专题训练(四) 线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法

第1题图
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法►类型之一线段垂直平分线的辅助线作法1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，则∠B的度数是()A．45°B．60°C．50°D．55°图4－ZT－12．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数．图4－ZT－34．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．图4－ZT－4►类型之二角平分线的辅助线作法5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC ＝8 cm，则点D到AB的距离是()A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm图4－ZT－56．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD 于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于()A．10 B．7 C．5 D．4图4－ZT－6►类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角形是等边三角形)．图4－ZT－7详解详析1．[解析] C 如图，连接AC .因为MN 垂直平分AE ，所以AC ＝CE ，所以∠E ＝∠EAC .因为AB ＋BC ＝BE ，BC ＋CE ＝BE ，所以AB ＝CE ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ＝2∠E .因为∠B ＋∠E ＋105°＝180°，所以∠B ＋12∠B ＋105°＝180°，解得∠B ＝50°.故选C.2．[答案] 7[解析] 因为点D 在BC 的垂直平分线上，所以BD ＝CD ，所以△ACD 的周长＝AD ＋CD ＋AC ＝AD ＋BD ＋AC ＝AB ＋AC ＝7.3．解：如图，连接OA . 因为∠BAC ＝84°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝96°.因为l 1，l 2分别是AB ，AC 的垂直平分线， 所以OA ＝OB ，OA ＝OC ，所以OB ＝OC ，∠OBA ＝∠OAB ，∠OCA ＝∠OAC ， 所以∠OBA ＋∠OCA ＝∠BAC ＝84°， 所以∠OBC ＋∠OCB ＝12°， 所以∠OBC ＝6°.4．解：连接BE ，因为△ABC 是等腰三角形，所以∠ABC ＝∠C ＝180°－∠A 2①.因为DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AE ＝BE ， 所以∠A ＝∠ABE .因为CE 的垂直平分线正好经过点B ，与AC 交于点F ，可知△BCE 是等腰三角形， 所以BF 是∠EBC 的平分线，所以12(∠ABC －∠A )＋∠C ＝90°，即12(∠C －∠A )＋∠C ＝90°②，把①代入②解得∠C ＝72°， 所以∠A ＝36°.5．[解析] B 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .因为AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，所以DE ＝CD ＝8 cm ，即点D 到AB 的距离是8 cm.故选B.6．[解析] C如图，作EF⊥BC于点F，因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，EF⊥BC，所以EF＝DE＝2，所以S△BCE＝12BC·EF＝12×5×2＝5.故选C.7．解：如图，连接OE，OF.在等边三角形ABC中，因为∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，OE＝BE，OF＝FC，所以∠BOE＝∠COF＝30°，所以∠BEO＝∠CFO＝120°，所以∠OEF＝∠OFE＝60°，所以△OEF是等边三角形，所以OE＝OF＝EF，所以BE＝EF＝FC.。

线段的垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ， 交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cmC ．10cmD ．12cm练习：1、 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3、 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

图2EECBA例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

练习：1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

课堂练习：1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ）A.CD 垂直平分ADB.AB 垂直平分CDC.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm5.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.6. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.例1、 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ， P 为∠A 内一点，PB=PC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法►方法一直接根据相关性质定理解题1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．图4－ZT－1►方法二连线构造全等三角形2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.图4－ZT－3►方法三作垂线段得距离4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC.图4－ZT－45．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．图4－ZT－56.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G.(1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；(2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．图4－ZT－67．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB.求证：(1)P为AB的中点；(2)DC＝AD＋BC.图4－ZT－78．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC；(2)∠CAE＋∠BEC＝90°.图4－ZT －8► 方法四 作线段的延长线构造全等三角形9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD.图4－ZT －9详解详析1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ，∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，即AC 垂直平分BD ，同理可证得BD 垂直平分AC.∴AC 与BD 互相垂直平分．2．证明：连接AD.在△ABD 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°.证明：在AB 边上取中点E ，连接DE.因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB.因为AB ＝2AC ，所以AE ＝12AB ＝AC. 在△ADE 和△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠DAE ＝∠DAC ，AD ＝AD ，所以△ADE ≌△ADC ， 所以∠ACD ＝∠AED ＝90°，所以CD ⊥CA.4．[解析] 根据题意可知AD 是∠BAC 的平分线，可过点D 作∠BAC 两边的垂线段，根据角平分线的性质，并结合三角形的面积进行证明．证明：如图，分别过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.因为AD 为∠BAC 的平分线，所以DE ＝DF.又因为AD 平分BC ，所以BD ＝CD ，所以S △ABD ＝S △ACD .又S △ABD ＝12AB ·DE ，S △ACD ＝12AC ·DF ， 所以AB·DE ＝AC·DF ，所以AB ＝AC.5．[解析] 连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F ，则OE ＝OF ＝OM.由S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC 可求OE 的长．解：如图，连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F.∵BO 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OF ＝OE.同理OE ＝OM.∴OF ＝OE ＝OM.∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ，∴12AB ·OF ＋12BC ·OE ＋12AC ·OM ＝6， ∴12OE ·(BC ＋AB ＋AC)＝6. 又∵△ABC 的周长为12，即BC ＋AB ＋AC ＝12，∴OE ＝1.6．解：(1)DE ＝DF.理由：过点D 作DN ⊥AC 于点N.∵DG ⊥AB 于点G ，∴∠EGD ＝∠FND ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DG ＝DN(角平分线的性质)．∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°.∵∠AED ＋∠DEG ＝180°，∴∠DEG ＝∠NFD.在△EGD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠GED ＝∠DFN ，∠DGE ＝∠DNF ，DG ＝DN ，∴△EGD ≌△FND(AAS)，∴DE ＝DF.(2)由已知易证△ADG ≌△ADN.由(1)知△EGD ≌△FND ，∴S △ADG ＝S △ADN ，S △EGD ＝S △FND ，∴S △ADE ＋S △EGD ＝S △ADF －S △EGD ，即39＋S △EGD ＝50－S △EGD ，∴S △EGD ＝5.5.7．证明：(1)如图，过点P 作PE ⊥DC 于点E.∵DP 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，PE ⊥DC ，∴PA ＝PE.同理PB ＝PE.∴PA ＝PB ，∴P 为AB 的中点．(2)在△ADP 与△EDP 中，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP.又∵∠PAD ＝∠PED ＝90°，DP ＝DP ，∴△ADP ≌△EDP ，∴AD ＝ED.同理BC ＝EC.∵DC ＝DE ＋EC ，∴DC ＝AD ＋BC.8．证明：(1)∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝12(∠BAC ＋∠ABC)． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC. ∴∠ECD ＝∠BEC ＋∠EBC ＝∠BEC ＋12∠ABC ， ∴∠BEC ＋12∠ABC ＝12(∠BAC ＋∠ABC)， ∴∠BEC ＝12∠BAC ，即∠BAC ＝2∠BEC. (2)过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥BA 支BH 的延长线于点N ，EG ⊥AC 于点G. ∵CE 平分∠ACD ，EM ⊥BD ，EG ⊥AC ，∴EG ＝EM.∵BE 平分∠ABC ，EM ⊥BD ，EN ⊥BA ，∴EN ＝EM ，∴EG ＝EN ，∴AE 平分∠CAN ，∴∠CAE ＝12∠CAN ＝12(180°－∠BAC)， ∴∠CAE ＋∠BEC ＝12(180°－∠BAC)＋12∠BAC ＝90°. 9．[解析] 要证BE ＝2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用轴对称的性质把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，构造全等三角形，然后证明BE 和CF(2CD)所在的三角形全等．证明：如图，延长BA ，CD 交于点F.∵BD ⊥CF(已知)，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°.∵BD 平分∠ABC(已知)，∴∠1＝∠2.在△BCD 和△BFD 中，⎩⎨⎧∠2＝∠1（已证），BD ＝BD （公共边），∠BDC ＝∠BDF （已证），∴△BCD ≌△BFD(ASA)，∴CD ＝FD ，即CF ＝2CD.∵∠5＝∠4＝90°，∠BDF ＝90°，∴∠3＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠4＝∠5，AB ＝AC ，∠1＝∠3（已证），∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴BE ＝CF ，∴BE ＝2CD.。

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△PAE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PAE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB 的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，PDCBA A BCDPE∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEP PF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB 后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．ABCDE DCBAAB CD又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ ∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB AOED CBAFOED CBA∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =． ∵60C ∠=︒，∴△CDE 是等边三角形，∴DE CD CE ==，∴BC BE CE AB CD =+=+．【答案】见解析．【例11】 观察、猜想、探究：在△ABC 中，2ACB B ∠=∠．（1）如图①，当90C ∠=︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，求证：AB AC CD =+；（2）如图②，当90C ∠≠︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，理由角平分线性质得到ED=CD ，利用HL 得到直角三角形AED与直角三角形ACD 全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC =，AED ACB ∠=∠，由2ACB B ∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE DE =，由AB AE EB =+，等量代换即可得证；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD AD =，利用SAS 得到三角形AGD 与三角形ACD 全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示，同（2）即可得证．【答案】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，如图1所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE DC =， 在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠FAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM = ∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=，∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．【解析】过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE PF=．同理可证PF PG=．所以PG PE=，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以P在∠A的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC=，BAD CAD∠=∠，DA DB=，求证：DC⊥AC．【解析】在AB上取中点E，连接DE，则12AE BE AB==．∵DA DB=，∴DE⊥AB，90AED∠=︒．又∵2AB AC=，∴AE AC=．PCBAPABCD∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．EDCBAABCDC【解析】延长AC，交BF的延长线于点N．∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，∴△AFB≌△AFN，∴BF NF=．∵AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，∴EA⊥FA．∵BF⊥AF，∴BF∥AE．∴::BF ME CF CM=，::FN AM CF CM=．∵BF NF=，∴AM ME=．【答案】见解析．MFE DCBAN MFE DCBA。

角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2BE AC AB =-证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE=12BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。

因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，所以BE=12FC=12（AC －AF ）=12（AC －AB ）， 所以1()2BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中BP BPPE PD =⎧⎨=⎩所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。

21F EDCBANPE DCBA因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。

因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。

常见的辅助线的作法1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.7.角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．D CBAED F CB A一、等腰三角形“三线合一”法1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD.中考连接：（2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBAO ED CBAABC中考连接：（09崇文）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE，90,BAD CAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE 的关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．三、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，已知点C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且AE=（AD+AB ）.问：∠1和∠2有何关系？中考连接：(2012年北京)如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，D C BAED F CB A利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

第04讲 线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.知识点01 线段的垂直平分线ìíî线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理知识点02 角的平分线ìïíïî角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理性质定理题型01 线段的垂直平分线的性质(1)求证：BE AC =(2)若35B Ð=°，则BAC Ð=【答案】(1)见解析(2)75°∵AD BC ^于点D ，且D 为线段∴AD 垂直平分CE ，∴AC AE =，∵EF 垂直平分AB ，∵AD BC ^，∴90ADB Ð=°，∴903555BAD Ð=°-°=°，∴553520EAD Ð=°-°=°，∵AC AE =，AD BC ^，∴20EAD CAD Ð=Ð=°，∴75BAC BAE EAD CAD Ð=Ð+Ð+Ð=°．故答案为：75°．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若CMN V 的周长为15cm ，求AB 的长；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)15cmAB =(2)40MCN Ð=°【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN V 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF NMF Ð+Ð，再求出A B ÐÐ+，根据等边对等角可得A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；【详解】（1）解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN V 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN V 的周长为15cm ，∴15cm AB =；（2）解：∵70MFN Ð=°，∴18070110MNF NMF Ð+Ð=°-°=°，∵AMD NMF Ð=Ð， BNE MNF Ð=Ð，∴110AMD BNE MNF NMF Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴909018011070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+°-Ð=°-°=°，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，∴()180218027040MCN A B Ð=°-Ð+Ð=°-´°=°．2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，AD BC ^于点D ，BD DE =，连接AE ．(1)若AE 平分BAC Ð，求C Ð的度数；(2)若ABC V 的周长为13cm ，5cm AC =，求CD 的长．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．【详解】（1）解：AD BC BD DE ^Q ，＝，EF 垂直平分AC ，∴AB AE EC ＝＝，C CAE \ÐÐ＝，∵AE 平分BAC Ð，∴BAE EAC ÐÐ＝，∵AD BC ^于点D ，B D ＝D E ，∴AB AE ＝，∴2B AEB C EAC C ÐÐÐ+ÐÐ＝＝＝，根据三角形内角和等于180°可得，180B AEB BAE Ð+Ð+а＝，22180C C C \Ð+Ð+а＝，36C \а＝．（2）ABC QV 周长13cm ，5cm AC =，∴8cm AB BC +＝，∴8cm AB BE EC ++＝，即，228cm DE EC +＝，∴4cm DE EC +＝，∴4cm DC DE EC +＝＝．题型02 线段的垂直平分线的判定(1)求证：AD (2)已知ABC Ð【详解】（1）证明：∴点A 在BC AD \垂直平分（2）解：V 【变式训练】1.如图，ABC V 为等边三角形，AD AB ^，4AD DC ==，AC BD ，相交于点E ．(1)求证：BD 垂直平分AC ；(2)求BE 的长；(3)若点F 为BC 的中点，点P 在BD 上，则PC PF +的最小值为______．（直接写出结果）．【详解】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC =；∵,,AB BC AD CD BD BD ===，∴()ABD CBD SSS V V ≌，∴ADB CDB Ð=Ð，∵,,AD DC ADB CDB DE DE =Ð=Ð=，∴()ADE CDE SAS V V ≌，∴,90AE EC AED DEC =Ð=Ð=°，∴BD 垂直平分AC ；（2）解：∵DB AC ^，∴BE 平分ABC Ð，∵60ABC BAC Ð=Ð=°，∴30ABD Ð=°，∵90BAD Ð=°，∴30DAE Ð=°，∵4=AD ，∴8,2BD DE ==，∴6BE BD DE =-=；（3）解：连接AF 交BD 于点P ，连接PC ，∵BD 是AC 的垂直平分线，∴A 、C 关于BD 对称，(1)求证：DB DE=；(2)过点A作AF BC∥，交ED延长线于点F，交①若12EM=，则BD= ．题型03 线段的垂直平分线的实际应用【例题】如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )A ．ABC V 三边垂直平分线的交点B ．ABC V 三条角平分线的交点C ．ABC V 三条高所在直线的交点D ．ABC V 三条中线的交点【答案】A 【详解】解：∵猫所在的位置到A 、B 、C 三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在ABC V 三边垂直平分线的交点处；故选A ．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）A ．ABC V 的三条中线的交点B ．ABC V 三边的垂直平分线的交点C ．ABC V 三条角平分线的交点D ．ABC V 三条高所在直线的交点【答案】B 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在ABC V 三条边的垂直平分线的交点处．故选：B ．题型04 线段的垂直平分线的尺规作图【例题】如图，已知在ABC V 中，7AC =．(1)用尺规作BC 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)BC 边的垂直平分线分别交AC BC 、于点D 、E ，连接BD ，若ABD △的周长是10，求AB ．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；；（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD DC =，∵7AC =，∴7AD DC AD BD +=+=，∵ABD △的周长是10，∴10AB BD AD ++=．∴3AB =．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点P 这个监控安装的位置．．2．如图，已知点A 、点B 以及直线L ．(1)用尺规作图的方法在直线L 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接AP BP ，，若90APB Ð=°，过点A 作AM L ^于点M ，过点B 作BN L ^于点N ．求证：MN AM BN=+【详解】（1）解：点P 如图所示，；（2）解：∵AM L ^，BN L ^，90APB Ð=°，∴90MAP APM NPB Ð=°-Ð=Ð，∵PA PB =，∴()AAS MAP NPB ≌△△，∴AM PN =，PM BN =，∴MN PN PM AM BN =+=+．题型05 角平分线的性质定理【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图AC 平分BAD Ð，CE AB CF AD ^^，，垂足分别为E 、F ，且BC CD =．(1)求证：BCE DCF △≌△；(2)若106AD BE ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证BCE DCF △≌△和Rt Rt ACF ACE @△△是解题的关键．（1）先证明CE CF =，再根据HL 即可证明BCE DCF △≌△；（2）先求出6DF BE ==，再根据HL 即可证明Rt Rt ACF ACE ≌△△，进而可求出AB 的长．【详解】（1）AC Q 平分BAD Ð，CE AB ^于E ，CF AD ^于F ，90CFD \Ð=°，90CEB Ð=°，CE CF =，在Rt BCE V 和Rt DCF V 中，CE CF BC CD =ìí=î，Rt Rt (HL)BCE DCF \△≌△；（2）∵BCE DCF △≌△，6BE =，∴6DF BE ==．∵10AD =，∴10616AF =+=．在Rt ACF V 和Rt ACE V 中，CF CE AC AC=ìí=î，Rt Rt (HL)ACF ACE \△≌△，∴16AE AF ==，∴16622AB =+=．【变式训练】1)求证：AE 是DAB Ð2)已知4AE =，DE 【答案】(1)见解析2)12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；（1）根据角平分线的性质得出∵90C Ð=°，∴EF AD ^，∵AE 是DAB Ð的平分线，∴EF EC =，(1)求证：BE CF =；(2)若67AF BC ==，，则ABC V 【答案】(1)证明见解析(2)19可．【详解】（1）证明：连接CD BD ，，∵D 在BC 的中垂线上，∴BD CD =，∵DE AB ^，DF AC ^，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，90BED CFD Ð=Ð=°，∴()Rt Rt HL BDE CDF V V ≌，∴BE CF =；（2）解：∵AD 平分BAC Ð，∴∠∠E A D FA D =，∵DE AB ^，DF AC ^，∴90AED AFD Ð=Ð=°，又∵AD AD =，∴()AAS AED AFD V V ≌，∴AE AF 6==，由（1）可知BE CF =，∴ABC V 的周长为：66719AC AB BC AF CF AE BE BC AF AE BC ++=-+++=++=++=，故答案为：19．题型06 角平分线的判定定理【例题】如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON Ð的内部且CA CB =，CD OM ^，CE ON ^，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON Ð；(2)如果12AO =，4BO =，求OD 的长．【详解】（1）证明：由题意得：CD OM ^，CE ON ^，\90CDA CEB Ð=Ð=°，在Rt ACD △和Rt BCE V 中，AC BC AD BE=ìí=î，\()Rt Rt HL ACD BCE V V ≌，\CD CE =，Q CD OM ^，CE ON ^，\OC 平分MON Ð．（2）在Rt ODC △和Rt OEC △中，CD CE OC OC =ìí=î，\()L Rt Rt H ODC OEC ≌V V ，\OD OE =，设BE x =，Q 4BO =，\4OE OD x ==+，Q AD BE x ==，\4212AO OD AD x =+=+=，\4x =，\448OD =+=．【变式训练】1．如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC Ð；(2)写出+AB AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：∵DE AB ^∴90E DFC Ð=Ð=°，(1)求证：OC 是AOB Ð的平分线；(2)若30AOB Ð=°，23PF =，PF 【详解】（1）证明：在Rt PDF V 和题型07 角平分线性质的实际应用【例题】三条公路将、、A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在A B C ÐÐÐ、、的角平分线的交点处，故选：C ．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．1个【答案】B 【详解】解：如图所示，分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点1234,,,P P P P 共4个点，故选：B ．题型08 作角平分线（尺规作图）【例题】已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，2B A Ð=Ð．(1)求作ABC Ð的平分线，交AC 于点P ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求ABP Ð的角度？【详解】（1）解：以点B 为圆心，适当长为半径画弧交BA ，BC 于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点B 与该点所在直线交AC 于点P ，如图所示：BP 即为所求；（2）解：∵AB AC =，1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题A．4cm B．5cm【答案】C【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含Q是AB的垂直平分线，DEAD DB cm\==，12\Ð=Ð=°，15DAE BA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．过点D 作DE OB ^于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP DE =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ^于E ，OC Q 是AOB Ð的角平分线，DP OA ^，DP DE \=，由垂线段最短可得DQ DE ³，4DP =Q ，4DQ \³．故选：A ．3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC V 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC V 的外接圆圆心，A ．16°B ．26【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据90ACB Ð=°，直线116BDC Ð=°，结合CDE ÐA ．①②【答案】D∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，在Rt BED △和Rt CFD V DE DF BD DC=ìí=î，【答案】80°/80度【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得CD BD =，从而得到BCD B Ð=Ð的性质可得50A ADC Ð=Ð=°，即可求解．【答案】3【分析】此题考查了角平分线的性质定理，作DH AB ^于点H ，先求出即可得到点D 到的距离．∵8BC =，5BD =，∴3CD BC BD =-=，∵90C Ð=°，∴DC AC ^，【答案】20【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知利用垂直平分线可知AD 【详解】解：∵分别以点【答案】50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设3ABC x Ð=，Ð∵点M N 、是ABC Ð与Ð∵点M N 、是ABC Ð与ACB Ð∴BN 平分MBC Ð，CN 平分∴,NE NG NF NG ==，∴NE NF =，∴MN 平分BMC Ð，150BMN BMC Ð=Ð=°，【答案】 15° 6【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．（1）先证明Rt Rt BDE △≌△11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AC 边的垂直平分线分别交BC AC 、于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ^于点D ，且D 为BE 的中点．(1)试说明：AB CE =；(2)若32C Ð=°，求BAC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．（1）根据等腰三角形的判定得出AB AE =，根据垂直平分线的性质得出AE CE =，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出32C EAC Ð=Ð=°，再根据三角形的外角的性质得出64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，再根据等边对等角得出64B AEB Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出52BAE Ð=°，进而得出答案．【详解】（1）∵D 为BE 的中点，∴BD DE =，∵AD BC ^，∴AB AE =，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，∴AB CE =；（2）∵32C AE CE Ð=°=，，∴32C EAC Ð=Ð=°，∴64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，∵AB AE =，∴64B AEB Ð=Ð=°，∴180180646452BAE B AEB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴523284BAC BAE EAC Ð=Ð+Ð=°+°=°．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABC V 中，90C Ð=°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．(1)作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ；(2)连接CF ；(3)作BFC Ð的平分线，交BC 于点G ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ，连结CF ，作BFC Ð的平分线，交BC 于G ．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，DF AC ^于点F ，连接EF ，AD 垂直平分EF ．(1)求证：AD 是BAC Ð的平分线；(2)若ABC V 的周长为18，ABC V 的面积为24，6BC =，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到DE DF =，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；（2）首先求出12AB AC +=，然后根据等面积法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AD 垂直平分EF ，(1)试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．(2)若104AB AC ==，，试求【答案】(1)BF CG =，证明见解析(2)7【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：Q AE 平分BAC Ð，EF AB ^\EF EG =，Q D 为BC 的中点，DE BC ^\DE 垂直平分BC ，\EB EC =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，∵AB AC =，∴()111809022B A A Ð=°-Ð=°-Ð∵MN 为AB 的垂直平分线，∴90BNM Ð=°，(1)若120ACB Ð=°，则MCN Ð的度数为 (2)若MCN a Ð=，则MFN Ð的度数为 ；（用含(3)连接FA FB FC 、、，CMN V 的周长为6cm 【答案】(1)60°(2)1902a °-Q DM EN ，分别垂直平分AC 和BC ，MA MC \=，NB NC =，Q CMN V 的周长为6cm ，6cm MC NC MN \++=，6cm MA NB MN \++=，即6cm AB =，Q FAB V 的周长为14cm ，14cm FA FB AB \++=，8cm FA FB \+=，Q DF EF ，分别垂直平分AC 和BC ，FA FC \=，FB FC =，28cm FC \=，4cm FC \=．17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于D ，CM CD ^，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于O ，MG AC ^于点G ，MF BC ^于点F ．(1)求证：BCM GCM Ð=Ð；(2)若2CG =，求BC AG -的长；(3)若点D 在BC 的垂直平分线上，试判断ABM V 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)ABM V 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得ACD BCD Ð=Ð，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证FCM GCM ≌V V ，可得MF MG =，2CF CG ==，由“HL ”可证Rt Rt BFM AGM ≌V V ，可得BF AG =，即可求解；（3）由线段垂直平分线的性质可求30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，由等腰三角形的性质可求30MAG Ð=°，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵CD 平分ACB Ð，∴ACD BCD Ð=Ð，∵CM CD ^，∴90DCM Ð=°，∴90ACD MCG Ð+Ð=°，90DCB BCM Ð+Ð=°，∴BCM GCM Ð=Ð；（2）∵BCM GCM Ð=Ð，90MFC MGC Ð=Ð=°，CM CM =，∴()AAS FCM GCM ≌V V ，∴MF MG =，2CF CG ==，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM BM =，且FM MG =，∴()Rt Rt HL BFM AGM ≌V V ，∴BF AG =，CBM MAG Ð=Ð，∴2BC AG BC BF CF -=-==；（3）∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD CD =，∴DBC DCB Ð=Ð，且ACD DCB Ð=Ð，90DBC DCB ACD Ð+Ð+Ð=°，∴30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，∵AM BM =，∴30MAB MBA ABC CBM CBM Ð=Ð=Ð+Ð=°+Ð，∵CBM MAG Ð=Ð，∴30MAB MAG Ð=°+Ð，∵90MAB MAG BAC Ð+Ð=Ð=°，∴30MAG Ð=°，∴60MAB MBA Ð=Ð=°，∴60AMB Ð=°，∴ABM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP 平分AOB Ð，PA OA ^于点A ，PB OB ^于点B ．(1)探究：如图2，点M 是OP 上任意一点（不与O 、P 重合），连接MA 、MB ，问题：请判断MA 与MB 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接AB ．问题：①OP 垂直平分AB 吗？请说明理由．②若30AOP Ð=°，6AB =，求AOB V 的周长．【答案】(1)MA MB =，证明见解析(2)①OP 垂直平分AB ，理由见解析；②18【分析】（1）证明()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()SAS AOM BOM V V ≌，进而可得MA MB =．（2）①如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()AAS OAP OBP V V ≌，则AC BC =，90ACO BCO Ð=Ð=°，进而可得OP 垂直平分AB ；②由题意知60AOB Ð=°，可证AOB V 是等边三角形，则6OA OB AB ===，然后求AOB V 的周长即可．【详解】（1）解：MA MB =，证明如下：∵OP 平分AOB Ð，PA OA ^，PB OB ^，∴AOP BOP Ð=Ð，90OAP OBP Ð=Ð=°，又∵OP OP =，∴()AAS OAP OBP V V ≌，∴OA OB =，∵OM OM =，AOM BOM Ð=Ð，OA OB =，∴()SAS AOM BOM V V ≌，∴MA MB =．（2）①解：OP 垂直平分AB ，理由如下：如图3，记AB 与OP 的交点为C ，。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥ACB图1-2DBC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。