(完整word)高中化学极限法

高中化学计算题的常用解题技巧（3）------极限法
极限法：极限法与平均值法刚好相反，这种方法也适合定性或定量地求解混合物的组成.根据混合物中各个物理量(例如密度，体积，摩尔质量，物质的量浓度，质量分数等)的定义式或结合题目所给条件，将混合物看作是只含其中一种组分A，即其质量分数或气体体积分数为100%(极大)时，另一组分B对应的质量分数或气体体积分数就为0%(极小)，可以求出此组分A的某个物理量的值N1，用相同的方法可求出混合物只含B 不含A时的同一物理量的值N2，而混合物的这个物理量N平是平均值，必须介于组成混合物的各成分A，B的同一物理量数值之间，即N1 [例5]4个同学同时分析一个由KCl和KBr组成的混合物，他们各取2.00克样品配成水溶液，加入足够HNO3后再加入适量AgNO3溶液，待沉淀完全后过滤得到干燥的卤化银沉淀的质量如下列四个选项所示，其中数据合理的是
A.3.06g
B.3.36g
C.3.66g
D.3.96
本题如按通常解法，混合物中含KCl和KBr，可以有无限多种组成方式，则求出的数据也有多种可能性，要验证数据是否合理，必须将四个选项代入，看是否有解，也就相当于要做四题的计算题，所花时间非常多.使用极限法，设2.00克全部为KCl，根据KCl-AgCl，每74.5克KCl可生成143.5克AgCl，则可得沉淀为(2.00/74.5)*143.5=3.852克，为最大值，同样可求得当混合物全部为KBr时，每119克的KBr可得沉淀188克，
所以应得沉淀为(2.00/119)*188=3.160克，为最小值，则介于两者之间的数值就符合要求，故只能选B和C。

等量物质燃烧时乙醛耗氧最多。

高中化学极限思维解题法有些反应涉及多种物质的多种反应，也有时涉及多种物质之间的某些关系。

遇到纷杂交织情况难于判断时，常用到极限思维法。

如：(1)判断反应物过量和生成物种类可把某物质设为混合物中占100％或某反应中某物质100％反应，据以与题给数据比较，找出过量关系和生成物或剩余物的种类。

[例8]由Na2S04与Na2S03混合而成的粉末6克，与50毫升1摩／升的稀硫酸反应后，再加入足量的BaCl2溶液，得到白色沉淀17475克。

求原混合粉术中Na2S03和Na2S04各重几克?思路：设所有混合粉末全是Na2S03，求出所需H2S04的值。

与题设H2S04值相比较，如求出与Na2S03作用的H2S04值小于或等于50毫升／摩／升时，则硫酸过量，故17475克沉淀应全是BaS04。

若求出H2S04的值人于题给的H2S04量，则H2S04不过量，故生成的17475克沉淀必为BaS04与BaS03的混合物。

Na2S03～H2S0412616x极解之，x极=0048(摩)今有H2804：005×1—005(摩)超过x极，则H2S04过量，所以白色沉淀物质全是Bas04，其物质的量是17475／233—0075(摩)则原混合物中Na2s04的物质的量为：0075一005=0025摩，其重为0025×142=355(克)Na2S03重=6-355=245(克)(2)求一大系列化合物某成分的含量遇到一大系列刊系物或类似同系物的元素百分含量的求解，可以将最简单的化合物为基础，找到相邻化合物间的关系，推到“无限”，用极限思维解题。

(例9]在沥青的蒸汽中，含有稠环芳烃，其中一些成分可视为同系物。

假如它们是萘(A)、芘(B)和蒽并蒽(c)，以此顺推，则还可以有(D)、(E)……等。

试求该系列化合物中，碳的最大百分含量。

并写出该系列化合物的通式。

(A)(B)(C)思路：从A、B、C等相邻稠环芳烃问的Cc、H增加数目入手，如C10H8、C16H10、C22Hl2……问依次相著C6H2。

中学化学常用解题方法(二)极值法极值物是赋予某一物质或某一反应以极限值，即求出最大值或最小值，然后与已知数值比较．比较．从而作出正确判断．运用此法时，从而作出正确判断．运用此法时，从而作出正确判断．运用此法时，要注意该极值在题设条件下是否能达到，要注意该极值在题设条件下是否能达到，要注意该极值在题设条件下是否能达到，从数学角从数学角度看，应考虑闭区间还是开区间．度看，应考虑闭区间还是开区间．例１例１ Na Na Na、、Mg Mg、、Al 三种金属的混合物，与足量的稀硫酸充分作用后，可得到H 2 2.24L(2.24L(标标况)，则三种金属的总量不可能为（，则三种金属的总量不可能为（ ）） Ａ.0.15mol .0.15mol ＢＢ.0.1mol .0.1mol ＣＣ.0.05mol .0.05mol ＤＤ.0.075mol 解析 2Na 2Na ～～ H 2，Mg Mg ～～ H 2，32Al Al ～～ H 2由此看出各制得1 mol H 2，所消耗的金属的物质的量，质的量，Na Na 最多，最多，Al Al 最少．最少．若0.1 mol H 2完全由Na 反应产生，则需0.2 mol.若全由Al 反应产生，则需Al 32×0.10.1≈≈0.067mol.故 0.067 0.067＜＜n 金属（总）＜0.2. 0.2. Ｃ不合理．Ｃ不合理．Ｃ不合理．答案：Ｃ．答案：Ｃ．例2、某碱金属M 其氧化物M 2O 组成的混合物10.8g ，加足量水充分反应后，溶液经蒸发和干燥得固体16g 。

据此可确定碱金属M 是 （ B. ）A.Li B.Na C.K D.Rb 解析：⑴若10.8g 全为碱金属，设其原子量为M 1，M------MOH M 1 M 1+17 10.8g 16g M 1 M 1+17 10.8g 16g 求得M 1=35.3 ⑵若10.8g 全为氧化物M 2O ，设其原子量为M 2，M 2O------2MOH 2 M 2+16 2(M 2+17) 10.8g 16g 2 M 2+16 2(M 2+17) 10.8g 16g 求得M 2=9.7 因 35.3>M >9.7 故碱金属原子量在合理范围的只有Na 答案：B. = = 例3.PCl 5在密闭容器中有反应：在密闭容器中有反应：PCl PCl 5(g) = PCl 3 (g) +Cl 2 (g) (g)。

千里之行，始于足下。

16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。

在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。

本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。

1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。

这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。

2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。

3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。

4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。

5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。

6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。

7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。

9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。

这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。

10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。

11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。

12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。

13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。

14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。

化学解题技巧------------------------极限法极限判断是指从事物的极端上来考虑问题的一种思维方法。

该思维方法的特点是确定了事物发展的最大(或最小)程度以及事物发生的范围。

例1 ：在120℃时分别进行如下四个反应：A．2H2S+O2＝2H2O＋2S B．2H2S+3O2=2H2O+2SO2C．C2H4+3O2=2H2O+2CO2D．C4H8+6O2=4H2O+4CO2（l）若反应在容积固定的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体总压强（P）分别符合关系式d前=d后和P前＞P后的是；符合关系式d前=d后和P前=P后的是（请填写反应的代号）。

（2）若反应在压强恒定容积可变的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体体积（V）分别符合关系式d前>d后和V前<V后的是；符合d前>d后和V前＞V后的是（请填写反应的代号）。

方法：从反应物全部变成生成物来作极限判断。

解析：（1）在容积固定的容器内，四个反应的反应物和生成物中除硫单质外均为气体，总结：解本题还应用了物理学中气态方程和化学中的阿伏加德罗定律。

这是一道物理和化学学科间综合试题，体现了当今的命题方向。

例2 ：把含有某一种氯化物杂质的氯化镁粉末95mg溶于水后,与足量的硝酸银溶液反应,生成氯化银沉淀300mg,则该氯化镁中的杂质可能是（）A．氯化钠B．氯化铝C．氯化钾D．氯化钙方法：采用极值法或平均分子量法。

解析：[解法一]：（极值法）假设95mg全为MgCl2，无杂质，则有：MgCl2 ~ 2AgCl95mg2×143.5mg生成沉淀为287mg，所以假设95mg全部为杂质时，产生的AgCl沉淀应大于300mg。

总结：极值法和平均分子量法本质上是相同的，目的都是求出杂质相对分子量的区间值，或者杂质中金属元素的原子量的区间值，再逐一与选项比较，筛选出符合题意的选项。

例3 ：在一个容积固定的反应器中,有一可左右滑动的密封隔板,两侧分别进行如图所示的可逆反应.各物质的起始加入量如下:A、B和C均为4.0mol、D为6.5 mol、F为2.0 mol,设E为x mol.当x在一定范围内变化时,均可以通过调节反应器的温度,使两侧反应都达到平衡,并且隔板恰好处于反应器的正中位置.请填写以下空白:(1)若x=4.5,则右侧反应在起始时向(填“正反应”或“逆反应”)方向进行.欲使起始反应维持向该方向进行，则x的最大取值应小于.(2)若x分别为4.5和5.0，则在这两种情况下,当反应达平衡时，A的物质的量是否相等? (填“相等”、“不相等”或“不能确定”).其理由是：。

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

高中求极限的方法总结1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候运用，但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是需要证明拆分后极限依旧存在,e的*次方-1或者(1+*)的a次方-1等价于A*等等。

全部熟记(*趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法那么(大题目有时候会有默示要你运用这个方法)。

首先他的运用有严格的运用前提!需要是*趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求*趋近状况下的极限，当然n趋近是*趋近的一种状况而已，是须要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)需要是函数的导数要存在!(假如告知你g(*),没告知你是否可导，径直用，无疑于找死!!)需要是0比0无穷大比无穷大!当然还要留意分母不能为0。

洛必达法那么分为3种状况：0比0无穷比无穷时候径直用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的缘由，LN*两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LN*趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的'*次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意!)E的*开展sina，开展cosa,开展ln1+*,对题目简化有很好援助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原那么最大项除分子分母!!!看上去繁复,处理很简约!5、无穷小于有界函数的处理方法,面对繁复函数时候,尤其是正余弦的繁复函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。

面对特别繁复的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要应付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

高中求极限的方法总结在高中数学学习中，求极限是一个非常重要的知识点，也是学生们普遍感到困难的部分。

在这篇文档中，我将总结一些高中求极限的方法，希望能够帮助到有需要的同学们。

首先，我们来谈谈求极限的基本概念。

在数学中，极限是一个重要的概念，它描述的是一个函数在某一点附近的表现。

当自变量趋于某一特定值时，函数的取值会趋于一个确定的值，这个确定的值就是极限。

在高中数学学习中，我们通常会接触到一些基本的求极限的方法，比如利用代数运算、利用夹逼定理、利用洛必达法则等等。

其次，让我们来看看利用代数运算求极限的方法。

当我们遇到一些函数在某一点的极限时，我们可以尝试利用代数运算来简化函数，然后再求极限。

比如，我们可以利用因式分解、有理化、有理函数的分解等代数运算来化简函数，然后再求极限。

这种方法在一些简单的极限求解中非常有效。

除了代数运算，夹逼定理也是一个常用的求极限方法。

夹逼定理是利用一个中间函数夹住要求极限的函数，通过比较中间函数和要求极限的函数的大小关系来求得极限的方法。

这种方法常常用于求解一些复杂的极限，特别是当我们无法直接通过代数运算求得极限时，夹逼定理可以成为一个很好的选择。

此外，洛必达法则也是一个常用的求极限方法。

当我们遇到一些不定型的极限时，可以尝试利用洛必达法则来求解。

洛必达法则告诉我们，当我们遇到0/0或者∞/∞的形式时，可以尝试对函数求导，然后再求极限。

这种方法在处理一些特殊的不定型极限时非常有效。

综上所述，高中求极限的方法包括利用代数运算、夹逼定理、洛必达法则等多种方法。

在实际的学习中，我们可以根据具体的题目特点来选择合适的方法来求解极限。

同时，多做练习、多总结方法也是提高求极限能力的重要途径。

希望这些方法能够帮助到正在学习求极限的同学们，让大家能够更加轻松地掌握这一知识点。

求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。

2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。

3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。

4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。

5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。

6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。

7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。

8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。

9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。

10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。

11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。

12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。

13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。

14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。

15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。

16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。

17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。

18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。

19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。

20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。

21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。

高中化学14种基本计算题解法1.商余法这种方法主要是应用于解答有机物(尤其是烃类)知道分子量后求出其分子式的一类题目。

对于烃类，由于烷烃通式为CnH2n+2，分子量为14n+2，对应的烷烃基通式为CnH2n+1，分子量为14n+1，烯烃及环烷烃通式为CnH2n，分子量为14n，对应的烃基通式为CnH2n-1，分子量为14n-1，炔烃及二烯烃通式为CnH2n-2，分子量为14n-2，对应的烃基通式为CnH2n-3，分子量为14n-3，所以可以将已知有机物的分子量减去含氧官能团的式量后，差值除以14(烃类直接除14)，则最大的商为含碳的原子数(即n值)，余数代入上述分子量通式，符合的就是其所属的类别。

[例1]某直链一元醇14克能与金属钠完全反应，生成0.2克氢气,则此醇的同分异构体数目为（）A、6个B、7个C、8个D、9个由于一元醇只含一个-OH，每mol醇只能转换出molH2，由生成0.2克H2推断出14克醇应有0.2mol,所以其摩尔质量为72克/摩,分子量为72,扣除羟基式量17后,剩余55,除以14,最大商为3,余为13,不合理,应取商为4,余为-1,代入分子量通式,应为4个碳的烯烃基或环烷基,结合“直链”,从而推断其同分异构体数目为6个.、2.平均值法这种方法最适合定性地求解混合物的组成，即只求出混合物的可能成分，不用考虑各组分的含量。

根据混合物中各个物理量(例如密度,体积,摩尔质量,物质的量浓度,质量分数等)的定义式或结合题目所给条件，可以求出混合物某个物理量的平均值，而这个平均值必须介于组成混合物的各成分的同一物理量数值之间，换言之，混合物的两个成分中的这个物理量肯定一个比平均值大，一个比平均值小，才能符合要求，从而可判断出混合物的可能组成。

[例2]将两种金属单质混合物13g,加到足量稀硫酸中,共放出标准状况下气体11.2L,这两种金属可能是（）A．Zn和FeB．Al和ZnC．Al和MgD．Mg和Cu将混合物当作一种金属来看,因为是足量稀硫酸,13克金属全部反应生成的11.2L(0.5摩尔)气体全部是氢气,也就是说,这种金属每放出1摩尔氢气需26克,如果全部是+2价的金属,其平均原子量为26,则组成混合物的+2价金属,其原子量一个大于26,一个小于26.代入选项,在置换出氢气的反应中,显+2价的有Zn,原子量为65,Fe原子量为56,Mg原子量为24,但对于Al,由于在反应中显+3价,要置换出1mol氢气,只要18克Al便够,可看作+2价时其原子量为=18,同样假如有+1价的Na参与反应时,将它看作+2价时其原子量为23×2=46,对于Cu,因为它不能置换出H2,所以可看作原子量为无穷大,从而得到A中两种金属原子量均大于26,C中两种金属原子量均小于26,所以A、C都不符合要求,B中Al的原子量比26小,Zn比26大,D中Mg原子量比26小,Cu原子量比26大,故B,D为应选答案。

化学平衡中的思想方法之二──极限思维主要思想：按方程式的系数极限的转化为反应物或生成物(即一边倒)，特别注意极值是否可取。

一、解决取值范围的问题例1.一定条件下,在反应2SO2 (g) +O2(g) 2SO3(g)平衡体系中：n(SO2) =2.0 mol/L , n(O2) = 0.8 mol/L, n(SO3)=2.4 mol/L ,则SO2 的起始浓度的范围为( )。

A . 0.4～2.0 mol/L B. 0.4～4.4 mol/L C . 0～4 mol/L D . 无法确定解:把平衡时的量看成起始量,极限地向左转化为反应物(按SO3的量转化),则有:(单位统一用物质的量浓度)2SO2(g) + O2(g) 2SO3(g)起始 2.0 0.8 2.4转化 2.4 1.2 2.4极限I 4.4 2.0 0极限地向右转化为生成物(按O2的量转化),则有:(单位统一用物质的量浓度)2SO2(g) + O2(g)2SO3(g)起始 2.0 0.8 2.4转化 1.6 0.8 1.6极限II 0.4 0 4答案选B例2.在一密闭容器中发生以下反应：CO(g)+H2O(g) CO2(g)+H2(g),若最初加入等物质的量的CO 和H2O 各1 mol,反应达平衡时,生成0.67 mol CO2,若在相同条件下将H2O 的物质的量改为4 mol。

反应达平衡时生成CO2 可能为( ) mol。

A .1.34 B.1.0 C.0.94 D. 0.52解: H2O的物质的量改为4 mol.相当于先让1 mol CO 和1 mol H2O 反应达平衡后,再加入3 mol H2O,显然平衡右移,所以CO2 的物质的量应大于0.67 mol,用极限法找CO2的极大值(按CO的量转化):CO(g) + H2O(g) CO2(g) + H2(g)起始 1 mol 4 mol 0 0转化 1 mol 1 mol 1 mol 1mol极限0 mol 3 mol 1 mol 1 mol所以CO2的极大值为1 mol(但1不能取)答案选C例3. 在体积固定的密闭容器中通入A ﹑C﹑D各1 mol和x mol 的B发生反应:A(g)+4B(g) 2C(g)+ D(g)当x在一定范围内变化,均可通过调节反应器的温度,使反应达平衡时保持容器中气体总物质的量为5 mol,若使起始反应向正方向进行,则x的范围为（）。

n 2 + i∑∑n n n n n n第一章第六节极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。

【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。

【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3 分钟）。

首先给出极限存在准则（10 分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5 分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10 分钟）；课堂练习（5 分钟）。

【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1000 11、limn →∞i =11000 个 0 相加，极限等于 0。

n 2、limn →∞i =11 无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、lim x ，其中 x = n →∞， x 1 = ，极限不能确定。

对于 2、3 就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:(1) y n ≤ x n ≤ z n (2) lim y = a , n →∞(n = 1,2,3 )lim z = a , n →∞那么数列 x 的极限存在, 且lim x = a . n →∞证： y n → a ,z n → a , ∀> 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 上 上上 n > N 1 上上上y n - a < , 上 n > N 2上上上z n - a < ,n 2+ i 3 + x n - 1 3n2+ 1 n2+ 2 n2+ nn2+ 1 n2+ n11+1n11+1n2nn取N = max{N1 , N2}, 上两式同时成立, 上a-<y n<a+,a-<z n<a+,当n > N 时，恒有a-<y n≤x n≤z n<a+,上x n -a <上上, ∴lim x =a.n→∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则Ⅰ′ 如果当x ∈U (x0,) (或x>M)时,有(1) g(x) ≤ f (x) ≤h(x),(2) lim g(x) =A,x→x0( x→∞) lim h(x) =A, x→x0( x→∞)那么limx→x0( x→∞)f (x) 存在, 且等于A .准则I和准则I' 称为夹逼准则。

极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。

以下列举种方法，并附有例题。

1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.此方法的解题程序为：1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列{}n a 单调有界；2、设{}n a 的极限存在，记为A a n n =∞→lim 代入给定的表达式中，则该式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。

例：若序列{}n a 的项满足)0(1>>a a a 且),2,1(,211Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n a a a a n n n ,试证{}n a 有极限并求此极限。

解 由 a a >1a a aa a a a a a a a =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12112111222121 用数学归纳法证明 a a k > 需注意a a a a a a a a a a a k k k kk k k =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222121. 又 022121>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n nn n n n a a a a a a a a ∴ {}n a 为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a a 211有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→n n n n a a a a 21lim 1即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21∴ a A =2∴ a A = )0(>A从而 a a n n =∞→lim. 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系：,~arctan ~arcsin ,~tan ,~sin ,0x x xx x x x x x → ,~1x e x -,ln ~1a x a x -,ln ~)1(log a x x a+,1~11x nx n-+等价无穷小代换法设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在， 则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：若 A x f x x =→)(lim 0B x g xx =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g xx ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f xx x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 ,~)1ln(x x +,21~11x x -+,~1)1(x x αα-+（IV ）cA x f c x f c xx x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

极限法一般用在化学的可逆反应中，即反应生成最大量或者最小量，举个例子在一密闭容器中进行反应，N2+3H2=2NH3已知反应过程中某一时刻N2 H2 NH3 的浓度分别为0.1mol\l,0.3mol\l,0.2mol\l 当反应达到平衡时，可能存在的数据是AN2为0.21mol\l H2 0.6...BN2 0.15MOL\LCN2 H2 都为0.18mol\lDNH2为0.4mol\l答B麻烦说明一下0<NH3浓度<0.4MOL/L0<N2浓度<0.2mol\l0<H2浓度<0.6mol\l用极限法假设0.1molN2和0.3mol3H2都反应完全生成0.2molNH3加上原有0.2molNH3所以NH3的浓度为0.4mol同理假设逆反应即NH3生成N2和3H2完全，根据方程式知0.2molNH3生成0.1molN20.3molH2加上原有的即N2为0.2molH2为0.6mol。

因为可逆反应不能完全反应，所以以上数据为极限，实际数据必在其之间差量法一、差量法差量法是依据化学反应前后的某些变化找出所谓的理论差量（固体质量差、溶液质量差、气体体积差、气体物质的量之差等），与反应或生成物的变化量成正比而建立的一种解题方法。

此法将“差量”看作化学方程式右端的一项，将已知差量（实际差量）与化学方程式中的对应差量（理论差量）列成比例，其他解题步骤与按化学方程式列比例或解题完全一样。

例1、向50gFeCl3溶液中放入一小块Na，待反应完全后，过滤，得到仍有棕黄色的溶液45.9g，则投入的Na的质量为A、4.6gB、4.1gC、6.9gD、9.2g[解析] Na投入到FeCl3溶液发生如下反应6Na+2FeCl3+6H2O=6NaCl+2F e(OH)3↓+3H2↑若2mol FeCl3与6molH2O反应，则生成6molNaCl，溶液质量减少82g，此时参加反应的Na为6mol；现溶液质量减少4.1g，则参加反应Na应为0.3moL，质量应为6.9g。

极限的运算一 极限的四则运算法则定理:若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意:法则（1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。

另外，法则（2）还有三个推论。

推论：（１)()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数）（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =,（n 为正整数） （３)()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值,因此，我们可以得到这样一条规律:若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→.例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x x x x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。