清华附中高中数学课程设计

高中数学优秀教案设计5篇高中数学优秀教案设计1一、教材分析1.教材所处的地位和作用在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后，进一步体会用频率估计概率思想。

它是对古典概型问题的一种模拟，也是对古典概型知识的深化，同时它也是为了更广泛、高效地解决一些实际问题、体现信息技术的优越性而新增的内容。

2.教学的重点和难点重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数。

难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率，解决一些较简单的现实问题。

二、教学目标分析1、知识与技能：(1)了解随机数的概念;(2)利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。

2、过程与方法：(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力;(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.三、教学方法与手段分析1、教学方法：本节课我主要采用启发探究式的教学模式。

2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学四、教学过程分析㈠创设情境、引入新课情境1：假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某超市内的80袋小包装饼干中抽取10袋进行卫生达标检验,你打算如何操作?预设学生回答：⑴采用简单随机抽样方法(抽签法)⑵采用简单随机抽样方法(随机数表法)教师总结得出：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内每一数的机会一样。

(引入课题)「设计意图」(1)回忆统计知识中利用随机抽样方法如抽签法、随机数表法等进行抽样的步骤和特征;(2)从具体试验中了解随机数的含义。

情境2：在抛硬币和掷骰子的试验中，是用频率估计概率。

假如现在要作10000次试验，你打算怎么办?大家可能觉得这样做试验花费时间太多了，有没有其他方法可以代替试验呢?「设计意图」当需要随机数的量很大时，用手工试验产生随机数速度太慢，从而说明利用现代信息技术的重要性，体现利用计算器或计算机产生随机数的必要性。

正弦定理 余弦定理第一课时 正弦定理教学目的：1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用． 教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定． 教学过程：一、设置情境，引入新课：1．初中我们已学过解直角三角形，请回忆一下直角三角形的边角关系： 答：Rt ∆ABC 中，若C = 90︒，则有：a 2+ b 2= c 2，A + B = 90︒，a = c sin A ，b =c sin B ，ab = tan A ，sin a A =sin bB ．指出：由此可知，利用直角三角形中的这些边角关系，当任给直角三角形的两边或一边一角时，可以求出这个三角形的其它边与其它角．2．在直角三角形中，你能用边角表示斜边吗？ 答：在Rt ∆ABC 中，c =sin aA =sin bB =sin cC ．指出：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理(板书正弦定理)．二、新课：1．正弦定理的推导：为了证明正弦定理(引导学生复习向量的数量积)，a ⋅b = |a ||b |cos θ，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子?如图，在锐角∆ABC 中，过A 作单位向量j 垂直于AC ，则j 与AB 的夹角为90︒ - A ，j 与CB 的夹角为90︒ - C ．由向量的加法可得AC +CB =AB ．对上面向量等式两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ⋅ (AC +CB ) =j ⋅AB ，∴ |j | ⋅ |AC |cos90︒ + |j | ⋅ |CB |cos(90︒ - C ) = |j | ⋅ |AB |cos(90︒ - A )，即a sin C = c sin A ，同理，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，可得sin c C =sin b B ， ∴sin a A =sin b B =sin cC ．当∆ABC 为钝角三角形时，设A > 90︒，如图，过点A 作与AC垂直的向量j ，则j 与AB 的夹角为A - 90︒，j 与CB 的夹角为90︒ - C ，同样可证得sin aA =sin bB =sin cC ．课后请同学们考虑一下正弦定理还有没有其它的证明方法？思考：请观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？答：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角．2．例题分析：例1在∆ABC 中，已知c = 10，A = 45︒，C = 30︒，求b ．解：∵sin b B =sin cC ，且B = 180︒ - (A + C ) = 105︒， ∴b =sin sin c B C =10sin105sin30= 20sin105︒62)．例2 在∆ABC 中，已知a 2，b = 4，A = 45︒，求B ． 解：由 sin aA =sin bB ，得sin B =sin b A a=12． ∵∆ABC 中，a > b ， ∴B 为锐角 ∴B = 30︒．例3 在∆ABC 中，已知a = 2，b 6，A = 45︒，求c 和B ，C ．解：23245sin 6sin sin sin sin =⨯==∴=aAb B B b A a ，．∵b sin A < a < b ，∴B = 60︒或B = 120︒．当B = 60︒时，C = 75︒，1360sin 75sin 6sin sin +===BCb c ， 当B = 120︒时，C = 15︒，13120sin 15sin 6sin sin -===B C b c ． ∴c 3，B = 60︒，C = 75︒或c 3 1，B = 120︒，C = 15︒． 注意：由例2、例3得，当已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况： (1) 若A 为锐角，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)() ,( sin )( sinsin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解b a b a A b A b a A b a (如图) babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CH HH(2) 若A 为直角或钝角，则⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a ．例4 在∆ABC 中，∠B = 45︒，∠C = 60︒，a = 2(3+ 1)，求∆ABC 的面积S ． 解：首先可证明：S ∆ABC =12ah a =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B ．这组结论可作公式使用． 其次求b 边． ∵∠A = 180︒ - (B + C ) = 75︒，∴由正弦定理，b =sin sin a BA =22(31)2624+⋅+= 4．∴S ∆ABC =12ab sin C =12⨯ 2(3+ 1) ⨯ 4 ⨯32= 6 + 23．三、小结：1．正弦定理表示形式：sin a A =sin b B =sin cC = 2R (外接圆直径)；a = 2R sin A ，b = 2R sin B ，c = 2R sin C ；a ：b ：c = sin A ：sin B ：sin C ．2．正弦定理应用范围：(1) 已知两角和任一边，求其他两边及一角． (2) 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．3．已知a 、b 及A ，求解三角形(求B )时，要分类讨论，确定解的个数． 4．注意三角形面积公式的新形式：S =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B ．四、巩固练习：1．△ABC 中，若sin 2A = sin 2B + sin 2C ，则△ABC 为( A )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，sin A > sin B 是A > B 的( C ) 条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要 3．在∆ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos 2c C ，则∆ABC 是( D )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 4．根据各已知条件，判定∆ABC 的解的个数：(1) a = 5，b = 4，A = 120︒，求B ；(A = 120︒，B 只能是锐角，仅有一解) (2) a = 5，b = 4，A = 90︒，求B ；(A = 90︒，B 只能是锐角，仅有一解)(3) a = 5，b 103，A = 60︒，求B ；(∵sin B = 1，∴B = 90︒，只有一解)(4) a = 20，b = 28，A = 40︒，求B ．(有两解) 五、课后作业：1．教材P 133练习第2题；P 134习题5.9中第1、2、3题(书上)． 2．教材P 133练习第1题(本上，求准确值)．看教材P 130~131例1、例2． 3．(本上) 在∆ABC 中，求证：(1) a (sin B - sin C ) + b (sin C - sin A ) + c (sin A - sin B ) = 0．(2)2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 证明：(1) 由于正弦定理：令a = k sin A ，b = k sin B ，c = k sin C ，代入左边得：左= k (sin A sin B - sin A sin C + sin B sin C - sin B sin A + sin C sin A - sin C sin B ) = 0 =右．(2)B b A a sin sin =⇒ b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A = ⇒2222sin sin b B a A =⇒222cos 12cos 1b Ba A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 或：左边=2222222222sin 21sin 21sin 21sin 21b Bb a A a b B a A +--=--- =2222222222112121b a b R b b a R a a -=+--．4．《数学之友》T5.18． 六、课外思考题：已知△ABC ，BD 为∠B 的平分线，试用正弦定理证明：AB ∶BC ＝AD ∶DC ．分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而∠B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内，边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDC BC ABD AD ABD AB ∠=∠∠=∠sin sin ,sin sin ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论．证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：BDA ADBAD AB ABD AD ADB AB ∠∠=∠=∠sin sin ,sin sin 即， 在△BCD 内，同理得：DBCBDCDC BC ∠∠=sin sin ． ∵BD 是∠B 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴sin ABD ＝sin DBC ． ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin(180°－∠BDC )＝sin BDC ，∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB =∠∠=∠∠=sin sin sin sin ，∴DCAD BC AB =． 七、板书设计：课题1．Rt ∆ABC 中，sin90c =sin a A =sin bB = 2R2．正弦定理及证明 3．例1、例2、例3、例44．小结 5．巩固练习 6．作业 7．课外思考题第二课时 余弦定理教学目的：1．掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程； 2．会用余弦定理解决具体问题；3．通过余弦定理的向量法证明体会向量的工具性． 教学重点：余弦定理及其向量法证明，余弦定理及其变形公式在解三角形中的应用． 教学难点：余弦定理的向量法证明及应用． 教学过程：一、设置情境，引入新课： 1．复习提问：什么叫做正弦定理，用正弦定理解三角形必须已知哪些量？答：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，这就叫做正弦定理．用正弦定理解三角形，必须已知三角形的两角和一边或者已知两边和其中一边的对角．2．练习：(1) 在∆ABC 中，已知a = 1，b =3，A = 30︒，解此三角形．注：首先得B = 60︒或120︒，分别得C = 90︒，c = 2或C = 30︒，c = 1． (2) 在∆ABC 中，2b cos C = a ，判断此三角形的形状． 注：将正弦定理代入可得B = C ，从而∆ABC 为等腰三角形． 3．探讨：在∆ABC 中，b = 3，c = 4，A = 60︒，如何求a ？一般地，在一个三角形中，已知两边和这两边的夹角时，用正弦定理解这个三角形方便吗？为什么？ 答：不方便！因正弦定理中的任一等号两边都有两个未知量，需解方程组． 如何求解上述问题？(1) 考虑转化为直角三角形求解． (2) 考虑利用向量的数量积，找边角关系： 由向量加法得：，∴BC 2 = (BA +AC )2 =BA 2 +AC 2+2BA ⋅AC ，∴a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A = 9 + 16 - 2 ⨯ 3 ⨯ 4cos60︒ = 13，故a =13． 4．引入：对于任意一个三角形来说，是否也可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边呢？ 这就是我们今天要学的余弦定理(板书余弦定理)． 二、新课： 1．余弦定理：由上述问题我们得到a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A ．同理可得 b 2= c 2+ a 2- 2ca cos B ，c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C ． 指出：这就是我要讲的余弦定理，你能用文字叙述吗？答：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍． 问：余弦定理左边有几项？右边有几项？式中有几个量？ 答：左边一个量，右边有三个量，共三边和一个角．问：余弦定理还可作哪些变形呢？ 答：cos A =2222b c a bc+-，cos B =2222c a b ca+-，cos C =2222a b c ab+-．问：利用余弦定理可以解决怎样的三角形问题？答：① 已知三角形三边求角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边． 2．例题分析：例1在∆ABC 中，已知a = 7，b = 10，c = 6，求A 、B 和C (精确到1°)． 解：∵cos A =2222b c a bc+-=22210672106+-⨯⨯=87120= 0.725，∴A ≈ 44°，∵cos C =2222a b c ab+-=22271062710+-⨯⨯=113140≈ 0.8071，∴C ≈ 36°，(或∵sin C =aAc sin ≈ 0.5954，∴ C ≈ 36°或144°(舍).) ∴B = 180︒ - (A +C ) ≈ 180︒ - (44° + 36°) = 100°． 练习：变式(1)：例1中已知条件不变，结论换成判定∆ABC 的形状． 变式(2)：例1中已知条件不变，结论换成求∆ABC 的面积． 参考答案：(1) ∆ABC 的形状由大边b 所对角B 的范围确定，引导学生得出：B ∈ (90°，180︒) ⇔ b 2 > a 2 + c 2．(2) 先求出一个角，再利用面积公式：S ∆ABC =12ab cos C ≈ 20.64．例2 ΔABC 的三个顶点坐标为A (6，5)、B (– 2，8)、C (4，1)，求角A ． 解法一：∵ |AB | ＝73)85()]2(6[22=-+--，|BC | ＝85)18()42(22=-+--， |AC | ＝52)15()46(22=-+-，AC AB BCAC AB A ⋅-+=2cos 222=3652，∴ A = arccos 3652≈ 84°． 解法二：∵ AB ＝(– 8，3)，AC ＝(– 2，– 4)，∴cos A ＝||||AB AC AB AC ⋅⋅=36525273)4(3)2()8(=⨯-⨯+-⨯-，∴A = arccos3652≈ 84°．例3 已知三角形的一个角为60°，面积为103cm 2，周长为20cm ，求此三角形的各边长．分析：此题所给的条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式S △ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用．解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++4020222ac ac c a b c b a由①式得：b 2= [20 - (a + c )]2= 400 + a 2+ c 2+ 2ac - 40(a + c ) ④ 将②代入④得400 + 3ac - 40(a + c ) = 0， 再将③代入得a + c = 13，由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得， ∴b 1 = 7，b 2 = 7， 所以，此三角形三边长分别为5cm ，7cm ，8cm ．评述： (1) 在建立方程的过程中，既要注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用．(2) 由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力．三、小结：1．余弦定理适用于任何三角形．2．余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状． 3．由余弦定理可知，∆ABC 中：A > 90° ⇔ a 2 > b 2 + c 2；A = 90° ⇔ a 2 = b 2 + c 2； A < 90° ⇔ a 2 < b 2 + c 2．四、巩固练习：①②1．已知∆ABC 中，a = 20，b = 29，c = 21，求B ．(B = 90︒) 2．若锐角∆ABC 中，b = 8，c = 3，sin A，求a 并判定三角形的形状．(a = 8，∆ABC 为等腰三角形)． 五、课后作业：1．教材P 133练习第4题；P 134习题5.9中第6、7题(书上)． 2．看教材P 133例5． 3．《数学之友》T5.19． 4．教材P 133练习第3题(本上)．5．(本上)在△ABC 中，BC = 3，AB = 2，且)16(52sin sin +=B C ，求A ． (A = 120°) 六、课外思考题：在△ABC 中，求证：(a 2 - b 2 - c 2)tan A + (a 2 - b 2 + c 2)tan B = 0．证明：左边= (a 2- b 2- c 2) B Bc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证． 七、板书设计：第三课时 教学目的：1．进一步熟悉正、余弦定理的内容；2．能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状．教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向． 教学难点：正、余弦定理的灵活运用． 教学过程： 一、复习：1．正弦定理：sin aA =sin bB =sin cC = 2R (外接圆直径)． 2．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ cos A =2222b c a bc +-； b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos B ⇔ cos B =2222c a b ca +-；c 2 = a 2 + b 2- 2ab cos C ⇔ cos C =2222a b c ab+-．二、新课：例1在∆ABC 中，已知a b ，B = 45︒，求A 、C 和c ．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题．可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出c 后，再求出角C 与角A ．解法一：∵B = 45︒ < 90︒，且b < a ， ∴问题有两解．由正弦定理，得sin A =sin a B b ==， ∴A = 60︒，或A = 120︒．(1) 当A = 60︒时，C= 180︒ - (A + B ) = 75︒， c =sin sin b CB =2sin75sin 45．(2) 当A = 120︒时，C = 180︒ - (A + B ) = 15︒，c =sin sin b C B =sin1545=．故A = 60︒，C = 75︒，c ，或A = 120︒，C = 15︒，c=．解法二：由余弦定理有b 2= c 2+ a 2- 2ca cos B ， 即2 =3 + c 2-(cos45︒)，整理，得c 2c + 1 = 0，解得c ，或c ．又cos A =2222b c a bc+- ①当a =3，b =2，c =622+时，由①可得cos A =12，故A = 60︒； 当a =3，b =2，c =622-时，由①可得cos A = -12，故A = 120︒． 故A = 60︒，C = 75︒，c =622+，或A = 120︒，C = 15︒，c =622-．小结：对本题，一般会误认为只能用正弦定理求解，而余弦定理似乎难以派上用场．其实不然，解法二就是明证．事实上，正弦定理与余弦定理是等价的，完全可以相通．凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也能求解．反之亦然，只不过解题过程的繁简程度有所不同而已．鉴此，我们在学习中，不能把正弦定理与余弦定理完全割裂开来，而要用一种联系的观点来看待它们．例2 在∆ABC 中，已知a = 26，b = 6 + 23，c = 43．求A 、B 、C ．分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可选求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．解：由已知，a < c < b ，B 最大．由余弦定理，得 cos B =2222c a b ca+-=2448(48243)22643+-+⨯⨯=1322-=264-= -624-< 0，∴B = 105︒．由正弦定理，得sin C =sin c B b =43sin105623+=63434623+⨯+=3(63)6(62)++=22．∵c < b ，∴C 为锐角，C = 45︒． 于是A = 180︒ - (B + C ) = 30︒， ∴A = 30︒，B = 105︒，C = 45︒．小结：此题也可由余弦定理先求最小角A ，cos A =2222b c a bc+-=32，∴A = 30︒，再求其他角．由于题目已知三边，所以利用余弦定理求得最大角或最小角后，再求第二个角，仍可用余弦定理，例如由cos C =2222a b c ab+-=22，得C = 45︒．例3 如图所示，在∆ABC 中，已知BC = 15，AB ：AC = 7 ：8，sin B =437．求BC 边上的高AD ．分析：由已知设AB = 7x ，AC = 8x ，故要求AD 的长只要求出x ，∆ABC 中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x ，而用正弦定理正好可求角C ．解： 在∆ABC 中，设AB = 7x ，AC = 8x ．由正弦定理得7sin x C =8sin xB ，∴sinC =7sin 8x B x=78⋅437=32， ∴C = 60︒(C = 120︒舍去，否则由8x > 7x 知B 也为钝角，不合要求)． 再由余弦定理得(7x )2= (8x )2+ 152- 2 ⋅ 8x ⋅ 15cos60︒，∴x 2- 8x + 15 = 0，解得x = 3，或x = 5，故AB = 21，或AB = 35． 在∆ABC 中，AD = Ab sin B =437AB ，∴AD = 123或AD = 203．小结：利用比例式的设法是一种解题常用的技巧，可使运算简便．例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥ CD ，AD = 10，AB = 14，∠BDA = 60︒，∠BCD = 135︒，求BC 的长．分析：在∆ABD 中，可先由正弦定理求出B ，再由余弦定理求出BD ，也可用方程法直接余弦定理求出BD ．然后∆BCD 中由正弦定理求出BC ．解：在△ABD 中，设BD = x ，则BA 2= BD 2+ AD 2- 2BD ⋅ AD ⋅ cos ∠BDA ，即142= x 2+ 102- 20x cos60︒，整理得：x 2- 10x - 96 = 0，解之：x 1 = 16，x 2 = - 6(舍去)， 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ，∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ． 小结：注意正、余弦定理的灵活运用．例5 已知方程x 2- (b cos A )x + a cos B = 0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为∆ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．分析：先由已知条件得出三角形的边角关系．要判定三角形的形状，只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定．解法一：设方程的两根为x 1，x 2，由韦达定理知：x 1 + x 2 = b cos A ，x 1x 2 = a cos B ， 由题意有b cos A = a cos B ，根据余弦定理得b ⋅2222b c a bc+-= a ⋅2222a c b ac+-，∴b 2 + c 2 - a 2 = a 2 + c 2 - b 2，化简得a = b ， ∴ ∆ABC 为等腰三角形． 解法二：仿上法得b cos A = a cos B ，由正弦定理得：2R sin B cos A = 2R sin A cos B ，∴sin A cos B - cos A sin B = 0， 即sin(A - B ) = 0， ∵A 、B 为∆ABC 的内角，∴0 < A < π，0 < B < π，∴A - B = 0，即A = B ，故∆ABC 为等腰三角形．小结：由三角形的边角关系判定三角形的形状，其本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，或全化为边的关系、或全化为角的关系，然后利用简单的平面几何知识即可判定．三、巩固练习：1．在△ABC 中，已知B = 30°，b =3，c = 3，那么这个三角形是( D ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，若b 2sin 2C + c 2sin 2B = 2bc cos B cosC ，则此三角形为( A ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 3．已知∆ABC 中，b = 8，c =833，B = 60︒，求a ．(a =1633，先求得C = 30︒)四、课后作业：1．教材P 134习题5.9中第5、8、9题(本上)． 2．《数学之友》T5.21． 五、课外思考题：在△ABC 中，AB = 5，AC = 3，D 为BC 中点，且AD = 4，求BC 边长．分析：此题所给条件只有边长，应考虑在假设BC 为x 后，建立关于x 的方程．而正弦定理涉及到两个角，故不可用．此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用．因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程．解：设BC 边为x ，则由D 为BC 中点，可得BD = DC =2x，在△ADB 中，cos ADB =2222224()522242xAD BD AB x AD BD +-+-=⋅⋅⨯⨯， 在△ADC 中，cos ADC =2222224()322242xAD DC AC x AD DC +-+-=⋅⋅⨯⨯． 又∠ADB + ∠ADC = 180°，∴cos ADB = cos(180°－∠ADC ) = - cos ADC ，∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+， 解得x = 2，所以，BC 边长为2． 六、板书设计：课题 1．正、余弦定理2．例1、例2、例3、例4、例53．巩固练习 4．作业 5．课外思考题第四课时 正、余弦定理的应用(2)——三角形中的三角函数问题教学目的：1．进一步掌握正余弦定理及其应用；2．掌握三角形性质及其应用；3．掌握三角形中的三角函数问题的解题依据和思路； 4．能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式． 5．体会转化的思想和函数思想在解题中的应用． 教学重点：三角形中的三角函数问题的解题依据和思路． 教学难点：三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求． 教学过程： 一、基础知识： 1．正、余弦定理：(1) 两个定理形式不同，但实质上能相互推出，是等价的．在解题中要灵活选用，以达到最简便的解题目的．(2) 两个定理的作用：解斜三角形；实现边、角两类元素之间的相互转化． 2．三角形的性质： (1) A + B + C = π．(2) sin(A +B ) = sin C ；cos(A +B ) = - cos C ；sin 2B C += cos2A ；…．(3) A > B ⇔ sin A > sin B ．(由正弦定理易证) (4) cos A + cos B > 0．(由和差化积或余弦定理易证) 3．解决三角形问题的依据：(1) 正余弦定理； (2) 三角形性质；(3) 三角变换； (4) 三角函数的图象和性质．4．解决三角形问题的关键：边、角两类元素间的相互转化及解决三角函数问题的方法的灵活掌握，特别是要注意体会转化思想的作用．二、新课(典型例题)：例1 △ABC中，三条边a，b，c依次成等比数列，化简：cos(A-C) + cos2B + cos B．分析：这是一个三角形中的三角函数问题. 题目给出的是边元素条件，而待求的是角元素结论，故解决问题的第一个关键是统一条件与结论中的元素. 考虑到三角公式及三角变形手段的灵活性，可把条件与结论中的元素都统一为角元素．即：b2 = ac⇒ sin2B = sin A⋅ sin C．接上分析：解决问题的第二个关键是统一题目条件与结论中的角和三角函数名称．观察题目条件与结论式子的结构形式及角与角的关系，考虑：把待求结论向已知条件统一．解：由条件得，b2 = ac，由正弦定理，得sin2B = sin A sin C．∴原式= cos(A-C) + 1 - 2sin2B- cos(A + C) = 2sin A sin C + 1 - 2sin2B = 1．例2在∆ABC中，求证：() 222sinsinA Ba bc C--=．分析：由例1的经验，应先统一题中的元素：() 222sinsin sinsin sinA BA BC C--=．回顾：证明三角恒等式的常用方法有哪些？(1) 从一端向另一端； (2) 从两端向中间；(3) 比较法； (4) 转化恒等式(更一般地：分析法)．怎样证明本题？分析：观察等式两端式子的结构形式及角与角的关系：式子结构形式较复杂，且两端的角有单角和复角，可考虑先化简式子的结构形式并把角统一为A、B(先转化恒等式)：证明：原式⇔() 222sinsin sinsin sinA BA BC C--=⇔ sin2A- sin2B = sin(A-B)sin(A + B)，又sin(A-B)sin(A + B) = sin2A cos2B- cos2A sin2B= sin2A(1 - sin2B) - (1 - sin2A)sin2B = sin2A- sin2B，(又采取了从一端向另一端)，∴原式得证．小结：(1) 解决三角形中的三角函数问题，首先应统一两类元素——依据：正、余弦定理！(2) 由于三角公式的灵活性和丰富性，在解决三角形中的三角函数问题时，常常把边元素统一为角元素．——解决问题的过程中，三角公式及三角形性质都是重要的解题依据．(3) 解决三角函数问题的关键：做好两个观察，以便合理选用公式，统一题目中的角和三角函数名称．一是观察题目中式子的结构形式；二是观察角与角的关系．(4) 要注意总结问题的类型和解决问题的一般方法．如：化简三角函数式的方法；证明三角恒等式的方法．并能利用方法去解决同类问题．思维发散：本题还有其它解法吗？考虑：把角元素统一为边元素可以吗？证法二：右边 =222222sin cos cos sin22sin+-+-⋅-⋅-=a cb bc aa bA B A B ac bcC c22222222222+---+-==a cb bc a a bc c= 左边，∴原式得证．——比第一种证法更简洁！小结：(1) 一个解题过程可采用多个解题方法——一解多法！(2) 一个问题的解法往往不止一个——一题多解！(3) 同一类问题的最终解法是一致的——多解归一！例3在∆ABC中，tan tantan tanA B c bA B c--=+，求cos2B C+．分析：仍然是先统一元素：把条件中的元素统一为角元素：tan tan sin sintan tan sinA B C BA B C--=+．本题是一个给值求值问题．回顾此类问题的解法：(1) 条件→结论；(2) 结论→条件；(3)条件→中间←结论．关键：观察题目条件与结论中的角和式子的结构形式，以便统一角和三角函数名称．本题条件较复杂，而结论较简单，考虑条件向结论靠拢，用“方程法”解．解：∵tan tan sin sintan tan sinA B c b C BA B c C---==+，∴()()()()sin sin sinsin sinA B A B BA B A B-+-=++，∴sin(A-B) = sin(A + B) - sin B，即2cos A sin B = sin B，又sin B≠ 0，∴cos A =12，从而A = 60︒，故cos2B C+= cos60︒ =12．例4已知⊙O的半径为R，△ABC为⊙O的内接三角形，2R(sin2A- sin2Ca-b)sin B，求S△ABC的最大值．分析：要求S △ABC 的最大值，关键是建立相应的函数表达式．由于题目给出的是三角函数式的条件，可考虑建立面积的三角函数表达式．先看如何用条件：首先要统一条件中的元素. 若考虑把边元素统一为角元素：sin 2A - sin 2CA - sinB )sin B ，出现了二次式，应考虑降幂．但很容易发现，降幂后的式子仍较复杂，进一步变形较困难——思路受阻！ 到这儿，应“换一种思路”考虑：把条件中的元素统一为边元素：a 2 - c 2- b )b ，即a 2 + b 2 - c 2ab ，——符合余弦定理的形式！∴222cos 22a b c C ab +-==，得4C π=，再考虑待求结论：1sin 24ABC S ab C ab ∆==， 由于a 、b 间关系不明显，故若想建立关于a 或b 的代数函数表达式较困难！因此，再考虑边化角，建立面积的三角函数表达式：2sin sin ABC S A B ∆==⋅， 观察上式的结构形式，联想到两角和与差的余弦公式的变形：22sin sin [cos()cos()]2ABC S A B R A B A B ∆=⋅=--+22cos()22R A B =-+223cos(2)242R A π=-+3(0)4A π<<，∴当3cos(2)4A π-= 1，即A =38π时，(S △ABC )max=212R ． 小结：(1) 数学中的最大值、最小值问题一般是要建立相应的函数表达式，把问题转化为求函数最值． (2) 在解决数学问题的过程中要注意总结类型、方法，进而形成“系统”，是学习中的重要环节．但当我们用经验解题思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新——换一种思路！三、小结：1．要注意养成解完题善于“停下来”的好习惯．既要注意总结一般的解题方法，又要注意解题的灵活性——一题多解、一解多法、多解归一！2．注意体会转化的思想和函数思想在解题中的应用．四、巩固练习：△ABC 中，4sin B sin C = 1，b 2+ c 2- a 2= bc ，B > C ．求A ，B ，C ．解：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵0 < A < π，∴A =3π，B + C =23π，∴4sin B sin(23π- B ) = 1，即4sin B(2cos B -12sin B ) = 1，sin2B - cos2B = 0，∴sin(2B -6π) = 0， 又B > C ，B + C =23π，∴3π< B <23π，从而2π< 2B -6π<32π， 故2B -6π= π，即B =712π，得C =12π．五、课后作业： 1．《数学之友》T5.22．2．△ABC 中，sin A cos B - sin B = sin C - sin A cos C ，判断△ABC 的形状． 解法一：由已知式得sin A cos B - sin(A + C ) = sin(A + B ) - sin A cos C ，∴cos A sin B + cos A sin C = 0，即cos A (sin B + sin C ) = 0，∵sin B + sin C > 0，∴cos A = 0，故A = 90︒，即△ABC 为直角三角形．解法一：由已知式得22222222a c b a b c a b c a ac ab+-+-⋅-=-⋅，∴b (a 2+ c 2- b 2- 2bc ) = c (2bc - a 2- b 2+ c 2)，即(a 2- b 2- c 2)(b + c ) = 0， 故a 2= b 2+ c 2，即△ABC 为直角三角形．3．在∆ABC 中，a cos22C+ c cos22A =32b ，求证：a 、b 、c 成等差数列．分析：本题的已知条件是边角关系式，要证的是边的关系．可以考虑把已知条件化为边的关系，也可以考虑把已知条件化为角的关系先进行化简，然后再转化为边的关系．证法一：∵ a cos22C + c cos22A = a ⋅1cos 2C ++ c ⋅1cos 2A + =12a +12a ⋅2222a b c ab+-+12c +12c ⋅2222b c a bc+-=12( a + b + c )，∴12( a + b + c ) =32b ，即a + c = 2b ，∴a 、b 、c 成等差数列．证法二：∵ a cos22C + c cos22A = 2R sin A cos22C + 2R sin C cos22A= R sin A (1 + cos C ) + R sin C (1 + cos A ) = R sin A + R sin C + R sin(A +C )= R sin A + R sin C + R sin B =12( a + b + c )，以下同证法一．小结：三角形中边角关系恒等式的证明，主要是根据正、余弦定理，或者全化为边的关系转化为代数问题处理，或者全化为角的关系转化为三角问题处理．4．如图，在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，a 2+ b 2- c 2= ab ，CM 是∆ABC 外接圆的直径，BM = 11，AM = 2，求CM 的长．分析：要求出三角形外接圆直径长，根据正弦定理，只要求出∆ABC 的一个内角和它的对边．由题设等式的特点，利用余弦定理可求∠ACB ，接着它的对边AB 在∆ABM 中可求，问题得到解决．解：由余弦定理：cos ∠ACB =2222a b c ab+-=2ab ab=12，∴∠ACB = 60︒，于是∠AMB = 120︒． 在∆ABM 中，由余弦定理，AB 2= BM 2+ AM 2- 2BM ⋅ AM cos120︒ = 121 + 4 - 2 ⨯ 11 ⨯ 2 ⨯ (-12) = 147， 即AB 3CM =sin ABACB ∠=733= 14．小结：在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，合理使用正弦定理或余弦定理． 六、板书设计：课题 1．基础知识回顾 2．例1、例2、例3、例4 3．巩固练习 4．作业。

大单元教学背景下高中数学概念课的设计与实施研究——以《函数的概念》为例2清华附中嘉兴实验高级中学浙江省嘉兴市 314000摘要：概念教学作为高中数学课程的首要环节，有着特别关键的基础性地位。

采用大单元教学设计的高中数学概念课，更易于加强知识点之间的联系，连接个人日常生活、校园生活与社区活动。

本文将探讨如何进行大单元教学背景下高中数学概念课的设计和实施。

关键词：大单元教学数学概念课核心素养引言：数学概念(medicalal effects)是指人脑中对实际对象的数量关系与空间形式的本质特征的反映形态。

正确认识和灵活运用数学概念，是掌握数学基本知识和运算技巧、发展逻辑推理和空间想像能力的前提条件。

数学概念是高中数学知识的核心内容，是学习必备知识和训练关键能力的基础。

所以，概念教学在高中数学课程中有着特别关键的基础性地位。

大单元教学是以单元为单位，围绕某一主题或活动对学习内容进行整体考虑、设计并组织实施进行的教学活动。

大单元教学着眼于推动课堂教学内容的整体结构化，建立课堂教学的整体意识，有利于老师转变着眼点过小过细的习惯方式，推动学生的深度学习；采用大单元教学设计的高中数学概念课，更易于加强知识点之间的联系，连接个人日常生活、校园生活与社区活动。

本文将以人教A版必修第一册第三单元《函数的概念》一课为例，探讨如何进行大单元教学背景下高中数学概念课的设计与实施。

1教学设计案例1.1 单元教学内容解读函数是现代数学中最基础的概念，是描述客观世界中变量关系与变化规律的语言与工具，在处理实际问题中起到很大作用。

本单元内容包括：函数概念、函数性质、函数的应用、*函数概念的形成与发展。

本单元的函数概念，是在初中函数变量说定义基础上的再抽象。

以初中已学函数的变量说定义为基础，通过对具体实例的归纳，学生能抽象出函数的“集合—对应说”，并用抽象符号来描述。

本单元是高中数学课程的真正起点，在知识的抽象程度、解决问题的方式办法和数学语言表达等方面都上了一个新台阶，必须认真处理。

向量的加法与减法第一课时向量的加法教学目的：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．培养学生化归的数学思想．教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．教学难点：对向量加法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：1．复习上节要点(见ppt课件)，提问教材P98练习及习题5.1中各3道题(前课作业)．并判断下列命题的真假：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；(2) 两个向量平行是两个向量相等的必要条件；(3) 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．分析：判断上述三个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．(2) 由于两个向量相等，必须这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；(3) 不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定．小结：学习向量时，由于向量具有数形两重性，所以不仅要知其本身的一些概念性质，还应与相关的平面几何知识联系起来，这对理解向量的一些性质很有好处．2．设置情境，引入新课：由于大陆和台湾没有直航，因此，虽然台湾国民党主席连战和亲民党主席宋楚瑜来大陆访问的第一站都是南京，但都要先从台北到香港，再从香港到南京．请问他们的两次位移之和是什么？这就是向量的加法 (板书课题)．二、新课：1．向量的加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a、b的和．记作：a+b，即a+b=AB BC+=AC．零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a．2．两个向量的和向量的作法：(1) 三角形法则：两个向量“首尾”相接．注意：1°．三角形法则对于两个向量共线时也适用；2°．两个向量的和向量仍是一个向量．例1已知向量a、b，求作向量a+b．作法：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b．(2) 平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a、b的和．这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则．注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．3．向量和与数量和的区别：(1) 当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不相同，且|a+b| < |a| + |b|；(2) 当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b相同，且|a+b| = |a| + |b|；(3) 当向量a、b反向时，若|a| > |b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| = |a| -|b|；若|a| < |b|，则a+b的方向与a相反，且|a+b| = |b| - |a|．4．向量的运算律：(1) 交换律：a+b=b+a．证明：当向量a、b不共线时，如上图，作平行四边形ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+BC=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以，a+b=b+a．当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b| = |a| + |b|，b+a与a同向，且|b+a| = |b| + |a|，所以，a+b=b+a．若a与b反向，不妨设|a| > |b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a反向，且|a+b| = |a| - |b|，b+a与a反向，且|b+a| = |a| - |b|，所以，a+b=b+a．综上，a+b=b+a．(2) 结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)．学生自己验证(如右图)．注：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了．例如：(a+b) + (c+d) = (b+d) + (a+c)．a+b+c+d+e= [d+ (a+c)] + (b+e)．例2如图，一艘船从A点出发以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．解：设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．在Rt∆ABC中，|AB| = 2，|BC| = 23，所以，|AC| =22||||AB BC+= 4．因为tan∠CAB =232=3⇒∠CAB = 60︒．答：船实际航行的速度的大小为4km / h，方向与水流速间的夹角为60︒．三、小结：1．a+b是一个向量，在三角形法则下：平移b向量，使b的起点与a的终点重合，则a+b就是以a的起点为起点，b的终点为终点的新向量．2．一组首尾相接的向量和：AB+BC+…+EF=AF，如图．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．若O为△ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是△ABC的( D )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心2．下列各等式或不等式中一定不能成立的个数为( A )①|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| ② |a| - |b| = |a+b| = |a| + |b|③ |a| - |b| = |a+b| < |a| + |b| ④ |a| - |b| < |a+b| = |a| + |b|A．0 B．1 C．2 D．3五、课后作业：1．教材P101—102练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第1、2、3、4题(本上)．(第3题的角用反三角函数表示)3．《数学之友》T5.2．第二课时向量的减法教学目的：1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量．教学难点：对向量减法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：如图：两个人提一桶水，用力大小一样，怎样提比较省力？学生讨论、辨析，分析出数学问题：甲用力为向量a，乙用力为向量b，且|a| = |b|，水桶重力为c，使得a+b+c=0的c一定时，a和b大小何时最小？(当a和b共线时最小)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法(板书课题：向量的减法)．二、新课：1．相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，记作-a．规定：零向量的相反向量仍是零向量．注意：(1) a与-a互为相反向量．即- (-a) =a．(2) 任意向量与它的相反向量的和是零向量．即a+ (-a) = (-a) +a=0．(3) 如果a、b互为相反向量，那么a= -b，b= -a，a+b=0．2．a与b的差：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．即a-b=a+ (-b)．3．向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法．4．a-b的作法：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．思考：为从向量a的终点指向向量b的终点的向量是什么？(b-a)注：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为a+b=c，所以b就是c-a，因而只要作出了b，也就作出了c-a．要作出a-b，可以在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．问：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小(|a-b|的几何意义) 如何？方向怎样？答：两个向量的差还是一个向量，a-b的大小是|a-b|，是连接a、b的终点的线段，方向指向被减向量．5．例题分析：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．思考：已知的四个向量的起点不同，要作向量a-b与c-d，首先要做什么?解：首先在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA、DC，则BA=a-b，DC=c-d．例2如图所示，ABCD中AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB．解：由平行四边形法则，得AC=a+b．由作向量差的方法，得DB=AB-AD=a-b．思考：(1) 例2中，当a、b满足什么条件时，a+b与a-b互相垂直？(2) 例2中，当a、b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？(3) 例2中，a+b与a-b有可能相等吗？为什么？参考答案：(1) 当ABCD为菱形，即|a| = |b|时，a+b与a-b垂直．(2) 当ABCD为长方形，即a⊥b时，|a+b| = |a-b|．(3) 不可能，因为ABCD的对角线总是方向不同的．三、小结：1．相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：x-y=x+ (-y)．2．向量减法有两种定义：(1) 将减法运算转化为加法运算：a-b=a+ (-b)；(2) 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果b+x=a，则x=a-b．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则用a、b表示向量AC+DB的是( A )A．a+a B．b+b C．0 D．a+b 2．△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( B )A．a+b B．-(a+b) C．a-b D．b-a 3．下列等式中，正确的个数是( B )①a+b=b+a；②a-b=b-a；③0-a= -a；④- (-a) =a；⑤a+ (-a) =0．A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知|AB| = 8，|AC| = 5，则|BC|的取值范围是_____________．[3，13]五、课后作业：1．教材P104练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第6、7题(本上)．3．《数学之友》T5.3．。

清华附属中学数学领军计划
清华附属中学数学领军计划
一、计划宗旨
1. 向学生提供高水平的数学结构化学习
2. 打造独特的数学方法论，引领跨学科的数学教育
3. 激发和培养学生的创新思维
二、计划内容
1. 强化数学素质
依托清华大学的师资和数据库，建立丰富的实践活动，提高学生的数学素质，在理解数学、结构化思维、发展分析能力和运用结论对数学核心思维方法的应用方面，推动学生达到较高水平；
2. 加强数学教学
利用清华大学在数学领域学术和科研成果，开展跨学科数学教育，挖掘新学科维度，把科学精神应用到数学学习，从而推进学生在数学学习上新方法的发现及应用；
3. 培养学生创新精神
引导学生积极发掘和跨学科地完成数学问题的研究，推动学生的创新思维，提高数学基础、知识深化及创新能力，加强学生素质教育；
4. 强调实践操作
在知识结构和学习方法上，针对不同学科和学习需求，提供有效的实践操作，促进学生深入学习数学；
三、计划落实
1. 激发学生数学思维，培养学生的学习兴趣。

丰富学习内容，编写学习书目，开展理论和研讨课，实施重点教学督导、指导教师研讨；
2. 推进小组学习。

设置小组学习，采取个性化教学，改进学习方法，提升学习成效；3. 组织活动经历，增加学习深度。

组织数据分析和可视化活动，结合实践，让学生在学术游戏项目中融入理论知识。

4. 加大海外交流，推动学生学习全面发展。

鼓励和支持学生参加海外学术论坛活动，进一步拓宽学生学习视野，营造良好的国际学习氛围。

高中数学十二节课系列教案课时安排：第一节课：整式的加减法第二节课：整式的乘法第三节课：整式的除法第四节课：一元二次方程的求解第五节课：二次函数的性质及图像第六节课：直线方程的求解第七节课：几何证明方法第八节课：几何作图方法第九节课：三角函数的概念及性质第十节课：平面向量的基本概念第十一节课：概率问题的求解第十二节课：数列与数列的求和第一节课整式的加减法教学内容：整式的加减法教学目标：掌握整式的加减法的基本运算方法教学重点：整式的加减法的概念和运算方法教学难点：整式的加减法的应用教学过程：1.复习整式的基本概念和运算规则；2.讲解整式的加减法的定义和运算步骤；3.练习整式的加减法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第二节课整式的乘法教学内容：整式的乘法教学目标：掌握整式的乘法的基本运算方法教学重点：整式的乘法的概念和运算规则教学难点：整式的乘法的运算步骤教学过程：1.复习整式的加减法，引出整式的乘法；2.讲解整式的乘法的定义和运算步骤；3.练习整式的乘法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第三节课整式的除法教学内容：整式的除法教学目标：掌握整式的除法的基本运算方法教学重点：整式的除法的概念和运算规则教学难点：整式的除法的应用教学过程：1.复习整式的加减法和乘法，引出整式的除法；2.讲解整式的除法的定义和运算步骤；3.练习整式的除法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第四节课一元二次方程的求解教学内容：一元二次方程的求解教学目标：掌握一元二次方程的求解方法教学重点：一元二次方程的定义和解法教学难点：一元二次方程的应用教学过程：1.复习一元一次方程的求解方法；2.讲解一元二次方程的定义和解法；3.练习一元二次方程的求解题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。

第五节课二次函数的性质及图像教学内容：二次函数的性质及图像教学目标：掌握二次函数的性质和图像的特点教学重点：二次函数的定义和性质教学难点：二次函数的图像绘制教学过程：1.复习函数的基本概念和性质；2.讲解二次函数的定义和性质；3.绘制二次函数的图像，掌握绘制方法；4.课堂小结，布置作业。

课题：1. 1.3导数的几何意义第 1 课时，共 1 课时班级 姓名 等级【学习目标】1、了解导数的概念，理解导数的几何意义。

2.会求导函数。

3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

【学习重、难点 】导数的几何意义的探究【学法指导】前面通过导数的定义已体会到函数蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合的思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种思想——以曲代直。

【导入新知】复习回顾1．平均变化率、割线的斜率2、瞬时速度、导数（二）提出问题我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？【自主学习】提出问题，展示目标,出示预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图 3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 .（2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时, n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .3、提出疑惑【合作探究】1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图 3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？(4)切线PT 的斜率k 为多少？讲解: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义（1）学生总结导数的几何意义（2）将上述意义用数学式表达出来。

清华附中数学全集
清华附中数学全集是清华附中数学课程的教材，包括高中数学的各个领域：
1. 高中数学基础知识：包括数学思维方法、数学语言、数学符号的使用、函数的概念、微积分知识等。

2. 高中数学常用方法：包括初等函数、平面几何、立体几何、向量、概率与统计等。

3. 高中数学拓展知识：包括复数、矩阵、数列、级数、微分方程等。

在教材的编写中，清华附中数学教师着重注重基础知识的打牢以及思维方法的培养，帮助学生理解数学的本质和思维方式，使学生在应用数学时更加得心应手。

此外，教材还配有大量例题和习题，旨在帮助学生巩固知识、提高能力。

同时，还有数学竞赛内容，为有兴趣的学生提供了一个拓展数学知识的平台。

实数与向量的积第一课时实数与向量的积教学目的：1．理解并掌握实数与向量的积的意义．2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件．教学过程：一、设置情境，引入新课：我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f= m a，位移与速度的关系s=v t．这些公式都是实数与向量间的关系．我们已经学习了向量的加法，若已知非零向量a，请同学们作出a+a+a和(-a) + (-a) + (-a)，(已知向量可自己给定)，并请指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？答：a+a+a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(-a) + (-a) + (-a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反．我们把a+a+a记作3a，把(-a) + (-a) + (-a)记作- 3a．本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题：实数与向量的积)二、新课：1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1) |λa| = |λ||a|．(2) λ > 0时，λa的方向与a的方向相同；当λ < 0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ = 0或a=0时，λa=0．2．实数乘向量的基本运算律：设a、b为任意向量，λ，μ为任意实数，则有：(1) λ(μa) = (λμ)a；(2) (λ + μ)a= λa+ μa； (3) λ(a+b) = λa+λb．根据实数与向量的积的定义，可以验证以上的运算律．例1计算：(1) (- 3) ⨯ 4a；(2) 3(a+b) - 2(a-b) -a；(3) (2a+ 3b-c) - (3a- 2b+c)．解：(1) 原式= (- 3 ⨯ 4)a= - 12a．(2) 原式= 3a+3b- 2a+ 2b-a= 5b．(3) 原式= 2a+ 3b-c- 3a+ 2b-c= -a+ 5b- 2c．例2 设x是未知向量，解方程5()3(2)0.x a x b++-=分析：本题中所求的未知量是一个向量，所以本题属于解向量方程的问题，向量方程的解法和数量方程的解法是相同的.解：原方程可化为55360x a x b++-=，即856x a b=-+⇒5384x a b=-+.3．共线向量与实数乘向量的关系：定理：向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且仅有一个实数λ，使得b= λa．对此定理的证明，须分两层来说明：其一，若存在实数λ，使b= λa，则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知λb与a共线，即b与a共线．其二，若b与a共线，且不妨令a≠0，设|b| ：|a| = μ (这是实数概念)．接下来看a、b方向如何：①a、b同向，则b= μa，②若a、b反向，则记b= -μa，总而言之，存在实数λ(λ= μ或-μ)使b= λa．推论：向量b与向量a不共线，且存在实数k1，k2，使得k1a= k2b，则k1 = 0，且k2 = 0．证明：∵向量b与向量a不共线，∴a≠0，b≠0．用反证法．假设k1≠ 0，则由k1a= k2b，得a=21kkb，从而，a与b共线，产生矛盾！故k1 = 0，同理k2 = 0．例3如图：已知AD= 3AB，DE= 3BC，试判断AC与AE是否共线．解：∵AE=AD+DE= 3AB+ 3BC= 3(AB+BC) = 3AC，∴AE与AC共线．例4 设1e ，2e 为两个不平行的向量．如果12AB e e =+，1228BC e e =+，CD = 123()e e -．求证：A ，B ，D 三点共线．分析：考虑到AB 与AD 有公共点A ，所以，要证明A ，B ，D 三点共线，必须且只须证明存在唯一的实数λ，使得AD = λAB ．证明：∵AD =AB +BC +CD = (1e +2e ) + (21e + 82e ) + 3(1e -2e ) = 6(1e +2e )，∴AD = 6AB ，即AD //AB ，又AB 与AD 有公共点A ， ∴A ，B ，D 三点共线．总结：用向量知识证明三点共线的方法：A ，B ，C 三点共线⇔AC //AB ⇔存在唯一的实数λ，使得AC = λAB ．例5 设1e ，2e 为两个不平行的向量．试确定实数k 的值，使k 1e +2e 与1e +k 2e 是两个平行的向量． 分析与解：(k 1e +2e ) // (1e +k 2e )⇔存在唯一的实数λ，使得k 1e +2e = λ(1e +k 2e ) ⇔ (k - λ)1e = (λk - 1)2e ⇔010k k λλ-=⎧⎨-=⎩(因为1e ，2e 不平行) ⇒ k = ± 1．三、小结：1．实数λ与向量a 的积还是一个向量，λa 与a 是共线的．2．一维空间向量(共线向量)的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．3．运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项． 四、巩固练习：一点，BN =13BD ．求如图所示，在平行四边形ABCD 中，M 是AB 中点，点N 是BD 上证：M 、N 、C 三点共线．证明：设AD =x ，AB =y ，则MN =12y +13BD =12y +13(x -y )=13x +16y =16(2x +y )，又MC =MB +BC =12y +x =12(2x +y )，∴MC = 3MN ，∴M 、N 、C 共线． 五、课后作业：1．教材P 107练习第2、3、4题；P 109习题5.3中第1、2题(书上)．2．教材P 110习题5.3中第3、4、5题(本上)． 3．《数学之友》T5.4． 六、周末作业：海淀练习册：《第五章 平面向量》练习一至练习四． 第二课时 平面向量基本定理教学目的：1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用； 2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点：平面向量基本定理．教学难点：理解平面向量基本定理． 教学过程：一、设置情境，引入新课：上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．二、新课： 1．回顾：(1) 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa | = |λ||a |．(2) λ > 0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ < 0时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当λ = 0或a =0时，λa =0．(2) 共线向量的一个充要条件：定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b = λa ．例1 已知向量1e 、2e ，求作向量- 2.51e + 32e ． (作法见教材P 108例3，用ppt 课件演示)推广：已知1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，则对于给定的两个实数λ1、λ2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量a 满足1212.a e e λλ=+思考：设1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量a ，是否存在唯一一对实数λ1、λ2，使得1212?a e e λλ=+(存在．见教材P 107，用ppt 课件演示) 于是可得平面向量基本定理． 2．平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a = λ11e + λ22e ．注意：(1) 我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2) 实数λ1，λ2的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理． (3) 对该定理重在应用． 例2 如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 和MD ？解：在ABCD 中，∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b ， ∴MA = -12AC = -12(a +b ) = -12a -12b ，MB =12DB =12(a -b ) =12a -12b ，MC =12AC =12a +12b ，MD = -MB = -12DB = -12a +12b ．说明：① 这些表示方法很常用，要熟记．② 用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是a 、b ，由它可以“生”成AC ，DB ，┅．例3 如图，ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，且AE =m ，AF =n ，求AB ，AD ．解：设AD =x ，AB =y ， ∵DF //AB ，|DF | =12|AB |，且DF 与AB 同向，∴DF =12y ．又AD +DF =AF ，∴x +12y =n ①，同理可得12x +y =m ②，由①②解得4242,3333x n m y m n =-=-． 即4242,3333AD n m AB m n =-=-． 例4 如图，OA 、OB 不共线，AP = t AB (t ∈ R)，用OA 、OB 表示OP ． 解：∵AP = t AB ，∴OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) =OA + t OB - t OA = (1 - t )OA + t OB ． 说明：(1) 本题是个重要题型：设O 为平面上任一点， 则：A 、P 、B 三点共线⇔OP = (1 - t )OA + t OB ．或令λ = 1 - t ，μ = t ，则A 、P 、B 三点共线⇔OP = λOA + μOB ． (其中λ + μ = 1) (2) 当t =12时，OP =12(OA +OB )常称为△OAB 的中线公式(向量式)．三、小结：1．当平面内取定一组基底1e 、2e 后，任一向量a 都被1e 、2e 唯一确定，其含义是存在唯一数对(λ1，λ2)，使a = λ11e + λ22e ．2．三点A 、B 、C 共线⇔AB = k AC ⇔PB = λ1PA + λ2PC (其中λ1，λ2 ∈ R 且λ1 + λ2 = 1)． 四、巩固练习：1．命题p ：向量b 与a 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使b = λa ；则p 是q 的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 2．如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．解：(如图) 设BM =1e ，CN =2e ，则AM =AC +CM = - 32e -1e ，BN = 21e +2e ， ∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线， ∴存在λ、μ ∈ R ，使AP = λAM = - λ1e - 3λ2e ，BP = μBN = 2μ1e + μ2e ．故BA =BP -AP = (λ + 2μ)1e + (3λ + μ)2e ，而BA =BC +CA = 21e + 32e ．∴由平面向量基本定理得2233λμλμ+=⎧⎨+=⎩，∴4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AP=45AM，即AP：PM = 4 ：1．五、课后作业：1．教材P109练习第1、2题(书上)．2．教材P110习题5.3中第6、7题(本上)．3．《数学之友》T5.5．加习题课一节：讲解《数学之友》T5.1 — T5.5中部分题．课后作业：《数学之友》T5.6(单元练习)．。

线段的定比分点教学目的：1．理解点P 分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题； 3．渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律． 教学重点：线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ > 0还是λ < 0． 教学过程： 一、复习引入： 1．复习：向量平行(共线)充要条件的两种表示形式：a //b (b ≠0) ⇔a = λb ； a //b (b ≠0) ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0． 2．引入：已知线段P 1P 2的两个端点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )为线段P 1P 2所在直线上任一点，由共线向量知识，必有1PP = λ2PP ．我们能否解决这样的问题？ (1) 已知λ及P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，求P 点坐标(x ，y )； (2) 已知P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)及P (x ，y )，求λ值． 本节课就来讨论上述两个问题，(板书课题——线段的定比分点) 二、新课：1．点P 分有向线段21P P 所成的比：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．答：两个向量的和(差)的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．已知直线l 上两点P 1、P 2，在直线l 上取不同于P 1、P 2的任一点P ，则P 点的位置有哪几种情形？ 答：三种情形：P 在12PP 之间；P 在21P P 的延长线上，P 在12PP 的延长线上． 下面我们就P 在直线P 1P 2上的三种情况给出定义：设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ使1PP = λ2PP ，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比．你能根据P 点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？(启发学生从向量的方向上考虑)答：当P 在12PP 之间时，1PP 与2PP 方向相同，所以λ > 0；当点P 在12PP 的延长线上时，λ < 0；若点P 在21P P 的延长线上时，同理可得- 1 < λ < 0． 例1 已知|12PP | = 2，点P 在12PP 的延长线上，且|2PP | = 1，求点P 分12PP 所成的比． 分析：只须寻找使1PP = λ2PP 的实数λ．易求得λ = - 3． 例2 已知点P 分12PP 的比为- 2，求点P 1分2P P 所成的比． 分析：只须寻找使21P P = λ1PP 的实数λ．易求得λ = -12． 2．定比分点坐标公式：(1) 设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，P 分12PP 所成的比为λ，如何求P 点的坐标呢？(按以下思路引导学生进行思考)设P (x ，y )，你能用坐标表示等式1PP = λ2PP 吗？ 答：∵1PP = (x - x 1，y - y 1)，2PP = (x 2 - x ，y 2 - y )， (x - x 1，y - y 1) = λ(x 2 - x ，y 2 - y )． (2) 由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？答：1212()()x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ ⇒ 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩． 指出：这就是线段P 1P 2的定比分点P 的坐标公式，用向量表示就是：OP =11λ+1OP +1λλ+2OP ． 特别地，当λ = 1时，得中点P 的坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．OP =12(1OP +2OP )． 思考：见教材P 116例1上方自然段(ppt 课件件演示)． 例3 已知两点P 1(3，2)，P 2(- 8，3)，求点P (12，y )分 12PP 所成的比λ及y 的值． 解：由线段的定比分点坐标公式得13(8)21231y λλλλ+-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇒ 5175222y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 例4 如图所示，∆ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D 是边AB 的中点，G 是CD 上的一点，且CGGD=2，求点G 的坐标．解：∵D 是AB 的中点，∴点D 的坐标为(122x x +，122y y +)，∵CGGD = 2， ∴CG = 2GD ， 由定比分点坐标公式可得G 点坐标为：x =1232212x x x ++⨯+=1233x x x ++，y =1232212y y y ++⨯+=1233y y y ++，即点G 的坐标为(1233x x x ++，1233y y y ++)，也就是∆ABC 的重心的坐标公式． 三、小结：1．定比分点的几种表达方式： 1PP = λ2PP ，或OP =11λ+1OP +1λλ+2OP …………向量式；(x - x 1，y - y 1) = λ(x 2 - x ，y 2 - y ) …………坐标式；121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ …………公式形式． 2．中点公式，重心公式要熟记．3．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线(平行)的有效方法． 四、巩固练习：1．如图，点B 分有向线段AC 的比为λ1 =_____，点C分有向线段BA 的比为λ2 =____，点A 分有向线段BC 的比为λ3 =_____．2．连结A (4，1)和B (- 2，4)两点的直线，和x 轴交点的坐标是_______，和y 轴交点的坐标是________．3．如图所示，∆ABC 中，AB 的中点是D (- 2，1)，AC 的中点是E (2，3)，重心是G (0，1)，求A 、B 、C 的坐标．参考答案：1．λ1 =32，λ2 = -25，λ3 = -35；2．(6，0)、(0，3)；3．法一、用中点坐标公式和重心坐标公式；法二、用重心性质及定比分点坐标公式．A (0，5)，B (- 4，- 3)，C (4，1)．五、课后作业：1．教材P 117练习第1—3题(书上)． 2．教材P 117习题5.5中第1—5题(本上)． 3．《数学之友》T5.9． 六、板书设计：课 题1．定比分点的定义：(1) 内分点 3．例题 (2) 外分点2．分点坐标公式 4．小结七、周末作业：海淀练习册：P 49—55．。

解斜三角形应用举例第一课时解斜三角形应用举例(1)教学目的：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角形的知识解决一些实际问题；2．能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定理和余弦定理；3．通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力；4．使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点：利用解斜三角形解决相关实际问题．教学难点：利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题．教学过程：一、设置情境，引入新课：1．引例(太阳的高度)：《周髀算经》是我国产生于公元前6、7世纪的一部经典算书。

它主要记载了有关测量的方法。

当时的陈子(周公后人)被人誉为“世界测量学之祖”，《周髀算经》中记载了陈子测太阳高度的方法，大意是：夏至时，用一长为h的竿子，在城南测得太阳的影子长为a，在相距d的城北测得太阳的影子长为b(b> a)，就可计算出太阳的高度。

怎样计算？如图，设AB为x，则太阳高度为x+ h，且△ACD∽△DEF．则x bh b a =-，由上式可求得x，从而可测得太阳高度．2．引入：解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．二、新课：例1自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长(保留三个有效数字)．分析：什么是最大仰角？(车厢立起的最大角度．)例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？答：图中涉及△ABC，在△ABC中已知两边和一角，求BC的长．你能把这一实际问题化归为一道数学题吗？答：已知△ABC的两边AB = 1.95m，AC = 1.40m，夹角A = 66°20′，求第三边BC的长．由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．解：由余弦定理，得BC2 = AB2 + AC2- 2AB⋅Ac cos A= 1.952 + 1.402- 2 ⨯ 1.95 ⨯ 1.40cos66°20′ =3.751，∴BC≈ 1.89 (m)答：顶杆BC约长1.89m．解后回顾：解斜三角形应用题的一般步骤是：(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．即解斜三角的基本思路为：例2如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB 长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1mm)用《几何画板》动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与A0重合，故A0C = AB + CB = 425mm，且A0A =A0C-AC．问：通过观察你能建立一个数学模型吗？答：问题可归结为：已知△ABC 中， BC = 85mm ，AB = 340mm ，∠C = 80°，求AC ． 问：如何求AC 呢？答：由已知AB 、∠C 、BC ，可先由正弦定理求出∠A ，再由三角形内角和为180°求出∠B ，最后由正弦定理求出AC ．解：(如图)在△ABC 中，由正弦定理可得： sin A =sin BC C AB=85sin80340= 0.2462， 因为BC < AB ，所以A 为税角， A = 14°15′， ∴ B = 180°- (A + C ) = 85°45′，又由正弦定理： AC =sin sin AB B C =340sin85450.9848'= 344.3 (mm)，∴A 0A = A 0C - AC = (AB + CB ) - AC = (340 + 85) - 344.3 = 80.7 ≈ 81 (mm)， 答：活塞移动的距离为81mm ．注意：例2也可用余弦定理，通过解二次方程求得AC ． 解后回顾：通过以上两例，大家要掌握： 1、解实际应用问题的一般方法； 2、正余弦定理在解三角形中的应用．例3 我舰在敌岛A 南偏西50°相距12 n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10 n mile/h 的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？分析：你能根据方位角画出图吗？(引导启发学生作图) 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．(例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角．) 解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：BC 2 = AB 2 + AC 2- 2AB ⋅ AC cos ∠BAC= 202+ 122- 2 ⨯ 20 ⨯ 12 ⨯ (-12) = 784，∴BC = 28． ∴我舰的追击速度为14 n mile/h ． 又在△ABC 中由正弦定理得：sin AC B =sin BC A，故sin B =sin AC A BC =5314，∴ B = arcsin 5314． 故我舰行的方向为北偏东(50° - arcsin 5314)．思考：本例能用向量的方法求解吗？三、小结：解斜三角形应用题常见的几种情况：1．实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之． 2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．3．实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．四、巩固练习：教材P 136练习中第1、2题． 五、课后作业：1．教材P 137习题5.10中第1、2题(本上)． 2．《数学之友》T5.20． 六、课外思考题：隔河有一电视发射塔，试设计一种方案，使得能够隔河测出电视塔的高度(可根据方案选用相应的工具)．(参看教材P 138《实习作业：解三角形在测量中的应用》)七、板书设计：课题 1．引例2．例1、例2、例33．解斜三角的基本思路4．解斜三角形应用题常见的几种情况 5．课外思考题第二课时 解斜三角形应用举例(2)教学目的：1．进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3．通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力． 教学重点：1．实际问题向数学问题的转化；2．解斜三角形的方法． 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定． 教学过程： 一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决．二、新课：例1(前课思考题)：隔河有一电视发射塔，试设计一种方案，使得能够隔河测出电视塔的高度(可根据方案选用相应的工具)．分析：关键是建立相应的数学模型．可考虑把问题转化为一个几何图形，通过对几何图形的研究解决问题．根据解题经验，对几何图形的研究，最终要转化为对三角形的研究．而三角形有三条边和三个角两类元素，故我们的研究工具可选择卷尺和测角仪．方案1：在与电视塔的底部在同一水平直线上的两点C ，D 处，测出观察电视塔顶部的仰角α，β；再用卷尺测出CD = a ．如图：在△ACD 中，()sin sin a AD αβα=-，在△ABD 中，()sin sin sin sin a AB AD αββαβ==-．方案2：任选C ，D 两点．在点C 处测得电视踏顶部的仰角为α；在点D 处测得电视塔顶部的仰角为β；再测得CD = a ，∠CBD = γ，设电视塔高为x ．例2 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ．分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD = θ，这样可在△ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在△BCD 中，利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．解： 在△ABC 中，∠BAC = 15︒， ∠CBA = 180︒ - 45︒ = 135︒，AB = 100米，∴∠ACB = 30︒．根据正弦定理有100sin30=sin15BC ，∴BC =100sin15sin30，又在△BCD 中，CD = 50，BC =100sin15sin30，∠CBD = 45︒，∠CDB = 90︒ + θ，根据正弦定理有50sin45=100sin15sin 30sin(90)θ+，解得cos θ3 1，∴θ = 42.94︒， ∴ 山对于地平面的斜度的倾斜角为42.94︒．小结：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．例3 在一个很大的湖岸边(可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为2.5km/h ．同时岸上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h ．问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？分析：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题．只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．我们可以假设船速v (未知)，人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数．因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当v ≥ 4km/h 时，人是不可能追上小船的．当0 ≤ v ≤ 2km/h 时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船．因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度v max ，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船．解：如果我们简单画出此追及情况的示意图(如图所示)，设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为t 的k 倍(0 < k < 1)，则人在水中游的时间应为(1 - k )t ．人要追上船，则人船运动路线满足如图所示的三角形：∵|OA | = 4kt ，|AB | = 2(1 - k )t ，|PB | = vt ， ∴在△OAB 中，由余弦定理得：|AB |2= |OA |2+ |OB |2- 2|OA ||OB |cos15︒，即4(1 - k )2t 2= (4kt )2+ (vt )2- 2 ⋅ 4kt ⋅ vt ⋅ cos15︒， 整理得：12k 2-62v - 8]k + v 2- 4 = 0 ①要使①式在(0，1)范围内有实数解(在分析中已讨论了0 ≤ v ≤ 2与v ≥ 4的情况，这里考虑2 < v < 4)，则有：2224011262)8]412(4)0v v v ⎧+<<⎪⎨⎪∆=--⋅⋅+≥⎩， 解之得：2 < v ≤2，即v max 2km/h ．当船速在(2，2内时，人船运动路线可以构成三角形，即人能追上小船．船能使人追上的最大速度为2km/h ，由此可见当船速为2.5km/h 时，人可以追上小船．小结：在上述解题过程中，我们首先是建立了几何模型，即△OAB ；其次是通过几何模型的边角关系建立了方程模型，即方程①；最后是根据方程①有解的条件建立了不等式模型．并通过解不等式解答了本问题．以上解题步骤次序明显，环环相扣．三、小结：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力．四、巩固练习：如图，某城市有一条公路从正西方OA 通过市中心O 后转向东北方OB ，在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10公里，问把A 、B 分别设在公路上距中心O 多远处才能使|AB|最短，并求其最短距离(不要求作近似计算)．解：在△AOB中，设OA = a，OB = b，∵OA为正西方向，OB为东北方向．∴∠AOB = 135︒，|AB|2 = a2 + b22≥2)ab，(当且仅当a = b时，等号成立)，又O到AB的距离为10，设∠OAB = α，则∠OBA = 45︒-α，∴a =10sinα，b =10sin(45)α-，ab =100sin sin(45)αα-=1002cos(245)2α--≥40022-，(当且仅当α = 22︒30'，且a = b时，等号成立)∴|AB|2≥2+ 1)2，因此当a= b =10sin2230'= 422+|AB|最短，其最短距离为2+ 1)，即当A、B分别在OA、OB上离O点422+|AB|最短，其最短距离为2公里．小结：解三角应用题应把握以下几个方面：(1) 仔细审题，特别是辅助图；(2) 引入适当的角度(注意角度的范围)；(3) 解三角形列三角函数式；(4) 利用有最性求最值．五、课后作业：1．教材P137习题5.10中第3、4题(本上)．2．《海淀练习册》第五章练习十八、练习十九．六、板书设计：课题1．例1、例2、例3 2．巩固练习3．作业。

(1)0x ，h 令12=2=1x x ，
列表
取50
=，
x e
h=-，(1)4ln220
h=->，
(0)1
得5050502
=+-<
h e e e
()4ln(1)()0
画出函数大致图像，
依题意，14ln22
∴-≤<-
k
教学反思
本节课从学生的整体反映上来说，学生的思路是打开的，能够将方程根的问题主动地向函数图像的交点问题转化，进而利用现有的导数工具来研究函数；反之，也能将函数图像的交点问题巧妙地转化为方程根的问题来研究，并且在例2中，学生提供了自己的方法，值得表扬。

本节课有待改进的地方主要有以下几点：
（1）有的同学在拿到Q1中的一元三次方程的时候，直接去求导了。

这说明学生混淆了函数和方程之间的关系，不清楚什么是方程的根。

这启发我在日后的教学中关于方程和函数之间区别和联系应该再进一步巩固，基础知识必须落实到位；
（2）孩子们的主动参与度有待进一步提高，如何让学生更好地融入课堂，提高学生的参与度，是我接下来需要解决的一个问题；
（3）作为一节新课，例题不能够太难，通过例题是要教会学生的思维方法，而不仅仅是解题技巧。