第一章 向量代数与空间解析几何 第五节 平面与直线方程

模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z

(2) λ ⃗ ∙ =λ ⃗ ∙ ，其中 λ ∈ ； (3) ⃗ ∙ + ⃗ = ⃗ ∙ + ⃗ ∙ ⃗.
二、向量积 1、引例 力矩 = × ⃗
2、定义 向量积(矢量积)
⃗ × 大小： ⃗ × = ⃗ sin ⃗ , 方向：与 ⃗ , 都垂直，且 ⃗ , , ⃗ × 构成右手系
注 (1) 向量积是一个向量而非数量. (2) ⃗ ⃗ × = 0，规定 0 与任意向量都平行. (3) ⃗ × ⃗ = 0.
= (& − & , ' − ' , ( − ( ).
二、向量的坐标运算
设 = (& , ' , ( )， = (& , ' , ( )， + = &+ , '+ , (+ , ⃗ = (& , ' , (). (1) 加(减)法 ± = (& ± & , ' ±' , ( ± ( )
(2) 数乘向量 λ ⃗ = ( & , ' , ()
(2) ( ⃗ × ) ∙ ⃗ = ( × ⃗) ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ( × ⃗).
1.5 向量的坐标
一、向量的坐标 1、自由向量 起点为原点，则向量 被唯一确定， 称 为点 P 的径向或定位向量. 2、空间点集与向量集一一对应
!
P V3 3、向量的坐标
空间直角坐标系 {O ; x , y , z}，" , # , $ 为单位向量. (1) 设 P (x , y , z)， = %⃗，则 %⃗ = &" + '# + ($，记 %⃗ = (& , ' , ()； (2) 设 = (& , ' , ( )， = (& , ' , ( )，则

高数书题目重点目录整理2015考研数学高等数学教材导学【注】1导学用书：同济大学《高等数学》（上、下册）（第6版）2 请各位学员认真研读课本内容及完成选择习题，打下一个牢固的基础。

无论是教材上的定理、例题，还是课后的习题，曾作为历年的考研真题出现过。

第1章函数、极限、连续1、映射与函数（一）复习内容P1-16(表示1至16页，下同)，双曲函数开始之后的不复习。

（二）选做习题P21-22 第4-12题，第14-16题。

2、数列的极限（一）复习内容P23-30（二）选做习题P30-31 第1、5、6题。

3、函数的极限（一）复习内容P31-37（二）选做习题P37-39 第1-4题，第12题。

4、无穷小与无穷大（一）复习内容P39-41（二）选做习题P42 第4、5、6、7题。

5、极限运算法则（一）复习内容P43-49（二）选做习题P49 第1-5题。

6、极限存在准则两个重要极限（一）复习内容P50-55（除Cauchy极限存在准则）（二）选做习题P56-57 第1、2、4题。

7、无穷小的比较（一）复习内容P57-59（二）选做习题P59-60 第1-4题。

8、函数的连续性与间断点（一）复习内容P60-64（二）选做习题P64-65 第1-5题，第7-8题。

9、连续函数的运算与初等函数的连续性（一）复习内容P66-69（二）选做习题P69-70 习题1-9全做P74 总习题一第1-13题。

第2章函数、极限、连续1、导数概念（一）复习内容P77-86（二）选做习题P86-88 习题2-1全做。

2、函数的求导法则（一）复习内容P88-96（例17不学）（二）选做习题P97-99 第1、5题，第5-11题，第13、14题。

3、高阶导数（一）复习内容P99-102（二）选做习题P103 习题2-3除第5题全做。

4、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（一）复习内容P104-111（二）选做习题P111-113 习题2-4除第9题全做。

M1
M2
向量的模：向量的大小,记为
uuuuuur M1 M 2
或
| a|
单位向量：模长为1的向量.
记为 M1M20
r 或ea
零向量： 模长为0的向量. 记为
r 0.
任意方向
相等向量：ar
r b
大小相等且方向相同的向量.
a
b
自由向量： 不考虑起点位置的向量. a
a
负向量： 大小相等但方向相反的向量.
M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
2.向量的坐标表示
由于所讨论的向量是自由向量，可以把任意
向设量终经点平M移(看x, 作y, z从)，原rr点 Ou出uMu发r, 的z向量，称为向径.
向坐标轴投影， 分向量：
uuur r uuur r uuur r OP＝xi ,OQ yj ,OR zk ,
4
P1
的坐标为(1,0,3), uuuur
求
P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为, ,，则
,
3
cos 1 ,
2
4
,
cos
2, 2
Qcos2 cos2 cos2 1,
cos 1 ( 1 )2 ( 2 )2 1
22
2
由前面得
cos 1 , 2
cos 2 ,
uuur2
1.1.2 向量的线性运算
加法： a b c
c
b
a
b c
a
（三角形法则） （平行四边形法则）
三角不等式
|
ar
r b
||
ar
|
|
r b
|