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【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟”
七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历
史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[ln m x ln( 2m)] 4ln2( e 1)m
类型一
一次函数与分段函数
解题准备:分段函数模型: ①分段函数在不同的区间中具有不同的解析式. ②分段函数是一个函数,其定义域为各段自变量取值集合的 并集,其值域为各段值的集合的并集.
③分段函数模型的表示形式通常写成如下形式 : f1 x , x D1 , f 2 x , x D 2 , y f x , x D . n n 其中D1 , D 2 , , D n 表示区间.
【典例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A､B两种优惠 方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关 系如图所示(实线部分).(注:图中MN∥CD)试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A､B各付话费多少元? (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行
.而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行.
(3)当a>1,n>0时,对于函数y=xn,y=ax,y=logax在x∈(0,+∞)时, 函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函 数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此 总会存在一个x0;当x>x0时,总有ax>xn>logax.
3 3 3 f B x 1 f B x ( x 1) 18 x 18 0.3 元 10 10 10 方案B从500分钟以后, 每分钟收费0.3元.
3由图知,当0 x 60时, f A x f B x ;
3 当60 x 500时, f A x x 80, f B x 168, 10 1 1 联立得x 293 ,因此当60 x 293 时, 3 3 1 f A x f B x ;当293 x≤500时, f B x f A x ; 3 当x 500时, 显然f B x f A x . 1 综上所述, 当x 293 分钟, 3 1 、即通话时间为293 分钟以上时, 方案B才会比方案A优惠 3
[反思感悟]建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际 中的最优化问题,但要注意自变量的取值范围,利用二次函 数配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数的特点.
类型三
指数函数模型
解题准备:(1)增长率问题应用非常广泛,如存款或贷款的复利 计算问题,国民经济增长率问题. (2)对于函数未知的应用题,这类问题的一般方法是:①审清题
a 2.形如f(x)=x+ (a>0,x>0)的函数模型有广泛应用 x ,利用基本不等式可求其最小值为 2 a .
3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题, 设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,
解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.
考点陪练
1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()
8
2 设应装载x吨燃料方能满足题意,
此时m 544 x, y 8, 代入函数关系式 544 m x y ln 1, , 得ln 544 x m 解得x 344吨.
8
故应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发 送到预定的轨道.
类型五
幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型
解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函 数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型.
第十三讲函数模型及其应用
回归课本
1.三种常见的函数模型 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增 大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大 ,y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢.
第二､三产业的总产值增加最多?
[分析]“保证第二产业的产值不减少”转译的数学语言是一 个“二次不等式模型”,“该市第二､三产业的总产值增加 最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”.
[解]设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足 (100-x)·a·(1+2x%)≥100a. 因为a>0,x>0,可解得0<x≤50,
意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配
方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点.
【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每 年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去 加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人 每年创造产值可增加2x%(0<x<100),而分流出的从事第三 产业的人员,平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证第 二产业的产值不减少的情况下,分流出多少人,才能使该市
吨(e为自
然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为4
km/s.
(1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系 式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才
能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发
送到预定的轨道?
[分析]本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数, 然后根据函数关系及题设进行求解.
[解] 1 依题意, 把x ( e 1)m, y 4代入 函数关系式y k[ln m x ln( 2m)] 4ln 2, 解得k 8.所以所求的函数关系式为 y 8[ln m x ln ( 2m)] 4ln 2. m x 整理得y ln . m
[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同, 因此,需分段列式.
[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不 妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意 解题. (1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),
MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、 fB(x),
设该市第二､三产业的总产值增加f(x)万元,
则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a, ∴f(x)=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增, ∴当x=50时,f(x)max=60a,
因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出50万人, 才能使该市第二､三产业的总产值增加最多.
1 x≤20 1.2 1.2 1.009, x≤0.9%.
1 20
[答](1)经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式 为y=100(1+1.2%)x;(2)10年后该城市的人口总数约为 112.7万人;(3)大约经过15年该城市人口将达到120万人 ;(4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率 应控制在0.9%.
A.3600元
C.4000元 答案:B
B.3800元
D.4200元
5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96 元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润, 某人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)() A.全部购买股票
B.全存入银行
C.部分购买股票､部分存入银行 D.购买股票或存入银行均一样 答案:B
98, 0≤x≤60, 则f A x 3 10 x 80, x 60. 168, 0≤x≤00, fB ( x ) 3 10 x 18, x 500. 通话2小时两种方案的话费分别为116元､ 8元. 16
2 当x 500元时,
1 x A. y e 100 C.y x100
答案:A
B. y 100lnx D.y 1002x
2.今有一组实验数据,如下表:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是( A.v=log2t B.v=2t-2
)
t 2 1 C.v= 2
[解](1)y=100(1+1.2%)x(x≥0); (2)令x=10,得y=100(1+1.2%)10≈112.7(万人); (3)令y=120,得100(1+1.2%)x=120, ∴x=log1.0121.2≈15(年); (4)设年自然增长率为x,由题意,得 100(1+x)20≤120,∴(1+x)20≤1.2,
意,引进数学符号;②正确建立函数关系式;③研究函数关系
式,作正确解答.
【典例3】某城市现有人口总数100万人,如果自然增长率为 1.2%. (1)写出经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约经过多少年以后该城市人口将达到120万人(精确 到1年); (4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应 控制在多少?
