清华附中高中数学课程设计

高中数学优秀教案设计5篇高中数学优秀教案设计1一、教材分析1.教材所处的地位和作用在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后，进一步体会用频率估计概率思想。

它是对古典概型问题的一种模拟，也是对古典概型知识的深化，同时它也是为了更广泛、高效地解决一些实际问题、体现信息技术的优越性而新增的内容。

2.教学的重点和难点重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数。

难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率，解决一些较简单的现实问题。

二、教学目标分析1、知识与技能：(1)了解随机数的概念;(2)利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。

2、过程与方法：(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力;(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.三、教学方法与手段分析1、教学方法：本节课我主要采用启发探究式的教学模式。

2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学四、教学过程分析㈠创设情境、引入新课情境1：假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某超市内的80袋小包装饼干中抽取10袋进行卫生达标检验,你打算如何操作?预设学生回答：⑴采用简单随机抽样方法(抽签法)⑵采用简单随机抽样方法(随机数表法)教师总结得出：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内每一数的机会一样。

(引入课题)「设计意图」(1)回忆统计知识中利用随机抽样方法如抽签法、随机数表法等进行抽样的步骤和特征;(2)从具体试验中了解随机数的含义。

情境2：在抛硬币和掷骰子的试验中，是用频率估计概率。

假如现在要作10000次试验，你打算怎么办?大家可能觉得这样做试验花费时间太多了，有没有其他方法可以代替试验呢?「设计意图」当需要随机数的量很大时，用手工试验产生随机数速度太慢，从而说明利用现代信息技术的重要性，体现利用计算器或计算机产生随机数的必要性。

正弦定理 余弦定理第一课时 正弦定理教学目的：1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用． 教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定． 教学过程：一、设置情境，引入新课：1．初中我们已学过解直角三角形，请回忆一下直角三角形的边角关系： 答：Rt ∆ABC 中，若C = 90︒，则有：a 2+ b 2= c 2，A + B = 90︒，a = c sin A ，b =c sin B ，ab = tan A ，sin a A =sin bB ．指出：由此可知，利用直角三角形中的这些边角关系，当任给直角三角形的两边或一边一角时，可以求出这个三角形的其它边与其它角．2．在直角三角形中，你能用边角表示斜边吗？ 答：在Rt ∆ABC 中，c =sin aA =sin bB =sin cC ．指出：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理(板书正弦定理)．二、新课：1．正弦定理的推导：为了证明正弦定理(引导学生复习向量的数量积)，a ⋅b = |a ||b |cos θ，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子?如图，在锐角∆ABC 中，过A 作单位向量j 垂直于AC ，则j 与AB 的夹角为90︒ - A ，j 与CB 的夹角为90︒ - C ．由向量的加法可得AC +CB =AB ．对上面向量等式两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ⋅ (AC +CB ) =j ⋅AB ，∴ |j | ⋅ |AC |cos90︒ + |j | ⋅ |CB |cos(90︒ - C ) = |j | ⋅ |AB |cos(90︒ - A )，即a sin C = c sin A ，同理，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，可得sin c C =sin b B ， ∴sin a A =sin b B =sin cC ．当∆ABC 为钝角三角形时，设A > 90︒，如图，过点A 作与AC垂直的向量j ，则j 与AB 的夹角为A - 90︒，j 与CB 的夹角为90︒ - C ，同样可证得sin aA =sin bB =sin cC ．课后请同学们考虑一下正弦定理还有没有其它的证明方法？思考：请观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？答：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角．2．例题分析：例1在∆ABC 中，已知c = 10，A = 45︒，C = 30︒，求b ．解：∵sin b B =sin cC ，且B = 180︒ - (A + C ) = 105︒， ∴b =sin sin c B C =10sin105sin30= 20sin105︒62)．例2 在∆ABC 中，已知a 2，b = 4，A = 45︒，求B ． 解：由 sin aA =sin bB ，得sin B =sin b A a=12． ∵∆ABC 中，a > b ， ∴B 为锐角 ∴B = 30︒．例3 在∆ABC 中，已知a = 2，b 6，A = 45︒，求c 和B ，C ．解：23245sin 6sin sin sin sin =⨯==∴=aAb B B b A a ，．∵b sin A < a < b ，∴B = 60︒或B = 120︒．当B = 60︒时，C = 75︒，1360sin 75sin 6sin sin +===BCb c ， 当B = 120︒时，C = 15︒，13120sin 15sin 6sin sin -===B C b c ． ∴c 3，B = 60︒，C = 75︒或c 3 1，B = 120︒，C = 15︒． 注意：由例2、例3得，当已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况： (1) 若A 为锐角，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)() ,( sin )( sinsin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解b a b a A b A b a A b a (如图) babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CH HH(2) 若A 为直角或钝角，则⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a ．例4 在∆ABC 中，∠B = 45︒，∠C = 60︒，a = 2(3+ 1)，求∆ABC 的面积S ． 解：首先可证明：S ∆ABC =12ah a =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B ．这组结论可作公式使用． 其次求b 边． ∵∠A = 180︒ - (B + C ) = 75︒，∴由正弦定理，b =sin sin a BA =22(31)2624+⋅+= 4．∴S ∆ABC =12ab sin C =12⨯ 2(3+ 1) ⨯ 4 ⨯32= 6 + 23．三、小结：1．正弦定理表示形式：sin a A =sin b B =sin cC = 2R (外接圆直径)；a = 2R sin A ，b = 2R sin B ，c = 2R sin C ；a ：b ：c = sin A ：sin B ：sin C ．2．正弦定理应用范围：(1) 已知两角和任一边，求其他两边及一角． (2) 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．3．已知a 、b 及A ，求解三角形(求B )时，要分类讨论，确定解的个数． 4．注意三角形面积公式的新形式：S =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B ．四、巩固练习：1．△ABC 中，若sin 2A = sin 2B + sin 2C ，则△ABC 为( A )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，sin A > sin B 是A > B 的( C ) 条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要 3．在∆ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos 2c C ，则∆ABC 是( D )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 4．根据各已知条件，判定∆ABC 的解的个数：(1) a = 5，b = 4，A = 120︒，求B ；(A = 120︒，B 只能是锐角，仅有一解) (2) a = 5，b = 4，A = 90︒，求B ；(A = 90︒，B 只能是锐角，仅有一解)(3) a = 5，b 103，A = 60︒，求B ；(∵sin B = 1，∴B = 90︒，只有一解)(4) a = 20，b = 28，A = 40︒，求B ．(有两解) 五、课后作业：1．教材P 133练习第2题；P 134习题5.9中第1、2、3题(书上)． 2．教材P 133练习第1题(本上，求准确值)．看教材P 130~131例1、例2． 3．(本上) 在∆ABC 中，求证：(1) a (sin B - sin C ) + b (sin C - sin A ) + c (sin A - sin B ) = 0．(2)2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 证明：(1) 由于正弦定理：令a = k sin A ，b = k sin B ，c = k sin C ，代入左边得：左= k (sin A sin B - sin A sin C + sin B sin C - sin B sin A + sin C sin A - sin C sin B ) = 0 =右．(2)B b A a sin sin =⇒ b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A = ⇒2222sin sin b B a A =⇒222cos 12cos 1b Ba A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 或：左边=2222222222sin 21sin 21sin 21sin 21b Bb a A a b B a A +--=--- =2222222222112121b a b R b b a R a a -=+--．4．《数学之友》T5.18． 六、课外思考题：已知△ABC ，BD 为∠B 的平分线，试用正弦定理证明：AB ∶BC ＝AD ∶DC ．分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而∠B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内，边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDC BC ABD AD ABD AB ∠=∠∠=∠sin sin ,sin sin ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论．证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：BDA ADBAD AB ABD AD ADB AB ∠∠=∠=∠sin sin ,sin sin 即， 在△BCD 内，同理得：DBCBDCDC BC ∠∠=sin sin ． ∵BD 是∠B 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴sin ABD ＝sin DBC ． ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin(180°－∠BDC )＝sin BDC ，∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB =∠∠=∠∠=sin sin sin sin ，∴DCAD BC AB =． 七、板书设计：课题1．Rt ∆ABC 中，sin90c =sin a A =sin bB = 2R2．正弦定理及证明 3．例1、例2、例3、例44．小结 5．巩固练习 6．作业 7．课外思考题第二课时 余弦定理教学目的：1．掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程； 2．会用余弦定理解决具体问题；3．通过余弦定理的向量法证明体会向量的工具性． 教学重点：余弦定理及其向量法证明，余弦定理及其变形公式在解三角形中的应用． 教学难点：余弦定理的向量法证明及应用． 教学过程：一、设置情境，引入新课： 1．复习提问：什么叫做正弦定理，用正弦定理解三角形必须已知哪些量？答：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，这就叫做正弦定理．用正弦定理解三角形，必须已知三角形的两角和一边或者已知两边和其中一边的对角．2．练习：(1) 在∆ABC 中，已知a = 1，b =3，A = 30︒，解此三角形．注：首先得B = 60︒或120︒，分别得C = 90︒，c = 2或C = 30︒，c = 1． (2) 在∆ABC 中，2b cos C = a ，判断此三角形的形状． 注：将正弦定理代入可得B = C ，从而∆ABC 为等腰三角形． 3．探讨：在∆ABC 中，b = 3，c = 4，A = 60︒，如何求a ？一般地，在一个三角形中，已知两边和这两边的夹角时，用正弦定理解这个三角形方便吗？为什么？ 答：不方便！因正弦定理中的任一等号两边都有两个未知量，需解方程组． 如何求解上述问题？(1) 考虑转化为直角三角形求解． (2) 考虑利用向量的数量积，找边角关系： 由向量加法得：，∴BC 2 = (BA +AC )2 =BA 2 +AC 2+2BA ⋅AC ，∴a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A = 9 + 16 - 2 ⨯ 3 ⨯ 4cos60︒ = 13，故a =13． 4．引入：对于任意一个三角形来说，是否也可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边呢？ 这就是我们今天要学的余弦定理(板书余弦定理)． 二、新课： 1．余弦定理：由上述问题我们得到a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A ．同理可得 b 2= c 2+ a 2- 2ca cos B ，c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C ． 指出：这就是我要讲的余弦定理，你能用文字叙述吗？答：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍． 问：余弦定理左边有几项？右边有几项？式中有几个量？ 答：左边一个量，右边有三个量，共三边和一个角．问：余弦定理还可作哪些变形呢？ 答：cos A =2222b c a bc+-，cos B =2222c a b ca+-，cos C =2222a b c ab+-．问：利用余弦定理可以解决怎样的三角形问题？答：① 已知三角形三边求角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边． 2．例题分析：例1在∆ABC 中，已知a = 7，b = 10，c = 6，求A 、B 和C (精确到1°)． 解：∵cos A =2222b c a bc+-=22210672106+-⨯⨯=87120= 0.725，∴A ≈ 44°，∵cos C =2222a b c ab+-=22271062710+-⨯⨯=113140≈ 0.8071，∴C ≈ 36°，(或∵sin C =aAc sin ≈ 0.5954，∴ C ≈ 36°或144°(舍).) ∴B = 180︒ - (A +C ) ≈ 180︒ - (44° + 36°) = 100°． 练习：变式(1)：例1中已知条件不变，结论换成判定∆ABC 的形状． 变式(2)：例1中已知条件不变，结论换成求∆ABC 的面积． 参考答案：(1) ∆ABC 的形状由大边b 所对角B 的范围确定，引导学生得出：B ∈ (90°，180︒) ⇔ b 2 > a 2 + c 2．(2) 先求出一个角，再利用面积公式：S ∆ABC =12ab cos C ≈ 20.64．例2 ΔABC 的三个顶点坐标为A (6，5)、B (– 2，8)、C (4，1)，求角A ． 解法一：∵ |AB | ＝73)85()]2(6[22=-+--，|BC | ＝85)18()42(22=-+--， |AC | ＝52)15()46(22=-+-，AC AB BCAC AB A ⋅-+=2cos 222=3652，∴ A = arccos 3652≈ 84°． 解法二：∵ AB ＝(– 8，3)，AC ＝(– 2，– 4)，∴cos A ＝||||AB AC AB AC ⋅⋅=36525273)4(3)2()8(=⨯-⨯+-⨯-，∴A = arccos3652≈ 84°．例3 已知三角形的一个角为60°，面积为103cm 2，周长为20cm ，求此三角形的各边长．分析：此题所给的条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式S △ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用．解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++4020222ac ac c a b c b a由①式得：b 2= [20 - (a + c )]2= 400 + a 2+ c 2+ 2ac - 40(a + c ) ④ 将②代入④得400 + 3ac - 40(a + c ) = 0， 再将③代入得a + c = 13，由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得， ∴b 1 = 7，b 2 = 7， 所以，此三角形三边长分别为5cm ，7cm ，8cm ．评述： (1) 在建立方程的过程中，既要注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用．(2) 由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力．三、小结：1．余弦定理适用于任何三角形．2．余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状． 3．由余弦定理可知，∆ABC 中：A > 90° ⇔ a 2 > b 2 + c 2；A = 90° ⇔ a 2 = b 2 + c 2； A < 90° ⇔ a 2 < b 2 + c 2．四、巩固练习：①②1．已知∆ABC 中，a = 20，b = 29，c = 21，求B ．(B = 90︒) 2．若锐角∆ABC 中，b = 8，c = 3，sin A，求a 并判定三角形的形状．(a = 8，∆ABC 为等腰三角形)． 五、课后作业：1．教材P 133练习第4题；P 134习题5.9中第6、7题(书上)． 2．看教材P 133例5． 3．《数学之友》T5.19． 4．教材P 133练习第3题(本上)．5．(本上)在△ABC 中，BC = 3，AB = 2，且)16(52sin sin +=B C ，求A ． (A = 120°) 六、课外思考题：在△ABC 中，求证：(a 2 - b 2 - c 2)tan A + (a 2 - b 2 + c 2)tan B = 0．证明：左边= (a 2- b 2- c 2) B Bc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证． 七、板书设计：第三课时 教学目的：1．进一步熟悉正、余弦定理的内容；2．能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状．教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向． 教学难点：正、余弦定理的灵活运用． 教学过程： 一、复习：1．正弦定理：sin aA =sin bB =sin cC = 2R (外接圆直径)． 2．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ cos A =2222b c a bc +-； b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos B ⇔ cos B =2222c a b ca +-；c 2 = a 2 + b 2- 2ab cos C ⇔ cos C =2222a b c ab+-．二、新课：例1在∆ABC 中，已知a b ，B = 45︒，求A 、C 和c ．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题．可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出c 后，再求出角C 与角A ．解法一：∵B = 45︒ < 90︒，且b < a ， ∴问题有两解．由正弦定理，得sin A =sin a B b ==， ∴A = 60︒，或A = 120︒．(1) 当A = 60︒时，C= 180︒ - (A + B ) = 75︒， c =sin sin b CB =2sin75sin 45．(2) 当A = 120︒时，C = 180︒ - (A + B ) = 15︒，c =sin sin b C B =sin1545=．故A = 60︒，C = 75︒，c ，或A = 120︒，C = 15︒，c=．解法二：由余弦定理有b 2= c 2+ a 2- 2ca cos B ， 即2 =3 + c 2-(cos45︒)，整理，得c 2c + 1 = 0，解得c ，或c ．又cos A =2222b c a bc+- ①当a =3，b =2，c =622+时，由①可得cos A =12，故A = 60︒； 当a =3，b =2，c =622-时，由①可得cos A = -12，故A = 120︒． 故A = 60︒，C = 75︒，c =622+，或A = 120︒，C = 15︒，c =622-．小结：对本题，一般会误认为只能用正弦定理求解，而余弦定理似乎难以派上用场．其实不然，解法二就是明证．事实上，正弦定理与余弦定理是等价的，完全可以相通．凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也能求解．反之亦然，只不过解题过程的繁简程度有所不同而已．鉴此，我们在学习中，不能把正弦定理与余弦定理完全割裂开来，而要用一种联系的观点来看待它们．例2 在∆ABC 中，已知a = 26，b = 6 + 23，c = 43．求A 、B 、C ．分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可选求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．解：由已知，a < c < b ，B 最大．由余弦定理，得 cos B =2222c a b ca+-=2448(48243)22643+-+⨯⨯=1322-=264-= -624-< 0，∴B = 105︒．由正弦定理，得sin C =sin c B b =43sin105623+=63434623+⨯+=3(63)6(62)++=22．∵c < b ，∴C 为锐角，C = 45︒． 于是A = 180︒ - (B + C ) = 30︒， ∴A = 30︒，B = 105︒，C = 45︒．小结：此题也可由余弦定理先求最小角A ，cos A =2222b c a bc+-=32，∴A = 30︒，再求其他角．由于题目已知三边，所以利用余弦定理求得最大角或最小角后，再求第二个角，仍可用余弦定理，例如由cos C =2222a b c ab+-=22，得C = 45︒．例3 如图所示，在∆ABC 中，已知BC = 15，AB ：AC = 7 ：8，sin B =437．求BC 边上的高AD ．分析：由已知设AB = 7x ，AC = 8x ，故要求AD 的长只要求出x ，∆ABC 中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x ，而用正弦定理正好可求角C ．解： 在∆ABC 中，设AB = 7x ，AC = 8x ．由正弦定理得7sin x C =8sin xB ，∴sinC =7sin 8x B x=78⋅437=32， ∴C = 60︒(C = 120︒舍去，否则由8x > 7x 知B 也为钝角，不合要求)． 再由余弦定理得(7x )2= (8x )2+ 152- 2 ⋅ 8x ⋅ 15cos60︒，∴x 2- 8x + 15 = 0，解得x = 3，或x = 5，故AB = 21，或AB = 35． 在∆ABC 中，AD = Ab sin B =437AB ，∴AD = 123或AD = 203．小结：利用比例式的设法是一种解题常用的技巧，可使运算简便．例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥ CD ，AD = 10，AB = 14，∠BDA = 60︒，∠BCD = 135︒，求BC 的长．分析：在∆ABD 中，可先由正弦定理求出B ，再由余弦定理求出BD ，也可用方程法直接余弦定理求出BD ．然后∆BCD 中由正弦定理求出BC ．解：在△ABD 中，设BD = x ，则BA 2= BD 2+ AD 2- 2BD ⋅ AD ⋅ cos ∠BDA ，即142= x 2+ 102- 20x cos60︒，整理得：x 2- 10x - 96 = 0，解之：x 1 = 16，x 2 = - 6(舍去)， 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ，∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ． 小结：注意正、余弦定理的灵活运用．例5 已知方程x 2- (b cos A )x + a cos B = 0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为∆ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．分析：先由已知条件得出三角形的边角关系．要判定三角形的形状，只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定．解法一：设方程的两根为x 1，x 2，由韦达定理知：x 1 + x 2 = b cos A ，x 1x 2 = a cos B ， 由题意有b cos A = a cos B ，根据余弦定理得b ⋅2222b c a bc+-= a ⋅2222a c b ac+-，∴b 2 + c 2 - a 2 = a 2 + c 2 - b 2，化简得a = b ， ∴ ∆ABC 为等腰三角形． 解法二：仿上法得b cos A = a cos B ，由正弦定理得：2R sin B cos A = 2R sin A cos B ，∴sin A cos B - cos A sin B = 0， 即sin(A - B ) = 0， ∵A 、B 为∆ABC 的内角，∴0 < A < π，0 < B < π，∴A - B = 0，即A = B ，故∆ABC 为等腰三角形．小结：由三角形的边角关系判定三角形的形状，其本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，或全化为边的关系、或全化为角的关系，然后利用简单的平面几何知识即可判定．三、巩固练习：1．在△ABC 中，已知B = 30°，b =3，c = 3，那么这个三角形是( D ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，若b 2sin 2C + c 2sin 2B = 2bc cos B cosC ，则此三角形为( A ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 3．已知∆ABC 中，b = 8，c =833，B = 60︒，求a ．(a =1633，先求得C = 30︒)四、课后作业：1．教材P 134习题5.9中第5、8、9题(本上)． 2．《数学之友》T5.21． 五、课外思考题：在△ABC 中，AB = 5，AC = 3，D 为BC 中点，且AD = 4，求BC 边长．分析：此题所给条件只有边长，应考虑在假设BC 为x 后，建立关于x 的方程．而正弦定理涉及到两个角，故不可用．此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用．因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程．解：设BC 边为x ，则由D 为BC 中点，可得BD = DC =2x，在△ADB 中，cos ADB =2222224()522242xAD BD AB x AD BD +-+-=⋅⋅⨯⨯， 在△ADC 中，cos ADC =2222224()322242xAD DC AC x AD DC +-+-=⋅⋅⨯⨯． 又∠ADB + ∠ADC = 180°，∴cos ADB = cos(180°－∠ADC ) = - cos ADC ，∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+， 解得x = 2，所以，BC 边长为2． 六、板书设计：课题 1．正、余弦定理2．例1、例2、例3、例4、例53．巩固练习 4．作业 5．课外思考题第四课时 正、余弦定理的应用(2)——三角形中的三角函数问题教学目的：1．进一步掌握正余弦定理及其应用；2．掌握三角形性质及其应用；3．掌握三角形中的三角函数问题的解题依据和思路； 4．能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式． 5．体会转化的思想和函数思想在解题中的应用． 教学重点：三角形中的三角函数问题的解题依据和思路． 教学难点：三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求． 教学过程： 一、基础知识： 1．正、余弦定理：(1) 两个定理形式不同，但实质上能相互推出，是等价的．在解题中要灵活选用，以达到最简便的解题目的．(2) 两个定理的作用：解斜三角形；实现边、角两类元素之间的相互转化． 2．三角形的性质： (1) A + B + C = π．(2) sin(A +B ) = sin C ；cos(A +B ) = - cos C ；sin 2B C += cos2A ；…．(3) A > B ⇔ sin A > sin B ．(由正弦定理易证) (4) cos A + cos B > 0．(由和差化积或余弦定理易证) 3．解决三角形问题的依据：(1) 正余弦定理； (2) 三角形性质；(3) 三角变换； (4) 三角函数的图象和性质．4．解决三角形问题的关键：边、角两类元素间的相互转化及解决三角函数问题的方法的灵活掌握，特别是要注意体会转化思想的作用．二、新课(典型例题)：例1 △ABC中，三条边a，b，c依次成等比数列，化简：cos(A-C) + cos2B + cos B．分析：这是一个三角形中的三角函数问题. 题目给出的是边元素条件，而待求的是角元素结论，故解决问题的第一个关键是统一条件与结论中的元素. 考虑到三角公式及三角变形手段的灵活性，可把条件与结论中的元素都统一为角元素．即：b2 = ac⇒ sin2B = sin A⋅ sin C．接上分析：解决问题的第二个关键是统一题目条件与结论中的角和三角函数名称．观察题目条件与结论式子的结构形式及角与角的关系，考虑：把待求结论向已知条件统一．解：由条件得，b2 = ac，由正弦定理，得sin2B = sin A sin C．∴原式= cos(A-C) + 1 - 2sin2B- cos(A + C) = 2sin A sin C + 1 - 2sin2B = 1．例2在∆ABC中，求证：() 222sinsinA Ba bc C--=．分析：由例1的经验，应先统一题中的元素：() 222sinsin sinsin sinA BA BC C--=．回顾：证明三角恒等式的常用方法有哪些？(1) 从一端向另一端； (2) 从两端向中间；(3) 比较法； (4) 转化恒等式(更一般地：分析法)．怎样证明本题？分析：观察等式两端式子的结构形式及角与角的关系：式子结构形式较复杂，且两端的角有单角和复角，可考虑先化简式子的结构形式并把角统一为A、B(先转化恒等式)：证明：原式⇔() 222sinsin sinsin sinA BA BC C--=⇔ sin2A- sin2B = sin(A-B)sin(A + B)，又sin(A-B)sin(A + B) = sin2A cos2B- cos2A sin2B= sin2A(1 - sin2B) - (1 - sin2A)sin2B = sin2A- sin2B，(又采取了从一端向另一端)，∴原式得证．小结：(1) 解决三角形中的三角函数问题，首先应统一两类元素——依据：正、余弦定理！(2) 由于三角公式的灵活性和丰富性，在解决三角形中的三角函数问题时，常常把边元素统一为角元素．——解决问题的过程中，三角公式及三角形性质都是重要的解题依据．(3) 解决三角函数问题的关键：做好两个观察，以便合理选用公式，统一题目中的角和三角函数名称．一是观察题目中式子的结构形式；二是观察角与角的关系．(4) 要注意总结问题的类型和解决问题的一般方法．如：化简三角函数式的方法；证明三角恒等式的方法．并能利用方法去解决同类问题．思维发散：本题还有其它解法吗？考虑：把角元素统一为边元素可以吗？证法二：右边 =222222sin cos cos sin22sin+-+-⋅-⋅-=a cb bc aa bA B A B ac bcC c22222222222+---+-==a cb bc a a bc c= 左边，∴原式得证．——比第一种证法更简洁！小结：(1) 一个解题过程可采用多个解题方法——一解多法！(2) 一个问题的解法往往不止一个——一题多解！(3) 同一类问题的最终解法是一致的——多解归一！例3在∆ABC中，tan tantan tanA B c bA B c--=+，求cos2B C+．分析：仍然是先统一元素：把条件中的元素统一为角元素：tan tan sin sintan tan sinA B C BA B C--=+．本题是一个给值求值问题．回顾此类问题的解法：(1) 条件→结论；(2) 结论→条件；(3)条件→中间←结论．关键：观察题目条件与结论中的角和式子的结构形式，以便统一角和三角函数名称．本题条件较复杂，而结论较简单，考虑条件向结论靠拢，用“方程法”解．解：∵tan tan sin sintan tan sinA B c b C BA B c C---==+，∴()()()()sin sin sinsin sinA B A B BA B A B-+-=++，∴sin(A-B) = sin(A + B) - sin B，即2cos A sin B = sin B，又sin B≠ 0，∴cos A =12，从而A = 60︒，故cos2B C+= cos60︒ =12．例4已知⊙O的半径为R，△ABC为⊙O的内接三角形，2R(sin2A- sin2Ca-b)sin B，求S△ABC的最大值．分析：要求S △ABC 的最大值，关键是建立相应的函数表达式．由于题目给出的是三角函数式的条件，可考虑建立面积的三角函数表达式．先看如何用条件：首先要统一条件中的元素. 若考虑把边元素统一为角元素：sin 2A - sin 2CA - sinB )sin B ，出现了二次式，应考虑降幂．但很容易发现，降幂后的式子仍较复杂，进一步变形较困难——思路受阻！ 到这儿，应“换一种思路”考虑：把条件中的元素统一为边元素：a 2 - c 2- b )b ，即a 2 + b 2 - c 2ab ，——符合余弦定理的形式！∴222cos 22a b c C ab +-==，得4C π=，再考虑待求结论：1sin 24ABC S ab C ab ∆==， 由于a 、b 间关系不明显，故若想建立关于a 或b 的代数函数表达式较困难！因此，再考虑边化角，建立面积的三角函数表达式：2sin sin ABC S A B ∆==⋅， 观察上式的结构形式，联想到两角和与差的余弦公式的变形：22sin sin [cos()cos()]2ABC S A B R A B A B ∆=⋅=--+22cos()22R A B =-+223cos(2)242R A π=-+3(0)4A π<<，∴当3cos(2)4A π-= 1，即A =38π时，(S △ABC )max=212R ． 小结：(1) 数学中的最大值、最小值问题一般是要建立相应的函数表达式，把问题转化为求函数最值． (2) 在解决数学问题的过程中要注意总结类型、方法，进而形成“系统”，是学习中的重要环节．但当我们用经验解题思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新——换一种思路！三、小结：1．要注意养成解完题善于“停下来”的好习惯．既要注意总结一般的解题方法，又要注意解题的灵活性——一题多解、一解多法、多解归一！2．注意体会转化的思想和函数思想在解题中的应用．四、巩固练习：△ABC 中，4sin B sin C = 1，b 2+ c 2- a 2= bc ，B > C ．求A ，B ，C ．解：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵0 < A < π，∴A =3π，B + C =23π，∴4sin B sin(23π- B ) = 1，即4sin B(2cos B -12sin B ) = 1，sin2B - cos2B = 0，∴sin(2B -6π) = 0， 又B > C ，B + C =23π，∴3π< B <23π，从而2π< 2B -6π<32π， 故2B -6π= π，即B =712π，得C =12π．五、课后作业： 1．《数学之友》T5.22．2．△ABC 中，sin A cos B - sin B = sin C - sin A cos C ，判断△ABC 的形状． 解法一：由已知式得sin A cos B - sin(A + C ) = sin(A + B ) - sin A cos C ，∴cos A sin B + cos A sin C = 0，即cos A (sin B + sin C ) = 0，∵sin B + sin C > 0，∴cos A = 0，故A = 90︒，即△ABC 为直角三角形．解法一：由已知式得22222222a c b a b c a b c a ac ab+-+-⋅-=-⋅，∴b (a 2+ c 2- b 2- 2bc ) = c (2bc - a 2- b 2+ c 2)，即(a 2- b 2- c 2)(b + c ) = 0， 故a 2= b 2+ c 2，即△ABC 为直角三角形．3．在∆ABC 中，a cos22C+ c cos22A =32b ，求证：a 、b 、c 成等差数列．分析：本题的已知条件是边角关系式，要证的是边的关系．可以考虑把已知条件化为边的关系，也可以考虑把已知条件化为角的关系先进行化简，然后再转化为边的关系．证法一：∵ a cos22C + c cos22A = a ⋅1cos 2C ++ c ⋅1cos 2A + =12a +12a ⋅2222a b c ab+-+12c +12c ⋅2222b c a bc+-=12( a + b + c )，∴12( a + b + c ) =32b ，即a + c = 2b ，∴a 、b 、c 成等差数列．证法二：∵ a cos22C + c cos22A = 2R sin A cos22C + 2R sin C cos22A= R sin A (1 + cos C ) + R sin C (1 + cos A ) = R sin A + R sin C + R sin(A +C )= R sin A + R sin C + R sin B =12( a + b + c )，以下同证法一．小结：三角形中边角关系恒等式的证明，主要是根据正、余弦定理，或者全化为边的关系转化为代数问题处理，或者全化为角的关系转化为三角问题处理．4．如图，在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，a 2+ b 2- c 2= ab ，CM 是∆ABC 外接圆的直径，BM = 11，AM = 2，求CM 的长．分析：要求出三角形外接圆直径长，根据正弦定理，只要求出∆ABC 的一个内角和它的对边．由题设等式的特点，利用余弦定理可求∠ACB ，接着它的对边AB 在∆ABM 中可求，问题得到解决．解：由余弦定理：cos ∠ACB =2222a b c ab+-=2ab ab=12，∴∠ACB = 60︒，于是∠AMB = 120︒． 在∆ABM 中，由余弦定理，AB 2= BM 2+ AM 2- 2BM ⋅ AM cos120︒ = 121 + 4 - 2 ⨯ 11 ⨯ 2 ⨯ (-12) = 147， 即AB 3CM =sin ABACB ∠=733= 14．小结：在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，合理使用正弦定理或余弦定理． 六、板书设计：课题 1．基础知识回顾 2．例1、例2、例3、例4 3．巩固练习 4．作业。

大单元教学背景下高中数学概念课的设计与实施研究——以《函数的概念》为例2清华附中嘉兴实验高级中学浙江省嘉兴市 314000摘要：概念教学作为高中数学课程的首要环节，有着特别关键的基础性地位。

采用大单元教学设计的高中数学概念课，更易于加强知识点之间的联系，连接个人日常生活、校园生活与社区活动。

本文将探讨如何进行大单元教学背景下高中数学概念课的设计和实施。

关键词：大单元教学数学概念课核心素养引言：数学概念(medicalal effects)是指人脑中对实际对象的数量关系与空间形式的本质特征的反映形态。

正确认识和灵活运用数学概念，是掌握数学基本知识和运算技巧、发展逻辑推理和空间想像能力的前提条件。

数学概念是高中数学知识的核心内容，是学习必备知识和训练关键能力的基础。

所以，概念教学在高中数学课程中有着特别关键的基础性地位。

大单元教学是以单元为单位，围绕某一主题或活动对学习内容进行整体考虑、设计并组织实施进行的教学活动。

大单元教学着眼于推动课堂教学内容的整体结构化，建立课堂教学的整体意识，有利于老师转变着眼点过小过细的习惯方式，推动学生的深度学习；采用大单元教学设计的高中数学概念课，更易于加强知识点之间的联系，连接个人日常生活、校园生活与社区活动。

本文将以人教A版必修第一册第三单元《函数的概念》一课为例，探讨如何进行大单元教学背景下高中数学概念课的设计与实施。

1教学设计案例1.1 单元教学内容解读函数是现代数学中最基础的概念，是描述客观世界中变量关系与变化规律的语言与工具，在处理实际问题中起到很大作用。

本单元内容包括：函数概念、函数性质、函数的应用、*函数概念的形成与发展。

本单元的函数概念，是在初中函数变量说定义基础上的再抽象。

以初中已学函数的变量说定义为基础，通过对具体实例的归纳，学生能抽象出函数的“集合—对应说”，并用抽象符号来描述。

本单元是高中数学课程的真正起点，在知识的抽象程度、解决问题的方式办法和数学语言表达等方面都上了一个新台阶，必须认真处理。

向量的加法与减法第一课时向量的加法教学目的：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．培养学生化归的数学思想．教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．教学难点：对向量加法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：1．复习上节要点(见ppt课件)，提问教材P98练习及习题5.1中各3道题(前课作业)．并判断下列命题的真假：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；(2) 两个向量平行是两个向量相等的必要条件；(3) 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．分析：判断上述三个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．(2) 由于两个向量相等，必须这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；(3) 不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定．小结：学习向量时，由于向量具有数形两重性，所以不仅要知其本身的一些概念性质，还应与相关的平面几何知识联系起来，这对理解向量的一些性质很有好处．2．设置情境，引入新课：由于大陆和台湾没有直航，因此，虽然台湾国民党主席连战和亲民党主席宋楚瑜来大陆访问的第一站都是南京，但都要先从台北到香港，再从香港到南京．请问他们的两次位移之和是什么？这就是向量的加法 (板书课题)．二、新课：1．向量的加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a、b的和．记作：a+b，即a+b=AB BC+=AC．零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a．2．两个向量的和向量的作法：(1) 三角形法则：两个向量“首尾”相接．注意：1°．三角形法则对于两个向量共线时也适用；2°．两个向量的和向量仍是一个向量．例1已知向量a、b，求作向量a+b．作法：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b．(2) 平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a、b的和．这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则．注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．3．向量和与数量和的区别：(1) 当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不相同，且|a+b| < |a| + |b|；(2) 当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b相同，且|a+b| = |a| + |b|；(3) 当向量a、b反向时，若|a| > |b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| = |a| -|b|；若|a| < |b|，则a+b的方向与a相反，且|a+b| = |b| - |a|．4．向量的运算律：(1) 交换律：a+b=b+a．证明：当向量a、b不共线时，如上图，作平行四边形ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+BC=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以，a+b=b+a．当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b| = |a| + |b|，b+a与a同向，且|b+a| = |b| + |a|，所以，a+b=b+a．若a与b反向，不妨设|a| > |b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a反向，且|a+b| = |a| - |b|，b+a与a反向，且|b+a| = |a| - |b|，所以，a+b=b+a．综上，a+b=b+a．(2) 结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)．学生自己验证(如右图)．注：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了．例如：(a+b) + (c+d) = (b+d) + (a+c)．a+b+c+d+e= [d+ (a+c)] + (b+e)．例2如图，一艘船从A点出发以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．解：设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．在Rt∆ABC中，|AB| = 2，|BC| = 23，所以，|AC| =22||||AB BC+= 4．因为tan∠CAB =232=3⇒∠CAB = 60︒．答：船实际航行的速度的大小为4km / h，方向与水流速间的夹角为60︒．三、小结：1．a+b是一个向量，在三角形法则下：平移b向量，使b的起点与a的终点重合，则a+b就是以a的起点为起点，b的终点为终点的新向量．2．一组首尾相接的向量和：AB+BC+…+EF=AF，如图．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．若O为△ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是△ABC的( D )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心2．下列各等式或不等式中一定不能成立的个数为( A )①|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| ② |a| - |b| = |a+b| = |a| + |b|③ |a| - |b| = |a+b| < |a| + |b| ④ |a| - |b| < |a+b| = |a| + |b|A．0 B．1 C．2 D．3五、课后作业：1．教材P101—102练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第1、2、3、4题(本上)．(第3题的角用反三角函数表示)3．《数学之友》T5.2．第二课时向量的减法教学目的：1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量．教学难点：对向量减法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：如图：两个人提一桶水，用力大小一样，怎样提比较省力？学生讨论、辨析，分析出数学问题：甲用力为向量a，乙用力为向量b，且|a| = |b|，水桶重力为c，使得a+b+c=0的c一定时，a和b大小何时最小？(当a和b共线时最小)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法(板书课题：向量的减法)．二、新课：1．相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，记作-a．规定：零向量的相反向量仍是零向量．注意：(1) a与-a互为相反向量．即- (-a) =a．(2) 任意向量与它的相反向量的和是零向量．即a+ (-a) = (-a) +a=0．(3) 如果a、b互为相反向量，那么a= -b，b= -a，a+b=0．2．a与b的差：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．即a-b=a+ (-b)．3．向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法．4．a-b的作法：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．思考：为从向量a的终点指向向量b的终点的向量是什么？(b-a)注：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为a+b=c，所以b就是c-a，因而只要作出了b，也就作出了c-a．要作出a-b，可以在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．问：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小(|a-b|的几何意义) 如何？方向怎样？答：两个向量的差还是一个向量，a-b的大小是|a-b|，是连接a、b的终点的线段，方向指向被减向量．5．例题分析：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．思考：已知的四个向量的起点不同，要作向量a-b与c-d，首先要做什么?解：首先在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA、DC，则BA=a-b，DC=c-d．例2如图所示，ABCD中AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB．解：由平行四边形法则，得AC=a+b．由作向量差的方法，得DB=AB-AD=a-b．思考：(1) 例2中，当a、b满足什么条件时，a+b与a-b互相垂直？(2) 例2中，当a、b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？(3) 例2中，a+b与a-b有可能相等吗？为什么？参考答案：(1) 当ABCD为菱形，即|a| = |b|时，a+b与a-b垂直．(2) 当ABCD为长方形，即a⊥b时，|a+b| = |a-b|．(3) 不可能，因为ABCD的对角线总是方向不同的．三、小结：1．相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：x-y=x+ (-y)．2．向量减法有两种定义：(1) 将减法运算转化为加法运算：a-b=a+ (-b)；(2) 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果b+x=a，则x=a-b．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则用a、b表示向量AC+DB的是( A )A．a+a B．b+b C．0 D．a+b 2．△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( B )A．a+b B．-(a+b) C．a-b D．b-a 3．下列等式中，正确的个数是( B )①a+b=b+a；②a-b=b-a；③0-a= -a；④- (-a) =a；⑤a+ (-a) =0．A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知|AB| = 8，|AC| = 5，则|BC|的取值范围是_____________．[3，13]五、课后作业：1．教材P104练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第6、7题(本上)．3．《数学之友》T5.3．。

清华附属中学数学领军计划
清华附属中学数学领军计划
一、计划宗旨
1. 向学生提供高水平的数学结构化学习
2. 打造独特的数学方法论，引领跨学科的数学教育
3. 激发和培养学生的创新思维
二、计划内容
1. 强化数学素质
依托清华大学的师资和数据库，建立丰富的实践活动，提高学生的数学素质，在理解数学、结构化思维、发展分析能力和运用结论对数学核心思维方法的应用方面，推动学生达到较高水平；
2. 加强数学教学
利用清华大学在数学领域学术和科研成果，开展跨学科数学教育，挖掘新学科维度，把科学精神应用到数学学习，从而推进学生在数学学习上新方法的发现及应用；
3. 培养学生创新精神
引导学生积极发掘和跨学科地完成数学问题的研究，推动学生的创新思维，提高数学基础、知识深化及创新能力，加强学生素质教育；
4. 强调实践操作
在知识结构和学习方法上，针对不同学科和学习需求，提供有效的实践操作，促进学生深入学习数学；
三、计划落实
1. 激发学生数学思维，培养学生的学习兴趣。

丰富学习内容，编写学习书目，开展理论和研讨课，实施重点教学督导、指导教师研讨；
2. 推进小组学习。

设置小组学习，采取个性化教学，改进学习方法，提升学习成效；3. 组织活动经历，增加学习深度。

组织数据分析和可视化活动，结合实践，让学生在学术游戏项目中融入理论知识。

4. 加大海外交流，推动学生学习全面发展。

鼓励和支持学生参加海外学术论坛活动，进一步拓宽学生学习视野，营造良好的国际学习氛围。

高中数学十二节课系列教案课时安排：第一节课：整式的加减法第二节课：整式的乘法第三节课：整式的除法第四节课：一元二次方程的求解第五节课：二次函数的性质及图像第六节课：直线方程的求解第七节课：几何证明方法第八节课：几何作图方法第九节课：三角函数的概念及性质第十节课：平面向量的基本概念第十一节课：概率问题的求解第十二节课：数列与数列的求和第一节课整式的加减法教学内容：整式的加减法教学目标：掌握整式的加减法的基本运算方法教学重点：整式的加减法的概念和运算方法教学难点：整式的加减法的应用教学过程：1.复习整式的基本概念和运算规则；2.讲解整式的加减法的定义和运算步骤；3.练习整式的加减法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第二节课整式的乘法教学内容：整式的乘法教学目标：掌握整式的乘法的基本运算方法教学重点：整式的乘法的概念和运算规则教学难点：整式的乘法的运算步骤教学过程：1.复习整式的加减法，引出整式的乘法；2.讲解整式的乘法的定义和运算步骤；3.练习整式的乘法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第三节课整式的除法教学内容：整式的除法教学目标：掌握整式的除法的基本运算方法教学重点：整式的除法的概念和运算规则教学难点：整式的除法的应用教学过程：1.复习整式的加减法和乘法，引出整式的除法；2.讲解整式的除法的定义和运算步骤；3.练习整式的除法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第四节课一元二次方程的求解教学内容：一元二次方程的求解教学目标：掌握一元二次方程的求解方法教学重点：一元二次方程的定义和解法教学难点：一元二次方程的应用教学过程：1.复习一元一次方程的求解方法；2.讲解一元二次方程的定义和解法；3.练习一元二次方程的求解题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第五节课二次函数的性质及图像教学内容：二次函数的性质及图像教学目标：掌握二次函数的性质和图像的特点教学重点：二次函数的定义和性质教学难点：二次函数的图像绘制教学过程：1.复习函数的基本概念和性质；2.讲解二次函数的定义和性质；3.绘制二次函数的图像，掌握绘制方法；4.课堂小结，布置作业。