下载文档原格式
第四章 两自由度系统的振动前两章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，并有重要的应用价值。
但工程中许多实际问题是不能简化为单自由度系统的振动问题，它们往往需要简化成为多自由度系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等。
两自由度系统和多自由度系统没有本质上的差别，而主要是量上的差别，因此研究两自由度系统是分析多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
4-1 无阻尼自由振动1.系统的振动微分方程作为两自由度振系的第一个例子，现在来分析图4-1（a ）所示的双弹簧系统，设弹簧的刚度分别为k 1、、 k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1、x 2表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正。
现建立系统在静平衡位置的力学条件及振动过程中的运动微分方程。
在静平衡位置，设两弹簧的伸长分别为δ1、、δ2，则由系统的受力图 4-1（b ），得系统的静平衡条件为⎭⎬⎫=-=-+0022211221δδδk g m k k g m （a ）在振动过程中，设任一瞬时t ，m 1和m 2 的位置分别为x 1和x 2，此时质量上的受力图如图4-1（c ）所示。
应用牛顿运动定律，得)()(11112222111x k x x k k g m x m +--++=δδ )(12222222x x k k g m xm ---=δ 整理后得222122222112212212111)(δδδk g m x k x k x m k k g m x k x k k xm -=-+-+=-++ } （b ）将方程（b ）的右端和方程(a)比较，就可以消去平衡项，于是得00)(1222222212111=-+=-++x k x k xm x k x k k xm } (4-1)令 ,/,/,/)(2222121m k c m k b m k k a ==+=则（4-1）式可改写成00122211=-+=-+cx cx xbx ax x } (4-2)这是联立的二阶常系数线性微分方程组。
第5章--两自由度系统的振动第5章两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。
但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。
多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。
本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。
平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角 来确定。
这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1 双质量弹簧系统的自由振动5.1.1 运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。
略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。
两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得⎭⎬⎫=+-=-++00)(2212222212111x k x k xm x k x k k xm &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成下列形式 ⎭⎬⎫=+-=-+00212211dx cx xbx ax x&&&& (5-2)显然此时2212121,,m k d c m k b m k k a ===+=但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121α+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122A A p d c b p a (5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222=----=∆pd cbp a p展开后为)(24=-++-bc ad p d a p (5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。
第五章 汽车的操纵稳定性5.1 一轿车（每个）前轮的侧偏刚度为-50176N/rad 、外倾刚度为-7665N/rad 。
若轿车向左转弯，将使前轮均产生正的外倾角，其大小为4度。
设侧偏刚度与外倾刚度均不受左、右轮负载转移的影响，试求由外倾角引起的前轮侧偏角。
解：有外倾角时候的地面侧向反作用力为Y F k k γαγ=+（其中k 为侧偏刚度，k r 为外倾刚度，γ为外倾角）于是，有外倾角引起的前轮侧偏角的大小为：1k kγγα=代入数据，解得1α=＝0.611 rad ，另外由分析知正的外倾角应该产生负的侧偏角，所以由外倾角引起的前轮侧偏角为-0.611rad 。
5.2 6450N 轻型客车在试验中发现过多转向和中性转向现象，工程师们在悬架上加装横向稳定杆以提高前悬架的侧倾角刚度，结果汽车的转向特性变为不足转向。
试分析其理论依据（要求有必要的公式和曲线）。
答：由课本P138-140的分析知，汽车稳态行驶时，车厢侧倾角决定于侧倾力矩r M φ和悬架总的角刚度rK φ∑，即rr rM K φφφ=∑。
前、后悬架作用于车厢的恢复力矩增加：11r r r T K φφφ=，22r r r T K φφφ=其中1r K φ，2r K φ分别为前、后悬架的侧倾角刚度，悬架总的角刚度rK φ∑为前、后悬架及横向稳定杆的侧倾角刚度之和。
由以上的分析易知，当增加横向稳定杆后汽车前悬架的侧倾角刚度增大，后悬架侧倾角刚度不变，所以前悬架作用于车厢的恢复力矩增加（总侧倾力矩不变），由此汽车前轴左、右车轮载荷变化量就较大。
由课本图5-46知在这种情况下，如果左右车轮轮胎的侧偏刚度在非线性区，则汽车趋于增加不足转向量。
5.3汽车的稳态响应有哪几种类型？表征稳态响应的具体参数有哪些？它们彼此之间的关系如何？ 答：汽车的稳态响应有三种类型，即中性转向、不足转向和过多转向。
表征稳态响应的参数有稳定性因数，前、后轮的侧偏角角绝对值之差12()αα-，转向半径的比R/R 0，静态储备系数S.M.等。
机械设备振动标准它是指导我们的状态监测行为的规范最终目标：我们要建立起自己的每台设备的标准（除了新安装的设备）。
⏹监测点选择、图形标注、现场标注。
⏹振动监测参数的选择：做一些调整：长度、频率范围⏹状态判断标准和报警的设置1 设备振动测点的选择与标注1.1监测点选择测点最好选在振动能量向弹性基础或系统其他部分进行传递的地方。
对包括回转质量的设备来说，建议把测点选在轴承处或机器的安装点处。
也可以选择其他的测点，但要能够反映设备的运行状态。
在轴承处测量时，一般建议测量三个方向的振动。
铅垂方向标注为 V，水平方向标注为H，轴线方向标注为A，见图6-1。
图6-1 监测点选择图6-2在机器壳体上测量振动时，振动传感器定位的示意图1.2 振动监测点的标注（1）卧式机器这个数字序列从驱动器非驱动侧的轴承座赋予数字001开始，朝着被驱动设备，按数字次序排列，直到第一根轴线的最后一个轴承。
在多根轴线的(齿轮传动)机器上，轴承座的次序从驱动器开始，按数字次序继续沿着第二根轴线到被驱动器往下排列，接着再沿着第三根轴线往下排列，直到机组的末端为止。
常见的几种标注方法见图6-3～6-5。
图6-3 振动监测点的标注图6-4 振动监测点的标注图6-5 振动监测点的标注（2）立式机器遵循与卧式机器同样的约定。
1.3 现场机器测点标注方法机壳振动测点的标注可以用油漆标注，也可以在机壳上粘贴钢盘来标注振动测点，最好采用后一种方法标注。
采用钢盘时，机壳要得到很好的处理。
钢盘规格为厚度5mm，直径30mm，用强度较好的粘接剂粘接，以保证良好的振动传递特性。
2 设备振动监测周期的确定振动监测周期设置过长，容易捕捉不到设备开始劣化信息，周期设置过短，又增加了监测的工作量和成本。
因此应根据设备的结构特点、传动方式、转速、功率以及故障模式等因素，合理选定振动监测周期。
当设备处于稳定运行期时，监测周期可以长一些；当设备出现缺陷和故障时，应缩短监测周期。
第5章 两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。
但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。
多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。
本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。
平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。
这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
双质量弹簧系统的自由振动5.1.1 运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。
略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。
两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ⎭⎬⎫=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&&(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成下列形式⎭⎬⎫=+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2)图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统显然此时2212121,,m k d c m k b m k k a ===+=但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121α+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122A A p d c b p a (5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222=----=∆p d cbp a p展开后为0)(24=-++-bc ad p d a p(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。
第六章 两自由度系统的振动§6.1 概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。
但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。
因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。
但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。
因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。
图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。
这样x 1及x 2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。
1k 2k)(a )(b图6-1 两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。
第四章 双自由度体系的振动§4-1 双自由度体系的一般振动方程如某一体系在任一时刻的位形可用二个独立坐标来确定，则该体系就叫做双自由度体系。
如图4-1所示，设体系的两个独立坐标分别为1x 和2x ，它们分别表示质量1m 和2m 离开各自静平衡位置的绝对位移。
选择独立坐标的方法不是唯一的，例如也可以选择质量1m 的绝对位移和质量2m 相对于质量1m 的相对位移作为二个独立坐标。
图4-1 双自由度体系模型由图4-1（b ）所示的动平衡隔离体，立即可写出对于1m 和2m 的运动方程为：⎭⎬⎫=-++----=--+-+--0)()()(0)()()(22232312212221112212211111xm x k x c x x k x x c t P x m x x k x x c x k x c t P （4-1）整理后，可得⎭⎬⎫=++-++-=-++-++)()()()()()(22321223212221221212212111t P x k k x k x c c x c xm t P x k x k k x c x c c x m （4-2）引入矩阵记号[][][]{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()(,)()()(,,00212122211211322221222112113222212221121121t P t P t P t x t x t x k k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c m m m m m m m （4-3）式中][m 叫做质量矩阵，为一对称阵；][c 叫做阻尼矩阵，为一对称阵；][k 叫做刚度矩阵，为一对称正定或半正定对称矩阵； )}({t x 和)}({t P 分别叫做位移和外力列向量。
