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角平分线的专题复习课件

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角平分线课件

角平分线课件
DE⊥AB，∠1=∠2，且
AC=6cm，那么线段BE是∠ABC
的 角平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON，
垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的
一个动点,则线段 PQ的最小值（B）
A．1 B.2 C.3 D.4
O
M Q
P
A
N
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， E
活动一：探究角的轴对称性
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直 线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺 平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
B
A
D
C
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线
是它的对称轴.
（二）探究新知
活动二：探索角平分线的第一个性质
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
M
B
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
A
D P
符号语言：
∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC
∴PM=PN
N C
作用：判断线段相等的依据.
测试一: 判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE
请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角
平分线上任意取一点 P，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，
垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，
你有什么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N

微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破

微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
பைடு நூலகம்
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =

角平分线课件

角平分线课件

角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法

《角的平分线的性质》PPT优质课件

《角的平分线的性质》PPT优质课件

E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，

角平分线的性质教学课件

角平分线的性质教学课件
解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。

角平分线性质定理及逆定理课件

角平分线性质定理及逆定理课件

在三角形性质研究中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理研究三角形中的角平分线与中线、高线之间的关系，或者利用逆定理证明三角形中的角 平分线与边的关系。
在实际问题中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理解决土地划分、道路规划 等实际问题，或者利用逆定理解决建筑结构、机械设计等实 际问题。
PART 05
习题与解答
REPORTING
WENKU DESIGN
习题部分
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的角 平分线，AD交边BC于D，E、F
分别是AB、AC上的点，且 ∠DEF=∠BAD。求证：DE=DF。
题目2
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且BD=CD。求证： AB=AC。
题目3
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且AB=AC，AD=CD。求
逆定理的证明
证明方法一
利用相似三角形的性质，通过相 似三角形的边长比例关系证明。
证明方法二
利用余弦定理，通过余弦值之比 等于边长之比的平方证明。
逆定理的应用
01
02
03
应用一
在几何证明中，可以利用 角平分线逆定理来证明一 些与角平分线相关的几何 性质。
应用二
在三角形中，可以利用角 平分线逆定理来找到角的 平分线，进而确定其他边 的长度或角度。
如果一条射线上的点到角的两边距离相等，那么该射线就是 该角的角平分线。
PART 02
角平分线逆定理
REPORTING
WENKU DESIGN
逆定理的表述
• 角平分线逆定理：在三角形中，如果一条角的平分线与另两边 相交，则与平分线相对的两边之比等于这两边所夹的角平分线 形成的两个小三角形非夹角之比。

《角的平分线的性质》PPT课件

《角的平分线的性质》PPT课件

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
-
C 19
再见
-
20
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
-
17
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，
AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3
㎝，求BE的长。
-
18
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
-
4
活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作
一个角的平分线？（不用角平分仪或
量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
-
5
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
-
7
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
-
8
活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE

《角平分线》PPT教学课件

《角平分线》PPT教学课件
求证：PD=PE.
你能用什么方法说明你 的结论是正确的？
A
D C
P
O
E
B
知识讲解
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，
PD与PE重合，因此PD=PE.
知识讲解
方法三：
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
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语文课件： . /kejian/yuwen/ 数学课件： . /kejian/shuxue/
英语课件： . /kejian/yingyu/ 美术课件： . /kejian/meishu/
A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
Байду номын сангаас
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，
FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. ∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？

角平分线课件PPT

角平分线课件PPT

生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用

角平分线的性质1PPT演示课件

角平分线的性质1PPT演示课件
方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

八年级数学《角平分线的定义及性质》课件

八年级数学《角平分线的定义及性质》课件
图1
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm， 则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

专题教材-第2讲：角平分线专题-讲义

专题教材-第2讲：角平分线专题-讲义

角平分线专题1、掌握角平分线的定义、性质及判定定理；2、掌握与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型；3、掌握角平分线的常见倒角模型及相关结论。

1、角平分线的四大基本模型；2、角平分线的常见倒角模型及相关结论。

角平分线（1）定义：从一个顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线。

（2）角平分线的性质定理：1如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。

2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

注意：1在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

2角是以其平分线为对称轴的轴对称图形。

（3）角平分线的判定定理：1在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把这个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线。

2在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

（4）三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。

类型一：角平分线倒角模型例1.如图所示，把一副三角板（30°，60°，90°和45°，45°，90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于点F，斜边AB交x轴于点G，O是AC的中点，AC＝8.（1）把图（1）中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α（0°≤α＜90°）得图（2）。

此时△AGH 的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F，H，B三点的坐标。

（2）如图（3），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N＋∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值.练习1.如图所示，已知点A是y轴上一动点，B是x轴上一动点，点C在线段OB上，连接AC，AC正好是∠OAB的角平分线，∠ABD＝∠DBx.问动点A，B在运动的过程中，AC与BD 所在直线得夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值.练习2.探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图（1），∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠EDC的数量关系.探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（2），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（3），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF，如图（4），请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系.本题考查三角形内角和定理，坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积。

人教版初中数学八年级上册《角的平分线复习课》

人教版初中数学八年级上册《角的平分线复习课》

练习2. 如图，BP、CP分别是ABC的外角 ∠CBD、∠BCE的平分线． 求证：P点在∠BAC的平分线上．
思考题：如图，∠AOB=90°，OM是 ∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C和D，证明：PC=PD．
作业：
导学案：课后小测
角的平分线复习课
一、梳理：知识点（一）
尺规作图 ： 作角的平分线
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交Ｏ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求．
A Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
知识点（二）
1.角的平分线的性质：
O D
E P
A
C
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
易错纠正2：
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（×）
B A C D
易错纠正3：
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，
（×）
A
B C
D
三、拓展提高：由角的平分线想到的辅助线
【例1】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证： ∠PCB+∠BAP=180°
练习1.
如图，在四边形ABCD中，BC＞BA， AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠BAD+∠BCD=180°．
【例2】如图所示，在△ABC中，已知
∠ABC和△ABC的外角∠ACD的 平分线相交于点P． 求证：点P到AB、AC的距离相等．
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2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE∥AB,则△CDE的 周长为(14)
8
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现 （1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
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关于角平分线的模型构造
2
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
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角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
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◆ 角平分线 ◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发，
把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A
C O
B
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复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 ? AOB 的平分线
PD ? OA PE ? OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
E B
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变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为 _5_0_°.
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
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D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36 °
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
72°
108° 72°
E
36°
C
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模型总 结
EA
A
EA
EA
E
P
P
P
（1）
（2）
（3）
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四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA ，连接DE
∵ BD是∠ABC 的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD 为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
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二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（4）
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现
（3）角平分线加垂线，三线合一等腰现
（4）截长补短在角边，对称以后关系现
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例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
∵ PD ? OA PE ? OB PD = PE
\ OP 是 ? AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
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一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
畅所欲言谈收获……
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