天津市高考数学卷文

2020年天津市高考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()6.设a=30.7，b=(13A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点．(Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题． 进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}， 则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}， 故选：C ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件， 故选：A ．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ， 当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ， 故选：A ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可． 【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】16；23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13， 则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23， 故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b+8a+b=a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b≥2√a+b 2⋅8a+b=4，当且仅当a+b2=8a+b，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 ；132【解析】 【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)， 解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k2k+1−22k−22k−1)=22n2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14knk=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ， 故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1， 当0<x <1，g′(x)<0， 当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， x =1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值 证明：(Ⅱ)由f(x)=x 3+klnx ，则f′(x)=3x 2+kx ， 对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2=t ，t >1，则(x 1−x 2)[f′(x 1)+f′(x 2)]−2[f(x 1)−f(x 2)]=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+kx 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)，=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x 2，=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t −2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2022年天津市高考数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,2B =-，则()U AC B =（）A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,1,2- D.{}0,1,1,2-2.“x 为整数”是“21x +为整数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要条件 D.既不充分也不必要3.函数21()x f x x-=的图像为（）ABCD4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)1213，，[)1314，，[)1415，，[)1516，，[]1617，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.8B.12C.16D.18171615141312/kPa舒张压频率/组距0.360.080.160.245.0.72a =，0.71()3b =，21log 3c =，比较a ，b ，c 的大小（）A.a c b>> B.b c a>> C.a b c>> D.c a b>>6.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.67.抛物线方程：2y =，1F 、2F 分别是双曲线方程：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，抛物线的准线过双由线的左焦点1F ，准线与渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A.22110xy -= B.22116y x -= C.2214y x -= D.2214x y -=8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.23 B.24 C.26 D.279.已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下面四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在[,]44ππ-上单调递增；③当[,]63x ππ∈-时，()f x 的取值范围为[；④()f x 的图象可由1g()sin(2)24x x π=+向左平移8π个单位长度得到.以上四个说法中，正确的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

2022-2023学年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2.“或”是“”的条件( )A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分又不必要3.函数的图象为( )A. B.C. D.4.某工厂抽取件产品测其重量单位：其中每件产品的重量范围是数据的分组依据依次为，，，，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为( )A. B. C. D.5.已知，，，则( )A. B. C. D.6.化简的值为( )A. B. C. D.7.已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为( )A. B. C. D.8.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，与平面的距离为，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.9.已知，关于该函数有下列四个说法：的最小正周期为；在上单调递增；当时，的取值范围为；的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知是虚数单位，化简的结果为．11.的展开式中的常数项为．12.若直线与圆相交所得的弦长为，则．13.张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为．14.在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．15.设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．求的值；求的值；求的值．17.本小题分直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．求证：平面；求直线与平面的正弦值；求平面与平面夹角的余弦值．18.本小题分设是等差数列，是等比数列，且．求与的通项公式；设的前项和为，求证：；求．19.本小题分椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．求椭圆的离心率；直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．20.本小题分已知，，函数，．求函数在处的切线方程；若和有公共点，当时，求的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的并集和补集的混合运算．求出与的并集，在求补集即可．【解答】解：集合，，，全集，．故选A．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，是一道基础题，结合充分必要条件的定义进行判断，从而得到结论．【解答】解：或不能推出，例如，；能推出或，故“或”是“”的必要不充分条件．故选A．3.【答案】【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于较易题．根据函数的奇偶性和区间内函数值的正负，即可判断．【解答】解：函数的定义域为，，该函数为奇函数，故A错误；当时，，故C错误；当时，，且，当增大时，的值也越来越大，故B错误，故D正确．故本题选D．4.【答案】【解析】【分析】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由频率分布直方图得重量在内的频率为由此能求出重量在内的产品件数．【解答】解：由频率分布直方图得：重量在内的频率为：．所以重量在内的产品件数为．故选：．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值的大小，属于较易题．根据指数函数和对数函数的图象与性质，可判断．【解答】解：是定义在上的单调递增函数，，即，是定义在上的单调递减函数，，即，是定义在上的单调递增函数，，即，所以．故本题选C．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数的换底公式的应用，以及对数式的化简，属于较易题．利用对数的换底公式计算即可．【解答】解：．故选B．7.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，抛物线的焦点、准线，以及双曲线的渐近线，属于较易题．先由抛物线方程得出准线方程，从而得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，，双曲线的渐近线方程为，设直线与直线相交于点，则，解得，又，，，，，又，，，，双曲线的标准方程为．故选C．8.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体的体积的求法，是中档题．取中点，中点，连结、、，该多面体的体积，由此能求出结果．【解答】解：取中点，中点，连结、、，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且点到平面的距离为，该多面体的体积：．故选D．9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题．由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．【解答】解：，最小正周期为，故错误；当时，，函数在上单调递增，故正确；当时，，的取值范围为，故错误；函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故错误．故选A．10.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的除法运算，属于较易题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：，故答案为．11.【答案】【解析】【分析】本题考查二项展开式及其通项，属于较易题．先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求只要使得变量的指数等于，求出的值，代入系数即可求出结果．【解答】解：的展开式的通项是要求展开式中的常数项只要使得，即常数项是．故答案为．12.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离公式，属于较易题．先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．【解答】解：由题知，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得或舍．故答案为．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率的乘法公式，以及条件概率公式，属于中档题．由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．【解答】解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，则，，．故答案为；．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的夹角，由基本不等式求最值，以及向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．由题意，利用两个向量加减法及其几何意义即可求，利用两个向量的数量积公式，以及基本不等式，可求出的最小值，即可得的最大值．【解答】解：中，，，是中点，，如图，，又，，即，，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故C的最大值为，即的最大值为．故答案为；．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点、方程的根的个数，属于较难题．设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．【解答】解：设，，当时，，又函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，，解得或，当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不符合题意，故舍，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，无解，故舍去，当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，符合题意，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，即，综上所述，实数的取值范围是．故答案为．16.【答案】解因为，，，由余弦定理可得，解得；因为，，所以，因为，所以，由正弦定理可得，即，可得，所以；因为，，所以，，因为，可得，所以，所以的值为．【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．由余弦定理及题中条件可得边的值；由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；求出及的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．17.【答案】解：证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点，，，又平面，平面，平面，同理可得，平面，又，平面平面，平面，在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又，为中点，为中点，为中点．故B，，，，，则，，，设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，所以，设直线与平面的夹角为，则，，则，，设平面的法向量为，则有，，即，令，则，，故，设平面与平面的夹角为，所以．【解析】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．利用中位线可证，建立空间直角坐标系设是平面的法向量，平面的法向量为，可解．18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，；证明：由知，等比数列的公比为，，，为数列的前项和，，；，，设．则，，，得：，，．【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，错位相减法求和，以及数列中前项和与第项的关系，属于较难题．设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出数列与的通项公式；由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系即可证明；先求出，利用并项求和，结合错位相减法即可求出结果．19.【答案】解：，，，，，；由可知椭圆为，即，设直线：，联立，消去得：，又直线与椭圆只有一个公共点，，，，，又，，解得，则，又的面积为，，解得，又，，，椭圆的标准方程为．【解析】本题考查求椭圆的离心率，椭圆中三角形的面积，以及椭圆的标准方程，属于较难题．根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值；先由将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．20.【答案】解：，，，，函数在处的切线方程为；，，又和有公共点，方程有解，即有解，且，在上有解，设，，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，的取值范围为．【解析】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，利用导数解不等式，以及利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题．利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；将和有公共点转化为在上有解，构造函数，，接着利用导数求出的值域，从而得的取值范围．。

2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。

B。

C。

D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。

20 B。

40 C。

64 D。

805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。

-1 B.lg7 C。

1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。