自适应算法的收敛性分析

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自适应阵最优化处理稳态性能极限与维纳解

3.4 复信号的相关矩阵：
对复矢量：
{ } R xx = E X * X T { } R xy = E X *Y T
另一种定义：
{ } R xx = E XX H { } R xy = E XY H
(3.4.1)
(3.4.2)
(3.4.3) (3.4.4)
表示共轭，T表示转置，H表示共轭转置(Hermite Conjugate Transpose)。后者正好是前者矩阵的复共轭，只要前后采用同一个定义，所得结果（所得
|| X ||= X T X || X ||= X H X
(实） (3.5.1) (复）(3.5.2)
2. 梯度和梯度算子
梯度：从数学上说是沿某一方向的导数。
梯度算子：作用于矢量 y 的标量值函数 f ( y ) 以得到沿 y 的各个方向的偏导数。
实变量场合，梯度算子是矢量算子。
y =[
,L, y1
性能量度）是一样的。
由定义可得
RxHx = Rxx
RxHy = Ryx
(3.4.5)
Rxx , Ryx 也叫Hermite阵（矩阵等于它的共轭转置）。
3.5 矢量或复矢量的有关运算：
最优化问题就是对不同性能量度求其最符合要求的复加权矢量。其中要使用复矢量的模，梯度和协方差距阵或相关矩阵等。
1、希尔伯特空间的模：||x||代表矢量长度
3.1 复信号：
采用复信号的好处：实信号的频谱是共轭对称的，从信息的角度来看，其负谱部分是冗余的，复信号的频谱不存在共轭对称性，信号占有的频带减小了一半，有利于无线通信。
1、解析信号：
表达复信号 Z(t)的最简单的方法是用所给定的实信
号S(t) = a(t)cos[ (t )]作其实部，并另外构造一“虚拟信

BPSK调制传输系统LMS算法自适应均衡性能分析

BPSK调制传输系统LMS算法自适应均衡性能分析BPSK调制传输系统中，LMS（Least Mean Square）算法是一种常用的自适应均衡算法。

它通过自适应地调整均衡器的权重系数来实现信道均衡，从而提高系统的性能。

本文将对LMS算法在BPSK调制传输系统中的性能进行分析。

首先，我们需要了解BPSK调制传输系统的基本原理。

BPSK调制是一种二进制调制方式，它将数字信号转换为两个不同的相位信号，分别代表1和0。

在传输过程中，信号会经过信道引起失真和噪声干扰。

为了恢复原始信号，我们需要对接收到的信号进行均衡处理。

LMS算法的核心思想是根据误差信号来调整均衡器的权重系数。

误差信号是接收信号经过均衡器处理后与已知原始信号之间的差异。

通过不断调整权重系数，LMS算法能够逐步减小误差信号，最终实现信道均衡。

在BPSK调制传输系统中，我们可以对LMS算法的性能进行以下几个方面的分析。

1.收敛速度：LMS算法的收敛速度是衡量其性能的重要指标之一、收敛速度越快，均衡器能够更快地适应信道的变化，提高系统的实时性和鲁棒性。

收敛速度受到多种因素的影响，例如步长参数的选择、信道的时变性等。

在实际应用中，需要根据具体情况进行优化。

2.系统误码率：误码率是衡量系统性能的重要指标。

对于BPSK调制传输系统，误码率反映了接收信号正确解码的概率。

通过调整LMS算法的参数，如步长参数和滤波器长度等，可以改善系统的误码率性能。

同时，深度学习等新兴技术也可以结合LMS算法进行优化，进一步降低误码率。

3.资源利用率：BPSK调制传输系统中，LMS算法会引入一定的计算复杂度和存储开销。

因此，需要考虑LMS算法的资源利用率。

通过算法设计和硬件优化，可以减少计算量和存储需求，提高资源利用率。

4.系统可靠性：LMS算法在均衡过程中，由于噪声和失真等因素的存在，可能导致误差信号不断波动，进而影响系统的可靠性。

可以通过优化算法参数、加入先验知识或调整均衡器结构等方法来提高系统的可靠性。

基于自适应交叉和变异概率的遗传算法收敛性研究

期，体性能较差时，个变异率稍大，以造成足够的扰动、扩大解空间，随着迭代次数的增加，变异率逐步该减小至一个常量从而保证平滑收敛。
３遗传算法收敛性的研究
目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛，但是，在一定的约束条件下，遗传算法可
况下，明了所提出的自适应交叉和自适应变异概率公式是收敛到全局最优解的。证关键词：自适应交叉；自适应变异；收敛性；遗传算法中图分类号：Ｔ３１６文献标识码：ＡＰ０．文章编号：１０９９（００００３００７— ７３２１）３— ０２— ６
收稿日期：０９—１８２０２—１作者简介：王岚（９６一）女，１６，云南省新平县人，副教授，研究方向，用数学。应
第３期
王
岚：基于自适应交叉和变异概率的遗传算法收敛性研究
‘ ３。３
重组进行优良能够通过较大的变异率增大种群的探索能
力［］３。同样，朱金钧［］３也提出了自适应变异率的思想：当群体最大适应度Ｆａ与平均适应度Ｆ接近ｍｘ时则群体趋于收敛，即此时群体中的各个体趋于一致，其父代间的距离比较小，群体的多样性较弱。为
了提高群体的多样性，增大Ｐ应ｍ。反之，群体多样性较强，减小Ｐ即Ｐ与（ｍｘ—Ｆ）则应ｍ，ｍＦａ的值，进而与Ｄ的值成反比。
１自适应交叉概率设计
在标准的遗传算法中，交叉概率Ｐ和变异概率Ｐ在整个进化进程中保持不变，是导致算法性能下降的重要原因。为了提高算法的性能，根据人们已经获得的一些关于交叉概率的启发式知识和经验规则，结合交叉率和遗传进化代数的关系［］在迭代初期，１：交叉率选得大一些可以造成足够的扰动，从而增强遗传算法的搜索能力，而在迭代后期，交叉率选得小一些可以避免破坏优良基因，从而加快收敛速

LMS类自适应滤波算法的研究

LMS类自适应滤波算法的研究LMS类自适应滤波算法的研究自适应滤波算法是一种可以根据输入信号的特性自动调整滤波器参数的方法。

它在信号处理、通信系统、控制系统等领域得到了广泛的应用。

LMS（Least Mean Square）是一种常用的自适应滤波算法，它通过最小化均方差来更新滤波器的权重，以实现滤波器的自适应性。

LMS算法的基本原理是通过梯度下降法来调整滤波器的权重。

假设输入信号为 x(n)，期望输出信号为 d(n)，滤波器的输出信号为 y(n)，滤波器的权重为 w(n)。

算法的更新公式如下：w(n+1) = w(n) + μe(n)x(n)其中，w(n+1)是下一时刻的权重，w(n)是当前时刻的权重，μ是步进因子，e(n)是误差信号，x(n)是输入信号。

误差信号可以通过期望输出信号和滤波器的输出信号之间的差异计算得到：e(n) = d(n) - y(n)LMS算法的核心思想是根据误差信号的大小来更新滤波器的权重，使得误差信号逐渐趋近于零，从而实现滤波器的自适应。

步进因子μ的选择对算法的性能有着重要的影响。

当μ过小时，算法的收敛速度较慢；当μ过大时，算法可能发散。

因此，在实际应用中需要根据具体情况选择适当的步进因子。

除了LMS算法，还有一些与之类似的自适应滤波算法，如NLMS（Normalized Least Mean Square）算法和RLS （Recursive Least Squares）算法。

NLMS算法是一种对LMS算法的改进，通过归一化步进因子来改善收敛速度和稳定性。

RLS算法是一种基于递推最小二乘法的自适应滤波算法，相对于LMS算法具有更好的性能，但计算量较大。

LMS类自适应滤波算法广泛应用于信号降噪、自适应控制、信号预测等领域。

在信号降噪方面，LMS算法可以根据输入信号的特性实时调整滤波器的权重，抑制噪声，提高信号的质量。

在自适应控制方面，LMS算法可以根据目标系统的反馈信息实时调整控制器的参数，使得控制系统能够自动适应不同的工况，提高控制精度和稳定性。

lms滤波算法

LMS滤波算法详解一、引言自适应滤波器在各种信号处理应用中扮演着关键的角色，如噪声消除、回声消除、系统识别等。

其中，LMS（Least Mean Squares）滤波算法是最简单和最常用的自适应滤波算法之一。

本文将深入探讨LMS滤波算法的原理、数学公式、性能分析以及实际应用。

二、LMS滤波算法原理LMS算法是一种迭代算法，其目标是最小化输出误差的平方和。

该算法通过不断调整滤波器系数来最小化误差，从而实现对输入信号的最佳预测。

LMS算法的基本思想是：每次接收到一个新的输入样本和期望的输出样本，就根据两者之间的误差来更新滤波器的权重。

具体来说，权重的更新量是误差乘以输入信号和一个固定的学习率。

通过这种方式，滤波器逐渐适应输入信号的特性，并减小输出误差。

三、LMS滤波算法数学公式LMS算法的核心是求解以下优化问题：min Σ(e[n]^2) (1)其中，e[n]是第n次迭代的误差，即期望输出和实际输出之间的差值；w[n]是第n次迭代的滤波器权重。

通过求解上述优化问题，我们可以得到权重更新公式：w[n+1] = w[n] + μe[n]*x[n] (2)其中，μ是学习率，决定了权重更新的速度和程度。

四、LMS滤波算法性能分析1.收敛性：LMS算法具有很好的收敛性。

只要学习率μ足够小，且输入信号是有色噪声，那么LMS算法就能在有限的迭代次数后收敛到最优解。

2.稳定性：LMS算法的稳定性取决于学习率μ的选择。

如果μ过大，可能会导致滤波器权重更新过快，从而导致系统不稳定；如果μ过小，可能会导致滤波器权重更新过慢，从而导致收敛速度过慢。

3.适应性：LMS算法能够很好地适应输入信号的变化。

只要输入信号的特征随着时间的推移而变化，LMS算法就能通过调整权重来适应这些变化。

五、LMS滤波算法实际应用LMS滤波算法在许多实际应用中都有广泛的使用，例如：1.语音识别：在语音识别中，LMS滤波器可以用于消除背景噪声，提高识别精度。

(完整版)算法收敛性判断方法总结

(完整版)算法收敛性判断方法总结简介算法的收敛性判断是在计算机科学和数学中非常重要的一个问题。

在解决实际问题时，我们通常需要选择一个合适的算法，并确定它是否能够在一个合理的时间内收敛到正确的解。

本文将总结一些常见的算法收敛性判断方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

常见的算法收敛性判断方法下面是一些常见的算法收敛性判断方法：1. 迭代次数判断：通过设定一个最大迭代次数，当算法的迭代次数达到该阈值时，我们可以判断算法是否收敛。

这个方法简单直观，但不能保证收敛，特别是对于一些复杂的问题。

2. 目标函数值变化判断：我们可以定义一个目标函数，并观察目标函数的变化情况。

当目标函数的变化小于设定的阈值时，可以认为算法已经收敛。

这个方法通常用于优化问题，适用性较广。

3. 残差变化判断：对于迭代求解线性方程组的算法，可以观察残差的变化情况。

当残差的变化小于设定的阈值时，可以认为算法已经收敛。

这个方法在求解线性方程组时非常常用。

4. 泰勒级数展开判断：对于某些特定的函数，我们可以通过使用泰勒级数展开来判断算法的收敛性。

当展开后的级数收敛时，可以认为算法收敛。

这个方法对于一些特殊问题非常有用。

5. 收敛性证明：对于一些特定的问题和算法，我们可以使用更为复杂的数学方法进行收敛性证明。

这些方法包括但不限于递推关系证明、矩阵分析等。

这些方法通常需要较高的数学功底。

总结算法的收敛性判断是一个重要的问题，影响着我们选择和使用算法的效果。

在实际应用中，我们需要根据具体问题和算法的性质选择合适的判断方法。

本文总结了常见的算法收敛性判断方法，包括迭代次数判断、目标函数值变化判断、残差变化判断、泰勒级数展开判断和收敛性证明。

希望读者通过本文的介绍能更好地理解和应用这些方法，提高算法求解问题的效率和准确性。

以上是对算法收敛性判断方法的总结，希望对读者有所帮助。

变步长LMS自适应滤波算法及其分析

ｖｒａｌｔｐ（ａｉｂｅｓｅＳＶＳ）ＬＭＳａｇｏｉｈ．一ｌｒｔｍＴｈｅｈｅｅｉｎａｙｉｎｏｐｅｉｌｔｏｅｕｔｈｏｔｏｒｔｃａｌｓｓａｄｃｍｕｔｒｓｍｕａｉｎｒｓｌｓｓｗ
过程中的不足，现了对ＳＳＬ实Ｖ — ＭＳ算法的改进。理论分析和计算机仿真结果表明，算法的收敛性能优于ＳＳ本Ｖ－
ＬＭＳ算法另外，对本算法与Ｖ－ＭＳ算法进行了比较，真结果表明本算法在低信噪比环境下比Ｖ－ＭＳ算还ＳＩ仿ＳＬ
ｌｗｉｎａｉｅｒｔｏｅｉｏｏｓｇｌｎｏｓａｉｎｖｒｎｍｅｔｎ．
ｐｏｅｓｏｔｐｓｚｄｓｍｅｔｏｄｐｉｅｓｅｄｔｔ，ｅｆｒｈｍｐｏｅｎｏｔｅｓｚｆｒｃｓｆｓｅｉｅａｊｔｎｆａａｔｔａｙｓａｅｐｒｏｍｓｔｅｉｒｖｍｅｔｔｈｉｅｏｕｖ
韩国玺，春生，刘张智
（电子工程学院，肥２０３）合３０７
摘要：对变步长（Ｍ）ＬＳ自适应滤波算法进行了讨论，通过对Ｓｍｉ函数修正，ｉｏｇｄ建立了步长因子与误差信号之间新
的非线性函数关系。新函数在误差接近零处具有缓慢变化的特性，服了Ｓｇｏｄ函数在自适应稳态阶段步长调整克ｉｍｉ

自适应滤波算法及其应用研究

自适应滤波算法及其应用研究随着科技的不断发展，我们对信号处理的要求也越来越高。

因此，滤波器的设计和优化就显得至关重要。

自适应滤波算法以其广泛应用于信号处理和控制领域，受到研究者的普遍关注。

本文将介绍自适应滤波算法及其应用研究。

一、自适应滤波算法概述自适应滤波是指滤波器能够自动调节其参数以适应输入信号的变化。

在实际应用中，输入信号通常是非稳态的，而传统的滤波器无法有效处理这些非稳态信号。

相反，自适应滤波器能够根据输入信号的实际情况来自动调整其滤波参数，以达到更好的滤波效果。

自适应滤波器通常具有以下几个基本特征：1. 自动调节参数自适应滤波器可以根据输入信号的特征自动调节其参数。

这些参数通常是滤波器的带宽、增益、延迟等。

2. 可适应采样率自适应滤波器能够根据输入信号的频率来自动调整采样率。

这使得自适应滤波器能够更好地适应不同频率的信号。

3. 更好的滤波效果与传统的固定滤波器相比，自适应滤波器的滤波效果更好，可以有效地过滤掉噪声和干扰信号。

二、常见的自适应滤波算法1. 最小均方差滤波算法最小均方差滤波算法是自适应滤波器中最常见的一种算法。

该算法通过最小化误差平方和来调整滤波器参数。

这个算法不仅可以用于信号处理，还可以用于控制系统中的自适应控制。

2. 递归最小二乘滤波算法递归最小二乘滤波算法是一种基于递归最小二乘算法的自适应滤波算法。

该算法通过计算输入信号的残差来优化滤波器参数。

在实际应用中，递归最小二乘滤波算法通常比最小均方差滤波算法更有效。

3. 梯度自适应滤波算法梯度自适应滤波算法是一种基于梯度算法的自适应滤波算法。

该算法通过计算残差的梯度来调整滤波器参数。

相比其他自适应滤波算法，梯度自适应滤波算法具有更好的收敛性。

三、自适应滤波算法的应用自适应滤波算法在信号处理和控制领域中有着广泛的应用。

下面我们将介绍其中几个应用案例。

1. 降噪在语音处理、音频处理和图像处理领域，自适应滤波算法常常用于降噪。

通过对输入信号进行滤波，可以去除不必要的噪声信号，从而获得更清晰、更可靠的信号。

LMS算法的稳定性分析和算法收敛条件

LMS 算法的稳定性分析和算法收敛条件1最小均方法LMS 简介LMS （Least Mean Square ）算法是Widrow 和Hoff 于1960年首次提出的，目前仍然是实际中使用的最广泛的一种算法。

LMS 算法是在最陡下降法的基础上实现的，它是维纳滤波和最速下降算法互相结合而生成的一种新的算法。

通过维纳滤波所求解的维纳解,.必须在已知输入信号与期望信号的先验统计信息,以及再对输入信号的自相关矩阵进行求逆运算的情况下才能得以确定。

因此,这个维纳解仅仅是理论上的一种最优解。

但是通过借助于最速下降算法,LMS 算法以递归的方式来逼近这个维纳解,从而避免了矩阵求逆运算。

2LMS 算法的导出在LMS 算法中用瞬时误差的平方来代替均方误差是LMS 算法最主要的思想,以瞬时误差信号平方的梯度作为均方误差函数梯度的估计。

在最陡下降法中其维纳解方程如下(1)()k k k μξ+=-∇w w （1-1）其中ξk ∇为梯度矢量，此时的2[()]E e n ξ=, 此时取性能函数()n e 2=ξ来代替之前的性能函数，则新的维纳方程变为如下形式2(1)()()n n e n μ+=-∇w w （1-2）同时又可以求得22()()()2()2()()e n e n e n e n e n n ∂∂∇===-∂∂x w w （1-3）所以LMS 算法的权值更新方程可写成下式(1)()()()n n e n n μ+=+w w x （1-4）为了了解LMS 算法与最速下降法所得到的权矢量之间的关系,需要重写LMS 算法的递推公式，因为)()()()(n w n x n d n e T -=代入LMS 算法的权值更新方程可得)())()()()(()()1(n x n w n x n d n u n w n w T -+=+ 即)()()())()(()1(n d n ux n w n x n ux I n w T +-=+对上式求均值，又因为w （n ）和x （n ）不相关，所以 )]()([)]([)])()([()]1([n d n x uE n w E n x n x uE I n w E T +-=+ （1-5）其中互相关矢量T L p p p n d n E ],...,,[)]()([121-==x p自相关矩阵()()T E n n ⎡⎤=⎣⎦R x x把P 和R 代入1-5式可得uP n w E uR I n w E +-=+)]([)()]1([ （1-6）由式1-6可知LMS 算法的权矢量的平均值E[w(n)]的变化规律和最速下降法的权矢量w(n)完全一样。

面向无线传感器网络节点定位的自适应卡尔曼滤波算法收敛条件分析

ＬｕＷＡＮＧＪｎｗｅＬｎ－ｎＭＡＨｏｇｘＩｎＸｉ－ｎＩＨｏｇｊａｕｎ－ｕ
（ｐａｔｎｆＡｕｏｍａｉｎｒｌＮａｉｎｌｎｖｒｉｙｏｆｎｅＴｅｈｏｏｙ，ＤｅｒｍｅｔｏｔｔｃＣｏｔｏ，ｔｏａｉｅｓｔｆＤｅｓｃｎｌｇＣｈａｇｓａ４１０３，ｉａＵｅｎｈ０７Ｃｈｎ）
ＡｂｔａｔＴｈｉｅｉｇｅｆｃｓａｅａａｙｅｅｈｎｏａｉｎ ’ｓｒｅｎａｄｐｉｅＫａｍａｉｅ（Ｆ）ｉｃｌｒｄｓｒｃｅｆｌｒｎｆｅｔｒｎｌｚｄｗｈｎｔｅｉｎｖｔｓｅｉｓｉｎａａｔｌｎｆｔｒＡＫｔｏｖｌＳｏｏｅｎｉｅＴａｅｈｔｉｏｍｓａｔｏ，ｔｉｐｏｅｈｔａｉｔｅｄｓａｃｅｗｅｎｔｅｃｖｒｎｅｍａｒｎｔｅｏｓ．ｋｎｔｅｍａｒｘｎｒａｏｌｉｓｒｖｄｔａｔｔｍｅｋ，ｈｉｔｎｅｂｔｅｈｏａｉｃｔｉｉｈａｘＡＫＦｎｈｏａｉｎｅｍａｒｘｉｅｋｈｏｔｌｓｉｒｐｒｉｎｔｈｎｖｔｎｓｏｒｌｔｎＴｈｎｉｉｅｉｅａｄｔｅｃｖｒｃｔｉｔｔｐｉａｎｈｍａＫＦｉｐｏｏｔＯｔｅｉｏａｉ ’ｃｒｅａｉ．ｅ，ｔＳｄｒｖｄｎｏｎｏｏｔａｏａｉｎｅｍａｒｃｓｉｌＡＫＦｓａｅｇａｕｌｗａｒｍｈｏａｉｎｅｍａｒｘｉｈｐｉｌｈｔｃｖｒａｃｔｉｅｎａ１ｒｒｄａｌａｙｆｏｔｅｃｖｒａｃｔｉｔｅ１ｈｏｔｙｎｔｍａＫＦａｅｎｔｅｂｓｄｏｈａｏｅｍｅｔｏｅｏｃｕｉｎ．ａｔｉｉｕｂｖ－ｎｉｎｄｃｎｌｓｏｓＡｔｌｓ，ｔＳｓｍｍａｉｅｈｔｃｎｅｇｎｏｄｔｎｆＡＫＦｓａｅ１Ｔｈｉｅｅｃｅｒｚｄｔａｏｖｒｅｔｃｎｉｉｓｏｏｒ：ｅｄｆｒｎｅｂ — ｆｔｅｈｏａｉｎｅｍａｒｘｉｎＡＫＦａｄｔｅｃｖｒａｃｔｉｈｔｐｉｌｗｅｎｔｅｃｖｒｃｔｉａａｎｎｈｏａｉｎｅｍａｒｘｉｔｅ１ｈｏｔｍａｎＫＦａｉｉｖｌｅ２Ａｔｔｔｅｈｓｌｔａｕ；ｉｋ，ｈｍｍｅ

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⎡ k ⎤ = c 2 (k ) ⎢⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥⎥ λ ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0
⎡ k ⎤ ⎡ k ⎤ ⎢ ∑ h (i ) ⎥ − 2c(k ) ⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥ θ e ( i ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (k ) ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0 ⎦⎥ ⎣⎢ i =k0
⎡ ⎤ K Km E (s ) = Y (s ) − Ym (s ) = U (s ) ⎢ e −τ s − e −τms ⎥ 3 3 ⎢⎣ (Ts + 1) ⎥⎦ (Tms + 1)
(5-14) (5-15) (5-16)
θm (t ) = [Km (t ), τm (t ),Tm (t )]T
θ(t ) = [K (t ), τ(t ),T (t )]T
(k ),k ] ≤ 0 , 因此参数偏差方程(2-25)是大范围一致渐近稳定的，有 ∆V [θ (k ) = 0 即 lim θ
(5-18)
定义参数偏差矢量：
(t ) = θm (t ) − θ θ
(5-19)
利用台劳展式将 ym (θm , t ) 在 θ 处展开，得
t
θm (t + ∆t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )[y(θ,t ) − ym (θm , t )]dt
t0 t
≈ θm (t0 ) − c(t )λ ∫ { h(t )[y(θm , t ) − ym (θ, t )] +
(i )] θm (k + 1) = θm (k0 ) − c(k )λ ∑ [h(i )h T (i )θ
i =k0 k
(5-24)
(k0 ) = θ (j )=θ (k ) 。由于算法在求和区域 k0 ≤ j ≤ k 内， θ
因此，(5-24) 式可进一步表示为
k ⎡ ⎤ (k + 1) = ⎢ I-c(k )λ (k ) θ ∑ h(i)h T (i) ⎥⎥ θ ⎢ i = k0 ⎣⎢ ⎦⎥
自适应算法的收敛性分析
最速下降法是设计模型参考自适应系统参数自适应律的一种有效方法，可以适用于不同的自适应结构。然而直接采用最速下降法设计的自适应控制系统，同采用其它局部参数最优化方法的系统一样，不能保证参数调整过程中，系统总是稳定的，即存在算法的收敛性或者说系统的稳定性问题。这主要是因为最速下降法是以驱动模型误差 e 为零的思想为基础的，但这未必能使可调参数达到它们的精确值，其收敛性很大程度上依赖于自适应增益的选择。当自适应增益足够小时，可保证系统的稳定性，但自适应收敛速度可能相当缓慢；当自适应增益过大时，自适应参数可能不能收敛，导致系统不稳定。（对改进算法 2）一个好的自适应控制系统必须给出自适应算法收敛性的充分保证，不仅能使模型误差 e 趋于零，而且能以较快的速度使可调参数收敛于它的准确值。这里我们采用了一类基于 Lyapunov 稳定性理论的设计方法，其基本思想是保证控制器参数自适应调节过程是稳定的，然后再尽量使这个过程收敛快一些。
由式(5-23)和(5-25)，可得
( k ), k ⎤ = ∆V ⎣⎡ θ ⎦ i ( k + 1 ) − θ i ( k ) ⎤ ⎡ θ ⎤ ∑ ⎣⎡ θ ⎦ ⎣ i ( k + 1 ) + θi ( k ) ⎦
i =1 3
λ
i
k k ⎡ ⎤T ⎡ ⎤ ( k ) − c(k )λ T ( k ) λ −1θ (k ) ⎢ = ⎢ θ ( k ) − c(k )λ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ λ −1 ⎢⎢ θ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ − θ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ i =k 0 i =k 0
k ⎡ 3 ⎤ ⎡ k ⎤2 ⎢ ⎢ = c(k ) ⎢ ∑ λic(k ) ⎢ ∑ hi ( j ) e( j ) ⎥⎥ − 2 ∑ e 2 ( j ) ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 ⎥⎦ ⎢⎣ i =1 ⎥⎦ j =k ] ≤ 0 ，c(k)应满足：考虑到 c(k)≥0，要使 ∆V [θ
(5-25)
(k ) 的自由运动方程，可由 Lyapunov 稳定性理论判断其稳定性。上式是关于 θ
定义
(k ), k ⎤ = θ T (k )λ−1θ (k ) = V ⎡⎣ θ ⎦ i 2 (k ) λ i ∑θ
i =1 3
(5-26)
(k ), k ] = V [θ (k + 1), k + 1] − V [θ (k ), k ] ∆V [θ
t0
∂ym (t ) [K m − K ] ∂Km
+
∂ym (t ) ∂y (t ) [τ − τ ] + m [Tm − T ]} dt ∂τm (t ) m Tm (t )
t
(t )dt = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )h T (t )θ
t0
(5 -23)
上式的离散形式为
(5-27)
(k ),k ] 满足下列条件：显然由式(5-26)所定义的V [θ
(k ) ≠ 0 ，V [θ (k ),k ] > 0 ； z 对所有 θ (k ) = 0 ，V [θ (k ),k ] = 0 ； z 对于 θ (k ),k ] → ∞ 。 (k ) → ∞ ，V [θ z 当 θ
θm (t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∂J ∂θm (t )
t t0
θm (t )=θ(t )
= θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )e(t )dt
(5-17)
这里 h(t ) 是自适应系统当 θm (t ) = θ(t ) 时的敏感度函数，即
⎡ ⎤T 1 ′ (t, θ) ⎥ m (t, θ), 3ym h(t ) = ⎢ − ym (t, θ), y ⎣⎢ K m (t ) ⎦⎥
k
2 ∑ e2 (j ) 0 ≤ c(k ) ≤
j = k0
⎡ k ⎤2 ⎢ ⎥ ( ) λ h j e ( j ) ∑ i⎢∑ i ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 i =1 ⎦
3
(5-29)
根据 Lyapunov 稳定性定理，满足 (2-29) 式的自适应增益 c(k) 可使