2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析

2.1 平面向量的实际背景及基本概念问题导学一、向量的有关概念活动与探究i给出下列结论：(1) 若Ial 二| b∣,则a二b 或a二一b；(2) 向量的模一定是正数；(3) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(4) 向量AB与CD是共线向量，则A, B5CD四点必在同一直线上.其中正确结论的序号是____________ .=3迁移与应用1 .下列说法中正确的是( )A. 所有单位向量相等B. 零向量是没有方向的向量C. 若a与b是平行向量，则a与b的方向相同或相反D. 向量BA与向量AB的大小相等2. 判断下列说法是否正确，并说明理由.(1) 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(3) 数轴是向量；(4) 由于零向量O方向不确定，故O不能与任一向量平行；(5) 若向量a与b同向，且∣a∣> ∣b∣,贝U a〉b........................................................................ :j念师偉《对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可.(1) 零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的.因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意.(2) 注意O与O的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量.(3) 平行向量不一定方向相同或相反，因为O与任一向量平行，O的方向是任意的.二、向量的表示=3活动与探究2对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1) 把所有单位向量的起点平移到同一点P;(2) 把平行于直线丨的所有单位向量的起点平移到直线丨上的点P；(3) 把平行于直线I的所有向量的起点平移到直线I上的点P.=3迁移与应用某次军事演习屮，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了IOOkm到达B地，然后又改变方向向北偏西40。

平面向量的实际背景及基本概念教学设计一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4（必修）》（人教A版）第二章第一节的第一课时《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有及其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题因此，它在整个高中数学的地位是非常重要的本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量的两个属性：大小和方向，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．二．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1 通过位移的实例分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念及向量相等的含义，理解向量的几何表示2 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．三．教学重难点1 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示2难点：向量的概念和共线向量的概念四．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】同学们被外国人誉为中国的“新四大发明”是什么？设计意图：教师提出一个生活中的热点问题，激发学生学习兴趣，为下一步引出物理现象作铺垫【问题2】运用物理学的哪个量，可以解释路径不同，但是最终都能从南宁到达福州这一现象？追问1：这个物理量有什么特点？师生活动：教师通过图片演示两条不同从南宁到福州的路径，学生认真观察现象并进行思考，教师组织学生交流设计意图：进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知，为向量概念的引出作准备；（二）概念形成【问题3】大家能否举出一些既有大小，又有方向的量请举例说明。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑 水2.1 平面向量的实际背景及基本概念知识梳理1.向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.向量可用字母a ,b,c,…等表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB (其中A 为起点,B 为终点).2.向量的大小(模):向量的大小,也就是向量的长度,记作|a |或||.3.零向量、单位向量、平行向量及相等向量零向量:长度为0的向量,记做0,零向量的方向是任意的.单位向量:长度等于一个单位的向量,显然向量||a a 是与向量a 平行且同向的单位向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量,平行向量也叫共线向量.规定零向量与任何向量都共线.相等向量:方向相同且长度相等的向量.由相等向量的概念可得向量可根据需要进行平移. 知识导学本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.要学好本节内容，可从原有的位移、力等物理概念来引入向量，加强向量与数量的识别能力训练，了解向量丰富的实际背景，并用有向线段来描述向量.把向量和生活实际、几何图形联系起来，掌握向量的模、零向量、单位向量等概念.结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.疑难突破1.为什么向量不能比较大小?剖析：向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向，方向没有大小之分，不能比较两个向量的大小.2.为什么说数学中的向量是自由向量?剖析：(1)两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等.(2)任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量.物理中的位移有三个要素，在数学中不考虑起点(力的作用点).例如：五个人站成一排，同时向前走一步(每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量.(3)对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的.因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上.。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修2、1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一向量的表示1、准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点、2、注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头、【典型例题1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45方向；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；(3)，使||＝6，点C在点B 北偏东30方向、解：如图中的，和、探究二相等向量与共线向量1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线、2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量、注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量、【典型例题2】给出下列说法：①||＝||；②若a与b方向相反，则a∥b；③若，是共线向量，则A，B，C，D四点共线；④有向线段是向量，向量就是有向线段、其中所有正确的序号是________、思路分析：利用共线(平行)向量的概念判断、解析：①中与的起点终点相反，但长度相等，故①正确；②正确；③与共线时，有AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故③错误；④向量是一个量，有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段、答案：①②【典型例题3】如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与，相等的向量、(2)与共线的向量、解：(1)＝，＝、(2)与共线的向量为：，，、规律小结对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况、探究三易错辨析易错点：混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】已知下列命题：①若|a|＝0，则a为零向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同、其中正确的有()A、2个B、3个C、4个D、5个错解：C错因分析：①正确；②正确；③错误；没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确；⑤正确、正解：①正确；②由|a|＝|b|得a与b的模相等，但不确定方向，故②错误；③错误；④所有单位向量的模都相等，都为1，但方向不确定，故④不正确；⑤正确、答案：A方法技巧明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关、(2)明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关、(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的、零向量的方向是任意的、(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量、。

2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案【学习目标】1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2．通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3．通过对向量与数量的识别能力的训练，培养认识客观事物的数学本质的能力.【导入新课】情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？新授课阶段（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1．数量与向量有何区别？2．如何表示向量？3．有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4．长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5．满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6．有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7．如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？注意：1．数量与向量的区别：2.向量的表示方法： A B C D A(起点) B （终点）a①用表示；②用（黑体，印刷用）等表示；③；④ .3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4．零向量、单位向量概念：①叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5．平行向量定义：①叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6．相等向量定义：叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．.7．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.例1 书本86页例1.例2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）例3 下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解析：例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？变式训练：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.课堂小结1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.作业课本88页习题2.1第3、5题拓展提升1．下列各量中不是向量的是（）A.浮力B.风速C.位移D.密度2.下列说法中错误．．的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆4．已知非零向量b a //,若非零向量a c //，则c 与b 必定 .5．已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 .6.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则_______,||=________=参考答案1、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ① 有向线段② 字母ａ、ｂ③有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量的模，记作|AB |.3.起点、方向、长度.4．零向量、单位向量概念：①长度为0的向量②长度为1个单位长度的向量5．平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量6．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量例1 书本86页例1.例2（1） （不一定）（2） （不一定）（3） （零向量）（4） （零向量）（5） （平行向量）（6） （长度相等且方向相同）（7） （不一定）例3解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题A(起点) B （终点）a来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4变式一： （11个）变式二： （存在）变式三： （FE DO CB ,,）变式训练解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.拓展提升1.D2.A3.D4.平行5.不共线6. ||NM ，NM。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案班级：姓名：一.学习目标：（1）理解向量的概念；理解数量与向量的区别；掌握向量的表示方法：几何表示、字母表示；（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；揭示向量可以平移这一特性；（3）在学习的过程中，学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高.二.学习内容及程序:问题1同学们，我用12N的力作用于桌面上一个小木块，结果小木块竟然纹丝不动，你们觉着奇怪吗？问题2 物理学中有很多的“量”，如速度、质量等，你还能列举出一些吗？并分类.探究新知(1)向量的概念：我们把的量叫向量.探究：两个向量是否可以比较大小？问题3数的概念中,实数与数轴上的点一一对应.类比:向量是否也可以用几何来表示呢?(2)向量的表示:①几何表示: ②字母表示: 向量的模:数学建构探究实数中0、1，类比：向量中有与之相对应的向量吗？(3)两个特殊向量:零向量:思考:零向量有没有方向?单位向量: 练习1.如图2.1-6，试根据图中的比例尺(1:8000000)以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地 至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地 的实际距离（精确到1km ）练习2.指出图中各向量的长度.思考:向量,,有怎样的位置关系？(4)平行向量： 规定: 相等向量:练习3.在54 的方格中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？和长度相等的平行向量又有多少个？思考:这15个向量与共线吗？共线向量:问题4 平行向量也叫共线向量,你将如何理解?IJ判断：a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线.( )数学应用练习4.概念辨析:⑴两个长度相等的向量一定相等．（ ） ⑵相等向量的起点必定相同．（ ） ⑶平行向量就是共线向量．（ ）⑷若与共线，则 A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上．（ ） ⑸向量a 与b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反．（ ）练习5.如图2.1-10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与OC OB OA 相等的量.变式:(1)与向量长度相等的向量有多少个？ (2)与向量OA 共线的向量有哪些？归纳总结:问题5 你是怎样研究向量的，能理一理本节课所学的知识结构吗?三、课后练习:1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD 中,与是共线向量；(2)单位向量都相等. 2. 下列命题正确的是( )A.与共线,与共线,则与也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量；D.有相同起点的两个非零向量不平行. 3. 下列命题中，正确的是( )A ．||=||⇒=B ．||=||且∥⇒=C ． =⇒∥D ．∥0⇒||=04.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆 5. 设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中 点,则_______,||=________= 6.根据下列的条件,分别判断四边形ABCD 的形状:(1) = ; (2),==DC AB作业布置:教科书P77习题2.1A 组 附：向量的发展历程：向量，最初被应用于物理学。

2.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理 (1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 两向量的夹角与垂直思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案 存在夹角，不一样.思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案 B解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D解析 选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二 向量的夹角例2 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案 90°解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三 平面向量基本定理的应用例3 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解 取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案 C解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°答案 D解析 由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.答案 －15 －12解析 ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案 a ＋b 2a ＋c解析 由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A.e1＋e2和e1－e2B.3e 1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案 B解析B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )A.60°B.120°C.30°D.150°答案 A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为( )A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案 C解析如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案 B解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( ) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案 D解析 ∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45 答案 C解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案 C解析 如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案 60°解析 作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0， 所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解 如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 方法一 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二 如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2.方法三 如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案 90°解析 由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。

2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量． 2．理解向量的概念，掌握向量的表示法，了解生活中的向量． 3．掌握并能判断相等向量和平行向量．1．概念(1)向量：既有____，又有____的量叫做向量，如力，位移等．(2)数量：只有大小，没有____的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有____的线段叫做有向线段．其方向是由____指向____，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作__(如图所示)，线段__的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：____、____、____.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的____就唯一确定．【做一做1】 下列量中是向量的是( )A ．长度B ．身高C ．速度D ．面积 2．向量的表示法(1)几何表示：用________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的____(或称模)，如向量AB →的长度记作__．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →，b →，c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →.【做一做2】 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是MD ．终点是M3．有关概念①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．【做一做3－1】 单位向量的长度等于( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【做一做3－2】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量有__________．答案：1．(1)大小 方向 (2)方向 (3)方向 起点 终点 AB →AB (4)起点 方向 长度 终点【做一做1】 C2．(1)有向线段 长度 |AB →|【做一做2】 D3．0 1 长度 a ＝b 有向线段 相同 相反 a ∥b 平行 直线 共线 【做一做3－1】 B【做一做3－2】 BA →，DC →，CD →1．向量和有向线段的区别与联系剖析：向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向．它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的．而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．2．数学中的向量是自由向量剖析：根据相等向量的定义来分析．两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等．任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量．例如：五个人站成一排，同时向前走一步(假设每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的．因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上．题型一 向量的有关概念【例1】 下列说法正确的是( ) A. AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量反思：(1)对向量有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系．(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．题型二 在图形中找出相等或共线向量【例2】 如图，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)写出与向量AB →共线的向量；(2)写出与向量AB →相等的向量．分析：寻找相等向量时，需要考虑线段的长度和方向；寻找共线向量时，只需要考虑线段的方向，不需要考虑线段的长度．反思：在图形中找出与AB →共线的向量时，首先是BA →，再就是判断其他向量m 是否与AB →共线，若m 所在直线与直线AB 平行或重合，则m ∥AB →，否则它们不共线．在所有与AB →共线的向量中，与AB →方向相同且长度相等的向量与AB →相等．题型三 画出实际问题中的向量 【例3】 一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.分析：根据行驶方向和距离作出向量，进而求解．反思：在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型四 易错辨析易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 判断下列各命题的真假：(1)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (2)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (3)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； (5)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 错解：A 或B 或D错因分析：本题易发生的错误是忽略零向量而判断(1)为正确；不理解共线向量而判断(3)为正确；混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断(4)正确；混淆向量与有向线段概念而判断(5)正确．反思：对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．因此“大于”“小于”对向量来说没有意义，而向量的模可以比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．答案：【例1】 C AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 项错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 项错；按定义，零向量的长度等于0，故C 项正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 项错．【例2】 解：(1)与向量AB →共线的向量是BA →，DE →，ED →，DC →，CD →，CE →，EC →； (2)与向量AB →相等的向量是CE →和DC →. 【例3】 解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200千米．【例4】 C 正解：(1)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(2)真命题．(3)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． (4)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． (5)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．1．已知非零向量a ，b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝b B ．它们方向相同或相反 C ．所在直线平行或重合 D ．都与零向量共线 2．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA相等的向量是( )A.OCB.ODC.OBD.CO4．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)写出与AE共线的向量；(2)写出与AE相等的向量．5．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB ，BC，CA .(2)求|CA |.答案：1．A2．A ①错误．只有速度、位移是向量； ②错误．零向量有方向，它的方向是任意的； ③错误．|0|＝0；④错误．非零向量a 的单位向量有两个：一个与a 同向，一个与a 反向．3．D OA 与CO 方向相同且长度相等，则OA ＝CO .4．解：(1)与AE 共线的向量有EA 、BD 和DB.(2)与AE 相等的向量是BD .5．解：(1)如图所示．(2)||AB ＝100 m ，||BC＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴||CA＝100 m.。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.1。

回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．

2．1向量的概念及表示【教学目标】1.知识目标：○1能理解向量的概念，并能用两种方法表示向量；○2明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的概念；○3掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念，能根据图形判定向量是否平行（共线）、相等．2.能力目标：培养学生数形结合的能力，学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力．3.情感目标：培养学生学以致用的科学探索精神和爱国主义情操．【教学重点】1．向量概念的引入，会表示向量．2．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念．【教学难点】1. “数”与“形”的结合思想2. 平行（共线）向量和相等向量区别和联系．【教学过程】一创设情境二自主学习概念：向量的定义：我们把既有又有的量叫做向量．向量的表示：常用：表示，记作：，也可以用小写字母表示．向量AB的大小称为“”，记作：．相等向量,a b ,a c三 概念辨析判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． 题组一：① 温度含有零上和零下温度，所以温度是向量；② 若|a |>|b |则a >b ；向量的定义的注意点： 题组二：③ 起点相同的两个非零向量不平行；④ 若a //b ，b //c ，则a //c ；⑤ a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；向量平行与直线平行的区别： 题组三：⑥ 若四边形ABCD 是平行四边形则AB CD =；⑦ 若四边形ABCD 中，AB DC =，则ABCD 是平行四边形； ⑧ 若|a |=|b |且a //b 则a =b ；相等向量的注意点： 题组四：⑨ 单位向量都相等；⑩ 共线的单位向量都相等；单位向量的注意点： 题组五：○11 ||||0a a -=； ○12 向量的模为正实数． 零向量的注意点：四 数学应用例1．已知O 点是的正六边形ABCDEF 的中心， 在图中所标出的向量中：（1）与FE 共线的向量有 ； （2）与FE 相等的向量有 ； （3）OA 与BC 是互为 向量．例2．如图，45 的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中（１）与AB 相等的向量有多少个？ （２）与AB 相反的向量有多少个？（３）与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）五．课时小结六．课后作业 课本p57 习题2.1：1，2，3．七．任务延伸 根据地图，求以南通为起点，黑瞎子岛为终点的向量的模是多少?方向是什么?八．课后拓展 课本p57 习题第５题.CFAB。

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A 版必修4【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；那这样的量叫什么呢？ （二）自主探究：（预习教材P74-P77）探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量. 问题1：数量和向量的异同点有哪些？探究二：向量的表示法问题2：向量有几种表示方法？⑴我们常用 来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作 ，线段AB 的长度称为模，记作AB.有向线段包含三个要素：⑶有向线段也可用字母如a ， ，表示.探究三：几个特殊的向量零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于 的向量. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量a ，b 平行，记作：//a b . 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量问题3：如何理解零向量的方向？探究四：相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作：a b =.二、合作探究1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量： ⑴3OA =，点A 在点O 的正北方向； ⑵22OB =B 在点O 南偏东60方向.2、教材P75例1学法指导：请将教材上的空白处填好。

先用刻度 尺量出图上距离，再算出实际距离。

≈≈。

3、如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD ，OE ， OF 相等的向量.变式：（1）与AB 相等的向量有哪些？（2）与相等吗？与相等吗？ 三、目标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1、下列说法正确的是（ ）.A ．向量AB 与向量BA 的长度不等 B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C ．零向量没有方向D ．任一向量与零向量平行 2、在四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( ) . A.AD 与CB B.OB 与ODC.AC 与BDD.AO 与OC3、边长为3的等边ABC ∆的底边BC 上的中线 向量AD 的模AD为 .4、四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形. ⑴与向量ED 相等的向量有哪些？ ⑵若3AB =，则向量EC 的模等于多少？B 组：1、若AB AD=，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形 2、下列命题中，说法正确的有①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ； ③若a b=，则a b =或a b =-；④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点. 3、在正方体''''ABCD A B C D -中，与AB 平行的向量有哪些？BA DCEC四、课后作业 五、课后反思班级： 组别： 组号：___________ 姓名：§2.2.1向量的加法运算及其几何意义 【学习目标】1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂导学三点剖析1.向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确.①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④向量0=0；⑤向量AB大于向量CD.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：①真命题.因为向量和向量是方向相反，模长相等的两个向量.②假命题.因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.③假命题.向量是用有向线段来表示的，但不能把两者等同起来.④假命题.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|=0.⑤假命题.因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小. 故应选B.答案：B温馨提示只有真正理解向量的概念、向量模的意义，才能解决类似的概念辨析题.【例2】某人从A点出发向西走了10 m到达B点；然后改变方按西偏北60°走了15 m到达C点；最后又向东走了10 m到达D点.（1）作出向量、、（用1 m长的线段代表100 m长）；（2）求||.解：（1）向量AB、BC、CD如右上图所示.（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=15 m.温馨提示（1）要画出向量，首先要确定向量的起点和终点，或先确定向量的起点，再确定向量的方向，再根据向量的模确定向量的终点.（2）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日后的学习中不断积累经验.2.平行向量的概念【例3】判断下列命题是否正确：（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；（2）四边形ABCD是平行四边形，则=DC,反之也成立.（3）|a|=|b|,a，b不一定平行；a∥b，|a|不一定等于|b|;（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.（2）正确.=DC⇔∥DC且||=|DC|⇔四边形ABCD是平行四边形. （3）正确.模相等不一定平行，平行不一定模相等.（4）错.如下图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.温馨提示（1）共线向量也叫平行向量，指向量的基线互相平行或重合.（2）零向量与任何向量共线.（3）共线向量不一定相等，但相等向量一定共线.3.对向量有关概念再理解【例4】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|，则a=b;③若=,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=；⑤若m=n,n=k，则m=k;⑥若a∥b,b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：①两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同.②|a|=|b|,只能说a与b模相等，方向不一定相同.∴a与b不一定相等，故②不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上.④显然：AB与DC方向相同，模也相等.∴④正确.⑤显然正确，说明向量相等具有传递性.⑥零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确.故应选C答案：C各个击破类题演练1指出下列概念是不是向量:（1）作用在物体上的大小为5牛顿；方向为东北的力.（2）物体B沿东南方向产生了10 m的位移.（3）温度计上表示零上、零下的温度.解：（1）是向量，因为力是既有大小又有方向的量，但不是自由向量，因为确定力的要素除大小、方向外，还有作用点.（2）是向量，因为位移由大小、方向决定.（3）不是，因为温度可以用带正、负号的实数表示.变式提升1下列命题：①向量可以比较大小；②向量的模可以比较大小；③若a =b ，则一定有|a |=|b |，且a 与b 方向相同；④对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解析：②③④正确答案：C类题演练2一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D 点.（1）作出向量，BC ,CD ;（2）求|AD |.解：（1）如右图所示.（2）由题意，易知=-，∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴||=||=200 （千米）.变式提升2 如右图，已知'AA ='BB ='CC ,求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：（1）∵'='BB ，∴四边形AA′B′B 是平行四边形，∴|AB |=|''B A |. 同理由BB =CC ，CC =AA ，得 ||=|'C B |,||=|''C A |,。