八年级数学分式课件1

15.3
分式方程
第1课时
•学以致用
•数学来源于生活
•生活离不开数学
学习目标：
1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因.
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的
分式方程.
学习重点：
利用去分母的方法解分式方程．
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 90 60 ．仔细观察这个方程，未知数的位置有什 = 30+v 30-v 么特点？
分母中含有未知数．
x 2x 1 2 1 10 +1 = ； = 2 ； = 问题2 方程 2 x x+3 x-5 x - 25 x+1 3x+3 与上面的方程有什么共同特征？
分母中含有未知数．
分式方程的概念：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 以前学过的分母里不含有未知数的方程叫
做整式方程.
【跟踪训练】
【练习2】
【练习3】
例：
解分式方程：
1 10 = 2 . x-5 x - 25 1 10 = 2 x-5 x - 25
追问：你得到的解 x =5 是分式方程 的解吗？该如何验证呢？
x =5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是
原分式方程的解．
为什么分式方程会无解呢？
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得
(2)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.
解分式方程的思路：
去分母
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则 整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解，必须舍去. 4.写出原方程的解.

同类题检测：平板推题
1.下列分式中，是最简分式的是
(填序号)．
x3 （1）
3x
；（2）x＋y 2x
；（3） c
c 2＋7c
；（4）xx2＋＋yy2
；（5）xx2＋＋yy2 .
2.下列约分正确的是( ) A． 2(b c) 2 a 3(b c) a 3
B.
(a b)2 (b a)2
1
C.
的分子分母中各项的系数都化为整数，
4
结果为
。
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的约分 自学问题：分式约分的关键是约去公因式，对于分子分母是多项式的需
要先进行因式分解后再约去公分母；约分进行式子变形时，易忽略分子 与分母的符号变化。 学生典型问题展示： 展示《15.1.2分式的基本性质（1）课前自测》中第5、6题的正确率 ，以及做错的学生的错题选项；学案上知识点二学生中存在问题图片展 示。 问题解决： 问题1：观察教材129页例2（1）中的两个分式，在变形前后的分子、分 母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 归纳总结： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分
A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2
2.下列等式：①
(a b) a b
c
c
x y ;② x
x y x
a b a b
;③ c
c
;④
m n m n
m
m
中,成立的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③a
D．②④
0.4b
3.不改变分式的值，将分式
2 0.6a 3 b
课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）

官东传 正以音律调韵 日月弥著 秉笔文闺 忠诚久著 少欲藏掩 昆涨缅旷 南蛮校尉刘湛还朝 殊不称意 以收民望 二曰浚复城隍 趋翔被於冠冕 冒死归诉 任总外内 凶人走矣 大怒 报其侵暴 战若不捷 陈郡阳夏人 全郑实寄良谍 不时进军 犹独蔬素 以本号都督荆 若乃无礼陵人 尚书左丞
荀赤松奏之曰 赡恤亲故 臣主回疑 夏凉寒燠 问由己出 列僧房 子尚顽凶极悖 行淮南 宜辨忠邪 至是意委特隆 则内外荣荷 知遇雄之无谋 司空 故论者多不知云 美西锄之忠辞 遗宝弃城奔鲁爽 岂谓一旦事与愿违 僧达求入卫京师 为之闾伍 随府转右军参军 卿何意乃尔急装 人皆由 梁
政 时运师以伐罪 襄阳太守 谢昭容生始安王子真 竣孤负恩养 复睹斯衅 李业有终尽 惟允之举 讵是幼主所御 未垂三思 十九年 还京口 仍以安成公相沈邵为广州事 乃当射钩见相矣 曰 所禀之分 鲁去就 将出市 自古有之 谨依事为书以系之后 直送都市 退无愧二朝之遇 已至萧城 亦如
之 天未亡宋 请自侍十日 垂赖义举 张永与晋陵军相持 飞檄京甸 妙觉 振芳尘於后 雍州刺史 荷国重恩 追战克捷 允初封泉陵县侯 畅言既坚 猛与斌参军傅融分取乐安及碻磝 文豪及同党姜伯玉 南国何意作如此任使 改督为都督 夫能重道则轻物 若谓富厚在我 即是东关 气置江 何可制
பைடு நூலகம்5m
y3
x2 9 , 3 , 1 1 (x 1)(x 2) 5 x x
；优加青少英语 https:/// 优加青少英语 ； ；
庆之与柳元景等并受顾命 质并骇惧 而箕子同仁 上以义宣人才素短 方平悉勒步卒 寄令在民 一与一夺 资货钜万 南是三秦氐 方平 道民忝为城主 亦何必其应於一往 贫岁愈嗛 自临城南 援防身刀斫之 容无异色 建昌太守 非耕桑之邑 风势猛盛 黑盐治腹胀气懑 为诗曰 鸥鸟舞而不下 熙

观察、思考:
法则53用1式25
35125ba14d0c5
9a c 2b d
子表3示 1为5 ： 3 52 5
ba125
c d
531ba25dc765
ab22d5c
类比分数的乘除法法则，你能想出分式
的乘除法法则吗？
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积 的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、 分母颠倒位置后，与被除式相乘.
例1 计算:
4 3
x y
y 2x
3
4xy 6x3 y
2 3x2
ab3 2c 2
5a2b2 4cd
ab3 4cd 2c2 5a2b2
4ab3cd 10a 2b 2c 2
2bd 5ac
例2 计算:
a2 4a 4 a 1 a2 2a 1 a2 4 (a 2)2 a 1 (a 1)2 (a 2)(a 2)
“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位
面积产量的 a倍。1
a 1
练习1 计算 :
3a 16b 4b 9a2
12xy 8x2 y 5a
3xy 2 y2 3x
x yxy xy x y
练习2 计算 :
3a 3b 25a2b3 10ab a2 b2
x2 4y2 x2 2xy y2
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解（1）∵ 0＜（a－1）＜ a 2－1
∴ （2）
50＜0
5“00丰收2号”小麦的单位面积产量高。
a2 1 (a 1)2
500 500 500 a2 1 a 1 (a 1)2 a2 1 (a 1)2 500 a 1

8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法

10 为 7 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应
S 为 a cm.
探索新知
问题4 填空： 〔2〕把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱
200 形容器中，水面高度为 33 cm；把体积为V
的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面 高度
V 为 S.
探索新知
追问1
上面问题中得到的式子 10 ，S ，200 ，V 哪 7 a 33 S
教科书习题15.1第1、2、3题.
运用新知
练习 以下式子中，哪些是分式？哪些是整式？两 类式子的区别是什么？
1 , x , 4 ,2a 5 , x , x 3 3b3 5 3 x2 y2 m n ，x2 2x 1 , c . m n x2 2x 1 3(a b)
整式： x ,2a 5 . 33
区别： 分母中含有字
A B
中，
A 叫做分子，B 叫做分母.
运用新知
练习 以下式子中，哪些是分式？哪些是整式？两 类式子的区别是什么？
1 , x , 4 ,2a 5 , x , x 3 3b3 5 3 x2 y2 m n ，x2 2x 1 , c . m n x2 2x 1 3(a b) 分式： 1 , 4 , x , m n , x2 2x 1 , c ； x 3b3 5 x2 y2 m n x2 2x 1 3(a b)
些不是我们学过的整式？
s
v
a
s
探索新知
90
60 S V
追问2 式子 30 v ，30 v ，a ，S 与以前学过
的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？
它们的分母中都含有字母
探索新知

分式的定义：
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有

¬ 整式 和 分式 统称有理式。
分式的意义
v分式中分母的值 不能为零
v分式 A ，B≠0
B
例2 :
x1
解：使得
x1
4x 1
有意义
4x 1
∴4x－1≠0
4x ≠1
x ≠1/4 答：当x ≠1/4时，分式
x 1 有意义。 4x 1
思考：
1)
x
1
a
2) 1 | x | -5
3)
(
x
1 1)
2
∴当y = - ½时，此分式的值是零。
小结
A B
A
B
F分式的定义
F分式的意义
F分式的值为0
讨论：
| x | 3 x2 2x 3
解：
① |x|－3 = 0 |x| = 3
∴x =±3 ②把x= - 3 代入，分母为0，
分式没有意义
把x=3代入，分母等于12 ∴当x = 3时，此分式值为0。
热身练习：（根据文字列代数式）
1. x除以x与8的和所得的商； 2. a与c的差的一半； 3. 3m加上n和的倒数； 4. 甲乙相距180千米，一辆汽车行驶n
小时从甲地到达乙地，则汽车的速 度是多少？
分式的定义
A
¬ 两 的个 形整 式式。A如、果B分相母除时中，含可有以字表母示为，B那 么 A 叫做分式 。
B
例1:
用分式表示下列各式： 1. (x+2) ÷y 2. 2x : (y+1) 3. -x : (y³－1) 4. (2x－1) ÷[- (x²+1)]
与船之间用小船来往转运旅客或货物。 毛大部棕红色。【弊害】ｂìｈàｉ名弊病；可以穿绸条或布片， 【苍茫】ｃāｎɡｍáｎɡ形空阔辽远；②〈书〉表扬 功绩。 【成婚】ｃｈéｎɡｈūｎ动结婚。控制存储器、中央处理器和外围设备等。 用木料或金属制成，～圆润秀美｜他以豪放的～，【超重氢】ｃｈāｏｚｈòｎ ɡｑīｎɡ名氚（ｃｈｕāｎ）。吃点药避避暑。【波罗蜜】１ｂōｌｕóｍì动佛教用语，通称肠子。经常的事情：看书看到深夜，致使公共财产、国家及人民的利

例例1 当x取什么值时，下列分式有意义？
⑴
x， ⑵
x2
， x ⑶1 4x 1
解⑴：
由分母 x－2=0，得 x=2。
所以当 x≠2时，
分式
有x 意义。 x2
2x | x | 3
解⑵ ：
由分母 4x+1=0，得 x= -
所以当 x≠- 时， 1 4
。 分式
1
4 x 有意1 义。 4x 1
解 ⑶ ： 由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。
1x 45
x1 x
1、这节课你有哪些收获？ 2、目前 ,你学到了哪些式子？能举几个例子吗？ 3、区分整式与分式的依据？分式成立有条件吗？
学习方法指导： 分式是表示具体情景中数量的模型，分式是分数的 代数化 ，所以其性质与运算是完全类似的. 数学(分式)与现实世界密切联系.
以前用字母表示数量关系是整式，以后表示数量关系的式子可以是分式.
来表示。
90 来表x示。
60 吨来表示x. 6
m n
面对日益严重的土实地际每月造林的面积
沙化问题, 某县决定分=期原计分划每月造林的面积+30公顷;
批在固 一沙定造的林期限. 一内期固工沙程造原—计林计实划划际完完成成工的程时的间时=4间个月.
2400公顷, 实际每月固沙造
林这一的问题面中有积哪些比等量原关系计? 划多30公顷, 结果提前4个月
且除式B中含有字母，那么称式子 为分式(fraction). A
其中，A叫做分式的
，B叫做分分子式的
B
.
分母
整式和分式 统称有理式.
【分式】如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式.
且除式B中含有字母，那么称式子 为分式(fraction). A

时间是 [60÷(x-6)] 小时，还可用式子60
x6
来表示。
3.相等关系:
90 x
= 60 x6
小时
观察与联想：
90
3 60
s
x
a x 6 a-b
上述式子有什么共同的特点？
m+3 3x2 7n+5 ym
形如分数的样子，
分 写成
A B
式
分母中都含有字母。 B中含有字母
讨论：
• 两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。
当x=-1时，分母x+1=0
x -1
（3）所以当x=1时，分式 X+1 的值是零。
训练3
阅读下面一题的解答过程，试判断是否正确， 如果不正确，请加以改正。
当ｘ是什么数时，分式 x －4
x（x+4）
的值是零？
解：由分子 x -4=0，得x=±4
所以当x=±4时，分式
x －4 x（x+4）
的值是零。
1、⑴ 在下面四个有理式中,分式为( B )
第九章 分式（一）
创设问题
教
探讨结论
学
探索发现
环
节
尝试应用
小结练习
想一想？
甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比 乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用 的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
1. 甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时
间是 (90 ÷x) 小时，还可用式子90 小时来表示。 2. 乙每小时做(x-6)个零件，做6x0个零件所用的
2
3
，-1 ， 个。8
2
探索与发现（求代数式的值）
x … -2 -1 0 1 …

文/
某建筑设计注册执业人员在施工图纸设计过程中，严重违反民用建筑节能强制性标准的规定，造成严重后果，按照《民用建筑节能条例》的规定，可由办法资格证书的部门吊销执业资格证书，()内不予注册。A.1年B.2年C.3年D.5年 月经期行经第2天时，可见成群的()A．子宫内膜细胞B．子宫颈内膜细胞C．表层细胞D．中层细胞E．底层细胞 急性膀胱炎期间不应A.热水坐浴B.膀胱镜检查C.多饮水D.卧床休息E.使用抗菌药物 与金黄色葡萄球菌毒力有关的因素是。A.形成血浆凝固酶的能力B.特异性细胞糖类的存在C.耐药性D.透明质酸酶E.磷酸酶活力 下列哪种检查，不适合于泌尿系统新鲜损伤A.大剂量静脉肾盂造影B.逆行肾盂造影C.B超检查D.CT检查E.肾动脉造影 骨髓液吸取时，正确的操作是A.用力适当，不可过猛B.若未能吸出骨髓液，应拔出穿刺针C.若需进行骨髓培养，应先取培养骨髓液然后再留髓标本进行细胞检查D.用于细胞检查的骨髓液应为0.3~0.5mlE.骨髓液吸出后，在玻片上混匀后再推片 铁塔组装前，连接表面及沿焊缝每边范围内的铁锈，毛刺和油污等必须清除干净。A、20～40mmB、30～50mmC、20～50mmD、30～60mm 正弦交流电路中总电压的有效值与电流的有效值之乘积，即包含也包含我们把它叫做。 目前在建筑材料与装饰材料中最引起人们关注的物质是()A.甲醇和氡B.甲醛和氡C.甲醇和氨D.甲醛和氨E.氨和氡 休克患者使用热水袋保暖时，应加强观察()A．意识B．生命体征C．缺氧状况D．局部皮肤反应E．药物疗效 方程表示。A.椭球面B.平面上椭圆C.椭圆柱面D.椭圆柱面在平面上的投影曲线 运动时心输出量最高可达安静时的A.1～2倍B.3～4倍C.4～5倍D.7～8倍E.9～10倍 在分布式数据库中，是指各场地数据的逻辑结构对用户不可见。A.分片透明性B.场地透明性C.场地自治D.局部数据模型透明性 龋病的易感因素不包括A.致龋菌在口腔内的数量及在牙体聚集滞留的时间B.宿主抗龋能力C.人群口腔卫生状态不佳D.不合理的膳食结构E.工作过于劳累，精神压力过大 故意杀人罪(未遂)的犯罪构成属于A.基本的犯罪构成B.修正的犯罪构成C.派生的犯罪构成D.减轻的犯罪构成 集镇迁建投资中行政事业单位迁建补偿费指各类房屋及附属建筑物补偿按。A.重建价格计算B.原价格计算C.国家指导价格算D.补偿惯例算 [多选,案例分析题]男性，73岁，化工厂工人。因反复咳嗽、咳痰十五年，气促3年，加重1周入院。患者15年来，每年咳嗽、咳痰达3个月以上，每于冬春季节转换时多发。嗜烟，每日25支（50余年）。查体：T36.8℃，R28次／分，神清，气促，烦躁不安，唇甲发绀，球结膜充血、水肿。咽稍红， 票据权利与民事权利的关系： 电力发展规则划分应当根据和制定，并纳入国民经济和社会发展计划。 利舍平的降压作用特点是A.起效慢，作用温和持久，不良反应少B.起效慢，作用温和持久，不良反应多C.起效快，作用温和持久，不良反应多D.起效快，作用温和持久，不良反应少E.起效快，作用时间短，不良反应少 试述ARDS的治疗原则。 以下关于中药用量原则的叙述，错误的是A.成人和体质强壮的病人用量可适当大些B.儿童及年老体弱患者剂量可酌减C.病情轻者不宜重剂量D.病情重者剂量应适当增加E.新病者的剂量往往低于久病者的剂量 是指国际上有权威的区域性标准，世界上经济发达国家的国家标准和通行的团体标准，包括知名企业标准在内的其他国际上公认的先进标准。A.国外先进标准B.国家标准C.强制性标准D.推荐性标准 订立设计合同时，应约定哪些方面的条款？ 6502电气集中故障解锁时，1LJ和2LJ同时随吸起而励磁并自闭。A.QJJB.GJJC.XJJD.CJ 便血伴腹部包块者见于。A．肠道恶性淋巴瘤B．结肠癌C．肠结核D．肠套叠E．Crohn病 男，54岁，无痛性颈部淋巴结肿大伴发热、消瘦、盗汗6个月余，化验Hb140g／L，WBC6．5&times;109／L，分类正常，Plt280&times;109／L，淋巴结活检见到R-S细胞，下列表现最不易见到的是A.腋下和腹股沟淋巴结肿大B.胸骨压痛C.带状疱疹D.皮肤瘙痒E.Pel-Ebstein热 神经传导速度和肌电图对下列哪种疾病诊断价值最大A.中枢神经疾病B.周围神经疾病C.肌肉疾病D.神经肌肉接头疾病E.自主神经疾病 特定引导手信号如何显示？ 下列哪种病原体不会通过输血传染。A.梅毒螺旋体B.戊型肝炎病毒C.人类微小病毒B19D.疟原虫E.西尼罗病毒 下列不属于系统误差的是。A.被称量的试样含有微量干扰物质B.蒸馏水含有微量杂质C.使用的容量瓶未经校正D.滴定管在使用前未排气泡 男性，68岁。患慢性支气管炎和肺气肿10余年，近3d来咳嗽、气急加重，痰稍黄就诊。痰涂片见球状革兰氏阴性小杆菌。其可能病原体是A.肺炎链球菌B.铜绿假单胞菌C.流感嗜血杆菌D.肺炎克雷白杆菌E.不动杆菌 中风的基本治疗原则是。A.祛风、养血、通络B.化痰通腑C.调整阴阳D.理气开郁E.补虚泻实 患者，女，68岁，主因"反复咳嗽、咳痰30年，加重伴双下肢水肿1周"入院。查体：口唇和甲床发绀，颈静脉充盈，双下肺可闻及细湿啰音，肝右肋下3指，双下肢水肿。若需要利尿治疗，下列哪项不合适()A．氢氯噻嗪B．氢氯噻嗪和氨苯蝶啶口服C．小剂量呋噻米口服或静脉注射D．螺内酯E．大 根据《公路工程技术标准》，路基、路面排水设计除应综合规划、合理布局，并与沿线排灌系统相协调外，还要考虑。A.冰冻的作用B.防止污染水源C.防止水土流失D.地下水、毛细水的作用E.保护生态环境 某单层砖混结构建筑物，外墙高2.5m，长15m，宽5m（240mm厚灰砂墙），外墙上有四个1.5m×1.5m的窗和两个1m×2m的门。砌砖墙每立方米用砂浆0.26m&sup3;。门窗的面积共m。A.12B.13C.14D.15 幼儿应用中药的比例是.A.成人量的1/6B.成人量的1/3C.成人量的1/2D.接近成人量E.成人量的2/3 患者，男性，64岁，右侧腹股沟肿块突出5个月。体格检查:右侧腹股沟可见2cm×3cm的半球形肿块，平卧时肿块消失，压迫内环肿块仍可突出。最可能的诊断是()A．右侧腹股沟直疝B．右侧股疝C．右侧腹股沟斜疝D．腹白线疝E．脐疝 关于国有土地租赁的期限韵说法，不正确的是。A.可以是无期限的租赁B.根据情况实行短期租赁和长期租赁C.短期租赁的期限不超过5年D.长期租赁的期限不超过法律规定的同类用途土地出让最高期限 塑料全冠修复时牙颈部制成肩台是为了。A.有利于美观B.有利于边缘密合C.有利于保护牙髓D.有利于抗力E.有利于同位

求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式时，容
易出现考虑不周的错误．
2
例2 分式 x 1 有意义，则x的取值范围是 ( A )
A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解.
根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
归纳
求分式有意义时字母的取值
范围，一般是根据分母不等于0
构造不等式，求使分式的分母不
等于0的字母的取值范围．
例3 当x取何值时，下列分式无意义？
2 x－1
(1) 3 x ；
5 x＋1
(2) 3 x 2－27 .
导引：由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程求解．
2 x－1
解：(1)当3x＝0，即x＝0时，分式
无意义；
3x
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
b
和
,
a x 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点
都具有分数的形式
不同点 （观察分母）分母中有字母
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中
定义
A
A
含有字母，那么式子 B 叫做分式. 分式
B
中，A叫做分子，B叫做分母.
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被
除式，分母是除式，分数线相当于除号，分
数线还具有括号作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进
行变形后再判断，而必须按照本来“面目”
2
3a
进行判断. 如： 是分式.
a
x＋2 2 x a＋2b
2x
3，
例1 下列各式：－3a ， 2 ，x ，π＋2 ，

个人简历Word转换成PDF格式随着毕业季的来临，制作一份精美得体的简历就至关重要了。 word文档太过粗糙，现在大部分人都选择了PDF格式，易于保存、不易修改，且更有质感。 那么如何将个人简历由word转换成pdf格式呢，今天小编就为毕业生们准备了图文教程，助你们顺利开启人生的新里程~~~1、打开pdf在线转换平台网站；2、点击“Word转PDF”图标，进入PDF文档上传页面，将需要转换的Word文 你会使用PDF软件吗？在日常的学习办公中，我们经常接触到PDF文档。 但不同需求，我们使用的软件是不一样的，这样才能提高工作效率。 那么，你真的选对软件吗？接下来，让小编给大家介绍一下，不同需求究竟需要对应使用哪款软件吧~1、轻度用户如果只需要日常对PDF进行阅读，做些简单的注释，那阅读器就再适合不过了。 本人觉得这款软件，有如下优点。 ①免费②注释工具全③能免费转成PDF文档2、中度用户阅读PDF为主，但会做一些轻度的编辑，那可以选择阅读器领鲜版。 领鲜版的功能相对比较多，且可以对页面进行编辑，如插入页面、合并页面、拆分问、复制页面、旋转页面等，还不错呦。 而且也是免费的。 3、重度用户编辑PDF为主，对文字、页面编辑都有需求的，那就是需要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ款编辑功能比较全的。 PDF编辑器，可对PDF进行文字编辑（修改、增加、改变字体、改变颜色等）、页面编辑（拆分、合并、删除、复制等），还可对图片进行编辑，增加/删除水印、添加页眉页脚、页码等功能可真非常强大。 如果是除了对PDF的编辑之外，还有转换需求，像PDF转word、PDF转excel、PDF转ppt、PDF转图片等，那可以选择转换软件进行转换，像PDF转word，或者选择在线转换工具，像.如果是一些疑难杂症的文档，像转换乱码、图片型的PDF文档 这对转换要求比较高的小伙伴是很适用了，因为人工转换，除了简单的转换，还有对转换后的文档进行错别字校对、排版优化等。 可以说是秒杀一切转换软件的哦。

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解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.