第一部分：平面向量的概念及线性运算
欧阳光明（2021.03.07）
一.基础知识自主学习
1．向量的有关概念
名称定义备注
向量既有又有的量；向量的大小叫做向量
的(或称)
平面向量是自由向量
零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0
单位向量长度等于的
向量
非零向量a的单位向量为±
a
|a|
平行向量方向或的非零向量
0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量
相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比
较大小
相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何
意义)
运算律
加法求两个向量和的运算(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法求a与b的相反向量－b
的和的运算叫做a与b
的差
法则
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的积的
运算
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；
当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ
＝0时，λa＝0.
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测
1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →
的结果等于________．
2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．
3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于()
A ．－4e1－2e2
B ．－2e1－4e2
C ．e1－3e2
D ．3e1－e2
5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析
题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．
变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ；
(2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；
(6)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算
例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13
CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →
.
变式训练2 △ABC 中，AD →＝23
AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC →
＝b ，用a 、b 表示向
量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题
例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD →
＝2e1－e2.
(1)求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)若BF →
＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b)．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线． 五．思想与方法
5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题
试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b.试用a 和b 表示向量
OM →.
六．思想方法感悟提高 方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →
，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 七．课后练习 1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1B ．2 C ．3D ．4
2．若A 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD
→
＝DC →
+AB .其中正确的有() A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. B 上有一点C ，满足CB AC +2=0，则OC 等于()
A.OA 2－OB →
B.OA -＋2OB →
C.OA 32－13OB →
D.OA 31-＋23OB →
4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝2
DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →
等于()
A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13
b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是()
A ．矩形 ．以上都不对 6. A
B ＝8，A
C ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →
的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量
AB 与向量CD →与向量CD →
是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．
8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、
N.若AB ＝mAM →
，
AC ＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.
10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →
.
11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．
12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.
（1）求GA ＋GB →＋GO →
；
(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →
＝nb ，求证：1m ＋1n
＝3.
第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示
一．基础知识自主学习 1．两个向量的夹角
定义
范围
已知两个 向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)
向量夹角θ的范围是 ,
当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a ⊥b .
2.平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组． (2)平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对叫做向量a 的坐标，记作a ＝，其中叫做a 在x 轴上的坐标，叫做a 在y 轴上的坐标．
②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y)就是的坐标，即若OA →
＝(x ，y)，则A 点坐标为，反之亦成立．(O 是坐标原点)
3．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝，a －b ＝，
λa ＝，|a|＝ . (2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝，|AB →
|＝ .
4．平面向量共线的坐标表示：设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.a ∥b ?. 二．难点正本 疑点清源 1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →
＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标
统一为(x ，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x ，y)，向量a ＝OA →
＝(x ，y)．
当平面向量OA →平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA →＝(x ，y),但O1A1→
的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
三．基础自测
1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b)∥c ，则m ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.
3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.
4．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为 ( )
A.? ????2，72
B.? ????2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)
5．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x2)，则向量a ＋b()
A ．平行于y 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于x 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线 四．题型分类深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →
.
变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →
＝p ，试
用p 表示CQ →
.
题型二 向量坐标的基本运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标．
变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(2，－4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12
AC →
的坐标；
(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －1
4
b.
题型三 平行向量的坐标运算
例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：
(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ； (3)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c|＝5，求d. 变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．
(1)求|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 五．易错警示
8．忽视平行四边形的多样性致误
试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标． 六．思想方法感悟提高 方法与技巧
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题． 3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范
1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
2．若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x1x2＝y1
y2
，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示
为x1y2－x2y1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等． 七．课后练习
1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m)，若a ∥b ，则实数m 的值为() A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2
2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于() A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)
3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于()
A.? ????3
2
，－12或? ????－32，12B.? ????32，12
C.?
????－
32，－12D.? ????32，12或? ??
??－32，－12 4.已知向量a ＝(1，－m)，b ＝(m2，m)，则向量a ＋b 所在的直线可能为() A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴D
5．已知A(7,1)、B(1,4),AB 交于C,→，则实数a 等于() A ．2 B ．1
C.5
D.3
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
的值等于________．
7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．
8．若向量A(1,2)，B(3，2)，则x ＝________.
91，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b)，n ＝(3a ＋3b ，c)，m ∥n.
(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．
12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b)，向量n ＝(cos A ，cos B)，
向量p ＝? ??
??22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．
第三部分：平面向量的数量积
一．基础知识自主学习 1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.
两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝；
(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ?； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝；
当a 与b 反向时，a ·b ＝，a ·a ＝a2，|a|＝a ·a ； (4)cos θ＝a ·b |a||b|；
(5)|a ·b|____|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a ·b ＝ (交换律)；
(2)(λa)·b ＝＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b)·c ＝.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ·b ＝，由此得到 (1)若a ＝(x ，y)，则|a|2＝或|a|＝.
(2)设A （x1,y1）,B(x2,y2),则A 、B 两点间的距离|AB|=AB ＝. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ⊥b ?.
二．难点正本 疑点清源 1．向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a ·b)c 不一定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 三．基础自测
1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10,则AC AB ·
＝______. 3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)b 方向上的投影为______．
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2
5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.? ??
??32，12 D ．(0，－1) 四．题型分类深度剖析 题型一 求两向量的数量积
例1(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·
； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.
(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD →
，|AD |＝1，则AD AC ·等于()
A ．2 3 B.32 C.3
D.3
题型二 求向量的模
例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．
变式训练2 设向量a ，b 满足|a －b|＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π
3
，则|b|＝________.
题型三 利用向量的数量积解决夹角问题
例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．
变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 题型四 平面向量的垂直问题
例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；
(2)若ka ＋b 与a －kb 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)
变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m)，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →
，求实数m ，n 的值． 五．答题规范
5．思维要严谨，解答要规范
试题：设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 六．思想方法感悟提高 方法与技巧
1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a2＋2a ·b ＋b2；
(λa ＋μb)·(sa ＋tb)＝λsa2＋(λt ＋μs)a ·b ＋μtb2(λ，μ，s ，t ∈R)．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧． 失误与防范
1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a ·0＝0≠0；
(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b.
3．一般地，(a ·b)c ≠(b ·c)a 即乘法的结合律不成立．因a ·b 是一个数量，所以(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b ·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a ·b)c ≠(b ·c)a. 4．a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能推出b ＝c.
5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，120°，而不是60°. 七．课后练习
1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1
2)，则下列结论中正确的是()
A ．|a|＝|b|
B ．a ·b ＝
22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)，满足条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于() A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
3.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于() A ．150° B ．90° C ．60° °
4.平行四边形ABCD 中，AC (2,4)(1,3)() A ．6 B ．8 C ．－8 D ．－6
5.若e1、e2是夹角为π
3
的单位向量，且向量a ＝2e1＋e2，向量b ＝－3e1＋2e2，则a ·b 等于()
A ．1
B ．－4
C ．－72 D.7
2
6．若向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2且a 与b 的夹角为π
3
，则|a ＋b|＝________.
7．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝________，若(a －mb)⊥a ，则实数m ＝________. 8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．
9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C .P 若λ＝1
2
时，______．
10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围． 11．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.
(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b|.
12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．
(1)求a ·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．
第四部分：平面向量应用举例
一．基础知识自主学习 1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ??. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ??.
(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22 (θ为a 与b 的夹角)．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)． 3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
二．难点正本 疑点清源
1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
三．基础自测
1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)． 则D 点的坐标为________．
2．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
3．平面上有三个点A(－2，y)，B ? ??
??0，y 2，C(x ，y)，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________． 4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·
等于( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.532
5．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示 ( ) A ．向东南走3 2 km B ．向东北走3 2 km C ．向东南走3 3 km D ．向东北走3 3 km 四．题型分类深度剖析
题型一 向量在平面几何中的应用
例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB.求证：AD ⊥CE.
变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值． 题型二 平面向量在解析几何中的应用
例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M ，AM →＝－32
MQ →
，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的
轨迹方程．
2 已知圆C ：及点A （1,1），M 是圆上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，
2AN →
，求点N 的轨迹方程． 平面向量与三角函数
例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x)，b ＝(sin x ，sin x)，c ＝(－1,0)．
(1)若x ＝π
3
，求向量a 与c 的夹角；
(2)若x ∈??????－3π8，π4，求函数f(x)＝a ·b 的最值； (3)函数f(x)的图象可以由函数y ＝
2
2
sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？ 变式训练3 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．
(1)1，求sin ???
?α＋π4的值；(2)若＝13，且α∈(0，π)，求OB →
五．易错警示
9．忽视对直角位置的讨论致误
试题：已知平面上三点A 、B 、C (2－k,3)(2,4)．
(1) 若三点A 、B 、C k 若△ABC 为直角三角形，求k 的值．
六．思想方法感悟提高 方法与技巧
1． 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解
决某些函数问题．
2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量
的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模． 4．用向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决． 失误与防范
1CD →
并不能说明AB ∥CD. 2．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题． 七．课后练习
1．已知△ABC ()
A
C ．2．点P P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为()
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10)
3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-?-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形状是()
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则?AO BC 等于()
A.32
B.52
C ．2
D ．3 5．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于()
A.|a|2|b|2－(a ·b)2
B.|a|2|b|2＋(a ·b)2
C.12|a|2|b|2－(a ·b)2
D.1
2
|a|2|b|2＋(a ·b)2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________. 7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．
8.三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足AP ·OA →≤0，BP →·OB →
≥0，则
OP →
·AB 的最小值为________． 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1?=BA BC ，那么c ＝________.
10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC=a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →
·CQ 的值最大？并求出这个最大值．
11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．
(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··
=＝k (k ∈R)． (1)判断△ABC 的形状；(2)若c ＝2，求k 的值．
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时 专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示 高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详 细答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高中数学平面向量组卷一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度 |×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣） =（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若 ，则的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点G是△ABC的重心，若A=，=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（） A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的 直线与该图象交于D，E两点，则（） 的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）（+﹣2）=0，则 △ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比 等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D． 16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（） A．B．C．D． 17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于 （） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= （） A．2B．4C．5D．10 二．解答题（共6小题） 19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA． （1）求∠AOB的余弦值； （2）求点C的坐标． 1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点 平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a 1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件： 平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于 任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记 专题平面向量 1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M，N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切 的圆上.若=+，则+的最大值为 A．3 B．2C．D．2 2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A．B．C． D． 4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 5．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______． 6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则.高中数学平面向量doc
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