 = cos 0+ . 3sin 0 1x =—1 — 2t ，=1<2，得两圆相交.设交点为A , B ,由］22厂 x + y — x + 寸 3y = 02 2,x + y = 1,得 A （1,0）, B （ — 2，一玄）,••|ABI =1 2+ ； 3+ 0+ 24 5 2= 3.x = 1 + tCOS a, X = cos 0,（理）已知直线C l ： < （t 为参数），圆C 2： < （0为参数）.|y = tsin a, |y = sin 0, （1） 当a= n 时求C i 与C 2的交点坐标； （2）过坐标原点O 作C i 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点•当a 变化时，求P 点轨迹的参数方 程，并指出它是什么曲线.［解析］⑴当a= n 时C i 的普通方程为y = .3（x — 1）, C 2的普通方程为X 2 + y 2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （1,—三3） •（2） C 1 的普通方程为 xs in a — ycos a — sin a= 0. 一 2A 点坐标为（sin a, — cos a sin a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为（a 为参数）,、 1 2 2 1消去参数得P 点轨迹的普通方程为（x — 2 + y =—, 1 1故P 点轨迹是圆心为q , 0）,半径为4的圆.考纲要求2 •了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3 •了解极坐标的基本概念•会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐 标的互化.4 .能在极坐标系中给出简单图形 （如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆 ）表示的极坐标方程.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位 置的方法相比较，了解它们的区别.联立方程组x = |si n 21y = — gsin 久cosa ,备课助手5•了解参数方程，了解参数的意义.6 •能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.补充说明1 •极坐标系的概念在平面内取一个定点0为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系•对于极坐标系内任意一点M，用p表示线段0M的长度，用B表示以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角，p叫做点M的极径，0 叫做点M的极角，有序实数对（p, 0就叫做点M的极坐标•如无特别说明时，p> 0, 0€ R.2 .柱坐标系（1）如图，空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q,用（p0）（p>0,0 W 0<2 n来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组（p 0 z）（z€ R）表示.把建立了空间的点与有序数组（p, 0 z）之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（p, 0 , z）叫做点P的柱坐标，记作p（p 0 z）,其中p>0,0W 0<2 n —m<z< + s.x= p cos 0, （2）空间点P的直角坐标（x , y , z）与柱坐标（p 0, z）之间的变换公式为t y= p in 0l.z=乙3 .球坐标系（1）如图空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，记|0P|= r , OP与Oz轴正向所夹的角为0设P在xOy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为0 ,则点P用有序数组（r , 0 0表示.把空间的点与有序数组（r , 0 0之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组（r, 0 , 0叫做点P的球坐标，记作P（r , 0 0）,其中r > 0,0W 0W n, 0W 0<2 n.x= rsin gos 0,(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, 0 0之间的变换关系为y= rsin^in 0z= rcos 0.备选习题X= 2COS a ,1 •在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为，. (a为参数)，在极坐标系(与直角3sin a坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p cos 0 —sin 0 + 1 = 0,贝U C i与C2的交点个数为_______________ •［答案］22 2x y［解析］曲线C i的参数方程可化为—+ 3 = 1,曲线C2的极坐标方程P COS0—sin 0 + 1 = 0化为直角坐标方程为x—y+ 1 = 0•直线x—y+ 1 = 0过点(0,1)，位于椭圆C1内，故G与C?有2个交点.3x=—5t+ 2,2 .已知曲线C1：P= 2sin 0,曲线C2：(t为参数).l y= *(1) 化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2) 若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值.［解析］(1)曲线C1的方程化为p2= 2 p i n02 2 2又x + y = p , x = pcos 0, y= psin 0所以曲线C1的直角坐标方程x2+ y2—2y= 0,3x= —5t+ 2,因为曲线C2的参数方程是消去参数t得曲线C2的普通方程4x+ 3y—8= 0.⑵在曲线C2的方程中，令y= 0得x= 2,即M点的坐标为(2,0),又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r = 1, 则|MC1|= ,'5,••|MN|W |MC1|+ r = ,5+ 1 , |MN|的最大值为.'5+ 1.轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 P= 2cos( 0+ n ，求直线I 被曲线C 所截的弦长.4 1 x = 1 +5t ,［解析］将方程｛ 3 (t 为参数)化为普通方程得，3x + 4y + 1= 0,3y =-1-5t .将方程p= 2cos 0+ 4化为普通方程得，x 2 + y 2—x + y = 0,它表示圆心为 £，— 2，半径为 1的圆，则圆心到直线的距离 d = 10,弦长为 2—d =2100= 5.4 .已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.设一X = t , 2点O 为坐标原点，直线I :〈(参数t € R )与曲线C 的极坐标方程为 pcos 2 0= 2sin 0y = 2+ 2t.(1) 求直线I 与曲线C 的普通方程；(2) 设直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：OA OB = 0. ［解析］(1)由直线的参数方程消去参数 t 得普通方程y = 2x + 2;由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2= 2y ,y= 2x +2, 2(2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),由 2消去 y 得 X — 4x — 4 = 0,l x = 2y.「OA OB = X 1X 2 + y i y 2= 0・5. (2012河北郑口中学模拟)在直角坐标系中，以原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，建立极…一 ,,,X = V3c°S a坐标系，设曲线 C ：( a 为参数)，直线I : p cos B+ si n B )= 4.$= sin a(1) 写出曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程； (2) 求曲线C 上的点到直线I 的最大距离.2［解析］(1 )将C 化为普通方程是 二+ y 2= 1,3 .在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为: (t 为参数)，若以0为极点，xX i + X 2= 4, X i •=y=-1-5t .将I化为直角坐标方程是x+ y— 4 = 0.2(2)在3 + y2= 1上任取一点A(寸3cos a, sin ",则点A到直线I的距离为3| 3cos a+ sin a—4| |2sin a+ 60 °—4|d = " 2 = 2 ，它的最大值为3 2.6. (2013福建漳州一模)在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，一n \［2x= —1 + cos ©曲线C i的极坐标方程为p in( B+；)=斗~a，曲线C2的参数方程为｛( $为参数,4 2ly=— 1 + sin()),O W n )(1) 求C i的直角坐标方程；(2) 当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.［解析］(1)将曲线C1的极坐标方程变形，P》n 0+歩呻冷a,即pcos 0+ p in 0= a,•••曲线C1的直角坐标方程为x+ y—a= 0.⑵曲线C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1( —1 W y< 0)，为半圆弧,如图所示，曲线C1为一组平行于直线x+ y= 0的直线，|—1 —1 —a|当直线C1与C2相切时，由2± 2,—— = 1得a=舍去 a = —2 —#2，得a=—2+、f2,当直线C1 过A(0，—1)、B( —1,0)两点时，a=—1.•••由图可知，当一1W a< —2+ .2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点.21。

2015年高考数学试题——坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -= (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

考点52 坐标系与参数方程（2014年）一、选择题1.（2014·安徽高考理科·Ｔ4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t ì=+ïí=-ïî，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.22【解题提示】将参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，由几何法求得弦长。

【解析】选D 。

由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0，224x y x +=，所以圆心C （2,0），半径r=2，圆心到直线l 的距离d=2，由半径、圆心距，半弦长构成直接三角形，解得弦长为22。

二、填空题2. （2014·湖南高考文科·Ｔ12）在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为【解题提示】消去参数化为普通方程。

【解析】由曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得01,12=---=-y x y x 。

【答案】01=--y x3. （2014·湖南高考理科·Ｔ11）在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，且AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是【解题提示】先确定直线l 与曲线C 的位置关系，再求直线l 的极坐标方程。

【解析】曲线C 是圆心为(2,1),半径为1的圆，而AB ｜｜＝2，所以直线经过圆心,所以直线l 的方程为1-=x y ，所以直线l 的极坐标方程是1cos sin -=θρθρ。

答案：1cos sin -=θρθρ，或写成θθρsin cos 1-=，224sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。

考点49 坐标系与参数方程填空题1. (2015·广东高考理科·T14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin =,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.【解题指南】先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,点A的极坐标转化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式求出结果.【解析】依题已知直线l：2sin4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭和点7,4Aπ⎛⎫⎪⎝⎭可化为l：10x y-+=和()2,2A-，所以点A与直线l的距离为2 d==，故应填入2答案:22. (2015·广东高考文科·T14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.【解析】曲线1C的直角坐标方程为2x y+=-，曲线2C的普通方程为28y x=，由228x yy x+=-⎧⎨=⎩得：24xy=⎧⎨=-⎩，所以1C与2C交点的直角坐标为()2,4-，答案:(2,-4)3. (2015·北京高考理科·T11)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为.【解题指南】把点和直线转化到直角坐标系中,再利用点到直线距离公式求解.【解析】点(2,3π)可化为(2cos 3π,2sin 3π),即(1, ).直线ρ(cos θ+sin θ)=6可化为x+由点到直线距离公式可得1=.答案:14.(2015·湖北高考理科·T16)(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l 与C 相交于A,B 两点,则|AB|= . 【解题指南】先将极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0和曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化成普通方程,再求解.【解析】由ρ(sin θ-3cos θ)=0知,直线的方程是y=3x,由曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),消去参数得,y 2-x 2=4,解方程组2234=⎧⎨-=⎩y x y x，得A (B==AB答案：5.（2015·重庆高考理科·Ｔ15）已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_________.【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程，然后求出交点坐标再化为极坐标即可.【解析】因为直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩所以直线l 的方程为2y x =+因为曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，可得曲线C 的方程为224(0)x y x -=<联立224(0)2x y x y x ⎧-=<⎨=+⎩解得交点坐标为(2,0)-，所以交点的极坐标为(2,)π答案：(2,)π6. （2015·安徽高考理科·T12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是【解题指南】将极坐标化为普通方程，求出圆心到直线的最大距离，再加上半径。

坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)． 【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】 将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】 将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。