专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。

角平分线具有两条非常重要的性质：一是对称性；二是角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有四种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；③做角平分线的垂线，与角两边构造等腰三角形；④过角平分线上的点做边的平行线。

方法一、在证明线段的和差倍分问题中，常用到的方法是延长法或截取法来证明，以此来构造三角形全等，延长短的线段，或在长的线段上截取一部分，使之等于短的线段。

但无论延长，还是截取都要证明线段的相等。

延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所要证明的目的。

例2中，用到了角平分线，用到了做垂直，利用三线合一证明边相等，利用SAS来证明三角形全等。

此题的证明，也可以在AB上截取AE=AC，先证明△ADE≌△ADC，再利用AB=2AC，得出E 是AB的中点，再利用三线合一证明DE⊥AB，所以DC⊥AC.课后专项练习一，就是利用延长或者截取法，来证明的。

题目不难，非常基础，请同学们，认真仿照例题，认真推敲，加强练习。

方法二、角平分线上的点向角两边做垂线。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

一般来说，出现角平分线，做双垂直，都是非常通用的方法。

要么过角平线上的点做角两边的垂直，要么做角平分线的垂直交两边，都是必出三角形全等。

方法三，过角平分线上的一点，做角平分线的垂线，必然交于角的两边，构造出等腰三角形。

这个方法，在很多题型中，非常实用。

专项练习三，有两个题，需要自行画图。

只要我们一个专题一个专题的突破，把基础扎实起来，那么初中几何还难吗？初中数学还难吗？方法四、过角平分想上一点，做角的另一边的平行线。

因为角平分线有两角相等，平行线则有内错角相等，则必然出现角相等，得等腰三角形。

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法►方法一直接根据相关性质定理解题1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．图4－ZT－1►方法二连线构造全等三角形2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.图4－ZT－3►方法三作垂线段得距离4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC.图4－ZT－45．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．图4－ZT－56.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G.(1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；(2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．图4－ZT－67．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB.求证：(1)P为AB的中点；(2)DC＝AD＋BC.图4－ZT－78．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC；(2)∠CAE＋∠BEC＝90°.图4－ZT －8► 方法四 作线段的延长线构造全等三角形9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD.图4－ZT －9详解详析1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ，∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，即AC 垂直平分BD ，同理可证得BD 垂直平分AC.∴AC 与BD 互相垂直平分．2．证明：连接AD.在△ABD 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°.证明：在AB 边上取中点E ，连接DE.因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB.因为AB ＝2AC ，所以AE ＝12AB ＝AC. 在△ADE 和△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠DAE ＝∠DAC ，AD ＝AD ，所以△ADE ≌△ADC ， 所以∠ACD ＝∠AED ＝90°，所以CD ⊥CA.4．[解析] 根据题意可知AD 是∠BAC 的平分线，可过点D 作∠BAC 两边的垂线段，根据角平分线的性质，并结合三角形的面积进行证明．证明：如图，分别过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.因为AD 为∠BAC 的平分线，所以DE ＝DF.又因为AD 平分BC ，所以BD ＝CD ，所以S △ABD ＝S △ACD .又S △ABD ＝12AB ·DE ，S △ACD ＝12AC ·DF ， 所以AB·DE ＝AC·DF ，所以AB ＝AC.5．[解析] 连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F ，则OE ＝OF ＝OM.由S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC 可求OE 的长．解：如图，连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F.∵BO 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OF ＝OE.同理OE ＝OM.∴OF ＝OE ＝OM.∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ，∴12AB ·OF ＋12BC ·OE ＋12AC ·OM ＝6， ∴12OE ·(BC ＋AB ＋AC)＝6. 又∵△ABC 的周长为12，即BC ＋AB ＋AC ＝12，∴OE ＝1.6．解：(1)DE ＝DF.理由：过点D 作DN ⊥AC 于点N.∵DG ⊥AB 于点G ，∴∠EGD ＝∠FND ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DG ＝DN(角平分线的性质)．∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°.∵∠AED ＋∠DEG ＝180°，∴∠DEG ＝∠NFD.在△EGD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠GED ＝∠DFN ，∠DGE ＝∠DNF ，DG ＝DN ，∴△EGD ≌△FND(AAS)，∴DE ＝DF.(2)由已知易证△ADG ≌△ADN.由(1)知△EGD ≌△FND ，∴S △ADG ＝S △ADN ，S △EGD ＝S △FND ，∴S △ADE ＋S △EGD ＝S △ADF －S △EGD ，即39＋S △EGD ＝50－S △EGD ，∴S △EGD ＝5.5.7．证明：(1)如图，过点P 作PE ⊥DC 于点E.∵DP 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，PE ⊥DC ，∴PA ＝PE.同理PB ＝PE.∴PA ＝PB ，∴P 为AB 的中点．(2)在△ADP 与△EDP 中，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP.又∵∠PAD ＝∠PED ＝90°，DP ＝DP ，∴△ADP ≌△EDP ，∴AD ＝ED.同理BC ＝EC.∵DC ＝DE ＋EC ，∴DC ＝AD ＋BC.8．证明：(1)∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝12(∠BAC ＋∠ABC)． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC. ∴∠ECD ＝∠BEC ＋∠EBC ＝∠BEC ＋12∠ABC ， ∴∠BEC ＋12∠ABC ＝12(∠BAC ＋∠ABC)， ∴∠BEC ＝12∠BAC ，即∠BAC ＝2∠BEC. (2)过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥BA 支BH 的延长线于点N ，EG ⊥AC 于点G. ∵CE 平分∠ACD ，EM ⊥BD ，EG ⊥AC ，∴EG ＝EM.∵BE 平分∠ABC ，EM ⊥BD ，EN ⊥BA ，∴EN ＝EM ，∴EG ＝EN ，∴AE 平分∠CAN ，∴∠CAE ＝12∠CAN ＝12(180°－∠BAC)， ∴∠CAE ＋∠BEC ＝12(180°－∠BAC)＋12∠BAC ＝90°. 9．[解析] 要证BE ＝2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用轴对称的性质把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，构造全等三角形，然后证明BE 和CF(2CD)所在的三角形全等．证明：如图，延长BA ，CD 交于点F.∵BD ⊥CF(已知)，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°.∵BD 平分∠ABC(已知)，∴∠1＝∠2.在△BCD 和△BFD 中，⎩⎨⎧∠2＝∠1（已证），BD ＝BD （公共边），∠BDC ＝∠BDF （已证），∴△BCD ≌△BFD(ASA)，∴CD ＝FD ，即CF ＝2CD.∵∠5＝∠4＝90°，∠BDF ＝90°，∴∠3＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠4＝∠5，AB ＝AC ，∠1＝∠3（已证），∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴BE ＝CF ，∴BE ＝2CD.。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用D C BAED F CB A的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，D C BAED F CB A利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

角平分线专1、轴对称性：内容：角是一个轴对称图形,它的角平分线所在的直线是它的对称轴. 思路和方法:边角等根本结构：如图,2、角平分线的性质定理：注意两点⑴距离相等〔2〕一对全等三角形3、定义：带来角相等.4、补充性质：如图,在AABC中.AD平分NBAC,那么有AB: AC=BD:DC例题2：如图,在△ABC中,NA等于6(r.BE平分NABC.CD平分NACB求证：DH=EH例题3:如图1, BC>AB.BD平分NABC,且NA+/C=180O, 求证:AD=DC.:思路一:利用“角平分线的对称性〞来构造由于角是轴对称图形,角平分线是其对称轴,因此,题中假设有角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.证法1：如图1,在BC上取BE = AB,连结DE,〈BD平分B耳佟1ZAB C, AZAB D = ZDBE, X BD=BD.AAABD^AEBD (SA S),,NA=NDBE,A D =D E,又NA+NC=1 8 0°, ZDE B+ZDEC=1 8 0°,,NC=NDEC.DE = DC,那么AD=DC. A n证法2：如图2,过A作BD的垂线分别交BC、81)于£、F, ?\连结DE,由BD平分NABC,易得4ABF/△ EBF,那么AB=B E, 1 / \BD 平分NABC,BD=BD, AAABD^AEB D(SAS ) , / \/ \,AD = ED, NBAD=NDEB.又NBAD+NC=1 8 0., B 图CZBED+ ZCED = 180°,A ZC= ZDEC,那么DE=DC, A AD=DC. g 说明:证法1,2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向BC而构成/'、、全等三角形的. / \证法3:如图3,延长BA至E,使BE=BC,连结DE, J\r)YBD 平分NABC,,NCBD=NDBE,又BD=BD, /•△CB D/aEBDA ZC=ZE, CADE,又NBA D+NC= 1 8 0(),NDAB + ND A E= 1 80°, \ AZE=ZDA E, DE=DA,那么AD=DC. R 图3C 说明：证法3是4CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.思路二:利用“角平分线的性质〞来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以根据这个性质,可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.证法4:如图4.从D分别作BC、BA的垂线,垂足为E、F,・.,BD平分NABC,,DE=DF,又NB AD+NC = 18O°, ZBAD+ZFAD=I 8 00, A ZFAD=Z CAFAD^AEC D〔AA S 〕,那么AD=DC.例题4:如图 5 ,在△血中, 求证：AC^CD= AB证实：在AB上截取AE二AC, 丁月〃平分NC45,,NC月氏NDAB, AD=AD, ：.ACAD^AEAD9AZZ»E4=90O ,VZC=90°, AU5C,,N6=45°,,/年N BDE^X 5 °,密BE, ：.AaCkg密AE+BE=AB,即AC+CI^A 13.例题5.己知：如图6,在Rt△月3.中,NG=9〔T ,沿过6点的一条直线班折会这个三角形,使.点与四边上的一点,重合,当N月满足什么条件时,点〃恰为力6中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证实 .为四中点.解：当N#30°时,点.恰为弱的中点・, Z C=90°〔〕,,N烟二6 0.〔直角三角形两锐角互余〕.又△外〔〕,,/第F/%后30°,且/£〃后NX9 0°〔全等三角形对应角相等〕,・・・N〃8斤N/〔等量代换〕.•・•用后月£〔等角对等边〕,又N 劫5=900 , 即及ZLHR,〃是月夕的中点〔三线合一〕.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、角平分线,构造三角形例题、如下图,在AA BC中,NAR C=3NC, AD是NBAC的平分线,BE_L AD于求证:3E」(AC-AB) 2证实:延长BE交AC于点F.由于角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线, 所以A D为NBA C的对称轴,又由于BE_LA D于F,所以点B和点F关于AD对称,所以BE=FE=1B F.AB=AF,NABF=NAFB°2由于NABF+NFBC=NABC = 3NC,ZABF = ZAFB=ZFBC+ZC,所以ZFBC+ ZC+ZF B C=3 NC,所以NFBC=NC,所以FB=FC,所以BE=1 F C = L(AC-AF) =,(AC-AB), 2 2 2所以BE = g(AC — A8).二、一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段如下图,N1 = N2,P为BN上的一点,并且PD_LBC于D, AB+BC=2BDo求证:NBAP+NB C P = 180 °. 证实：经过点P作PE_LAB于点E.由于PE_L AB.PD_LBC, N1 = N2, 所以PE=PD,R t APBE 和RtZkPBC 中BP = BPPE = PD所以R t △PBETRt^PBC(HL),所以BE=BD Q由于AB+BC=2BD.BC = CD + BD,A B =B E-AE.所以AE=CDc由于PE_LAB.PD_L BC,所以NPEB = NPDB=9 0 0 .在AP AE 和RtZ^PCD 中PE = PDNPEB = ZPDCAE = DC所以APAEgR t APCD.所以NPCB=NEAP.j由于NBAP+NEAP= 180°,所以NBAP+NBCP=18O° °三、角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段例题、如下图,在△ ABC中,PB、PC分别是NAB C的外角的平分线,求证：Z 1 =Z2证实:过点P作PE1AB于点E, P G ±AC于点G. PF±BC 于点F.由于P在NEBC的平分线上,PE_LAB. PH± BC,所以PE=PFo同理可证PF=PG0所以PG=PE.又PE_LAB.PGJ. AC,所以PA是NBAC的平分线,所以N1 = N2.与三角形的角平分线有关的结论的探究三角形的内角和等于18 0*三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论.从结论的探究过程中,希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中,要学会运用所学知识去探索新的结论,学会探究,从而不断地提升自己的数学发现与创新的水平,提升数学学习水平.探究一:在A48C中,NA, NB的平分线交于点P,试探究ZBPC与NA的关系？探究：由于NBPC在ABPC中,由三角形的内角和定理,有:NBPC = 180°-(ZPBC + ZPCB)而由B P, CP分别是NABC和NAC B的角平分线知：ZPBC=-ZABC, ZPCB=-ZACB2 2(\ \ 1所以ABPC = 180°- -ZABC +-ZACB = 180° -一(NA8C + ZACB) \ 2 2 7 2而在在A48C中,ZABC+ ZA = 180° - ZA所以/BPC = 180°--(180°-zS4)= 90°+-ZA2 2故有结论一:在中,NA, NB 的平分线交于点P,那么有N8PC=90°+L/A, 2探究二:在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,C P 是A ABC 的外角/ ACE 的平分线, 试探究：N BPC 与NA 的关系？探究：由CP 是△ A B C 的外角ZAC E 的平分线, 所以有：NBPC=NPCE-NBPC又BP 是NABC 的平分线,CP 是NAC E 的平线所以：NPBC=L Z ABC, ZPC E = -ZACE 22 所以 NBPC 二 2 2= -(ZACE-ZABC )=-ZA 2 2故有结论二：在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,CP 是AABC 的外角NACE 的平分线,探究三：在AA8C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个 外角的平分线,试探究：NBPC 与NA 的关系？探究：由于NBPC 在ABPC 中,由三角形的内角和定 理,有：NBPC = 180° -(ZPBC + ZPCB )由BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,有：NP BC 二ZPCB=izBCF 2 2WZABC+ZCBE=18 0 °, ZAC B + ZBCF=1 8 0°,所以NA BC+ZCBE+ZACB+ZBC F=36 00所以NEBC+/FCB= 3 6 0°-(ZACB+ZABC) = 360° -(180° -zL4)= 180° + ZA所以 /BPC = 180° - l(ZEBC+ ZFCB) = 180°-1(180° + ZA )= 90(,-|zA故有结论三：在A48C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,那么有 N8PC=900—L/A . 2线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理水平测试一、选择题1.以下说法,错误的选项是(那么有：ABPC = -^A. 2AA.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部2.假设一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是〔.〕3.如下图,在RtZXABC中,NAC8 = 90,3C的中垂线交斜边A3于.,A8 = 7.8, AAC = 3.9,那么图中有多少个角等于60.3〕A.2[ZB. 3 个C. 4 个.D. 5 个4.等腰△A8C两腰A8, AC的垂直平分线交于点.,以下各式不正确的选项是〔〕A. OA_L8CgB. OA平分N8AC*C. = O4 = 3C5.△A8C中,A8 = AC, A3的垂直平分线交AC于£〕,△A8C和△08.的周长分别是6 0 cm和38cm,那么△ ABC的腰长和底边的长分别是〔〕A. 24cm 和12cmB. 1 6 cm 和22cm C . 2 0cm 和16cm D . 22 cm 和16 cm6.将一张长方形纸片按如下图的方式折叠,BC, BD为折痕,那么NCBD的度数为〔〕A. 60°B. 75°C. 90°D. 9 5°7.假设△A8C三条角平分线的交点到三顶点的距离相等,那么该三角形一定为〔〕A.等腰三角形,但不一定是等边三角形.B.直角三角形.C.等腰直角三角形.D.等边三角形.8.如图,△ ABC中,AD为NBAC的平分线,DE±AB, DF±AC,E. F为垂足,在以下结论中:①AAD Eg4ADF;②^BDE乌ZkCDF ；③△ABDgZkACD;④AE=AF；⑤BE=CF：⑥BD二CD.其中正确结论的个数是〔〕A. UB.2<3oD. 49.产点在ZAO3的平分线上,NAO8 = 60 , OP = 10cm,那么P点到边OA , OB的距离分别是〔〕A. 5cm, 5>/3 cm B . 4cm, 5cm C. 5cm, 5cm D. 5 cm, 10 c m1 0.如图,Z^ABC中,/C=90〕BD平分NABC交AC于D, D E是AB的垂直平分线,DE二1B2 D,且DE=L5cm,那么AC等于〔〕A. 3cm°B・ 7. 5 c m C. 6cm D. 4. 5 cmC D二、填空题1.线段AB和它外一点P,假设P A=PB,那么点P在A B的；假设点P 在A B 的,那么PA=PB.2.如图,△ ABC中,E歹是A8的垂直平分线交于O, BF = 12 , C尸=3H那么AC =・A3. 如图,448c = 50" AO垂直平分线段8C于点.,NABC的平分线8石交AO于点E,连结EC,那么NAEC的度数是4.如下图,在△A3C中,NC = 90 , OE是A3的垂直平分线,AB = 2AC .3c = 18cm,那么CE的长度为,..5.在锐角三角形A8C中,NA = 60 , A3, AC两边的垂直平分线相交于点.,那么N3OC 的度数是.3.6.ZXA8C中,NC = 90 , AO平分N84C,交BC于D,假设DC = 7 ,那么.到A3的距离是•7.ZkA8C的三边长分别为3cm、4cm、5cm,假设.为△ 48C三内角平分线交点,那么点.到斜边AB的距离等于.8.如图,30平分NC8A, CO平分NAC3, MN〃8C,且过点O,假设A3 = 12, AC = 14,那么AAMN的周长是A9 .如图,3.是Z48C 的平分线,.七于E, S/版.=36m? , AB = 18cm >BC = 12cm,那么DE 的长是.1 0.如图,△ABC 中,ZC = 90 , AC = BC f AO 平分 N84c 交 BC 于.,DE LAB 于E,且AB = 10cm,那么△0E3的周长是“ »三、解做题1 .如下图,直线.4,表示两条相互交叉的公路.点何,N 表示两个蔬菜基地.现 要建立一个蔬菜批发「6场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路04,的距离相 等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方？2 . 如图△ A8C 中,胡= 3C, N8 = 120°, A8的垂直平分线交AC 于.,求3 .用三角尺画角平分线:如图,NA0B 是一个任意角,在义M N 作0&0B 的垂线,交点为P,画射线0P,那么这条射线即%角平分 线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法, 并说明这种做法的道理.证：AO = ‘OC. 2 BA4.如下图,是△A3C的角平分线,.石_LA3,_L AC,垂足分别是E , F.求证：AO垂直平分族.四、探索题1 .如图,在△ABC中,N4 = 90 , AB = AC,是NA3C的平分线,请你猜测图中哪两条线段之和等于第三条线段,并证实你的猜测的正确性(证实你的猜测需要用题中所有的2.如下图,在等腰△ABC中,AB = AC, ZBAC = 120 .(1)请你作出两腰的垂直平分线.(2)假设A3边的垂直平分线与A8, 3c分别交于点.,E, AC边上的垂直平分线与AC, 8c分别相交于点G, F ,那么△4后是什么形状?你能证实吗？(3)连结.6, DG与BC有什么关系？(4)假设ZX7 = 5cm,试求的周长.答案：一、1 D； 2 C; 3D： 4D； 5D： 6C;7D;8 B ；9C; 10D.二、1 .垂直平分线上;垂直平分线上;2. 15； 3. 115°； 4. 12cm； 5. 120 ； 6. 7 ； 7.112c m;8. 26： 9. —cm ; 10. 10cm .三、L解:分别作ZAOB的平分线OC和线段MN的垂直平分线DE,那么射线OC与直线DE的交点、P即为批发巾场应建的地方.2.证实：连接8..A3的垂直平分线交AC于•••QA = O3又BA = BC, N8 = 120 , ZA = ZC = 30 ••• ZA = ZABD = 30 , /DBC = 90RtZXOBC中,有8.= !..,A AD = -DC.2 23.解:30M=ON, 0P=0P, A RtAOMP^RtAONP〔HL〕 , AZM0P=ZN0P,,射线OP是ZAOB 的平分线.4.证实：♦・♦4〕是△ABC的角平分线,DE-LAB,.产_LAC,二.七=./〔角平分线上的点到角的两边距离相等〕.••• NDEF = /DFE 〔等角对等边〕.: NAEZ〕 = NAEO = 90 〔垂直定义〕,••• ZAEF = ZAFE〔等角的余角相等〕.AE = AF〔等角对等边〕•••A,.在族的中垂线上〔和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上〕.即AO是七厂的中垂线.四、1 .解：猜测结论：A8 + A£> = 8C,过.作.E_L3C于E.•••3.平分ZA8C, ZA = 90 , ：.AD = DE.：.Z\ABD 94EBD,, AB = BE.•.・ AB = AC, ：. ZC = 45、：.DE = EC.：.AD = EC. AB + AD = BC.2.解：〔1〕如下图.（2）△AE/是等边三角形.证实：•・• AB = AC , ABAC = 120 , J ZB = ZC = 30 .•・• DE垂直平分线AB, ：.EB = EA,：./BAE = /B = 30 , ••• AAEF = 60 .同理可证NAEE = 60.•♦•△AE尸是等边三角形.⑶由于点D、G分别是AB、AC的中点,所以DG是中位线,那么0G =L B C.2〔4〕*：AE = BE, AF = FC f的周长为：AE+EF + AF = BE+EF + FC = BC.又••♦8C = 2ZX7 = 10cm.,八4£月的周长为10cm.选做题1. AiABC中,ZB = 22.5J , ZC = 60 , A3的垂直平分线交8.于.,交AB于F, BD = 60, AE_L3C于心求反?的长.解:连结AO.月是A8的垂直平分线,••• AD = BD = 672 〔线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等〕•\ Nl = NB = 22.5 〔等边对等角〕••• N2 = N1 + N8 = 45"••• Z3 = 90 - Z2 = 90 -45° = 45 ,,Z2 = N3••• A七二.石〔等角对等边〕9：DE2+AE2=AD2〔勾股定理〕2AE2 = 〔6yj2〕29：.AE = 6.在R t/\ACE中,ZC = 60,•二Z4 = 30•♦.AC = 2CE〔30所对的直角边等于斜边的一半〕9： AC2-EC2 =AE2〔勾股定理〕A 〔2CE〕2一CE2 = AE2,•二3CE2 = AE2,：.CE2=\l y：.CE = 2y/3.2 .如图,NA = 90.. AD//BC. P 是AB的中点,P 1〕平分NADC.求证：CP平分NDCB.证实:过点P作P E _L D C,垂足于E, ,N3 = N4 = NA = 90°,•••PD平分NADC, A Z1 = Z2,,PA = PE,•・・P为AB的中点,、:• PA = PB, PE = PB,•: AD // BC, ZA = 90° ,•・・P点在NDCB的平分线上.,CP 平分NDCB.3. CE, 3尸分别是锐角三角形ABC的NAC8, NA8C的平分线,AFL3F于尸,AELC石于E,试说明：(1) EF//BC ; (2) EF = -(AB + AC-BC).提示：由于8/是角平分线,且A所,所以延长A尸交8c于N,那么有△A8V是等腰三角形,从而尸是AN的中点,且A3 = 8N,同理E是AW的中点,且AC = CM,所以EF 〃 BC,且EF = L 〔BN + CM - CB〕 = L 〔AB + AC - BC〕.2 2备用题1.如果三角形内的一点到三边的距离相等,那么这点是〔〕CA.是三条边中垂线的交点B.是三角形三条边的中线的交点C.是三角形三个内角平分线的交点D.是三角形三条边上的高的交点2.如图,ZXABC中,NC AB=120° , AB, AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,那么NEAF等于3.如果△ABC的边3c的垂直平分线经过顶点A,与3c相交于点.,且A8 = 2AQ,那么△A8C中必有一个内角的度数为〔〕DA. 45、B. 60 *C. 90 oD. 1204 .如图,RtZkACB, NC = 90 , AO平分NC43, 于E,那么以下结论中不正确的是〔〕BA. BD+ED = BCB. DE 平分NADBC. A.平分NEOCA D. ED + AC>AD5.等腰三角形内有一点P到底边的两端点距离相等,那么连结顶点和P的直线一定把底边.垂直平分5 .如图,在Rt^ABC中,N8 = 90>,石.垂直平分AC交AC于点.,交BC于息E,已知N£AB:4AC = 2:5,求NC 的度数.解：设ZE48=2A-,那么々AC = 5x, ：.ZC = ZEAC = 3x.而NC + N8AC = 90 , A5x + 3x = 90 , x = 11.25\ ZC = 33.75?6 .如下图,AO是N84c的平分线,DE±AB于E,.尸_L AC于尸,且80 = 8. 求证：BE = CF.证实：♦「A.是N84C的平分线,.石_LA3, DF A.AC ,.七=.尸.(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)又•/ BD = CD y：. RtADBE • RtADCF(HL)：.BE = CF.7.如图,在△A8C中,NC = 90 ,点.是斜边A8的中点,AB = 2BC, DE±AB交47于£求证：8E平分乙43c.E证实：是A8的中点,2•/ AB = 2BC, /. BC = -AB, ：.BD = BC .2又,? DE .LAB, ZC = 90,, ZC = ZBDE = 90 ,又BE = BE, ：・RtABDEMRtABCE(HL), ：.NDBE = /EBC, ：・BE斗分/ABC.角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证实中,起着“桥梁〞的作用.那么如何利用三角形的角平分线解题呢?下而举例说明.一、由角平分线的性质联想两线段相等例1如图1, AB>AC, NA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE_LAB, DFJ_AC,垂足分别为E, F.求证：BE=CF.证实连结DB, DC.•••D在NA的平分线上,,DE=DF.••• D在BC的垂直平分线上,.・.BD=DC.又NBED=/CFD=90° ,/.RtABDE^ R tACD F , ABE=CF.二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2,BC>AB, BD平分NABC,且A D二DC 求证：ZA+ZC= 1 8 0° .图1证实延长BA至F,使BF=BC.由BD平分NABC在△ F B D 与ZkCBD 中,BF=B C ZABD=Z C BD BD= B D AAFBD^ACBD,A ZC=Z F , DF=CD=AD, NF=DAF, .-.ZA + ZC=ZBAD+ZDAF=180° . 三、过角平分线上一点作一边的平行线,构成等腰三角形例3 ：如图3, NABC的平分线BF与NACB的平分线CF相交于点F,过F作DE 〃BC,交AB 于D,交AC于E,求证：BD+CERE.证实：TBF是N ABC的平分线AZDBF=ZCBF 又•.•DE〃BC 万.\ZDFB=ZCBF,NDBF=NDFB,BD二FD,同理C E= F E.ABDrC E=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例4如图4,有三条公路I＞.两两相交,要选择一地点建一座加油站,是加油站到三条公路的距离相等,应如何选择建加油站的地址?这样的位置有几种选择?解析：分别作△ A 两内角的平分线,它们相交于一点,根据角图4 性质知,这个点到三条公路的距离相等：或者分别作△ A8C相邻两外角的平分线,它们的交点到三条公路的距离也相等,这样点共有三个,所以建加油站的位置共有4种选择.角平分线携“截长补短〞显精彩角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法〞又是解决这一类问题的一种特殊方法,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1 如图1-1,月〃〃5C,点6在线段也上,4ADF4CDE, 4DCF4 E CB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD-BC y可考虑用“截长补短法〞中的“截长〞,即在.〃上截取C5, 只要再证£代期即可,这就转化为证实两线段相等的问题,从而到达简化问题的目的.证实：在⑦上截取.尸二6G如图1一2在△尸CE与△屈为中,CF = CB•ZFCE = ZBCECE = CEJXFCMXBCE (SAS) , AZ2=Z1.又,：AD〃BC, ：.ZADC+ZBCI^ 1 80 °,,/〃口+N C 〃品9 0° , AZ2+Z3 = 9 0° , Z 1 +Z4=9 0° , AZ3 = Z4.在与△山店中,ZFDE=ZADEDE = DEN3 = N4:AFD厘AADEgSA) , ：.DF^DA,•/ CD= D F+ CF, ：. CH2 BC.图1-1 B图1-2例2,如图2-1, N1 = N2,尸为民V 上一点,且尸于点〃/夕+/U2放求证：/8“斗N5C 尸=1800.分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角, 后4因而此题适用“补短〞进行全等三角形的构造.证实:过点尸作PE 垂直B A 的延长线于点瓦如图2-2• ••/1 = /2,且产〃,BC,:・PE=PD,在 RtXB P E 与 RtABPD 中,PE = PDBP=BP:.RtABP 的 RtABPDim, ：・BFBD.• ： A 历B C=2BD, ：. AB+ B D+g B 步% ；.A 济DC=BE 即 DC= B&AB =AS.在了亡△ APE 与RtXCP 〃中,PE=PD• ZPEA = ZPDCAE=DC:.RtXAP 厘Rt4CPD0&,：.N/MFN PCD又♦： NBA 用NR1£=18O° , ；♦/8AP+NBC 尸=180°例3己知：如图3-1,在△嫉中,NO2N6, Z1=Z2.求证:冷力C+ CD.分析:从结论分析,“截长〞或“补短〞都可实现问题的转化,即延 长月.至£使.48 或在月月上截取止 证实:方法一(补短法)延长力.到左 使〃RCE,那么=NC£〃 /.』ACB=24E,• :乙AC B 之4 B, ：. Z5= Z F,在 4ABDW4AED 中,21 = Z2• NB = NEAD=AD:.XABDQXAED (AAS) , ：.AB=AE.又 A E=AC+C 匹AC+DC, ：. AB^AC^r DC. 方法二〔截长法〕在四上截取AF^A C,如图3- 3在与△?! C,中, AF = AC< Zl = Z2AD=AD:AAF 哈△ACD(SAS ) , ：.DF=DC, N /尸氏N / CD. 又•： 4ACB= 2/B,：・/FD 斤4B, :.FD= FB.即证实N6c AN BD图3-2<: AB = AF〞 B=AHFD, ：. A&^A&CD.上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰中选择适宜思路进行分析.让掌握学生掌握好“截长补短法〞对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.角平分线问题中的一题多解如图1 所示,在△ ABC 中,/C=2NB./ 1 =Z 2 o求证：AB=AC+C D o证法一：截取法.就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等, 然后证实另一段等于加法运算的另一条线段.如图2所示,在AB上截取AE=AC,连结DE.在aAED和4ACD中AE = AC<Z1 = Z2AD = AD所以△AEDgAACD.所以ED=CD, Z3=ZC<,图2由于N3=NB+N4,NC=2NB,所以NB=N4,所以BE=DE0所以AB=AE+BE=AC+DE=AC+C D.证法二、补短法.就是在较短的一条线段的根底上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起.本种方法是延长AC,再在延长线上截取CF=CD O如图3所示,延长AC到点F,使CF=CD,连结DF.由于C F=CD,所以N3 = NF,由于NACB=N3+NF, 所以NACB=2NF0 又由于NACB=2 NB, 所以NB=NF,在4ABD和4AFD中Z1 = Z2<NB ="AD = AD所以△ABDTZkA FD,所以AB=AF.由于AF=AC+CF=AC+CD,所以AB= A C+CDo第三种方法：也是属于补短法,本种方法是延长DC,再在延长线上截取CM=AC.证实:延长DC,在DC的延长线上截取CM=AC,连结AM.由于由于CM=CA,所以N3=NM.由于NAC B = N3 +NM, 所以NACB=2 NM=2N3,又由于N ACB=2NB,所以NB = NM=N3,所以AB=AM.由于N4=NB + N1,N D AM=N2+N3,N 1=Z2所以N4=NDAM,所以AM= DM=DC+CM=DC + AC,所以AB = DC+AC0练习：如图5所示,在AABC中,BC边的垂直平分线DF交△ B A C的外角平分线AD于点D.F为垂足.DE_L AB 于E,并且AB>AC,求证：BE-AC=AEo提示:可以将减法运算转化为加法运算,然后利用“截长〞或者“补短〞法解决问题,。

第04讲 线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.知识点01 线段的垂直平分线ìíî线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理知识点02 角的平分线ìïíïî角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理性质定理题型01 线段的垂直平分线的性质(1)求证：BE AC =(2)若35B Ð=°，则BAC Ð=【答案】(1)见解析(2)75°∵AD BC ^于点D ，且D 为线段∴AD 垂直平分CE ，∴AC AE =，∵EF 垂直平分AB ，∵AD BC ^，∴90ADB Ð=°，∴903555BAD Ð=°-°=°，∴553520EAD Ð=°-°=°，∵AC AE =，AD BC ^，∴20EAD CAD Ð=Ð=°，∴75BAC BAE EAD CAD Ð=Ð+Ð+Ð=°．故答案为：75°．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若CMN V 的周长为15cm ，求AB 的长；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)15cmAB =(2)40MCN Ð=°【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN V 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF NMF Ð+Ð，再求出A B ÐÐ+，根据等边对等角可得A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；【详解】（1）解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN V 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN V 的周长为15cm ，∴15cm AB =；（2）解：∵70MFN Ð=°，∴18070110MNF NMF Ð+Ð=°-°=°，∵AMD NMF Ð=Ð， BNE MNF Ð=Ð，∴110AMD BNE MNF NMF Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴909018011070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+°-Ð=°-°=°，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，∴()180218027040MCN A B Ð=°-Ð+Ð=°-´°=°．2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，AD BC ^于点D ，BD DE =，连接AE ．(1)若AE 平分BAC Ð，求C Ð的度数；(2)若ABC V 的周长为13cm ，5cm AC =，求CD 的长．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．【详解】（1）解：AD BC BD DE ^Q ，＝，EF 垂直平分AC ，∴AB AE EC ＝＝，C CAE \ÐÐ＝，∵AE 平分BAC Ð，∴BAE EAC ÐÐ＝，∵AD BC ^于点D ，B D ＝D E ，∴AB AE ＝，∴2B AEB C EAC C ÐÐÐ+ÐÐ＝＝＝，根据三角形内角和等于180°可得，180B AEB BAE Ð+Ð+а＝，22180C C C \Ð+Ð+а＝，36C \а＝．（2）ABC QV 周长13cm ，5cm AC =，∴8cm AB BC +＝，∴8cm AB BE EC ++＝，即，228cm DE EC +＝，∴4cm DE EC +＝，∴4cm DC DE EC +＝＝．题型02 线段的垂直平分线的判定(1)求证：AD (2)已知ABC Ð【详解】（1）证明：∴点A 在BC AD \垂直平分（2）解：V 【变式训练】1.如图，ABC V 为等边三角形，AD AB ^，4AD DC ==，AC BD ，相交于点E ．(1)求证：BD 垂直平分AC ；(2)求BE 的长；(3)若点F 为BC 的中点，点P 在BD 上，则PC PF +的最小值为______．（直接写出结果）．【详解】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC =；∵,,AB BC AD CD BD BD ===，∴()ABD CBD SSS V V ≌，∴ADB CDB Ð=Ð，∵,,AD DC ADB CDB DE DE =Ð=Ð=，∴()ADE CDE SAS V V ≌，∴,90AE EC AED DEC =Ð=Ð=°，∴BD 垂直平分AC ；（2）解：∵DB AC ^，∴BE 平分ABC Ð，∵60ABC BAC Ð=Ð=°，∴30ABD Ð=°，∵90BAD Ð=°，∴30DAE Ð=°，∵4=AD ，∴8,2BD DE ==，∴6BE BD DE =-=；（3）解：连接AF 交BD 于点P ，连接PC ，∵BD 是AC 的垂直平分线，∴A 、C 关于BD 对称，(1)求证：DB DE=；(2)过点A作AF BC∥，交ED延长线于点F，交①若12EM=，则BD= ．题型03 线段的垂直平分线的实际应用【例题】如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )A ．ABC V 三边垂直平分线的交点B ．ABC V 三条角平分线的交点C ．ABC V 三条高所在直线的交点D ．ABC V 三条中线的交点【答案】A 【详解】解：∵猫所在的位置到A 、B 、C 三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在ABC V 三边垂直平分线的交点处；故选A ．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）A ．ABC V 的三条中线的交点B ．ABC V 三边的垂直平分线的交点C ．ABC V 三条角平分线的交点D ．ABC V 三条高所在直线的交点【答案】B 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在ABC V 三条边的垂直平分线的交点处．故选：B ．题型04 线段的垂直平分线的尺规作图【例题】如图，已知在ABC V 中，7AC =．(1)用尺规作BC 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)BC 边的垂直平分线分别交AC BC 、于点D 、E ，连接BD ，若ABD △的周长是10，求AB ．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；；（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD DC =，∵7AC =，∴7AD DC AD BD +=+=，∵ABD △的周长是10，∴10AB BD AD ++=．∴3AB =．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点P 这个监控安装的位置．．2．如图，已知点A 、点B 以及直线L ．(1)用尺规作图的方法在直线L 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接AP BP ，，若90APB Ð=°，过点A 作AM L ^于点M ，过点B 作BN L ^于点N ．求证：MN AM BN=+【详解】（1）解：点P 如图所示，；（2）解：∵AM L ^，BN L ^，90APB Ð=°，∴90MAP APM NPB Ð=°-Ð=Ð，∵PA PB =，∴()AAS MAP NPB ≌△△，∴AM PN =，PM BN =，∴MN PN PM AM BN =+=+．题型05 角平分线的性质定理【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图AC 平分BAD Ð，CE AB CF AD ^^，，垂足分别为E 、F ，且BC CD =．(1)求证：BCE DCF △≌△；(2)若106AD BE ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证BCE DCF △≌△和Rt Rt ACF ACE @△△是解题的关键．（1）先证明CE CF =，再根据HL 即可证明BCE DCF △≌△；（2）先求出6DF BE ==，再根据HL 即可证明Rt Rt ACF ACE ≌△△，进而可求出AB 的长．【详解】（1）AC Q 平分BAD Ð，CE AB ^于E ，CF AD ^于F ，90CFD \Ð=°，90CEB Ð=°，CE CF =，在Rt BCE V 和Rt DCF V 中，CE CF BC CD =ìí=î，Rt Rt (HL)BCE DCF \△≌△；（2）∵BCE DCF △≌△，6BE =，∴6DF BE ==．∵10AD =，∴10616AF =+=．在Rt ACF V 和Rt ACE V 中，CF CE AC AC=ìí=î，Rt Rt (HL)ACF ACE \△≌△，∴16AE AF ==，∴16622AB =+=．【变式训练】1)求证：AE 是DAB Ð2)已知4AE =，DE 【答案】(1)见解析2)12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；（1）根据角平分线的性质得出∵90C Ð=°，∴EF AD ^，∵AE 是DAB Ð的平分线，∴EF EC =，(1)求证：BE CF =；(2)若67AF BC ==，，则ABC V 【答案】(1)证明见解析(2)19可．【详解】（1）证明：连接CD BD ，，∵D 在BC 的中垂线上，∴BD CD =，∵DE AB ^，DF AC ^，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，90BED CFD Ð=Ð=°，∴()Rt Rt HL BDE CDF V V ≌，∴BE CF =；（2）解：∵AD 平分BAC Ð，∴∠∠E A D FA D =，∵DE AB ^，DF AC ^，∴90AED AFD Ð=Ð=°，又∵AD AD =，∴()AAS AED AFD V V ≌，∴AE AF 6==，由（1）可知BE CF =，∴ABC V 的周长为：66719AC AB BC AF CF AE BE BC AF AE BC ++=-+++=++=++=，故答案为：19．题型06 角平分线的判定定理【例题】如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON Ð的内部且CA CB =，CD OM ^，CE ON ^，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON Ð；(2)如果12AO =，4BO =，求OD 的长．【详解】（1）证明：由题意得：CD OM ^，CE ON ^，\90CDA CEB Ð=Ð=°，在Rt ACD △和Rt BCE V 中，AC BC AD BE=ìí=î，\()Rt Rt HL ACD BCE V V ≌，\CD CE =，Q CD OM ^，CE ON ^，\OC 平分MON Ð．（2）在Rt ODC △和Rt OEC △中，CD CE OC OC =ìí=î，\()L Rt Rt H ODC OEC ≌V V ，\OD OE =，设BE x =，Q 4BO =，\4OE OD x ==+，Q AD BE x ==，\4212AO OD AD x =+=+=，\4x =，\448OD =+=．【变式训练】1．如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC Ð；(2)写出+AB AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：∵DE AB ^∴90E DFC Ð=Ð=°，(1)求证：OC 是AOB Ð的平分线；(2)若30AOB Ð=°，23PF =，PF 【详解】（1）证明：在Rt PDF V 和题型07 角平分线性质的实际应用【例题】三条公路将、、A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在A B C ÐÐÐ、、的角平分线的交点处，故选：C ．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．1个【答案】B 【详解】解：如图所示，分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点1234,,,P P P P 共4个点，故选：B ．题型08 作角平分线（尺规作图）【例题】已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，2B A Ð=Ð．(1)求作ABC Ð的平分线，交AC 于点P ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求ABP Ð的角度？【详解】（1）解：以点B 为圆心，适当长为半径画弧交BA ，BC 于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点B 与该点所在直线交AC 于点P ，如图所示：BP 即为所求；（2）解：∵AB AC =，1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题A．4cm B．5cm【答案】C【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含Q是AB的垂直平分线，DEAD DB cm\==，12\Ð=Ð=°，15DAE BA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．过点D 作DE OB ^于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP DE =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ^于E ，OC Q 是AOB Ð的角平分线，DP OA ^，DP DE \=，由垂线段最短可得DQ DE ³，4DP =Q ，4DQ \³．故选：A ．3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC V 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC V 的外接圆圆心，A ．16°B ．26【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据90ACB Ð=°，直线116BDC Ð=°，结合CDE ÐA ．①②【答案】D∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，在Rt BED △和Rt CFD V DE DF BD DC=ìí=î，【答案】80°/80度【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得CD BD =，从而得到BCD B Ð=Ð的性质可得50A ADC Ð=Ð=°，即可求解．【答案】3【分析】此题考查了角平分线的性质定理，作DH AB ^于点H ，先求出即可得到点D 到的距离．∵8BC =，5BD =，∴3CD BC BD =-=，∵90C Ð=°，∴DC AC ^，【答案】20【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知利用垂直平分线可知AD 【详解】解：∵分别以点【答案】50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设3ABC x Ð=，Ð∵点M N 、是ABC Ð与Ð∵点M N 、是ABC Ð与ACB Ð∴BN 平分MBC Ð，CN 平分∴,NE NG NF NG ==，∴NE NF =，∴MN 平分BMC Ð，150BMN BMC Ð=Ð=°，【答案】 15° 6【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．（1）先证明Rt Rt BDE △≌△11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AC 边的垂直平分线分别交BC AC 、于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ^于点D ，且D 为BE 的中点．(1)试说明：AB CE =；(2)若32C Ð=°，求BAC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．（1）根据等腰三角形的判定得出AB AE =，根据垂直平分线的性质得出AE CE =，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出32C EAC Ð=Ð=°，再根据三角形的外角的性质得出64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，再根据等边对等角得出64B AEB Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出52BAE Ð=°，进而得出答案．【详解】（1）∵D 为BE 的中点，∴BD DE =，∵AD BC ^，∴AB AE =，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，∴AB CE =；（2）∵32C AE CE Ð=°=，，∴32C EAC Ð=Ð=°，∴64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，∵AB AE =，∴64B AEB Ð=Ð=°，∴180180646452BAE B AEB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴523284BAC BAE EAC Ð=Ð+Ð=°+°=°．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABC V 中，90C Ð=°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．(1)作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ；(2)连接CF ；(3)作BFC Ð的平分线，交BC 于点G ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ，连结CF ，作BFC Ð的平分线，交BC 于G ．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，DF AC ^于点F ，连接EF ，AD 垂直平分EF ．(1)求证：AD 是BAC Ð的平分线；(2)若ABC V 的周长为18，ABC V 的面积为24，6BC =，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到DE DF =，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；（2）首先求出12AB AC +=，然后根据等面积法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AD 垂直平分EF ，(1)试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．(2)若104AB AC ==，，试求【答案】(1)BF CG =，证明见解析(2)7【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：Q AE 平分BAC Ð，EF AB ^\EF EG =，Q D 为BC 的中点，DE BC ^\DE 垂直平分BC ，\EB EC =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，∵AB AC =，∴()111809022B A A Ð=°-Ð=°-Ð∵MN 为AB 的垂直平分线，∴90BNM Ð=°，(1)若120ACB Ð=°，则MCN Ð的度数为 (2)若MCN a Ð=，则MFN Ð的度数为 ；（用含(3)连接FA FB FC 、、，CMN V 的周长为6cm 【答案】(1)60°(2)1902a °-Q DM EN ，分别垂直平分AC 和BC ，MA MC \=，NB NC =，Q CMN V 的周长为6cm ，6cm MC NC MN \++=，6cm MA NB MN \++=，即6cm AB =，Q FAB V 的周长为14cm ，14cm FA FB AB \++=，8cm FA FB \+=，Q DF EF ，分别垂直平分AC 和BC ，FA FC \=，FB FC =，28cm FC \=，4cm FC \=．17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于D ，CM CD ^，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于O ，MG AC ^于点G ，MF BC ^于点F ．(1)求证：BCM GCM Ð=Ð；(2)若2CG =，求BC AG -的长；(3)若点D 在BC 的垂直平分线上，试判断ABM V 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)ABM V 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得ACD BCD Ð=Ð，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证FCM GCM ≌V V ，可得MF MG =，2CF CG ==，由“HL ”可证Rt Rt BFM AGM ≌V V ，可得BF AG =，即可求解；（3）由线段垂直平分线的性质可求30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，由等腰三角形的性质可求30MAG Ð=°，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵CD 平分ACB Ð，∴ACD BCD Ð=Ð，∵CM CD ^，∴90DCM Ð=°，∴90ACD MCG Ð+Ð=°，90DCB BCM Ð+Ð=°，∴BCM GCM Ð=Ð；（2）∵BCM GCM Ð=Ð，90MFC MGC Ð=Ð=°，CM CM =，∴()AAS FCM GCM ≌V V ，∴MF MG =，2CF CG ==，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM BM =，且FM MG =，∴()Rt Rt HL BFM AGM ≌V V ，∴BF AG =，CBM MAG Ð=Ð，∴2BC AG BC BF CF -=-==；（3）∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD CD =，∴DBC DCB Ð=Ð，且ACD DCB Ð=Ð，90DBC DCB ACD Ð+Ð+Ð=°，∴30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，∵AM BM =，∴30MAB MBA ABC CBM CBM Ð=Ð=Ð+Ð=°+Ð，∵CBM MAG Ð=Ð，∴30MAB MAG Ð=°+Ð，∵90MAB MAG BAC Ð+Ð=Ð=°，∴30MAG Ð=°，∴60MAB MBA Ð=Ð=°，∴60AMB Ð=°，∴ABM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP 平分AOB Ð，PA OA ^于点A ，PB OB ^于点B ．(1)探究：如图2，点M 是OP 上任意一点（不与O 、P 重合），连接MA 、MB ，问题：请判断MA 与MB 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接AB ．问题：①OP 垂直平分AB 吗？请说明理由．②若30AOP Ð=°，6AB =，求AOB V 的周长．【答案】(1)MA MB =，证明见解析(2)①OP 垂直平分AB ，理由见解析；②18【分析】（1）证明()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()SAS AOM BOM V V ≌，进而可得MA MB =．（2）①如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()AAS OAP OBP V V ≌，则AC BC =，90ACO BCO Ð=Ð=°，进而可得OP 垂直平分AB ；②由题意知60AOB Ð=°，可证AOB V 是等边三角形，则6OA OB AB ===，然后求AOB V 的周长即可．【详解】（1）解：MA MB =，证明如下：∵OP 平分AOB Ð，PA OA ^，PB OB ^，∴AOP BOP Ð=Ð，90OAP OBP Ð=Ð=°，又∵OP OP =，∴()AAS OAP OBP V V ≌，∴OA OB =，∵OM OM =，AOM BOM Ð=Ð，OA OB =，∴()SAS AOM BOM V V ≌，∴MA MB =．（2）①解：OP 垂直平分AB ，理由如下：如图3，记AB 与OP 的交点为C ，。

八年级丨线段垂直平分线的经典题型解析要点一、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．线段垂直平分线的尺规作图求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例一、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离就想等，从而把三角形的边进行转移，求的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．答案】19；∵DE是AC的中垂线，∴AD＝DC，AE＝CE＝3∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝13∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19．类型二、线段的垂直平分线逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC 的垂直平分线．【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

ED F CBAD C BA全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.解:延长AD到E,使DE=DA,连接BE.又∵BD=CD;∠BDE=∠CDA.∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=AC=5.∵AB-BE<AE<AB+BE.(三角形三边关系定理)即7-5<2AD<7+5.∴1<AD<6.【经验总结:见中线,延长加倍.】例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.BE+CF >EF证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG∵BD=CD，FD=DG，∠BDG=∠CDF∴△BDG≌△CDF∴BG=CF∵ED⊥FG∴EF=EG在△ABG中，BE+BG>EG∵BG =CF，EG=EF∴BE+CF >EF例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.即AD 平分∠BAE应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。