算法收敛性和收敛速度定义式共42页

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。

当0≥n a 时，此级数称为正项级数。

记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。

级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。

显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。

因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。

但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。

只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。

可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。

p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。

因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。

可是，这把“尺子”有点粗糙了。

事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。

可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。

可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。

于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。

算法收敛速度一、什么是算法收敛速度？算法收敛速度指的是算法在运行过程中逐渐接近最优解的速度。

在实际问题中，我们通常需要在有限时间内得到一个尽可能接近最优解的结果，因此算法的收敛速度对于问题求解的效率和准确性具有重要影响。

二、影响算法收敛速度的因素1. 初始值：算法初始值对于收敛速度影响很大。

如果初始值距离最优解较远，则需要更多次迭代才能达到最优解，从而降低了收敛速度。

2. 学习率：学习率是指每次迭代时更新参数的步长。

学习率较大会导致参数更新过快，容易出现震荡现象，从而降低了收敛速度；学习率较小则会导致参数更新缓慢，需要更多次迭代才能达到最优解，也会降低收敛速度。

3. 梯度大小：梯度大小反映了目标函数变化的快慢程度。

如果梯度大小较小，则说明目标函数变化缓慢，需要更多次迭代才能达到最优解，从而降低了收敛速度。

4. 目标函数的形状：目标函数的形状对于算法收敛速度也有影响。

如果目标函数呈现出光滑的凸面形状，则算法容易收敛；如果目标函数呈现出多个局部最优解，或者存在较大的峡谷，则算法可能会陷入局部最优解，从而降低了收敛速度。

三、常见的提高算法收敛速度的方法1. 加快学习率：通过增加学习率可以加快参数更新的速度，从而提高收敛速度。

但是需要注意学习率过大会导致震荡现象和发散现象，因此需要根据具体情况合理设置学习率。

2. 优化初始值：通过合理设置初始值可以提高算法的收敛速度。

一般来说，初始值应该尽可能接近最优解，但是也不能过于接近，否则容易陷入局部最优解。

3. 使用自适应学习率：自适应学习率可以根据当前迭代次数和梯度大小等信息动态调整学习率大小，从而避免了手动设置学习率带来的问题，并且能够有效提高收敛速度。

4. 选择更合适的目标函数：选择更合适的目标函数可以避免算法陷入局部最优解，从而提高收敛速度。

例如，使用带有正则项的目标函数可以避免过拟合问题，从而提高收敛速度。

5. 采用更快的算法：选择更快的算法可以大大提高收敛速度。

无穷级数的收敛性无穷级数的收敛性是数学分析中的重要概念，它涉及了无穷级数是否会接近某个有限值。

在本文中，我们将详细讨论无穷级数的定义、性质以及判定无穷级数收敛性的方法。

首先，让我们来定义无穷级数。

一个无穷级数是由一系列实数或复数的数列所组成的。

形式上，无穷级数可以表示为：a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ...为级数的各项。

我们将级数的前n项和表示为Sn，即Sn = a₁ + a₂ + ... + aₙ。

接下来，我们来讨论无穷级数的收敛性概念。

一个无穷级数是收敛的，当且仅当存在一个有限数L使得当n趋于无穷大时，级数的前n项和Sn无限地接近L。

我们用符号“∑”表示一个收敛的无穷级数，如∑(aₙ)。

相反，如果无穷级数的前n项和Sn在n趋于无穷大时趋于无穷大或趋于无穷小，我们称这个无穷级数为发散的。

无穷级数的收敛性与数列的极限有着密切的关系。

事实上，如果一个无穷级数收敛，那么它的各项数列一定收敛，反之亦然。

这个性质被称为柯西收敛准则。

在判定无穷级数的收敛性时，我们可以使用一些常见的方法。

其中，比较判别法是最为常用的方法之一。

比较判别法指出，如果一个无穷级数∑aₙ的各项非负且与另一个无穷级数∑bₙ的各项存在某种比较关系，那么∑bₙ的收敛性可以推出∑aₙ的收敛性。

举个例子来说明比较判别法的应用。

考虑级数∑(1/n²)，我们可以将其与级数∑(1/n)进行比较，即对于任意正整数n，我们有1/n² < 1/n。

由于级数∑(1/n)是一个已知的调和级数，并且它收敛，根据比较判别法，我们可以得出级数∑(1/n²)也收敛。

除了比较判别法，我们还可以使用比值判别法、积分判别法、绝对收敛性等方法来判断无穷级数的收敛性。

这些判别法是基于数列的性质和数学分析的原理进行推导和证明的。

总结起来，无穷级数的收敛性是数学分析中一个重要而深奥的概念。

计算收敛速度的公式(二)创作者手册：计算收敛速度的公式1. 收敛速度的定义收敛速度是指数值计算方法在迭代过程中逐渐接近准确解的速度。

通常用收敛速度比较快慢的标准是迭代法所需的迭代步数或误差范围。

2. 经典的计算收敛速度的公式在计算收敛速度时，我们常用以下公式来衡量收敛的迅速程度：第一公式：收敛次数公式收敛次数公式计算的是迭代法所需的迭代次数。

一般来说，收敛次数越小，表示收敛越快。

第二公式：误差范围公式误差范围公式计算的是误差的大小。

如果误差范围越小，表示收敛越快。

3. 举例解释下面我们通过一个简单的例子来解释这两个公式的用法：假设我们想要计算方程x^2 = 5的解。

首先，我们可以使用牛顿迭代法来逼近方程的解。

牛顿迭代法的迭代公式如下：公式1：x_{n+1} = x_n -其中，x_n表示第n次迭代的近似解，f(x)表示方程的左边减去右边的函数值，f’(x)表示f(x)的导数。

我们可以使用上述迭代公式来计算方程x^2 - 5 = 0的解。

假设初始近似解x_0=2。

根据牛顿迭代法，我们可以得到以下迭代过程：迭代1： x_1 = x_0 - = 2 - ≈迭代2： x_2 = x_1 - = - ≈迭代3： x_3 = x_2 - = - ≈我们可以看到，在第三次迭代之后，近似解已经收敛到了约等于。

接下来，我们可以使用收敛次数公式和误差范围公式来计算收敛速度。

假设我们设定的收敛误差为。

根据收敛误差公式，我们可以计算出迭代次数为3。

根据收敛次数公式和迭代次数，我们可以得知，牛顿迭代法计算方程x^2 = 5的解的收敛速度为快速收敛。

总结通过以上例子我们可以看到，计算收敛速度的公式在评估数值计算方法的迭代效果时起到了重要的作用。

通过收敛次数公式和误差范围公式，我们可以客观地衡量迭代方法的收敛速度，从而选择最适合的方法来求解数值问题。

级数收敛定义级数是数学中的一个重要概念，它是指将一系列数相加所得到的无穷和。

在数学中，我们经常需要讨论级数的收敛性问题，这是因为级数的收敛性质与许多数学问题密切相关。

本文将介绍级数收敛的定义、性质以及一些常见的判别法。

一、级数的定义定义1：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于一个有限数 s，则称级数∑a_n 收敛于 s，记作∑a_n=s。

定义2：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于正无穷大或负无穷大，则称级数∑a_n 发散。

二、级数的性质1.级数收敛的必要条件是其通项趋于零。

即当∑a_n 收敛时，必有 lim n→∞ a_n=0。

证明：假设∑a_n 收敛，若 lim n→∞ a_n≠0，则存在一个正数ε，使得对于所有的 n，有 |a_n|≥ε，从而∑|a_n|≥∑ε=+∞，这与级数收敛的定义相矛盾。

2.级数的收敛性与级数的部分和有关。

即若级数∑a_n 收敛，则其部分和数列 {s_n} 有界。

证明：由级数收敛的定义可知，对于任意的ε>0，存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，有 |s_n-s|<ε。

取ε=1，则存在正整数 N1，使得当 n>N1 时，有 |s_n-s|<1，即 s_n-1<s<s_n+1。

于是对于任意的 n>N1，有 |s_n|≤|s|+1，即数列 {s_n} 有界。

3.级数的收敛性具有可加性。

即若级数∑a_n 和∑b_n 均收敛，则级数∑(a_n+b_n) 也收敛，并且有∑(a_n+b_n)=∑a_n+∑b_n。

证明：设∑a_n=s1，∑b_n=s2，∑(a_n+b_n)=s3。

则对于任意的ε>0，由级数收敛的定义可知，存在正整数 N1，N2，N3，使得当n>N1，n>N2，n>N3 时，有|s1-s_n|<ε/2，|s2-t_n|<ε/2，|s3-(s_n+t_n)|<ε。

收敛性与收敛速度的比较实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。

实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到106-。

实验要求：（1） 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根（利用算法4.1（简单迭代法）计算）；（2）用斯蒂芬森加速迭代（算法4.2）计算。

输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。

（3）用牛顿法（算法4.3）求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与（1）、（2）的结果比较。

（4）用MATLAB 内部函数solve 直接求出方程的所有根，并与（1）、（2）、（3）的结果进行比较。

实验程序：（1） 简单迭代法：初值选用0.5 format longc=10.^(-6);x0=0.5;syms x fxfx=(x.^2-exp(x)+2)/3;j=1;fx0=(x0.^2-exp(x0)+2)/3while(abs((x0-fx0)/fx0)>c)x0=fx0;fx0=(x0.^2-exp(x0)+2)/3j=j+1;endj结果：fx0 =0.200426243099957fx0 =0.272749065098375fx0 =0.253607156584130 fx0 =0.258550376264936 fx0 =0.257265636335094 fx0 =0.257598985162190 fx0 =0.257512454514832 fx0 =0.257534913615251 fx0 =0.257529084167956 fx0 =0.257530597238330 fx0 =0.257530204510457fx0 =0.257530306445639j =12j =12迭代次数：12（2）斯蒂芬森加速迭代法：format longc=10.^(-6);y=0.5;syms x fx gx hxfx=(x.^2-exp(x)+2)/3;gx=(fx.^2-exp(fx)+2)/3;hx=x-(fx-x).^2/(gx-2*fx+x);j=1;fy=(y.^2-exp(y)+2)/3;gy=(fy.^2-exp(fy)+2)/3;hy=y-(fy-y).^2/(gy-2*fy+y)while((abs(y-hy)/hy)>c)y=hy;fy=(y.^2-exp(y)+2)/3;gy=(fy.^2-exp(fy)+2)/3;hy=y-(fy-y).^2/(gy-2*fy+y)j=j+1;endj结果：hy =0.258684427565791hy =0.257530317719808hy =0.257530285439861j =3迭代次数：3（3）牛顿法format longc=10.^(-6);x0=0.5;syms x fxfx=x-(x.^2-3*x-exp(x))+2/(2*x-exp(x)-3);j=1;fx0=(x0.^2-exp(x0)+2)/3while((abs(x0-fx0)/fx0)>c)x0=fx0;fx0=x0-(x0.^2-3*x0-exp(x0)+2)/(2*x0-exp(x0)-3) j=j+1;end结果：fx0 =0.200426243099957fx0 =0.257208351085202fx0 =0.257530275750830fx0 =0.257530285439861迭代次数：4（4）solve函数直接求根x=solve('x^2-3*x+2-exp(x)=0')x =0.25753028543986076045536730493724用solve方法直接求根收敛速度较快，迭代次数较少。

级数初步级数的定义收敛性与计算方法级数初步级数的定义、收敛性与计算方法级数是数学中的重要概念之一，它是由一列数相加而得到的无穷和。

在本文中，我们将初步介绍级数的定义，并探讨其收敛性及计算方法。

**1. 级数的定义**给定一个数列 {an}，级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，an为数列中的第n个数，S为级数的和。

数列中的每一项都对级数的和产生影响，因此我们需要研究级数是否收敛，即其和是否存在。

**2. 级数的收敛性**一个级数可以是收敛的（convergent），也可以是发散的（divergent）。

如果存在一个有限数L，使得级数前n项和Sn逐渐趋近于L，即当n趋于无穷时，Sn无限接近L，则该级数收敛于L。

数学符号可以表示为：lim(Sn) = Ln→∞换句话说，当n趋向于无穷时，级数的和趋近于某个值L。

**3. 级数收敛的判定方法**判定级数是否收敛的方法有多种，常见的有以下几种：**3.1 等比级数**等比级数是指级数的通项为等比数列的情况。

具体而言，如果存在常数r，使得级数的每一项与其前一项之比都等于r，即满足以下条件：an = ar^(n-1) (n≥1, r≠0)则该级数的和为：S = a1 / (1 - r)其中，a1为等比数列的首项。

**3.2 绝对收敛性**若级数的每一项对应的绝对值构成的级数收敛，则称原级数是绝对收敛的。

绝对收敛的级数一定是收敛的，但反之不成立。

绝对收敛级数的求和顺序可以改变而不改变其和。

**3.3 比较判别法**比较判别法主要用于判断级数是否收敛或发散的一种方法。

对于正项级数，可以比较其与一个已知级数的大小关系，若已知级数收敛且大于待判定级数，则待判定级数也收敛；若已知级数发散且小于待判定级数，则待判定级数也发散。

**4. 级数的计算方法**在具体计算级数的和时，我们需要根据级数的特点选择合适的计算方法。

以下是几个常用的计算方法：**4.1 部分和法**部分和法是求级数和的一种常用方法。