误差的表示方法

测量误差的三种表达方式 - 电工仪器仪表当进行任何一个测量时，由于测量设备、测量方法、测量环境、人们对客观规律的生疏等，均不行能完善无缺，这些因素致使测量结果受到歪曲和失真。

其表现为我们对某一物理量，或某一被检量具或器具进行多次测量时，各次测量的结果并不完全一样，所测得的值并不就是被测量的真值，也就是说测量结果与被测量的真值之间存在肯定的差值，这个差值就是测量误差。

测量误差的表达方式有确定误差、相对误差及引用误差三种。

1.确定误差确定误差是测得的值与其真值之差，即测量误差=（测得值）-（真值）此误差是最为普遍和常见的的误差。

它可能是正值，也可能是负值，其符号取决于测得值的大小。

明显测量误差的大小打算了测量的精确程度。

测量误差愈小，说明测量愈精确。

2.相对误差确定误差表示法有它不足之处，不能精确地反映测量的精确度。

为能精确地反映测量的精确度，提出了相对误差的概念。

相对误差等于确定误差与真值的比值，用百分数表示即相对误差=【确定误差值/真值】(100%)≈【确定误差值/测得值】(100%)相对误差是只有大小和符号而无量纲的量。

它不仅可反映测量结果的精确度，而且也便于对不同测量方法进行比较。

3.引用误差上述相对误差虽然可较好地反映测量仪器及量具精确度，但是如用相对误差表示仪表整个量限的精确度，则有很多不便之处。

由于仪表在各量限内各刻度点，所测的量是不同的数值，其公式的分母相应转变，因此各点测出的相对误差也随之转变。

为了能便利地计算和划分测量仪表的精确度级别，在用相对误差公式求相对误差时，将分母的数值选为仪表的测量上限（满刻度）值，从而导出了引用误差的概念。

引用误差被定义为电气测量仪表指示值的确定误差值与其测量上限值之比，用百分数表示即引用误差=【确定误差值/测量上限值】(100%)由于仪表各示值的确定误差值是不相等的，其值有大有小，符号有正有负。

为了应用便利起见，仪表的精确度级别接受最大引用误差（允许误差）来标明级别的。

中学物理实验中的测量误差及其表示方法在中学物理实验中，对物理量进行定性测量是十分重要的，因此，实验课中首先讲授的内容便是误差理论。

测量的本质是将被测量直接或间接的与某一同类标准量进行比较，获取测量结果，实际上是以这个标准量作为单位，读出被测量与其比值，这个比值连同单位一起即为测量的结果，通过测量，我们要得到某一客观事物某一特性的度量，但实际上，无论如何，我们只能得到这一特性在一定程度上的近似，而无法获得它的绝对真实取值。

也就是说，任何测量结果都与被测量的客观真实值存在差异，这种差异即为误差。

在现行的物理教材与教学中，对误差的知识介绍偏少，本文对中学物理实验中误差的相关知识进行探讨。

一. 物理实验中有关测量的几个概念1. 等精度测量：在同一条件下所进行的一系列重复测量称为等精度测量。

2. 非等精度测量：在多次测量中，如果对测量结果精确度有影响的一切条件不能完全维持不变的测量称为非等精度测量。

3. 真值：被测量本身具有的真正值称之为真值。

真值是一个理想的概念，一般是不知道的，但在某些特定情况下，真值又是可知的，如一个整圆圆周角为3600等。

4. 实际值：误差理论指出，在排除系统误差的前提下，对于精密测量，当测量次数无限多时，测量结果的算术平均值极接近于真值，因而可以将它视为被测量的真值。

但是测量次数是有限的，故按有限测量次数得到的算术平均值，只是统计意义上的近似值，而且由于系统误差不可能完全排除，因此通常只能把精度更高一级的标准仪器所测得的值作为真值。

为了强调它并非是真正的真值，故把它称之为实际值。

5. 标称值：测量仪器上所标出来的数值。

6. 示值：由测量仪器读数装置所指示出来的被测量的数值。

7. 测量误差：用测量仪器进行测量时，所测出来的数值与被测量的实际值（或真值）之间的差值。

二. 物理实验中误差的分类按照误差出现的规律，可把误差分为以下三类。

1. 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，所得到的测量误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改变时按照一定规律变化的误差称之为系统误差。

1.误差分为三种：系统误差、随机误差和过失误差2.误差表示与计算平均误差：标准误差：或然误差：相对误差：仪表示值误差3.判别过失误差的准则：P94.实验数据的表示方法：列表法、作图法、方程式法5.科技文献检索就是在大量的科技文献资料中，根据一定的方法迅速、准确地查出与用户需要相符合的、有参考价值的科技文献资料的过程。

6.科技文献检索的手段：手工检索、计算机检索7.正交试验设计安排：8.正交表的极差分析可以分辨出影响因子的主次，预测更好的水平组合，并能为进一步的实验设计提供数据。

正交表的方差分析可以把因子水平变化引起实验数据间的差异同误差所引起实验数据的差异区分开来，并能定量描述因子的影响作用是否显著。

9.常用的两种固体电解质：氧化锆、β－AI2 O310.氧化物固体电解质电池的工作原理：氧浓差电池工作原理示意图高氧分压端的电极反应为低氧分压端电极反应得电池的总反应为ndnxxii∑∑=-=δ11)(22-=--=∑∑ndnxxiiσ-=+2224)(2OepO IIOepOO IO4)(2222+=-)()(2222IOIIOpOpO=FEG4-=∆IOIIOppFRTE22ln4=11.自由电子浓度与氧压的¼次方成反比，即氧压越低，自由电子浓度越大。

电子空穴的浓度与氧压的¼次方成正比，即氧压越高，电子空穴浓度越大。

12.对一定固体电解质，在一定温度下离子电导率为常数，而电子电导率随压力降低而增大，因此总会在某分压下两者相等。

此时的氧分压P0称为电子导电特征氧分压，与电解质本性有关，是衡量电解质的重要参数。

13.固体电解质传感器的类型：Ⅰ型传感器、Ⅱ型传感器、Ⅲ型传感器14.Ⅰ型传感器的应用领域：（1）各种工业窑炉炉气分析。

（2）控制环境污染。

（3）快速测定钢液中的氧活度。

（4）测定液态金属中的氧含量。

15.电热体类型：金属电热体、非金属电热体16.测温方法：接触式测温、非接触式测温17.测温方法：接触式、非接触式18.选择测温计应考虑的原则：19.热电偶材料的基本要求：20.21.耐火材料的工作特性主要指标有：耐火度、荷重熔化温度、化学稳定性和热稳定性、热导率和导电性。

一、测量误差：测量结果减被测量的真值（测量的期望值）之差。

1）即：测量误差=测量结果-真值；对测量仪器：示值误差=仪器示值-标准示值。

2）测量误差通常通常可用示值的绝对误差、相对误差及引用误差（折合误差）来表示。

3）按照测量误差的基本性质不同，可将误差分为三大类：系统误差、随机误差和疏失误差。

二、约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。

实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。

一般由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该特定量的值。

三、标称范围：标称范围是指测量仪器的操纵器件调到特定位置时可得到的示值范围（定值）。

四、精度等级：在正常的使用条件下,仪表测量结果的准确程度叫仪表的准确度。

1）引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围以减小测量误差，精度等级是以它的允许误差占表盘刻度值的百分数来划分的,其精度等级数越大允许误差占表盘刻度极限值越大。

量程越大,同样精度等级的,它测得压力值的绝对值允许误差越大。

2）在工业测量中，为了便于表示仪表的质量,通常用准确度等级来表示仪表的准确程度.准确度等级就是最大引用误差去掉正,负号及百分号.准确度等级是衡量仪表质量优劣的重要指标之一。

3）我国工业仪表等级分为0.1,0.2,0.5,1.0,1.6,2.5,5.0七个等级，并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。

绝对误差:测量结果与被测量［约定］真值(标准表读数)之差。

1）公式：△：绝对误差，L：测量值，A：真值（标准表读数）△= L- A2）绝对误差的缺点：并不能完全表示近似值的好坏程度，例如：x=10±1，y=1000±5，哪一个精度高呢？看上去x的绝对误差限比y的绝对误差限小，似乎x的精度高，其实不然。

四、相对误差:测量的绝对误差与被测量［约定］真值（标准表读数）之比的百分数所得的数值，以百分数表示。

测量误差及其表示方法测量误差及其分类在—定条件F被测物理量客观存在的实际伍，称为真值。

真位是一个理想的概念。

在实际测量时，出：严实验方法和实验设备的不完善、周围环境的影响以及人们辨识能力所限等因素，使得测量值与其真值之间不可避免地存在着差异。

测量值与真值之间的差值称为测量误差。

测堕误差可用绝对误差表示，也可用相对误差利引用误差表示。

(一)绝对误差绝对误差A4是指测量值f与真值L o之间的差值，即由于真值Lq的不可知性，在实际应用时，常用实际支值L代替，即用被测量多次测量的平均值或上一级标准仪器测得的示值作为实际真值L．故仑通常以此值宋代表绝对误差，绝对误差一般只适用于标堆器具的校准。

在实际测量中、还经常用到修正位f。

修正但是指与绝对误差数值相等但符号相反朗数值，即‘＝一A2＝L—r。

修正值给出的方式可能是具体的数值、一条曲线、公式或数表。

显然，将测量值与修正值相加就可以得到实际真位。

绝对误差愈小，说明指示值愈接近真值，其测量精度愈高。

但这一结论只适用于被测量值相同的情况，而不能说明不同佰的测量精度。

例如，某仪器测量10 mm的长度，绝对误差为o．o01M叫另一仪器测量200 mm长度，误差为o．ol mm。

这就很难按绝对误差的大小来判断测量精度高低了，这是http://www.ebv.hk因为后者的绝对误差虽然比前者大，但它相对于被测量的值却显得较小。

为此，人们引入了相对误差的概念。

[二)相对误差相刘误差常。

g记分比的形式来表示，一般多取正值(标称)相对误差和引用(相对)误差等。

(1)实际相对误差是用测量值的绝对误差L2与其实际真值L的百分比来表示的相对误差，即(2)示值(标称)相对误差yX 是用测旦值的绝对误差九r勺测量值2的百分比来表示的祁对误差，Kp在检测技术中，出十相对误差能够反映出测量技术水平的高低，因此更几有实用性。

例如，测量两地距离为1000 km的路程时，若测旦结果为100lkm，则测量结果的绝对误差足l km，示值相对误差为1抵；如果把1uo m长的’匹布量成10l m，尽管绝对误差只有l m，与前者1km相比较变小很ATMEL代理多，佃1K的不值相对误差却比前者1％大得多，达说明后者测量水平地低。

误差及其表示方法误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负)一. 误差的分类1. 系统误差（systermaticerror ）——可定误差（determinateerror）（1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成；如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。

（2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的；如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。

（3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起；（4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。

如滴定管读数总是偏高或偏低。

特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。

可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。

2. 随机误差(randomerror)——不可定误差（indeterminateerror）产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。

如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。

特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律）但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理系统误差——可检定和校正偶然误差——可控制只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。

二. 准确度与精密度（一）准确度与误差（accuracy and error）准确度：测量值（x）与公认真值（m）之间的符合程度。

它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度：绝对误差 = 个别测得值 - 真实值(1)但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。

如果被称量物质的质量分别为1g和0.1g，称量的绝对误差同样是0.0001g，则其含义就不同了，故分析结果的准确度常用相对误差（RE%）表示：(2)（RE%）反映了误差在真实值中所占的比例，用来比较在各种情况下测定结果的准确度比较合理。

误差的种类及其表示方法在土工测试中，由于测试者读数和记录的严重失误，或者由于仪器仪表的突然波动以及实验条件的突然变化，都会造成异常的测试结果。

通常，把是否超过三倍标准差作为剔除数据的依据。

每一剪切试验会得到一组c、φ的测试结果。

在进行数理统计时，如果发现一组测试结果中的c(或φ)值为异常数据，是把该c(或φ)值单拙剔除而保留其φ(或c)，还是应该把整纽c、φ值予以剔除?在审查时经常发现一些勘察报告的物理力学性指标统计表中c和φ的数量不一致，估计是剔除数据时把c(或φ)异常值单独剔除而保留其φ(或c)。

我个人觉得不妥，因为是用一组数据，如有异常应一起剔除。

不知道这样理解对不对。

答复:你的审图还是挺仔细的，你可以问问勘察单位为什么出现c和φ的数据量不一样的情况，同时进行正确的指导，虽然这不属于强制性条文的审查，但可以认为是一种指导和帮助吧。

你提出了资料整理的一个基本问题，即如何处理离散性比较大的数据，主要应该处理的是实测数据，而不是统计得到的指标。

试验数据是一种物理量，通常物理量的真值是不知道的，是需要测定的值。

但由于量测仪器、试验方法、试验环境、人的观察力和测量的程序等都不可能完美无缺，故真值是无法测得的。

实验科学中的真值定义为在无系统误差的条件下，用足够多次的观测，可以获得接近于真值的数值，即观测次数无限多时得到的平均值，一般称为最佳值。

观测值与真值之差称为误差。

误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三类。

系统误差是指测定中未被发觉或未被确认的因子所引起的误差。

引起系统误差的原因一般认为是由于仪器不良，如刻度不准、砝码未校正;试验环境的变化，如温度、压力、湿度的变化;操作人员的习惯，如习惯从侧面读数等。

可以用校正仪器，控制环境和改正不良习惯来消除系统误差。

偶然误差是指在已消除系统误差的条件下，但所测的数据仍在末一位或末二位数字上有差别，则称这种误差为偶然误差。

偶然误差的特点是时大时小，时正时负，方向不一定;偶然误差产生的原因不清楚，因此无法控制。

实验一误差的基本概念一、实验目的通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。

二、实验原理1、误差的基本概念所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示误差=测得值-真值（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。

绝对误差=测得值-真值（二）相对误差绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。

相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值（三）引用误差所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。

引用误差=示值误差/测量范围上限2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。

精度可分ⅰ准确度它反映测量结果中系统误差的影响程度ⅱ精密度它反映测量结果中随机误差的影响程度ⅲ精确度它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。

3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

数字舍入规则如下：①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。

②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。

③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。

即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。

三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。

2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。