2016年秋季新人教版八年级数学上册 第十二章检测题

数学试题第十二章全等三角形时限：100分钟满分：120分班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿得分＿＿＿＿＿一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请把其代号填在答题栏中相应题号的下面）。

1、下列方法中，不能判定三角形全等的是： ( )A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS2．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′C A＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（）A.1处B. 2处C. 3处D.4处2题图3题图4、如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）A．120°Ｂ．70°Ｃ．60°Ｄ．50°4题图 5题图 6题图5、某同学把一块三角形的的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是：（）A．带①去Ｂ．带②去Ｃ．带③去Ｄ．①②③都带去6、如图所示，AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形共有：（）A.1对B. 2对C. 3对D.4对BA CDE F F EA DBHDEB AC 7、使两个直角三角形全等的条件是：（ ） A ．一锐角对应相等 Ｂ．两锐角对应相等 Ｃ．一条边对应相等 Ｄ．两条边对应相等8．如图，OA=OB ，OC=OD ，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC 等于（ ）A ． 60°B ． 50°C ． 45°D ． 30°8题图 9题图 10题图9．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ． 40° B ． 35° C ． 30° D ． 25°10、如图，在△ABC 中，A D ⊥BC,CE ⊥AB,垂足分别为点D 和点E ，AD,CE 交于点H,已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长为（ ）A.1B.2C.3D.411、如图是八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，判断与△ACD 全等的是（ ）A. △ACFB. △ADEC. △ABCD. △BCD11题图 12题图 13题图12、如图所示，AO=BO,CO=DO,连接AD,BC,设AD,BC 交于点P,结论：①△AOD ≌△BOC; ②△AP C ≌△BPD ;③点P 在∠AOB 的平分线上。

2016年秋八年级数学上册第12章全等三角形检测题含答案（时刻：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 如图，△ ABD CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A . △ ABD和厶CDB的面积相等B. △ ABD和厶CDB的周长相等C.Z A + /ABD = Z C+/CBDD. AD // BC,且AD = BC，第1题图），第2题图），第3题图），第4题图）2. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M , N的距离，如果厶PQO^A NMO,贝卩只需测出其长度的线段是（）A. POB. PQ C . MO D . MQ3. 如图，BE丄AC 于点D，且AD = CD, BD = ED，则/ABC = 54°,则/E=（）A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°4 . （2014 •南昌）如图，AB // DE, AC // DF, AC = DF，下列条件中不能判定△ ABC DEF的是（）A . AB = DE B. / B = Z EC . EF= BCD . EF // BC5. 如图，/1 = Z 2,Z 3=Z 4,则下面结论中错误的是（）A . △ ADC BCD B. △ ABD BAC C. △ ABO COD D. △AODBOC，第5题图），第6题图），第7题图）6. 如图，在△ ABC中，AB = AC,点E, F是中线AD上的两点，贝S 图中可证明为全等三角形的有（）A . 3对B. 4对C. 5对D . 6对7. 如图，在△ ABC中，/ ACB = 90°，沿CD折叠△ CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若/ A = 22°，则/ BDC等于（）A. 44°B. 60°C. 67°D. 77°8 如图，DE丄BC于点E,且BE = CE, AB + AC = 15,则厶ABD的周长为（）A. 15B. 20C. 25D. 309.如图，AB 丄BC , BE 丄AC,/ 1 = Z 2, AD = AB，则（）A . / 1 = / EFDB . BE = EC C . BF —DF= CD D . FD // BC，第8题图），第9题图），第10题图）10 .如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，DE丄AC于E, DF 丄AB于F,且FB = CE,贝卩下列结论：①DE = DF,②AE = AF，③BD = C D，④AD丄BC.其中正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题（每小题3分，共24分）11.在厶ABC中，AB = 8, AC = 6,贝卩BC边上的中线AD的取值范畴是 _________ .12 .若厶ABC EFG，且/ B = 60°,/ FGE—/E= 56°，则/ A= ______ 度.13 .如图，AB = DB , / ABD = / CBE，请你添加一个适当的条件—___________ 使厶ABC DBE.（只需添加一个即可）14 .如图，AB = AC , AD = AE, / BAC = / DAE , / 1 = 25°,/ 2=30°，则/ 3 = ________ .，第13题图），第14题图），第15题图），第16题图），第17题图）15. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB = 90°, BC = 2 cm, CD丄AB ,在AC上取一点E,使EC= BC,过点E作EF丄AC交CD的延长线于点F, 若EF = 5 cm,贝卩AE = ________ cm.16. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90°, AC = 10 cm, BC = 5 cm,一条线段PQ=AB , P, Q两点分不在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP = __________ 时才能使厶ABC和厶APQ全等.17. 如图，已知△ ABC中，/ ABC,/ ACB的角平分线交于点O,连接AO 并延长交BC 于D, OH丄BC 于H，若/ BAC = 60°, OH = 5 cm,则/ BAD = ________ 点-O到AB的距离为___________ cm.18. 已知点A , B的坐标分不为（2 , 0）, （2, 4）,以A , B, P为顶点的三角形与厶ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：________________三、解答题（共66分）19. （6 分）如图，在△ ABC 和厶DCE 中，AB // DC, AB = DC, BC = CE,且点B, C, E在一条直线上.求证：/ A = / D.20. （8 分）如图，点B 在射线AE 上，/ CAE = / DAE，/ CBE =/ D BE.求证：AC = AD.21. (10分)如图，E是/ AOB的平分线上一点，EC丄OA, ED丄OB, 垂足为C, D，连接CD 交OE 于 F.求证：(1)0C = OD; (2)DF = CF.22. (10 分)如图，在Rt A ABC 中，/ ACB = 90°，点D, F分不在A B, AC上，CF = CB，连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1) 求证：△ BCD^A FCE;(2) 若EF// CD，求/ BDC 的度数.23. （10 分）如图，AB = DC, AD = BC, DE = BF,求证：BE= DF.24. (10分)如图，已知：/ B =Z C = 90°, M是BC的中点，DM平分/ ADC.求证：(1)AM 平分/ DAB ; (2)AD = AB + CD.25. （12分）如图，在/ AOB的两边0A, OB上分不取0M = ON，/ O ME = Z OND, DN和EM相交于点C, CD = CE.求证：点C在/ AOB的平分线上.第12章检测题参考答案1. C2.B3.B4.C5.C6.D7.C8.A9.D 10.D 11.1v AD V7 12.32 13./C=Z E 14.55°15.3 16.5 cm 或10 cm 17.30°;518. (0, 4)或(4, 0)或(4 , 4)(答其中一个即可)19. v AB // DC,「./ B = / DCE.又T AB = DC, BC = CE，二△ ABC 坐△ DCE(SAS)，二/ A = / D20. CBE = / DBE ,A 180°-/OB E =/8DA巳/ DBE，即/ABC=Z ABD，在△ ABC 和厶ABD 中，AB = AB , ABCABD(ASA)，二AC = AD / ABC = /ABD,21. (1)T ECIECOA，左EDOOB，二/OCE=Z ODE = 90°，在△ OCE 和△ ODE 中， / COE=Z DOE OD A OCE^A ODE(AAS)，二OC= OD (2)在厶COF 和△:DO F OE ,Z COE=Z DOE , COF^^ DOF(SAS) , • D OF= OF ,22. (1) vZ ACB = 90°,/ DCE = 90°,ACB E C9\CD,= /DCE —/ ACD ,即Z BCD = Z FCE,在厶BCD 和厶FCE 中，Z BCD = Z FCE, /. △ BCDFCE(SAS) (2) •/ EF// CD,「・Z E=Z DCEDC9®CE,A Z BDC =Z E= 90°23. 连接BD. v AD = BC, AB = CD, BD = BD，二△ ABDCDB(SSS) ,•••/ ADB = Z DBC,「. 180°—Z=BDB = 180°—Z DBC,「・Z BDE = Z DBF ,在厶BDE 禾口△ DBF 中, Z BDE = Z DBF,BDEDBF(SAS),•B E = DF DB = BD ,24. (1)过M 作MH 丄AD 于H ,v DM 平分Z ADC , MC 丄DC, MH 丄A D，二CM = HM，又v BM = CM，二MH = BM , v MH 丄AD , MB 丄AB ,•A M 平分Z DAB (2)vZ CDM = Z HDM , •/ CMD = Z HMD ,又v DC丄MC , DH 丄MH , • DC = DH ,同理：AB = AH , v AD = DH + AH , • A D = AB + CD Z OME = Z OND ,25. 在△ MOE 和厶NOD 中，OM = ON , MOE NOD(ASA) , • OD = OE , v CD = CE , Z△如。

第十二章检测卷一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．2．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，OB与A′B′交于点C，则∠A′CO的度数是________．3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F.若BC恰好平分∠ABF，AE ＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是________(填序号)．二、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)5．下列各组的两个图形属于全等图形的是()6．如图，已知△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD的度数为()A．85°B．65°C．40°D．30°7．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的()A．AB＝CD B．CE＝BFC．∠A＝∠D D．AB＝BC8．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的大小关系是()A．BD ＞CD B．BD ＜CDC．BD ＝CD D．不能确定9．如图，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 、∠ACD ，PE ⊥AC 于点E ，PN ⊥DC 于点N ，交AB 于点M .若PE ＝3，则MN 的长为()A．3B．6C．9D．无法确定10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于()A．90°B．150°C．180°D．210°11．如图，已知EA ⊥AB ，BC ∥EA ，ED ＝AC ，AD ＝BC ，则下列式子不一定成立的是()A．∠EAF ＝∠ADF B．DE ⊥ACC．AE ＝AB D．EF ＝FC12．如图，在方格纸中以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有()A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E .若BC ＝7，则AE 的长为()A．4B．5C．6D．714．如图，在△ABC 和△DEB 中，点C 在边BD 上，AC 交BE 于点F .若AC ＝BD ，AB ＝ED ，BC ＝BE ，则∠ACB 等于()A．∠EDB B．∠BEDC.12∠AFB D．2∠ABF三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，已知△ABE ≌△ACD .(1)如果BE ＝6，DE ＝2，求BC 的长；(2)如果∠BAC ＝75°，∠BAD ＝30°，求∠DAE 的度数．16．如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AC ＝BD ，CE ＝DF .求证：AC ∥BD .四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C、D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？18．如图，已知∠DAB＝∠CBE＝90°，点E是线段AB的中点，CE平分∠DCB且与DA的延长线相交于点F，连接DE.求证：DE平分∠FDC.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝12，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，求△ABC的面积．20．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)试猜想BD与AC的位置关系，并说明理由．六、(本题满分12分)21．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E.小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据“HL”，可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF；第二种情况：当∠B是锐角时，如图②，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，则△ABC和△DEF的关系是________；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＞90°.过点C作AB边的垂线，交AB的延长线于点M，过点F作DE边的垂线，交DE的延长线于点N，根据“AAS”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF.七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动．设运动时间为t 秒(0≤t≤3)．(1)用含t的代数式表示线段PC的长；(2)若点P、Q的运动速度相等，当t＝1时，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．(3)若点P、Q的运动速度不相等，则当△BPD与△CQP全等时，求a的值．八、(本题满分14分)23．(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系；(2)小聪延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG，得到△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论；(3)如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______________关系时，仍有EF＝BE＋FD，说明理由．参考答案1．4 2.82° 3.50°4．①②③④5-14：．D .D .A .C .B .C .D .C .D ．C 15.解：(1)∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠BAE ＝∠CAD .又∵BE ＝6，DE ＝2，∴EC ＝DC －DE ＝BE －DE ＝4，∴BC ＝BE ＋EC ＝10.(4分)(2)∵∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝75°－30°＝45°，∴∠BAE ＝∠CAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝45°－30°＝15°.(8分)16．证明：∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠BFD ＝90°.(2分)在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，＝BD ，＝DF ，∴Rt△ACE ≌Rt△BDF (HL)，(5分)∴∠A ＝∠B ，∴AC ∥BD .(8分)17．解：C 、D 两地到路段AB 的距离相等．(2分)理由如下：由题意可知AC ＝BD .∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEC＝∠BFD ＝90°.∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B .(5分)在△AEC 和△BFD AEC ＝∠BFD ，A ＝∠B ，＝BD ，∴△AEC ≌△BFD (AAS)，∴CE＝DF ，∴C 、D 两地到路段AB 的距离相等．(8分)18．证明：过点E 作EH ⊥CD .(2分)∵CE 平分∠DCB ，∠CBE ＝90°，∴BE ＝EH .∵点E 是线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴AE ＝EH .(5分)又∵∠DAB ＝90°，∴DE 平分∠FDC .(8分)19．解：如图，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .(2分)∵点O 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD ＝2，(5分)∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×2×(AB ＋BC ＋AC )＝12×2×12＝12.(10分)20．(1)证明：由作图步骤可得AB ＝AD ，BC ＝DC .在△ABC 与△ADC ＝AD ，＝DC ，＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)．(4分)(2)解：BD ⊥AC .(5分)理由如下：由(1)知△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC .(6分)在△ABE 与△ADE 中，＝AD ，BAE ＝∠DAE ，＝AE ，∴△ABE ≌△ADE (SAS)，∴∠AEB ＝∠AED .(8分)又∵∠AEB ＋∠AED ＝180°，∴∠AEB ＝90°，∴BD ⊥AC .(10分)21．解：第二种情况：C(3分)解析：由题意可知满足条件的点D 有两个(如图②)，所以△ABC 和△DEF 不一定全等．故选C.第三种情况：补全图形如图③所示．(6分)证明：∵∠ABC ＝∠DEF ，∴∠CBM ＝∠FEN .∵CM ⊥AB ，FN ⊥DE ，∴∠CMB ＝∠FNE ＝90°.在△CBM 和△FEN 中，CMB ＝∠FNE ，CBM ＝∠FEN ，＝EF ，∴△CBM ≌△FEN (AAS)，∴CM ＝FN .在Rt△AMC 和Rt△DNF ＝FN ，＝DF ，∴Rt△AMC ≌Rt△DNF (HL)，∴∠A ＝∠D .在△ABC 和△DEF A ＝∠D ，ABC ＝∠DEF ，＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (AAS)．(12分)22．解：(1)PC ＝BC －PB ＝6－2t .(3分)(2)△BPD 与△CQP 全等．(4分)理由如下：∵t ＝1，∴PB ＝CQ ＝2，∴PC ＝BC －PB ＝6－2＝4.∵AB ＝8，点D 为AB 的中点，∴BD ＝AD ＝4，∴PC ＝BD .在△BPD 与△CQP ＝CQ ，B ＝∠C ，＝CP ，∴△BPD ≌△CQP (SAS)．(8分)(3)∵点P 、Q 的运动速度不相等，∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ，∴BP ＝PC ，BD ＝CQ ，∴2t ＝6－2t ，at ＝4，解得t ＝32，a ＝83.(12分)23．(1)解：EF ＝BE ＋DF .(3分)(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝∠BAD ＝90°，∴∠ADG ＝180°－∠ADC ＝90°＝∠B .在△ABE 和△ADG ＝AD ，B ＝∠ADG ，＝DG ，∴△ABE ≌△ADG ，∴∠BAE ＝∠DAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠BAD －∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠DAF ＋∠DAG ＝45°，即∠GAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠EAF .(6分)在△GAF 和△EAF ＝AE ，GAF ＝∠EAF ，＝AF ，∴△AFG ≌△AFE (SAS)，∴GF ＝EF .∵GF ＝DG ＋FD ＝BE ＋FD ，∴EF ＝BE ＋FD .(9分)(3)解：∠BAD ＝2∠EAF (11分)理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM .在△ABM 和△ADF ＝AD ，ABM ＝∠D ，＝DF ，∴△ABM ≌△ADF (SAS)，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM .∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ，∴∠BAE ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF .在△FAE 和△MAE 中，＝AE ，EAF ＝∠EAM ，＝AM ，∴△FAE ≌△MAE (SAS)，∴EF ＝EM .∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF .(14分)。

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》测试题-附含答案班级：姓名：得分：总分：150分时间：120分钟一．选择题（共12小题）1．下列各图形中不是全等形的是（）A．B．C．D．【解答】解：观察发现B、C、D选项的两个图形都可以完全重合∴是全等图形A选项中两组图画不可能完全重合∴不是全等形．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形【解答】解：A、所有的等边三角形都是全等三角形错误；B、全等三角形是指面积相等的三角形错误；C、周长相等的三角形是全等三角形错误；D、全等三角形是指形状相同大小相等的三角形正确．故选：D．3．如图AB与CD交于点O已知△AOD≌△COB∠A＝40°∠COB＝115°则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵△AOD≌△COB∴∠C＝∠A＝40°由三角形内角和定理可知∠B＝180°﹣∠BOC﹣∠C＝25°故选：A．4．已知△ABC的六个元素如图所示则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（）A．甲、乙B．乙、丙C．只有乙D．只有丙【解答】解：已知△ABC中∠B＝50°∠C＝58°∠A＝72°BC＝a AB＝c AC＝b∠C＝58°图甲：只有一条边和AB相等没有其它条件不符合三角形全等的判定定理即和△ABC不全等；图乙：只有两个角对应相等还有一条边对应相等符合三角形全等的判定定理（AAS）即和△ABC全等；图丙：符合SAS定理能推出两三角形全等；故选：B．5．如图已知MB＝ND∠MBA＝∠NDC下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN【解答】解：A、∠M＝∠N符合ASA能判定△ABM≌△CDN故A选项不符合题意；B、AB＝CD符合SAS能判定△ABM≌△CDN故B选项不符合题意；C、根据条件AM＝CN MB＝ND∠MBA＝∠NDC不能判定△ABM≌△CDN故C选项符合题意；D、AM∥CN得出∠MAB＝∠NCD符合AAS能判定△ABM≌△CDN故D选项不符合题意．故选：C．6．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）你认为将其中的哪一块带去就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素 所以不能带它们去 只有第2块有完整的两角及夹边 符合ASA 满足题目要求的条件 是符合题意的．故选：B ．7．如图是一个平分角的仪器 其中AB ＝AD BC ＝DC 将点A 放在角的顶点 AB 和AD 沿着角的两边放下 沿AC 画一条射线 这条射线就是角的平分线 在这个操作过程中 运用了三角形全等的判定方法是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【解答】解：在△ADC 和△ABC 中{AD =AB DC =BC AC =AC∴△ADC ≌△ABC （SSS ）∴∠DAC ＝∠BAC∴AC 就是∠DAB 的平分线．故选：A ．8．如图 点A 、D 、C 、E 在同一条直线上 AB ∥EF AB ＝EF ∠B ＝∠F AE ＝10 AC ＝7 则CD 的长为（ ）A ．5.5B ．4C ．4.5D ．3 【解答】解：∵AB ∥EF∴∠A ＝∠E在△ABC 和△EFD 中{∠A =∠E AB =EF ∠B =∠F∴△ABC ≌△EFD （ASA ）∴AC ＝ED ＝7∴AD ＝AE ﹣ED ＝10﹣7＝3∴CD ＝AC ﹣AD ＝7﹣3＝4．故选：B ．9．如图 ∠B ＝∠C ＝90° M 是BC 的中点 DM 平分∠ADC且∠ADC ＝110° 则∠MAB ＝（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60° 【解答】解：作MN ⊥AD 于N∵∠B ＝∠C ＝90°∴AB ∥CD∴∠DAB ＝180°﹣∠ADC ＝70°∵DM 平分∠ADC MN ⊥AD MC ⊥CD∴MN ＝MC∵M 是BC 的中点∴MC＝MB∴MN＝MB又MN⊥AD MB⊥AB∴∠MAB=12∠DAB＝35°故选：B．10．如图AB＝AD AE平分∠BAD点C在AE上则图中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【解答】解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠CAE在△ABC和△ADC中{AB=AD∠BAC=∠DAC AC=AC∴△DAC≌△BAC（SAS）∴BC＝CD；在△ABE和△ADE中{AB=AD∠BAE=∠DAE AE=AE∴△DAE≌△BAE（SAS）∴BE＝ED；在△BEC和△DEC中{BC=DC EC=EC EB=ED∴△BEC≌△DEC（SSS）故选：B．11．如图直线a、b、c表示三条公路现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等则可供选择的地址有（）A．一处B．两处C．三处D．四处【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点过点P作PE⊥AB PD⊥BC PF⊥AC∴PE＝PF PF＝PD∴PE＝PF＝PD∴点P到△ABC的三边的距离相等∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等满足这条件的点有3个；综上到三条公路的距离相等的点有4个∴可供选择的地址有4个．故选：D．12．如图AD是△ABC的角平分线DF⊥AB垂足为F DE＝DG△ADG和△AED的面积分别为60和35 则△EDF的面积为（）A ．25B ．5.5C ．7.5D ．12.5【解答】解：如图 过点D 作DH ⊥AC 于H∵AD 是△ABC 的角平分线 DF ⊥AB∴DF ＝DH在Rt △ADF 和Rt △ADH 中 {AD =AD DF =DH∴Rt △ADF ≌Rt △ADH （HL ）∴S Rt △ADF ＝S Rt △ADH在Rt △DEF 和Rt △DGH 中 {DE =DG DF =DH∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）∴S Rt △DEF ＝S Rt △DGH∵△ADG 和△AED 的面积分别为60和35∴35+S Rt △DEF ＝60﹣S Rt △DGH∴S Rt △DEF =252．故选：D ．二．填空题（共4小题）13．已知△ABC ≌△DEF ∠A ＝60° ∠F ＝50° 点B 的对应顶点是点E则∠B 的度数是 70° ．【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ∠A ＝60° ∠F ＝50°∴∠D ＝∠A ＝60° ∠C ＝∠F ＝50°∴∠B ＝∠E ＝70°．故答案为：70°．14．如图BD＝CF FD⊥BC于点D DE⊥AB于点E BE＝CD若∠AFD＝145°则∠EDF＝55°．【解答】解：∵FD⊥BC于点D DE⊥AB于点E∴∠BED＝∠FDC＝90°∵BE＝CD BD＝CF∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）∴∠BDE＝∠CFD∵∠AFD＝145°∴∠DFC＝35°∴∠BDE＝35°∴∠EDF＝90°﹣35°＝55°故答案为55°．15．如图△ABC中∠C＝90°AD平分∠BAC AB＝5 CD＝2 则△ABD的面积是5．【解答】解：∵∠C＝90°AD平分∠BAC∴点D到AB的距离＝CD＝2∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．故答案为：5．16．如图四边形ABCD中AB＝AD AC＝6 ∠DAB＝∠DCB＝90°则四边形ABCD的面积为18．【解答】解：∵AD＝AD且∠DAB＝90°∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°AD与AB重合得到△ABE．∴∠ABE＝∠D AC＝AE．根据四边形内角和360°可得∠D+∠ABC＝180°∴∠ABE+∠ABC＝180°．∴C、B、E三点共线．∴△ACE是等腰直角三角形．∵四边形ABCD面积＝△ACE面积=12×AC2=12×62＝18；故答案为：18．三．解答题（共20小题）17．如图所示△ABE≌△ACD∠B＝70°∠AEB＝75°求∠CAE的度数．解：∵△ABE≌△ACD∴∠C＝∠B＝70°∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝5°．18．如图已知∠1＝∠2 ∠3＝∠4 求证：BC＝BD．证明：∵∠ABD+∠4＝180°∠ABC+∠3＝180°且∠3＝∠4∴∠ABD＝∠ABC在△ADB和△ACB中∴△ADB≌△ACB（ASA）∴BD＝BC．19．如图AB＝AD AC＝AE∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．证明：∵∠CAE＝∠BAD∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B＝∠D．20．如图点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量）点A、D在l异侧测得AB＝DE AB ∥DE∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m BF＝3m求FC的长度．（1）证明：∵AB∥DE∴∠ABC＝∠DEF在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF∴BC＝EF∴BF+FC＝EC+FC∴BF＝EC∵BE＝10m BF＝3m∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．21．某段河流的两岸是平行的数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知BC＝DC∠ABC＝∠EDC＝90°在Rt△ABC和Rt△EDC中∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB＝ED即他们的做法是正确的．22．如图AD为△ABC的高E为AC上一点BE交AD于F且有BF ＝AC FD＝CD．求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC．证明：（1）∵AD为△ABC的边BC上的高∴△BDF和△ADC为直角三角形．∴∠BDF＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中∴Rt△△BFD≌Rt△ACD（HL）；（2）∵△BDF≌△ADC∴∠DBF＝∠DAC．∵∠AFE与∠BFD是对顶角∴∠BDF＝∠AEF＝90°∴BE⊥AC．23．如图①点A E F C在同一条直线上且AE＝CF过点E F分别作DE⊥AC BF⊥AC垂足分别为E F AB＝CD．（1）若EF与BD相交于点G则EG与FG相等吗？请说明理由；（2）若将图①中△DEC沿AC移动到如图②所示的位置其余条件不变则（1）中的结论是否仍成立？不必说明理由．解：（1）EG＝FG理由如下：∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EF即AF＝CE∵DE⊥AC BF⊥AC∴∠AFB＝∠CED＝90°在Rt△ABF和Rt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE在△DEG和△BFG中∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG；（2）（1）中的结论仍成立理由如下：同（1）得：Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE在△DEG和△BFG中∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG．24．【阅读理解】课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝8 AC＝6 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到点E使DE＝AD请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是CA．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2 已知：CD＝AB∠BDA＝∠BAD AE是△ABD的中线求证：∠C＝∠BAE．（1）解：∵在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB∴BE＝AC＝6 AE＝2AD∵在△ABE中AB＝8 由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6∴1＜AD＜7故答案为：C．（3）证明：如图延长AE到F使EF＝AE连接DF∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED在△ABE与△FDE中∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB＝DF∠BAE＝∠EFD∵∠ADB是△ADC的外角∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD∠BAE＝∠EFD ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD∴∠ADF＝∠ADC∵AB＝DC∴DF＝DC在△ADF与△ADC中∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．。

人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．55．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣29．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．25．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．参考答案及试题解析一、选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF=AC=8cm，故选C．2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．综上所述，D选项的所走的线路最长．故选：D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．在△AKC和△CHA中，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4．∴KC=4．∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．故选：C．5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选：C．6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【解答】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选：A．8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故选：A．9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ ，∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ ，四边形PCQE 是正方形，在△EPM 和△EQN 中，，∴△EPM ≌△EQN （ASA ）∴S △EQN =S △EPM ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， ∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC=a ，∵EC=2AE ，∴EC=a ，∴EP=PC=a ，∴正方形PCQE 的面积=a ×a=a 2， ∴四边形EMCN 的面积=a 2，故选：D．二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．∴cos∠ECF=．∵∠ECF=30°，CF=8．∴CF=CF•cos30°=8×=4；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DEC中∴△ABF≌△DEC （SAS）；（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠ECF，∴BF∥EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF=90°，∴四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．∴∠ACD=∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD=BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD=AE∴AE+BF=BD+AD=AB；（2）BF﹣AE=AB，如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；（3）AE﹣BF=AB，如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EB C=25°．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．【解答】证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋转可知：CP=CE，BP=BD，∴CA﹣CE=CB﹣CP，即AE=BP，∴AE=BD．又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB；（2）成立，理由如下：连接AE，则△AEC≌△BCP，∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，∵BP=BD，∴BD=AE，∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，∴∠OAE=∠OBD，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB，②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：解法一：当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，∴∠DEC=∠OCE=45°+α．设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，解得：α+β=45°，∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：当AB=DE时，四边形AEBD为矩形则∠DBE=90°=∠DBP，∴点P落在线段BE上．∵△ECP为等腰直角三角形，∴∠EPC=45°，∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD．（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45，答：这个班有45名学生．23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．25．（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF=CG；（2）延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，在△ADE与△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【解答】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH，在△ABH与△ACD中，∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．。

第十二章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC＝( C )A．3 B．4 C．7 D．8,第1题图),第2题图),第3题图)2．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于( B ) A．120°B．125°C．130°D．135°3．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是( B )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．(2015·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD,第4题图),第5题图),第6题图)5．如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( C )A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BF＝DC6．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB 于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为( D )A．60°B．62°C．64°D．66°7．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有( A )A．4个B．3个C．2个D．1个,第7题图),第8题图),第9题图) ,第10题图)8．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为20，30，40，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于( C )A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶59．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当的长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为( B )A ．a ＝bB ．2a ＋b ＝－1C ．2a －b ＝1D ．2a ＋b ＝110．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE ＋AC ＝AB.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则△DEF 的周长为__12__cm ，面积为__6__cm 2.12．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是：__AE ＝AF 或∠EDA ＝∠FDA 或∠AED ＝∠AFD __．,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__13__．14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2 cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF ＝5 cm ，则AE ＝__3__cm .15．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，CE ，BD 相交于O ，则图中全等的直角三角形有__4__对．16．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝__135__度．,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，已知相交直线AB 和CD 及另一直线MN ，如果要在MN 上找出与AB ，CD距离相等的点，则这样的点至少有__1__个，最多有__2__个．18．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC ＝BC，若∠BAC＝80°，则∠BOD的度数为__100°__．三、解答题(共66分)19．(7分)(2015·昆明)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.解：由AAS证△ABC≌△DEF可得20．(8分)如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD ＝CF；③量出DE的长为a m，FG的长为b m．如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？解：合理．理由：由SSS可证△BED≌△CGF，∴∠B＝∠C21．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F 在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.解：先由角平分线的性质得CD＝DE，再由SAS证△CDF≌△EDB，得BD＝DF22．(10分)如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF.求证：(1)∠1＝∠2；(2)CM＝BN.解：(1)由ASA 证△AEB ≌△AFC ，∴∠BAE ＝∠CAF ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，∴∠1＝∠2(2)∵△AEB ≌△AFC ，∴AE ＝AF ，AB ＝AC.由ASA 可证△AEM ≌△AFN ，∴AM ＝AN ，∴AC －AM ＝AB －AN ，即CM ＝BN23．(10分)如图①，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC ，FB ⊥AC ，AB ＝CD.(1)若BD 与EF 交于点G ，试证明BD 平分EF ；(2)若将△DEC 沿AC 方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)先由HL 证Rt △ABF ≌Rt △CDE ，∴BF ＝DE ，再由AAS 证△GFB ≌△GED ，∴EG ＝FG ，即BD 平分EF(2)仍然成立，证法同(1)24．(11分)如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段上以3 cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以相同速度由点C 向点A 运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD 与△CQP 全等时，求点P 运动的时间．解：∵D 为AB 的中点，AB ＝10 cm ，∴BD ＝AD ＝5 cm.设点P 运动的时间是x s ，若BD 与CQ 是对应边，则BD ＝CQ ，∴5＝3x ，解得x ＝53，此时BP ＝3×53＝5 (cm )，CP ＝8－5＝3 (cm )，BP ≠CP ，故舍去；若BD 与CP 是对应边，则BD ＝CP ，∴5＝8－3x ，解得x ＝1，符合题意．综上，点P 运动的时间是1 s25．(12分)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．解：(1)BD＝CE，BD⊥CE.证明：延长BD交CE于M，易证△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠BME＝∠MBC＋∠BCM＝∠MBC＋∠ACB＋∠ACE＝∠MBC＋∠ABD＋∠ACB＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴BD⊥CE(2)仍有BD＝CE，BD⊥CE，证法同(1)。

第12章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是()A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A＋∠ABD＝∠C＋∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC,第1题图),第2题图),第3题图),第4题图)2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()A．PO B．PQ C．MO D．MQ3．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，则∠ABC＝54°，则∠E＝() A．25°B．27°C．30°D．45°4．(2014·南昌)如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是()A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．E F∥BC5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下面结论中错误的是()A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△ABO≌△COD D．△AOD≌△BOC,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是中线AD上的两点，则图中可证明为全等三角形的有()A．3对B．4对C．5对D．6对7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E 处，若∠A＝22°，则∠BDC等于()A．44°B．60°C．67°D．77°8．如图，DE⊥BC于点E，且BE＝CE，AB＋AC＝15，则△ABD的周长为()A．15 B．20 C．25 D．309．如图，AB⊥B C，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则()A．∠1＝∠EFD B．BE＝EC C．BF－DF＝CD D．FD∥BC,第8题图),第9题图),第10题图)10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB＝CE，则下列结论：①DE＝DF，②AE＝AF，③BD＝CD，④AD⊥BC.其中正确的个数有() A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是________．12．若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°，∠FGE－∠E＝56°，则∠A＝________度．13．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件______________，使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可)14．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝________.,第13题图),第14题图),第15题图),第16题图),第17题图)15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________ cm. 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q 两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝________时，才能使△ABC和△APQ全等．17．如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC 于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5 cm，则∠BAD＝________，点O到AB的距离为________ cm.18．已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：____________________________.三、解答题(共66分)19．(6分)如图，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB＝DC，BC＝CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A＝∠D.20．(8分)如图，点B在射线AE上，∠CAE＝∠DAE，∠CBE＝∠DBE.求证：AC＝AD.21．(10分)如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D，连接CD交OE于F.求证：(1)OC＝OD；(2)DF＝CF.22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．23．(10分)如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF，求证：BE＝DF.24．(10分)如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：(1)AM平分∠DAB；(2)AD＝AB＋CD.25．(12分)如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，∠OME＝∠OND，DN和EM相交于点C，CD＝CE.求证：点C在∠AO B的平分线上．第12章检测题参考答案1．C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.A 9.D 10.D 11.1＜AD ＜7 12.32 13.∠C ＝∠E 14.55° 15．3 16.5 cm 或10 cm 17.30°；518.(0，4)或(4，0)或(4，4)(答其中一个即可)19.∵AB ∥DC ，∴∠B ＝∠DCE.又∵AB ＝DC ，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△DCE(SAS )，∴∠A ＝∠D20.∵∠CBE ＝∠DBE ，∴180°－∠CBE ＝180°－∠DBE ，即∠ABC ＝∠ABD ，在△ABC 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠DAE ，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD(ASA )，∴AC ＝AD21.(1)∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，在△OCE 和△ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ECO ＝∠EDO ，∠COE ＝∠DOE ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(AAS )，∴OC ＝OD (2)在△COF 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD ，∠COE ＝∠DOE ，OF ＝OF ，∴△COF ≌△DOF(SAS )，∴DF ＝CF22.(1)∵∠ACB ＝90°，∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠FCE ，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，DC ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS ) (2)∵EF ∥CD ，∴∠E ＝∠D CE ＝90°，∴∠BDC ＝∠E ＝90°23.连接BD.∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CDB(SSS )，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴180°－∠ADB ＝180°－∠DBC ，∴∠BDE ＝∠DBF ，在△BDE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝BF ，∠BDE ＝∠DBF ，DB ＝BD ，∴△BDE ≌△DBF(SAS )，∴BE ＝DF24.(1)过M 作MH ⊥AD 于H ，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥DC ，MH ⊥AD ，∴CM ＝HM ，又∵BM ＝CM ，∴MH ＝BM ，∵MH ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴AM 平分∠DAB (2)∵∠CDM ＝∠HDM ，∴∠CMD ＝∠HMD ，又∵DC ⊥MC ，DH ⊥MH ，∴DC ＝DH ，同理：AB ＝AH ，∵AD ＝DH ＋AH ，∴AD ＝AB ＋CD25．在△MOE 和△NOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OME ＝∠OND ，OM ＝ON ，∠MOE ＝∠NOD ，∴△MOE ≌△NOD(ASA )，∴OD ＝OE ，∵CD ＝CE ，OC ＝OC ，∴△OCD ≌△OCE(SSS )，∴∠DOC ＝∠EOC ，即C 在∠AOB 的平分线上。

新人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》同步检测题一．选择题（共15小题）1．（2016春•寿光市期末）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（）A．BE=EC B．BC=EF C．AC=DF D．△ABC≌△DEF2．（2016春•泉港区期末）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3 B．5 C．6 D．103．（2016春•福田区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE ≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°4．（2016春•永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（）A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点5．（2015秋•饶平县期末）如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D6．（2016•琼海校级模拟）如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F7．（2016春•泰州校级期末）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF8．（2016春•永登县期末）如图：AB∥DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）A．∠B=∠E B．AC=EF C．AB=ED D．不用补充条件9．（2016春•揭西县期末）如图，AB∥EF，AB=EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD（）A．BD=FC B．∠A=∠E C．AC∥DE D．AC=ED10．（2016春•蓝田县期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°11．（2016春•永登县期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD12．（2016春•吉安校级月考）在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形13．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+214．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．315．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共10小题）16．（2016春•洛江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为______．17．（2015•柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF=______．18．（2015秋•青龙县期末）能够完全重合的两个图形叫做______．19．（2015秋•长汀县期末）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=______．20．（2015秋•淅川县期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=______°．21．（2016春•景泰县期末）已知∠B=∠DEF，AB=DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，需添加的条件是______．22．（2016春•福州校级期末）如图，∵∴△______≌△______（SAS）．23．（2016春•普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______．24．（2016春•罗湖区期末）如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为______cm．25．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是______．三．解答题（共5小题）26．（2015秋•盱眙县校级月考）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，求∠A的度数．27．（2014秋•无锡期中）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数和EC的长．28．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．29．（2016•厦门模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC ∥AB，求证：AD=CF．30．（2013秋•陆丰市校级期中）如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．新人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》同步检测题参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2016春•寿光市期末）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（）A．BE=EC B．BC=EF C．AC=DF D．△ABC≌△DEF【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以Rt△ABC与Rt△DEF的形状和大小完全相同，即Rt△ABC≌Rt △DEF．【解答】解：∵RRt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF∴Rt△ABC≌Rt△DEF∴BC=EF，AC=DF所以只有选项A是错误的，故选A．【点评】本题涉及的是全等三角形的知识；解答本题的关键是应用平移的基本性质．2．（2016春•泉港区期末）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3 B．5 C．6 D．10【分析】先根据全等图形的对应边相等，得出PE=BC，再根据BC的长，求得PE的长即可．【解答】解：∵四边形OPEF≌四边形ABCD∴PE=BC又∵BC=10∴PE=10故选（D）【点评】本题主要考查了全等图形的概念，解题时注意：全等图形的对应边相等，对应角相等．3．（2016春•福田区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE ≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而结合平角的定义得出答案．【解答】解：∵△ADE≌△BDE≌△BDC，∴∠ADE=∠BDE=∠BDC，∠AED=∠BED，又∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，∠AED+∠BED=180°，∴∠ADE=60°，∠AED=90°∴∠B=30°．故选（D）【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及平角的定义，得出对应角相等是解题关键．4．（2016春•永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（）A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点【分析】根据全等三角形的性质进行判断，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．【解答】解：∵△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠A=∠ECF，AE=CE，∴AB∥CF，点E是AC的中点∴（A）、（B）、（D）正确；∵∠AED不一定为直角∴AC⊥DF不一定成立∴（C）不正确．故选（C）【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．5．（2015秋•饶平县期末）如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D【分析】根据全等三角形的性质进行分析，从而得到答案，做题时要找准对应边，对应角．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，BC=DA∴AB=CD，∠1=∠2，AC=CA，∠B=∠D，∴A，B，D是正确的，C、AB=AD是错误的．故选C．【点评】本题较简单，只要熟知三角形全等的性质即可，三角形全等时，对应角相等，对应边分别相等，找对应角，对应边是比较关键的．6．（2016•琼海校级模拟）如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F【分析】判定三角形全等的方法主要有SAS、ASA、AAS、SSS等，根据所添加的条件判段能否得出△EAC≌△FDB即可．【解答】解：（A）当AB=CD时，AC=DB，根据SAS可以判定△EAC≌△FDB；（B）当CE∥BF时，∠ECA=∠FBD，根据AAS可以判定△EAC≌△FDB；（C）当CE=BF时，不能判定△EAC≌△FDB；（D）当∠E=∠F时，根据ASA可以判定△EAC≌△FDB；故选（C）【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2016春•泰州校级期末）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2016春•永登县期末）如图：AB∥DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）A．∠B=∠E B．AC=EF C．AB=ED D．不用补充条件【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析即可．【解答】解：∵AB∥DE∴∠D=∠B∵CD=BF∴DF=BC∴AB=ED∴△ABC≌△EDF故选C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS和ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2016春•揭西县期末）如图，AB∥EF，AB=EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD（）A．BD=FC B．∠A=∠E C．AC∥DE D．AC=ED【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【解答】解：∵AB∥EF，AB=EF，∴∠B=∠F，当BD=CF时，可得BC=DF，在△ABC和△EFD中，满足SAS，故A可以判定；当∠A=∠E时，在△ABC和△EFD中，满足ASA，故B可以判定；当AC∥DE时，可得∠ACB=∠EDF，在△ABC和△EFD中，满足AAS，故C可以判定；当AC=DE时，在△ABC和△EFD中，满足SSA，故D不可以判定；故选D．【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．10．（2016春•蓝田县期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°﹣∠1的值．【解答】解：∵∠B=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．11．（2016春•永登县期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．12．（2016春•吉安校级月考）在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】先根据角平分线的性质判断出AD是△ABC的角平分线，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，从而证明△ABC一定是等腰三角形．【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．13．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．14．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．15．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．二．填空题（共10小题）16．（2016春•洛江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为4．【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE=AC，由AB=7，AC=3，根据BE=AB﹣AE即可解答．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE=AC，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=7﹣3=4．故答案为：4．【点评】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．17．（2015•柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF=5．【分析】利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF则EF=5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．18．（2015秋•青龙县期末）能够完全重合的两个图形叫做全等形．【分析】由已知条件，根据全等形的定义进行解答．【解答】解：由全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．所以答案为：全等形．故填全等形．【点评】本题考查的是全等形的定义，属于较容易的基础题．对于基本概念要掌握熟练，这是进一步学习的基础．19．（2015秋•长汀县期末）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=5．【分析】全等三角形，对应边相等，周长也相等．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=4，在△ABC中，△ABC的周长为12，AB=3，∴AC=12﹣AB﹣BC=12﹣4﹣3=5，故填5．【点评】本题考查了全等三角形的性质；要熟练掌握全等三角形的性质，本题比较简单．20．（2015秋•淅川县期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=25°．【分析】根据全等三角形对应角相等可以得到∠CAB=∠EAD，然后两个相等的角减去同一个∠EAB即可得到∠CAE=∠BAD，从而得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB=∠EAD，∴∠CAB﹣∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，即：∠BAD=∠EAC=25°，故答案为25．【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，相对比较简单，解题的关键是发现∠BAD和∠EAC之间的关系．21．（2016春•景泰县期末）已知∠B=∠DEF，AB=DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，需添加的条件是∠A=∠D（或∠ACB=∠F、AC=DF）．【分析】要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【解答】解：要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，则可以添加AC=DF，运用SAS来判定其全等；也可添加一组角∠A=∠D或∠C=∠F运用AAS来判定其全等．故答案为：∠A=∠D（或∠ACB=∠F、AC=DF）．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．22．（2016春•福州校级期末）如图，∵∴△ABD≌△ACE（SAS）．【分析】本题是很据已知条件找对应的全等三角形，关键是先确定出所给条件中，已知的两条边是哪两个三角形的．进而可判断出哪些三角形全等．【解答】解：∵AB、AD和AC、AE分别是△ADB和△ACE的两边，且AB=AC，AD=AE；又∵∠BAC=∠CAB，∴△ADB≌△ACE（SAS）．故填ABD，ACE．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法；在书写三角形全等时要注意各对应顶点要对应，排列位置要一致．23．（2016春•普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【分析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】解：AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．24．（2016春•罗湖区期末）如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为4cm．【分析】由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得DE=AD，而AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，即可求解．【解答】解：∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，∴DE=4cm．故填4．【点评】本题主要考查平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题目比较简单，属于基础题．25．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴BC=AB=3，∴CD=BC•tan30°=3×=，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平线上点到角两边距离相等，∴点D到AB的距离=CD=，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）26．（2015秋•盱眙县校级月考）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，求∠A的度数．【分析】根据全等三角形对应边相等可得OB=OD，全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠D，再根据等边对等角求出∠OBD=∠D，然后求出∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．【解答】解：∵△ABO≌△CDO，∴OB=OD，∠ABO=∠D，∴∠OBD=∠D=（180°﹣∠BOD）=×（180°﹣30）=75°，∴∠ABC=180°﹣75°×2=30°，∴∠A=∠ABC=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．27．（2014秋•无锡期中）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数和EC的长．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，全等三角形对应边相等可得EF=BC，然后推出EC=BF．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣50°=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EF﹣CF=BC﹣CF，即EC=BF，∵BF=2，∴EC=2．【点评】本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，比较简单，熟记性质是解题的关键．28．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．29．（2016•厦门模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC ∥AB，求证：AD=CF．【分析】根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE即可．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．30．（2013秋•陆丰市校级期中）如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．【分析】根据角平分线性质得出P在∠AOB的角平分线上，推出∠AOB=2∠BOC，求出即可．【解答】解：∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∴P在∠AOB的角平分线上，∴∠AOB=2∠BOC=2×30°=60°．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．。

人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62．小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现OCD 与'''O C D 全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 3．如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使DOE ≅FOE ，你认为要添加的那个条件是（ ）A ．OD =OEB ．OE =OFC ．∠ODE =∠OED D ．∠ODE =∠OFE 4D E BC,,12110,60AD AE BE CD BAE ==∠=∠∠=︒=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线BP ，交边AC 于D 点，若5,3AB BC ==，则线段CD 的长为（ ）A ．32B ．53C ．43D ．856．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．如图，在△ABC 中，∠A =90°，BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC 于点D ，CD =4，△CDE 周长为12，则AC 的长是（ ）8．如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB =90°，AE 平分∠BAC ，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交边BC 于点F ，若AB =6，EF =1，则线段AC 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠，ID BC ⊥，ABC 的周长为18，3ID =，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．2710．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）A ．边角边B ．三角形中位线定理C ．边边边D ．全等三角形的对应角相等11．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠FCA 的角平分线BP 、CP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM ⊥BE 于M ，PN ⊥BF 于N ，则下列结论：①AP 平分∠EAC ；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2BAC BPC ∠=∠；④PAC MAP NCP S S S ∆∆∆=+．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 边平分∠ABC ，得到如下结论：①∠AEB ＝90°；②BC +AD ＝AB ；③BE ＝12CD ；④BC ＝CE ；⑤若AB ＝x ，则BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，那么以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤二、填空题13．如图，ABC DCB △≌△，若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，则DC ＝________cm ．14．嘉淇为了测量建筑物墙壁AB 的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC 的顶端对齐建筑物顶端A ，末端落在地面C 处；②把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝_____，此时竹竿末端落在地面E 处；③测得EB 的长度，就是AB 的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____（用字母表示）．15．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是_____．16．如图，任意画一个60BAC ∠=︒的ABC ，再分别作ABC 的两条角平分线BE 和CD ，BE 和CD 交于点P ，连结AP ．有以下结论：①AP 平分BAC ∠；②PD PE =；③BD CE BC =+；④PBD PCE PBC S S S +=．其中正确的序号是_____．三、解答题17．如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D ∠=∠，BE CF =，证明：AE DF =．18．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．19．如图，点E ，F 在线段AD 上，AB ∥CD ，B C ∠=∠，BE CF =．求证：AF DE =．20．如图，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE △≌CDF ；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．21．如图，已知ABC 中，2C B ∠=∠.(1)请用基本尺规作图：作∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE .（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图形中，求证：AB AC CD =+.请完成下面的证明过程：证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=______，在EAD 与CAD 中AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAD CAD ≌△△，∴______C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+______，且2C B ∠=∠，∴B BDE=，∠=∠，∴BE DE∴BE=______，=+.∵AB AE BE=+，∴AB AC CD22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．23．如图，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm．（1）求CD的长．（2）AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC＝DF（），∴AC﹣FC＝DF﹣FC（等式性质）即＝∵AF＝5cm∴＝5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A＝（）∴AB（）24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点，BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．(1)如图①，当AD平分∠BAC时，①AB与AF相等吗？为什么？②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．25．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD ＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．参考答案：1．A【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ∠=︒，CD =3，∴DE =CD =3，∵AB =8，∴△ABD 的面积118312.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选A.【点睛】本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.2．A【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在OCD ∆和O C D '''∆中， OD O D OC O C DC D C '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩，()OCD O C D SSS '''∴∆≅∆．故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．4．B【分析】先证明BD =CE ，然后证明△ADB ≌△AEC ，∠ADE =∠AED =70°，得到∠BAD =∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°，从而求出∠BAD 的度数即可得到答案．【详解】解：∵BE =CD ，∴BE -DE =CD -DE ，即BD =CE ，∵∠1=∠2=110°，AD =AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∠ADE =∠AED =70°，∴∠BAD =∠CAE ，∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°，∵∠BAE =60°，∴∠BAD =∠CAE =20°，∴∠BAC =80°，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．A【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，最后解方程即可．【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，在Rt△ABC中，AC BC222253=4，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，即5CD+3CD=12，∴CD=32，故选：A．【点睛】本题考查了基本作图：作解平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键．6．C【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．【详解】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，根据作法可知：AE =AF ，AM =AN ，在△AMF 和△ANE 中，AF AE MAF NAE AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMF ≌△ANE （SAS ），∴∠AMD =∠AND ，∵AE =AF ，AM =AN ，∴ME =NF ，在△MDE 和△NDF 中，MDE NDF AMD AND ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDE ≌△NDF （AAS ），MDE NDF S S ∴=△△所以D 点到AM 和AN 的距离相等，∴AD 平分∠BAC ．综上，能判断射线AD 平分∠BAC 的是图1和图3．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．7．B【分析】根据角平分线的性质得到AE =DE ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC ，∠A =90°，∴AE =DE ，∵△CDE 的周长为12，CD =4，∴DE +EC =8，∴AC =AE +EC =8，故选：B ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．B【分析】延长BE 交AC 于H ，证明HAE BAE ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出AH ，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：延长BE 交AC 于H ， AE 平分BAC ∠，HAE BAE ∴∠=∠，在HAE ∆和BAE ∆中，HAE BAE AE AEAEH AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()HAE BAE ASA ∴∆≅∆，6AH AB ∴==，HE BE =，HE BE =，AD DB =，//DF AC ∴，HE BE =，22HC EF ∴==，8AC AH HC ∴=+=，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．D【分析】过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3，然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△，据此即可求得．【详解】解：过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，∵AI ，BI ，CI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ，∴IE =IF =ID =3，∴ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．10．A【分析】根据O 是AD 与BC 的中点，得到OA =OD ，OB =OC ，根据∠AOB =∠DOC ，推出△AOB ≌△DOC ，是SAS ．【详解】∵O 是AD 与BC 的中点，∴OA =OD ，OB =OC ，∵∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC (SAS)．故选A ．【点睛】本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．11．D【分析】过点P 作PD ⊥AC 于D ，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt △P AM ≌Rt △P AD ，根据全等三角形的性质得出∠APM ＝∠APD ，同理得出∠CPD ＝∠CPN ，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．【详解】解：①过点P 作PD ⊥AC 于D ，∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠FCA ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，PD ⊥AC ，∴PM ＝PN ，PN ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴AP 平分∠EAC ，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°，在Rt △P AM 和Rt △P AD 中，PM PD PA PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），∴∠APM ＝∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD ＝∠CPN ，∴∠MPN ＝2∠APC ，∴∠ABC +2∠APC ＝180°，②正确；③∵PC 平分∠FCA ，BP 平分∠ABC ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ＝2∠PCN ，∠PCN ＝12∠ABC +∠BPC ， ∴()1122PCN ABC BPC ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠BAC ＝2∠BPC ，③正确；④由②可知Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ）∴S △APD ＝S △APM ，S △CPD ＝S △CPN ，∴S △APM +S △CPN ＝S △APC ，故④正确，故选：D【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．D【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC +∠BAD ＝180°，又BE 、AE 都是角平分线，可以推出∠ABE +∠BAE ＝90°，从而得到∠AEB ＝90°，然后延长AE 交BC 的延长线于点F ，先证明△ABE 与△FBE 全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE ＝EF ，然后证明△AED 与△FEC 全等，从而可以证明①②⑤正确，AB 与CD 不一定相等，所以③④不正确．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∵AE 、BE 分别是∠BAD 与∠ABC 的平分线，∴∠BAE ＝12∠BAD ，∠ABE ＝12∠ABC ，∴∠BAE +∠ABE ＝12（∠BAD +∠ABC ）＝90°，∴∠AEB ＝180°﹣（∠BAE +∠ABE ）＝180°﹣90°＝90°，故①小题正确；如图，延长AE 交BC 延长线于F ，∵∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE ，在△ABE 与△FBE 中，90ABE FBE BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝ ， ∴△ABE ≌△FBE （ASA ），∴AB ＝BF ，AE ＝FE ，∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠F ，在△ADE 与△FCE 中，EAD F AE FE AED FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴AB ＝BF ＝BC +CF ＝BC +AD ，故②小题正确；∵△ADE ≌△FCE ，∴CE ＝DE ，即点E 为CD 的中点，∵BE 与CE 不一定相等∴BE 与12CD 不一定相等，故③小题错误；若AD ＝BC ，则CE 是Rt △BEF 斜边上的中线，则BC ＝CE ，∵AD 与BC 不一定相等，∴BC 与CE 不一定相等，故④小题错误；∵BF ＝AB ＝x ，BE ⊥EF ，∴BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，故⑤小题正确．综上所述，正确的有①②⑤．故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE ⊥AF 并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 13．4【分析】由ABC DCB △≌△，可得AB =DC ，已知AB =4cm ，即可得DC 的长度，做题时要找准对应边．【详解】解：∵ABC DCB △≌△，∴AB ＝DC ＝4cm ．故答案为4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，题中条件虽多但找到相应关系即可得解，不需要用到所有条件，关键是找准对应边．14． CB ##BC HL【分析】根据题意，将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌即可求解．【详解】解：由③可得将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌，故把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝CB ，证明90,,ABC EBD AC ED DB CB ∠=∠=︒==，∴Rt Rt ABC EBD ≌（HL ）故答案为：CB ，HL ．【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL 的性质与判定是解题的关键．15．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∴S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16．①②③④【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出PBC PCB ∠+∠的度数，再由三角形内角和定理可求出120BPC ∠=︒可知120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，由角平分线的性质可知AP 是BAC ∠的平分线，由此判断①；由全等三角形的判定定理可得出PFD PGE ≌，由此判断②；由三角形全等的判定定理可得出BHP BFP ≌，CHP CGP ≌，然后根据全等三角形推出BC BD CE =+，由此判断③，根据全等可得PBD S 、PCE S 和PBC S 的关系，由此判断④，由此即可解答本题．【详解】∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，60BAC ∠=︒， ∴11(180)(18060)6022BA B C PBC PC ︒-∠=︒+∠-︒=∠=︒， ∴()180********BPC PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥于F 点，PG ⊥AC 于G 点，PH ⊥BC 于H 点，∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥， ∴PF PH PG ==，∴AP 平分BAC ∠，故①正确；由①可知：PF PH PG ==，∵60BAC ∠=︒，90AFP AGP ∠=∠=︒，∴120FPG ∠=︒，∵120DPE ∠=︒，∴DPF DPE EPF FPG EPF EPG ∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴PFD PGE ASA ≌（）， ∴PD PE =，故②正确；又∵BP BP =，PF PH =，∴()Rt BHP Rt BFP HL ≌，同理：Rt CHP Rt CGP ≌，∴BH BD DF =+，CH CE GE =-，两式相加得：+=++BH CH BD DF CE GE -，∵PFD PGE ASA ≌（）， ∴DF GE =，∴BD CE BC =+，故③正确；∵PF PH PG ==，∴PBD △，PCE ，PBC △，的高相等，∵BD CE BC =+，∴PBD PCE PBC S S S +=，故④正确；故答案是：①②③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．17．见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D ∠=∠，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．19．见详解【分析】由题意易得A D ∠=∠，然后可证ABE DCF △≌△，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴A D ∠=∠，∵B C ∠=∠，BE CF =，∴ABE DCF △≌△（AAS ），∴AE DF =，∵,AF AE EF DE DF EF =-=-，∴AF DE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．20．(1)见解析； (2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：∵BE ∥CF ，∴∠BED =∠CFD ，∵∠BDE =∠CDF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：由（1）结论可得DE =DF ，∵EF =AE -AF =15-8=7，∴DE =72； 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS ）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．21．(1)见详解(2)∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；（2）先证明()EAD CAD SAS ≌，再结合AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示即为所求；（2）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=∠DAE ，在EAD 与CAD 中，AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD CAD SAS ≌，∴∠AED C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，∴B BDE ∠=∠，∴BE DE =，∴BE =CD ，∵AB AE BE =+，∴AB AC CD =+．故答案是：∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD ．【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．22．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；（2）证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ≌△DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ≌△DEF ，可以得到∠A =∠D ，从而可以得到AB 与DE 平行．【详解】解：（1）∵△ABC ≌△DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∵AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∵△ABC ≌△DEF （已知）∴∠A ＝∠D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．(1)①AB AF =，理由见解析；②DF AC ⊥，理由见解析；(2)见解析【分析】（1）①SAS 证明AEF AEB △≌△，即可推出AB AF =；②根据AD 垂直平分BF 可得BD DF =，进而SSS 证明ADF ADB ≌，可得90DFA DBA ∠=∠=︒，即可求解．（2）过点C 作CG BC ⊥，交BF 的延长线于点G ，ASA 证明ABD BCG △≌△,可得DB CG =，进而证明△FCG ≌FCD ()SAS ，得出FDC FGC ∠=∠，根据同角的余角相等，可得G ADB ∠=∠，等量代换可得∠FDC ＝∠ADB ．（1）①AB AF=，理由如下，AD平分∠BAC，FAD BAE∴∠=∠，BF⊥AD，AEB AEF∠=∠∴，又AE AE=，∴AEF AEB△≌△，∴AB AF=；②DF AC⊥，理由如下，AEF AEB△≌△，EF EB∴=，又AD FB⊥，DF DB∴=，在ADF△与ADB中AD ADAF ABDF DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ADF△≌ADB()SSS，90ABC∠=︒，∴90DFA DBA∠=∠=︒，即DF AC⊥；（2）过点C作CG BC⊥，交BF的延长线于点G，如图，90GCB DBA∴∠=∠=︒，BF AD⊥，90ABC∠=︒，∴90,90 GBD ADB ADB DAB∠+∠=︒∠+∠=︒，GBD DAB∴∠=∠，又AB BC=，∴ABD BCG △≌△()ASA ，DB CG ∴=，点D 为BC 的中点，BD CD ∴=12BC =， CG CD ∴=， ,90AB AC ABC =∠=︒，45ACB ∴∠=︒，45FCB FCG ∴∠=∠=︒，在△FCG 与FCD 中，CG CD GCF DCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCG ≌FCD ()SAS ，FDC FGC ∴∠=∠，,CG CB AD BF ⊥⊥，FBD ADB FBD G ∴∠+∠=∠+∠，G ADB ∴∠=∠，∴∠FDC ＝∠ADB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25．(1)∠ADF =45°，ADDF ；(2)①成立，理由见解析；②1≤S △ADF ≤4.【分析】（1）延长DF 交AB 于H ，连接AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，得BH =CD ，再证明△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；（2）①过B 作DE 的平行线交DF 延长线于H ，连接AH 、AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，延长ED 交BC 于M ，再证明∠ACD =∠ABH ，得△ACD ≌△ABH ，得AD =AH ，等量代换可得∠DAH =90°，即△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；②先确定D 点的轨迹，求出AD 的最大值和最小值，代入S △ADF =214AD 求解即可．【详解】（1）解：∠ADF =45°，AD ，理由如下：延长DF 交AB 于H ，连接AF ，∵∠EDC =∠BAC =90°，∴DE ∥AB ，∴∠ABF =∠FED ，∵F 是BE 中点，∴BF =EF ，又∠BFH =∠DFE ，∴△DEF ≌△HBF ，∴BH =DE ，HF =FD ，∵DE =CD ，AB =AC ，∴BH =CD ，AH =AD ，∴△ADH 为等腰直角三角形，∴∠ADF =45°，又HF =FD ，∴AF ⊥DH ，∴∠F AD =∠ADF =45°，即△ADF 为等腰直角三角形，（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，②由①知，S△ADF=12DF2=14AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．。