2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷（六）数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．4.定义运算，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断．【详解】从定义运算a⊕b上看，对于任意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5.的展开式中，的系数是（）A. -160B. -120C. 40D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r＝2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．【详解】（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和∵（1﹣2x）5展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C5r x r令r＝3得到x3项的系数为﹣8C53＝﹣80令r＝2得到x2项的系数为4C52＝40所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40＝﹣120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 36B. 32C. 30D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥4×3+5×35×34×3+3×3＝36．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a 的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.在中，若，（），则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵（1，2），（﹣x，2x）（x＞0），∴（﹣x﹣1，2x﹣2），∴||令y＝5x2﹣6x+5，x＞0根据二次函数的性质可知，当x，y min，此时BC最小，∴，（，），0，∴，即C＝90°，故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题．9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f′（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率k＝f′（2）＝tanα，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，代入可求．【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），∴f′（1）＝3+4f′（1），即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，则sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，故选：D．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用．10.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据23，计算出△P AB，△P AC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．【详解】如图，令，，．则P为△A1B1C1的重心，∴，而，，．∴2S△P AB＝3S△P AC＝6S△PBC，∴，，．则P△PBC P△PBA P△P AC．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为（）A. 279B. 289C. 399D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n 组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2，有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数，…第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有个数，当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+故答案为C．【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n 项和公式与分组求和的方法，进行求和．12.已知且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.【详解】等价于,即，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在上，，故函数单调增，又因为，故得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，则__________．（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义写出．【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|0}＝[0，1），则∁M N＝（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．14.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则开始时输入的x的值为____________【答案】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．【详解】第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x，故答案为：．【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．15.设实数满足，若的最大值为16，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．【详解】实数x，y满足的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；当k＜0时，①当k时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝4k+4，故k＝3．②当k时，目标函数z＝kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝0×k+2，故k不存在．综上，k＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，又点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，，解得，，==，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cos A，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.设，，，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满足（）的最大正整数.【答案】（1）a n＝6n－5 （）（2）8【解析】【分析】（1）根据f（x）＝3x2﹣2x，由（n，S n）在y＝3x2﹣2x上，知S n＝3n2﹣2n．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，知T n（1－），根据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围．【详解】（1）因为＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝1，所以，a n＝6n－5 （）.（2）由（1）得知＝，故T n＝＝＝（1－），且T n随着n的增大而增大因此，要使（1－）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m<9，所以满足要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面内的线垂直于平面内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.【详解】（1）证明：取中点，的中点为M，连结，MN,则有∥且=∴四边形为平行四边形，∥∵面,∴,又∴平面故⊥平面.所以平面平面(2)如图建立空间直角坐标系，则B(-,0,0),A(,0,0),因为是线段的中点，所以M所以设是平面的一个法向量，因为所以，由所以可取【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
