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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 （ ）A.3B.4C.5D.6 【测量目标】集合的含义.【考查方式】给出两个集合，利用集合中元素的互异性求个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】因为集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，M={}|x x a b a A b B =+∈∈，，， 所以a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ． 2．()31+3i= （ ）A.8-B.8C.8i -D.8i 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的幂运算，利用复数的乘法运算求值. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】()()()()()3221+3i1+3i 1+3i 1+3i 2+23i 26i8==-=-+=-.3．已知向量()()1,1,2,2λλ=+=+m n ，若()()+⊥-m n m n ，则=λ （ ） A.4- B.3- C.2- D.1- 【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标运算，再根据向量的垂直的性质求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】∵()1,1λ=+m ， ()2,2λ=+n ． ∴()23,3λ+=+m n ，()1,1-=--m n ．（步骤1） ∵()()+⊥-m n m n ， ∴()()+- m n m n =0，∴()2330λ-+-=，解得λ=−3．（步骤2）4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为 （ ）A.()1,1-B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.()1,0- D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数的定义域求复合函数的定义域. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵原函数的定义域为()1,0-，∴1-＜2x +1＜0，解得1-＜x ＜12-． ∴则函数()21f x -的定义域为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选B ． 5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数，函数的值域.【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由21log 1y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1) 把x 和y 互换，即得()11.21xf x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21x fx x -=>-(步骤3) 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （ ） A.()10613--- B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3- 【测量目标】等比数列的定义，等比数列前n 项和.【考查方式】给出关于数列的等式，利用等比数列的定义判断数列，进而求数列前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤2) 7．()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 （ ）A.56B.84C.112D.168 【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为()81x +的展开式中2x 的系数为28C ，()41y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284C C 168=.故选D.8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【测量目标】斜率公式，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】给出椭圆及斜率范围，利用斜率公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +，2002PA y k x =-，1002PA y k x =+， 于是122200222003334244PA PA x y k k x x -===--- .故12314PA PA k k ＝－.（步骤1） ∵[]22,1PA k ∈--，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B. （步骤2）9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （ ）A.[-1,0]B.[1,)-+∞C.[0,3]D.[3,)+∞【测量目标】利用导数判断函数的单调性，不等式恒成立问题. 【考查方式】结合导数解决不等式恒成立问题，求未知量. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由条件知()f x '＝2x ＋a －21x …0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x -…在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a …3.故选D. 10．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于 （ ） A.23C.3D.13 【测量目标】线面角，线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】如图，连结AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3）连结DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与平面1BDC 所成的角.（步骤4） 设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5）11．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = （ ）A.12B.2D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+= 所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)12．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是 （ ）A.()y f x =的图象关于()π,0中心对称B.()y f x =的图象关于直线π2x =对称C.()f x 的最大值为2D.()f x 既奇函数，又是周期函数 【测量目标】三角函数的周期性、最值，对称性.【考查方式】利用三角函数的性质判断周期性、对称性，结合导数的应用判断最值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】A 项，因为(2π)cos(2π)sin(4π2)cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x x x f x -=--=--=-=-()f x 的图象关于点(,0)π中心对称，故正确.（步骤1）B 项，因为(π)cos(π)sin(2π2)cos sin 2(),f x x x x x f x -=--==所以()y f x =的图象关于直线2x π=对称，故正确，(步骤2)C 项，由题意知()()22=2cos sin 21sin sin f x x x x x =-. 令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()()232122g t t t t t=-=-.（步骤3）令()2260g t t '=-=，得=3t ±.当1t =±时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴()max g t = 9，即()f x 的最大值为9.故选C.（步骤4）D 项，由()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-知其为奇函数，综合选项A 、B 知()f x 为周期函数，故正确.(步骤5)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系，反三角函数. 【考查方式】给出角的范围及正弦值求余切值. 【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意知cos 3α==-.故cos cot sin ααα=14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）.【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用插空法解决排列组合中不相邻问题. 【难易程度】容易【参考答案】480【试题解析】先把排除甲、乙外的4人全排列，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480= (种)．15．记不等式组0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 .【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】结合图象利用线性规划的相关知识求未知数范围. 【难易程度】中等 【参考答案】12…a … 4 【试题解析】作出题中不等式组表示的可行域如下图中阴影部分所示．∵直线()1y a x =+过定点P (－1,0)，由图并结合题意可知12AP k =，4BP k =， ∴要使直线()1y a x =+与平面区域D 有公共点， 则12…a …4.16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式.【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【难易程度】较难【参考答案】16π【试题解析】如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM 由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.RMO ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM ==(步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式.【测量目标】等差数列的通项及性质，等比数列的性质.【考查方式】给出数列及部分条件，利用等差中项及等比中项的性质求值. 【难易程度】中等【试题解析】设{}n a 的公差为d ,由232S a =得2223a a =，故2a ＝0或2a ＝3.（步骤1） 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =.又1222,2S a d S a d =-=-，4242S a d =+， 故()()()2222242a d a d a d -=-+．（步骤2）若2a ＝0，则222d d =- ，所以0d =，此时0n S =，不合题意；若2a ＝3，则()26d -＝(3－d )(12＋2d )，解得0d =或2d =. 因此{}n a 的通项公式为3n a =或21n a n =-.（步骤3）18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B ;（II ）若sin sin A C =C . 【测量目标】余弦定理，两角和与差的余弦.【考查方式】已知三角形及部分条件，利用余弦定理，两角和与差的余弦公式求值. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a c b B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（Ⅱ）由（Ⅰ）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()1cos 2sin sin 22A C A C =++=+=(步骤3) 故30A C -= 或30,A C -=-因此15C = 或45.C = (步骤4) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==，△与PAD △都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角A PD C --的大小.【测量目标】平行于垂直关系的综合问题，二面角，空间直角坐标系，空间向量及其运算.【考查方式】（1）借助线线、线面垂直证线线垂直.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段求解；也可借助空间坐标的运算求值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABED 为正方形.过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,OA OB OD ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥又,,OE OP BD OP O ⊥= 所以OE ⊥平面PDB ,从而.PB OE ⊥(步骤2) 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解法一：（图1）由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .（步骤4）连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．（步骤5） 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则CD =AE ＝22EG ＝12PB ＝1， 故AG 22AE EG + 3.（步骤6）在△AFG 中，FG ＝122CD =3AF =，AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝222623FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为6πarccos 3-（步骤7）解法二：(图2)由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设|AB|＝2，则A (2-0，0)，D (0，2-0)，C (222-0)，P (0， 02． PC ＝(222-2-，PD＝(0，2-2-． AP ＝202，AD＝(22-，0)．（步骤8）设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1PC＝(x ，y ，z ) (222-2-＝0， n 1PD＝(x ，y ，z ) (0，2-2-＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．（步骤9）设平面P AD 的法向量为n＝(m ，p，q )，则n 2AP＝(m ，p ，q ) 0＝0，n 2 AD＝(m ，p ，q )0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n2＝(1,1，－1)．（步骤10） 于是cos〈n 1，n 2〉＝1212||||= n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π-（步骤11）20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判. （I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.【测量目标】相互独立事件的概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】利用相互独立事件的概率公式求概率,进而求离散型随机变量的分布列. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12.A A A =()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．(步骤2)则P (X ＝0)=()()()()123123P B B A P B P B P A = ＝18，P (X ＝2)＝()()()1313P B B P B P B == 14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0 P (X ＝0)＋1 P (X ＝1)＋2 P (X ＝2)＝98.（步骤3）21．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为3，直线2y =与C（I ）求,a b ;（II ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的标准方程及简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，直接证明.【考查方式】利用直线与双曲线的位置关系及双曲线简单几何性质求双曲线方程，联立方程利用韦达定理求解线段，证明线段是否满足等比中项的性质. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3) （Ⅱ）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=① (步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.kx k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ===-+123 1.BF x ===+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===-故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10) ()221212=39116,AF BF x x x x +--=因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11). 22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若0x …时，()0f x …，求λ的最小值； （II ）设数列的{}n a 通项1111,23n a n =+++⋅⋅⋅+证明：21ln 2.4n n a a n-+> 【测量目标】利用导数求函数的最值，解决不等式问题【考查方式】结合导数的应用求参数范围，利用放缩法求和，证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)解：由已知f (0)＝0，()f x '＝22121x x x λλ(-)-(+)，()0f '＝0.（步骤1） 若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，()f x '＞0，所以f (x )＞0， 若12λ…，则当x ＞0时，()f x '＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12.（步骤2） (Ⅱ)证明：令12λ=，（步骤3） 由(Ⅰ)知，当x ＞0时，f (x )＜0，即2ln(1)22x x x x(+)>++．（步骤4） 取1x k =，则211>ln 21k k k k k++(+). 于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>.（步骤5）。
2013年全国高考理科数学分类汇编一、集合与简易逻辑辽宁2013（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 辽宁2013（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p江西2013.1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i全国1.1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B全国2.1.已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ） A {}2,1,0 B {}2,1,0,1- C {}3,2,0,1- D {}3,2,1,0北京2013.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}四川1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅重庆（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B =ð（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4}天津卷(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]2013安微（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6山东（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9重庆（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <2013广东1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}北京2013.3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件四川4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈2013广东8.设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（ ）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-， 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分） 已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。
2013~2016新课标I理科数学
考点分布及考点分析
一．考点分布
二．考点分析
①常考考点：二次不等式、集合；复数运算；程序框图；计数原理的应用；平面向量基本运
算；线性规划；数列的基本运算；和差角倍角公式的应用；解三角形；导数的
简单应用（如切线问题与构造法解不等式）与综合应用；椭圆背景下的综合应
用；双曲线的几何性质；抛物线的定义；函数的图像与性质（特别是奇偶性与
对称性）；三角函数的图像（图像变换）与性质（特别是奇偶性与对称性、最
值）；解三角形；三种方程的互化及其应用等．
②轮换考点：概率（互斥事件、独立事件、古典概型、几何概型、）与统计（直方图、条形
图、正态分布、回归分析、分布列与期望）问题；平行与垂直；二面角、线面
角及异面直线所成的角；圆与球；第17题大题：解三角形与数列；绝对值不
等式与基本不等式等．
③不常考但必须掌握的考点：逻辑推理；折叠问题；截面问题；茎叶图；条件概率；随即模
拟拟；独立性检验；抽象函数的性质；各种应用性问题等．
④创新问题：数学史；概率与统计；空间想象能力的考查；导数的简单应用，三角函数的性
质与解三角形；函数的对称性应用等．
⑤改变传统：向量问题；空间想象能力及几何法推理的考查；动手作图能力；概率与统计问
题；数学史；函数的性质；计数原理；文字题的推理；轨迹问题；数列的解答
题；解三角形；树立对平面解析几何的信心；积累函数与导数综合问题的解题
技巧等．
⑥对小题中的11,12,16题，尽量回避直接法求解，一般均可以用间接法求解，考查学生的
反应速度和处理问题的应变能力也是高考考查的一方面．
⑦所谓的难题必然与数学思想相融合，分析问题时注意从数学思想方面切入．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数 球的面积公式 24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数i i++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．12.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x x M ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C.∅ D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．48.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是 A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．第14题图（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F 为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.AB CDEF20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分） 已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） B D B A D B B D B C C B填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+ 由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ． (12)分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． ABCDEF G20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y ……………………………………9分当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． (4)分解得：2,2-==b a ∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立 化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ， 将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622kkk x +-=+② …………………………………………12分- 11 - / 11 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
2013年高考数学（理）真题分类解析汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数（ ）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B7 ．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数（ ） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C8 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A9．（2013年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80C ．40D ．-40【答案】C二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答【答案】1011．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答) 【答案】48012．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59013．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1514．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.【答案】10-15．（2013年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a =-16．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9617．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】2118．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】48019 ．2013年上海市春季高考数学试卷.10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C 二、填空题1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】48362．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】103．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】454．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96。
2016年高考数学理试题分类汇编立体几何 一、选择题1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16B.13C.12D.1 【答案】A2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1 【答案】C3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD=m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B二、填空题1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】24、（2016年全国II 高考） ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.[ （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】72326、（2016年浙江高考）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12三、解答题1、（2016年北京高考）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，PA PD⊥，=，AB AD==AD=，AC CDAB=，21（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【解】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB⊥PD 又PD ⊥PA∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>==⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-Oxyz PABC D∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅= 即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AMAP=时，M 点即为所求.2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF=FB=12AC=AB=BC.求二面角F BC A --的余弦值.【解】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,， 因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC又因为MH//B C ，⊂BC 平面ABC ，⊄MH 平面ABC ，所以MH//平面ABC ；所以平面GHM//平面ABC ，由⊂GH 平面GHM ，所以GH//平面(Ⅱ) 连结OB ，B C AB = OB A ⊥∴O以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x, B建立空间直角坐标系．BC AB ,32AC 21FB EF ==== ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,， 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ， 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ， 设二面角A -BC -F 为θ，则7771cos ===θ． 二面角A -BC -F 的余弦值为77．3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
2013高考数学必考知识点2013高考数学必考知识点在众多的重点题型里，有50分以上的分值都分布在以下几个内容里，且这些内容应该是不论高、中、低端考生都不能也不容易做错的。
其主要内容有：平面向量、三角函数、立体几何。
(1)关于“平面向量”向量的内容多而杂，但可归为6个方面12个知识点。
即：向量的计算——加、减、乘(数乘、点乘);向量的应用——向量的特征(模、辐角)、平行、三垂直。
每个方面都有向量行式和坐标行式两种，因此共有12个知识点。
平面向量本是高等数学的一个基础内容，就历年出题的难度来看，难度并不大，因此提醒毕业生们：做此类题时，一定要把向量语言翻译成普通语言去解决。
之前讲的6个方面、12个知识点，即是一种最根本的翻译方法。
(2)关于“立体几何”在考试时遇到立体几何，考生们一定要马上想到“三垂线定理”。
三垂线正逆定理实际上是共面异面垂直的互相转化，“三垂线定理的应用，最能体现立体几何的学科特点。
”对此类题的归纳是：“大半证明，小半算，证明要用三垂线。
”以往很多考生遇到立体几何题就开始埋头苦算，即使算对，得分也并不高。
“数学打分是按步骤来的。
很多考生忽视证明，违背了出题者的意图。
此类题得分的关键是证明和推导，跳跃了证明的步骤，当然会被扣分。
”(3)关于“三角函数”谈到三角函数，下面是一道必考题。
例题：已知函数①当a=1时，求f(x)的单调递减区间。
②当a 三角函数出现2次方，难度系数加大了。
想化难为简，考生们则要选择“降幂升角”公式：把该方程式化为一次式方程。
然后再用划为同角同幂去研究，最后再画图示意，问题迎刃而解。
最后冲刺不要多做题最后几个月的复习，是研究细致、夯实基础的精细型复习。
建议大家，在最后一两个月的时间里，除了完成老师布置的试卷外，别再做更多更难更怪的题了。
“每周做3套回归型训练加2套综合模拟高考训练完全够了，一定要给自己减压!”现在做回归型即基础为主的训练题，主要是让大家找到自信，因为这些题以测试基础的解题思路、技巧为主，做完下来考生心理容易放松。
1、（2016全国I 卷14题）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10 【解析】试题分析：5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r rr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理2、（2015全国I 卷10题）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 （A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60【答案】C 【解析】试题分析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C. 考点：排列组合；二项式定理3、（2014全国I 卷13题）8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)【答案】：-20【解析】：8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y -=-，故系数为-20。
4、（2013全国I 卷9题）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a =2mm C ，b =121m m C ++，∴132mm C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.5、（2016全国II 卷5题）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．6、（2015全国II 卷15题）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 7、（2014全国II 卷13题）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)【答案】 21【KS5U 解析】.21.21,15a ∴15x a x 3310737310====a a C C 故8、（2013全国II 卷5题）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-19、（2013全国III 卷12题）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个 （B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：。
1、（2016全国I 卷12题）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质2、（2016全国I 卷17题）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3、（2015全国I 卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式4、（2015全国I 卷8题） 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)(C)(D)【答案】D 【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质5、（2015全国I 卷16题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BEAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=-所以AB.考点：正余弦定理；数形结合思想 6. （2014全国I 卷8题）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B7、（2014全国I 卷16题）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤8、（2013全国I 卷15题）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5(sin )55x x -令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+， 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-.9、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74，∴PA=2； （Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，o o sin sin150sin(30)αα=-4sin αα=，∴tan α=4，∴tan PBA ∠=4. 10、（2016全国II 卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈， 故选B ．11、（2016全国II 卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．12、（2016全国II 卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 13、（2015全国II 卷17题）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
近六年(2013-2018)新课标I卷全国高考文理科数学考点分布统计表以下是2013-2018年新课标I卷高考理科数学考点分布统计表。
2013-2014年：一元二次不等式、集合运算复数平方、除法、乘法运算奇函数、偶函数分层抽样及其绝对值乘积的奇偶圆锥曲线：双曲线、离心率，双曲线焦点到渐近线的距离2015-2016年：集合运算：不等式、集合间关系复数运算：分式、除法、模三角函数（诱导公式、正弦和角公式逆用）特称命题的否定独立重复试验；互斥事件和概率公式向量数量积；求不等式集合的交集2017-2018年：集合的运算（交集、并集）、不等与集合、补集等差数列及其运算、扇形统计图数列、等差数列、程序框图：运算、范围立体几何：球体、三视图还原立体图、实际应用题、圆锥体积平面向量的几何运算、由三角函数图像求单调递减区间程序框图、二项式定理展开式的系数、双曲线的性质函数的奇偶性和单调性、函数、切线方程、嵌入正方体体积计算向量的运算、数列：等差数列、程序框图、三视图长方体函数图像的识别、空间几何体求表、利用了导数、指数函数与对数函数的性质、程序框图与算法案例抛物线的性质、平面的截面问题、三视图、最短路径问题、抛线线、点斜式、向量、分段函数与零点、求参数范围、概率、几何概型圆柱组合，体积计算、导数应用：求切线、程序框图、二项式：系数、求参数的值、圆锥曲线：椭圆、韦达定理、抛物线焦点三角形、三角函数平移问题、抛物线与过焦点弦长问题、函数性质：数形结合、异面直线所成的角、三视图、球、圆柱的表面积、面面平行的性质定理，异面直线所成的角、指数与函数结合、双曲线、求弦长、导数的综合应用、向量运算：求参数、数列：与函数极值用、零点、取值范围、偶函数，求参数、椭圆的顶点、圆的标准方程、线性规划、斜率、三角函数的性质（零点、单调）、向量的数量积及坐标运算。
不等式解法、分段函数和一元二次不等式解法是数学中常见的问题。
证明不等式也是一个重要的数学技能。
1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。
2．函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
③了解简单的分段函数，并能简单应用。
④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。
（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。
（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。
③了解指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a >0，a ≠1）。
（4）幂函数①了解幂函数的概念。
②结合函数21321x y xy x y x y x y =====，，，，的图象，了解它们的变化情况。
（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2013高考数学（理科）知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U UUUUUA B A B A B A B Y I I Y ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa Y5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
考点22 数列的概念与简单表示法1.（2013·湖南高考文科·Ｔ15）。
对于E={a 1，a 2，…。
a 100｝的子集X=｛k i i i a a a ,,21}，定义X 的“特征数列”为x 1,x 2…，x 100，其中121===k i i i x x x 。
其余项均为0，例如子集｛a 2,a 3｝的 “特征数列”为0，1,1，0，0，…,0（1)子集｛a 1，a 3，a 5｝的“特征数列"的前3项和等于________________；（2）若E 的子集P 的“特征数列”P 1，P 2，…，P 100 满足11=p ，P 1+P i+1=1， 1≤i ≤99;E 的子集Q 的“特征数列" q 1，q 2，q 100 满足q 1=1,q 1+q j+1+q j+2=1，1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为___________.【解题指南】（1）读懂“特征数列”的定义是关键（2）利用p 1=1，p i +p i+1=1，1≤i ≤99和q 1=1，q j +q j+1+q j+2=1，1≤j ≤98,列举出子集P 、子集Q 的“特征数列”至少10项，以便找出两者中均是“1”的项,因为该项是两个集合的公共元素.【解析】(1)子集｛a 1，a 3,a 5}的“特征数列”的前三项是1,0，1，故和为2.（2）根据题设条件，子集P 的“特征数列"是1,0，1，0,1，0,1,0,1,0,1，0，1，…子集Q 的“特征数列”是1，0,0,1,0，0，1,0，0，1,0,0，1,… 发现p 1=q 1,p 7=q 7，…p 6i-5=q 6i-5于是令6n —5=97,得n=17，所以P ∩Q 的元素个数为17.【答案】（1)2；(2）17。
