平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。

理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。

其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。

否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。

所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。

但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。

给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。

综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。

（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。

下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。

（3）这个结果不是帕累托有效的。

因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。

第十章博弈论开端1.什么是纳什平衡？纳什平衡必定是最优的吗？解答：(1)所谓纳什平衡，是参加人的一种战略组合，在该战略组合上，任何参加人独自改动战略都不会掉掉落益处。

(2)不必定。

纳什平衡能够是最优的，也能够不是最优的。

比方，在存在多个纳什平衡的状况下，此中有一些纳什平衡就不是最优的；即便在纳什平衡是独一时，它也能够不是最优的——因为与它相对应的领取组合能够会小于与其余战略组合相对应的领取组合。

2.在只要两个参加人且每个参加人都只要两个战略可供选择的状况下，纯战略的纳什平衡最多可有多少个？什么原因？解答：在只要两个参加人(如A跟B)且每个参加人都只要两个战略可供选择的状况下，纯战略的纳什平衡最多可有四个。

比方，当A与B的领取矩阵可分不表现如下时，总的领取矩阵中一切四个单位格的两个数字均有下划线，从而，统共有四个纳什平衡。

A的领取矩阵＝B的领取矩阵＝3.在只要两个参加人且每个参加人都只要两个战略可供选择的状况下，纯战略的纳什平衡能够有三个。

试举一例阐明。

解答：比方，当参加人A与B的领取矩阵可分不表现如下时，总的领取矩阵中恰恰有三个单位格的两个数字均有下划线，从而，统共有三个纳什平衡。

A的领取矩阵＝B的领取矩阵＝4.在只要两个参加人且每个参加人都只要两个战略可供选择的状况下，怎样寻到一切的纯战略纳什平衡？解答：可运用前提战略下划线法。

详细步调如下：起首，设两个参加人分不为左参加人跟上参加人，并把全部的领取矩阵剖析为这两个参加人的领取矩阵；其次，在左参加人的领取矩阵中，寻出每一列的最年夜者，并在其下划线；再次，在上参加人的领取矩阵中，寻出每一行的最年夜者，并在其下划线；再再次，将曾经划好线的两个参加人的领取矩阵再兼并起来，掉掉落带有下划线的全部领取矩阵；最初，在带有下划线的全部领取矩阵中，寻到两个数字之下均划有线的一切的领取组合。

这些领取组合所代表的战略组合确实是纳什平衡。

5.设有A、B两个参加人。

关于参加人A的每一个战略，参加人B的前提战略有无能够不止一个。

博弈论习题答案博弈论习题答案博弈论是一门研究决策和策略的数学分支，它通过分析参与者之间的互动，揭示他们的利益和行为模式。

在博弈论中，常常会遇到各种各样的习题，这些习题旨在让我们思考和解决实际生活中的决策问题。

本文将给出一些常见的博弈论习题的答案，帮助读者更好地理解和应用博弈论的概念。

1. 零和博弈问题零和博弈是指参与者的利益完全相反，一方的收益等于另一方的损失。

考虑以下情景：两个商人A和B在市场上销售相同的产品，他们的利润取决于他们的定价策略。

如果A的定价高于B，那么B将失去一部分市场份额，反之亦然。

假设A和B的收益函数分别为R_A(p_A, p_B)和R_B(p_A, p_B)，其中p_A和p_B分别是A和B的定价。

问题是，A和B应该如何定价以最大化自己的利润？答案：由于这是一个零和博弈问题，A和B的利益完全相反。

因此，他们的最佳策略是采取纳什均衡策略。

纳什均衡是指在互动中，没有参与者能够通过改变自己的策略来提高自己的收益。

在这个例子中，纳什均衡定价是使得A和B的利润最大化的定价组合。

通过求解收益函数的偏导数，我们可以找到纳什均衡定价。

2. 合作与背叛在博弈论中，合作与背叛是一个经典的主题。

考虑以下情景：两个犯罪团伙A和B同时被捕，他们面临着与检察官合作还是背叛的选择。

如果两个团伙都选择合作，那么他们将面临较轻的刑罚；如果一个团伙选择合作而另一个团伙选择背叛，那么合作的团伙将面临较重的刑罚，而背叛的团伙将面临较轻的刑罚；如果两个团伙都选择背叛，那么他们将面临较重的刑罚。

问题是，A和B应该如何决策以最大化自己的利益？答案：这是一个经典的囚徒困境问题，合作是最佳策略。

在囚徒困境中，纳什均衡是使得参与者无法通过改变自己的策略来提高自己的收益。

在这个例子中，如果A和B都选择合作，他们将获得较轻的刑罚。

然而，如果一个团伙选择背叛而另一个团伙选择合作，背叛的团伙将获得更轻的刑罚，而合作的团伙将获得更重的刑罚。

中微补充讲义 （7）平新乔 （2006年12月17日）关于纳什均衡的两个案例二、占优策略与“密封次高价”拍卖机制拍卖是一种古老且至今仍存在的市场交易方式。

从最宽的定义来说，“拍卖”是指将经济资源配置到某一个当事人手中的方式。

现实生活中，古董的拍卖、艺术品的拍卖、短期国债的拍卖、海上油矿开采权拍卖、天然气开采权拍卖，到无线频道拍卖、国有企业拍卖等。

拍卖形式繁多，而且涉及大宗商品的交易。

“有效”的拍卖机制中涉及到两个概念：（1）有效性：这是指（a ）要让资源经过拍卖配置到对该资源（标的物）评价最高的当事人手里；（2）要使得标的物的卖者得到最优高度收益。

（2）机制：机制是指博弈形式（有参与人，有策略集，有博弈规则，有偏好序（支付函数）），该博弈形式让拍卖过程达到有效。

这里只讲“密封次高价拍卖”：这是指这样一个博弈，有几个竞拍人对一个标的物竞拍，他们同时把自己的“出价”写在纸上装入信封交给卖主，出价最高的竞标者赢得购买权，并按次高价买下标的物。

这里有三个问题：第一、 为什么要求赢者以“次高价”而不是自己的出价（即最高价）来买下标的物？ 第二、 这里会发生均衡吗？ 第三、 均衡唯一吗？我们先回答后两个问题，再回答第一个问题。

分3点来讲解： 1、 模型 假设：（1）设有几个竞拍人，标的物为1个。

（2）竞拍人i (i=1,…,n) 对标的物的真实评价为i v 。

这个i v 是i 独立评判的，不受他人j i ≠对标的物的评价j v 的影响。

（3）几个评估值12{,,...,,}n v v v 按大小排序为：121...n n v v vv ->>>>>0（4）竞拍规则为“密封次高价”：即若竞拍人的竞拍出价（bid price ）(){()}max i i j j j ib v b v ≠>则i 赢下标的物，并且只按次高价付款。

于是，i 的得益（payoff ）为i 的消费者剩余： i i j u v b =- 这里，{()}max j jjj ib b v ≠=，显然jb是价格（P=j b ）。

平新乔《微观经济学十八讲》第10讲策略性博弈与纳什均衡1 •假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MC A=10，MC B =8，对厂商产出的需求函数是Q D二500 -20 p(1)如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？(2)每个厂商的利润分别为多少？(3)这个均衡是帕累托有效吗？解：(1)如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是p B =10 一；，p A =10 , 其中；是一个极小的正数。

理由如下：假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为p A和p B,那么必有p A刃0 , p B K8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。

其次，达到均衡时，p A和p B都不会严格大于10。

否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。

所以均衡价格一定满足p A空10 , p B・「0。

但是由于p A的下限也是10,所以均衡时P A =10。

给定P A =10 ,厂商B的最优选择是令P B =10- ；，这里：是一个介于0到2 之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。

综上可知，均衡时的价格为P A =10 , P B =10 -；。

(2)由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。

下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq —cq ①其中p =10 _ q =500 -20 107、把这两个式子代入①式中，得到：max (10 —芯―)500 —20(10 —名卩解得；=0,由于；必须严格大于零，这就意味着；可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：||500-20 10 -; 10-;。

(3)这个结果不是帕累托有效的。

因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10一；之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余(因为A的利润还是零)。

第十讲策略性博弈与纳什均衡§1 策略博弈与占优博弈论：研究主体（人）的行为发生相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题。

其中，人：理性人，即在一定的限制条件下，最大化自身的利益；行为：相互影响；目的：达到均衡。

博弈论是一种方法，严格地讲并不是经济学的一个分支。

一、博弈分类1、零和博弈与非零和博弈例如：（石头、剪刀、布）零和博弈＝两个参与人得数之和为零（或为常数c），为相对份额大小而博弈（和为常数），争夺（不可再生）资源。

2、合作博弈与非合作博弈（nash 1950’s – 1990’s）按是否有无约束力的协议来区分。

合作博弈强调的是团体理性、效率、公正和公平，个人理性可能导致集体的非理性，所以要设计制度，在满足个人理性的前提下，达到集体的理性。

非合作博弈强调的是个人理性，个人最优决策的结果可能有效率，也可能无效率。

合作博弈最近10多年再度兴起，两者在一定条件下等价。

3、静态博弈（同时）与动态博弈（序贯）：按行动的顺序（时间）区分，可以是静态的，也可以是动态的。

4、完全信息与非完全信息博弈信息是参与人在博弈中的知识，如对其他参与人的特征、战略方向及支付函数的知识。

信息可能是完全的，也可能是不完全的。

二、静态博弈（同时）定义：{}{}{},,i i N I S u =，其中，I ：参与人集合；{}i S ：参与人的策略集；{}i u ：参与人的得益函数集。

i u ：SR→，12...I S S S S =⨯⨯⨯规定：两人的博弈，行博弈人A ，列博弈人B 。

对A ，进行行比较，对B ，进行列比较。

三人博弈：前两人同上，第三人取矩阵。

例1 {}1234min ,,i i u x x x x =-，“i ”报数{}1,2,3i x =，对整体鼓励多报，对个人鼓励少报。

如第三人选“1”，则：同样，第三人选“2”或“3”，则可得另外的两个矩阵（见教材p198）。

可能的结果有27个，但均衡至少有3个：三个人同时报1、2、3。

第三章纳什均衡的扩展与精炼1.什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明。

(见教材)2.什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什均衡?(见教材)3.以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图1中的划分对同一信息集产生了分割，图2中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。

4.在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为p=a-Q,其中Q=q 1+q 2为市场总需求,但a 有a H 和a L 两种可能的情况,并且企业1知道a 究竟是a H 还是a L ,而企业2只知道a=a H 和a=a L 的概率分别是θ和1-θ,该信息是双方都知道的。

双方的总成本函数分别是cq 1和cq 2。

如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。

假设企业2的产量为q 2，企业1将选择q 1最大化利润函数（这里a 取a H 或a L ）)c q q a (q 12111−−−=π由此得：)c q a (q H H 12121−−=)c q a (q L L 12121−−=企业2将选择q 2最大化它的期望利润)c q q a (q )()c q q a (q )(E L L H H 2212221221−−−−+−−−=θθπ由此得：]c )q )(q (a )(a [q L H L H 21121121−−+−−+=θθθθ在均衡时，q 1，q 2应满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−+−−+=−−=]c )q )(q (a )(a [q )c q a (q L H L H 2112121112121θθθθ由此得：企业1的策略为：]c c a )(a [)c a (q L H H *H 2111216121−+−+−−=θθ]c c a )(a [)c a (q L H L *L 2111216121−+−+−−=θθ企业2的策略为：]c c a )(a [q L H *2122131−+−+=θθ因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当a=a H 时，企业1生产；当a=a L 时，企业1生产，*H q 1*L q 1企业2生产。

平新乔《微观经济学十八讲》（章节题库第10讲策略性博弈与纳什均衡）【圣才出品】第10讲策略性博弈与纳什均衡一、简答题1．假设政府与流浪者之间存在如下社会福利博弈：请分析下，在这场博弈中政府和流浪汉各自有没有优势策略均衡？有没有纳什均衡？在此基础上说明优势策略均衡和纳什均衡的区别和联系。

（复旦大学856经济学综合2012研）答：（1）从流浪汉的角度来看，如果政府选择“救济”，流浪汉的最佳策略是“游手好闲”；如果政府选择“不救济”，流浪汉的最佳策略是“寻找工作”。

因此，流浪汉没有优势策略。

从政府的角度来看，如果流浪汉选择“寻找工作”，政府的最佳策略是“救济”；如果流浪汉选择“游手好闲”，政府的最佳策略是“不救济”。

因此，政府也没有优势策略。

从而，这场博弈中没有优势策略均衡。

如果流浪汉选择“寻找工作”，则政府会选择“救济”；反过来，如果政府选择“救济”，则流浪汉会选择“游手好闲”。

因此，（救济，寻找工作）不是纳什均衡，同理，可以推断出其他三个策略组合也不是纳什均衡。

所以，这场博弈中也没有纳什均衡。

（2）当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态称为均衡。

无论其他参与者采取什么策略，该参与者的唯一最优策略就是他的优势策略。

由博弈中所有参与者的优势策略所组成的均衡就是优势策略均衡。

给定其他参与者策略条件下每个参与者所选择的最优策略所构成的策略组合则是纳什均衡。

优势策略均衡与纳什均衡的关系可以概括为：优势策略均衡一定是纳什均衡，纳什均衡不一定是优势策略均衡。

2．请找出下列策略型博弈中的混合策略均衡：表10-1策略型博弈答：（1）对于表10-1左边的博弈：设参与人2选择策略L 的概率为q ，选择策略R 的概率即为1q -，则参与人1的收益应满足：()()601361q q q q +?-=+?-可得：23q =。

设参与人1选择策略T 的概率为p ，选择B 的概率即为1p -。

则参与人2的收益应满足：()()021601p p p p ?+-=+?-可得：14p =。

文通学院 10市场营销孙磊 331035024浅谈博弈论中的纳什均衡一、纳什均衡的由来纳什均衡（Nash equilibrium）又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。

约翰·纳什1948年作为年轻数学博士生进入普林斯顿大学。

其研究成果见于题为《非合作博弈》（1950）的博士论文。

该博士论文导致了《N人博弈中的均衡点》（1950年）和题为《非合作博弈》（1951年）两篇论文的发表。

纳什在上述论文中，介绍了合作博弈与非合作博弈的区别。

他对非合作博弈的最重要贡献是阐明了包含任意人数局中人和任意偏好的一种通用解概念，也就是不限于两人零和博弈，该解概念后来被称为纳什均衡。

二、什么是纳什均衡？最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。

纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。

即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。

纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。

所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile）。

纳什均衡达成时，并不意味着博弈双方都处于不动的状态，在顺序博弈中这个均衡是在博弈者连续的动作与反应中达成的。

纳什均衡也不意味着博弈双方达到了一个整体的最优状态，以下的囚徒困境就是一个例子。

三、纳什均衡经典案例——“囚徒困境”假设有两个小偷A和B一起去偷东西，但是很不幸，由于技术不精，在作案过程中被警察抓住了。

警方将两个人分别关在两个房间里分别进行审问。

这时A、B都有抵赖和招供两个选择，如果他们都选择抵赖的话，警方由于证据不足，最多只能关他们一年。

但是如果都坦白的话，有了证据他俩都会被判8年。

如果其中一个坦白，另一个抵赖，坦白的一方由于破案有功，会被当场释放，而抵赖的一方则要被关十年。

你知道最终他们会如何选择吗？下面我们看看A与B所获得的支付：(其中-1表示关一年，-8表示关八年)从图表里我们可以看到，整体来说，都抵赖是最优选择，总共只需要关两年。

纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium）[编辑]什么是纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中,如果给定其他的策略不变，该节点不会单方面改变自己的策略，否则不会使节点访问代价变小。

[编辑]存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈[1]如果重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢?首先看下面囚徒的困境的博弈的例子：我们现在考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可以理解成给囚徒两次坦白机会，最后的得益是两个阶段博弈中各自得益之和．在两次博弈过程中，双方知道第一次博弈的结果再进行二次博弈．用逆推归纳法来分析，先分析第二阶段，也就是第二次重复时两博弈方的选择．很明显，这个第二阶段仍然是两囚徒之间的一个囚徒的困境博弈，此时前一阶段的结果已成为既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，因此实现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则．因此我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的纳什均衡(坦白，坦白)，双方得益(-5，-5)．现在再回到第一阶段，即第一次博弈．理性的博弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道第二阶段的结果必然是(坦白，坦白)，因此不管第一阶段的博弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最终得益，都将是第一阶段的基础上各加-5．因此从第一阶段的选择来看，这个重复博弈与图l中得益矩阵表示的一次性博弈实际上是完全等价的．于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡，这就是这种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路径．如果重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的定价同有高(H)、中(M)、低(L)三种可能．设高价时市场总利润为10个单位，中价时市场总利润为6个单位，低价时市场总利润为2个单位．再假设两厂商同时决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相等时双方平分利润．这时候两厂商对价格的选择就构成了一个静态博弈问题．我们看一个三价博弈的重复博弈的例子：显然，这个得益矩阵有两个纯策略纳什均衡(M，M)和(L，L)，我们也可以看出实际上两博弈方最大的得益是策略组合(H，H)，但是它并不是纳什均衡．现在考虑重复两次该博弈，我们采用一种触发策略(Trigger Strategy)：博弈双方首先试图合作，一旦发觉对方不合作也用不合作相报复的策略．使得在第一阶段采用(H，H)成为子博弈完美纳什均衡，其双方的策略是这样的：博弈方1：第一次选H；如果第一次结果为(H，H)，则第二次选M，如果第一次结果为任何其他策略组合，则第二次选择L．博弈方2：同博弈方1．在上述双方策略组合下，两次重复博弈的路径一定为第一阶段(H，H)，第二阶段(M，M)，这是一个子博弈完美纳什均衡路径．因为第二阶段是一个原博弈的纳什均衡，因此不可能有哪一方愿意单独偏离；其次，第一阶段的(H，H)虽然不是原来的博弈纳什均衡，但是如果一方单独偏离，采用M能增加1单位得益，这样的后果却是第二阶段至少要损失2单位的得益，因为双方采用的是触发策略，即有报复机制的策略，因此合理的选择是坚持H．这就说明了上述策略组合是这个两次重复博弈的子博弈完美纳什均衡．从上述的例子我们可以看出，有多个纯策略纳什均衡的博弈重复两次的子博弈完美纳什均衡路径是，第一阶段采用(H，H)，第二阶段采用原博弈的纳什均衡(M，M)．如果这个重复博弈重复三次，或者更多次，结论也是相似的，仍然用触发策略，它的子博弈完美纳什均衡路径为除了最后一次以外，每次都采用(H，H)，最后一次采用原博弈的纳什均衡(M，M)．[编辑]存在纯策略纳什均衡的无限次重复博弈[1]与有限次重复博弈一样，无限次重复博弈也是基本博弈的简单重复，但是无限次重复博弈没有最后一次重复，因此无限次重复博弈与有限次有一些不同．任何博弈中博弈方策略选择的依据都是得益的大小，这在重复博弈中仍然是成立的．但是重复博弈又与一次性博弈有所不同，因为在重复博弈中，每一阶段都是一个博弈，并且各博弈方都有得益，因此对于重复博弈，我们要计算的就是博弈结束时的一个总的得益．由于前一次博弈和后一次博弈之间会有损失，因此我们采用一种方法，就是将后一阶段的得益折算成当前阶段得益的(现在值)的贴现系数δ．有了贴现系数δ，那么在无限次重复博弈中，某博弈方各阶段得益为π1,π2,...,则该博弈方总得益的现在值为：对于存在惟一纯策略纳什均衡博弈的无限次重复博弈，我们从下面的例子来看：其中博弈方1和博弈方2分别表示两个厂商，H 和L分别表示高价和低价．显然，该博弈的一次性博弈有惟一的纯策略纳什均衡(L，L)，但是这个纳什均衡并不是最佳策略组合，因为策略组合(H，H)的得益(4，4)比(1，1)要高的多．但是由于(H，H)不是该博弈的纳什均衡，所以在一次性博弈中不会被采用．根据上面的分析，此博弈在有限次重复博弈并不能实现潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采用效率较高的(H，H)．为了实现效率较高的合作利益(H，H)，假设两博弈方都采用触发策略，也即报复性策略：第一阶段采用H，在第t阶段，如果前t-l阶段的结果都是(H，H)，则继续采用L．假设博弈方1已经采用了这种策略，现在我们来确定博弈方2在第一阶段的最优选择．如果博弈方2采用L，那么在第一阶段能得到5，但这样会引起博弈方1一直采用L的报复，自己也只能一直采用L，得益将永远为1，总得益的现在值为如果博弈方2采用H，则在第一阶段他将得4，下一阶段又面临同样的选择．若记V为博弈方2在该重复博弈中每阶段都采用最佳选择的总得益现在值，那么从第二阶段开始的无限次重复博弈因为与从第一阶段开始的只差一阶段，因而在无限次重复时可看作相同的，其总得益的现在值折算成第一阶段的得益为，因此当第一阶段的最佳选择是H时，整个无限次重复博弈总得益的现在值为或者因此，当解得时，博弈方2会采用H策略，否则会采用L策略．也就是说当时，博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反应是第一阶段采用H.这时我们就说双方采用上述触发策略是一个纳什均衡．于是我们得出，在有限次重复博弈中，惟一纯策略纳什均衡不能实现最大得益(H，H)，而在无限次重复博弈中，通过触发策略却可以实现(H，H)。

第十章 博弈论初步1.什么是纳什均衡？纳什均衡一定是最优的吗？解答：(1)所谓纳什均衡，是参与人的一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。

(2)不一定。

纳什均衡可能是最优的，也可能不是最优的。

例如，在存在多个纳什均衡的情况下，其中有一些纳什均衡就不是最优的；即使在纳什均衡是唯一时，它也可能不是最优的——因为与它相对应的支付组合可能会小于与其他策略组合相对应的支付组合。

2.在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下，纯策略的纳什均衡最多可有几个？为什么？解答：在只有两个参与人(如A 和B)且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下，纯策略的纳什均衡最多可有四个。

例如，当A 与B 的支付矩阵可分别表示如下时，总的支付矩阵中所有四个单元格的两个数字均有下划线，从而，总共有四个纳什均衡。

A 的支付矩阵＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a aB 的支付矩阵＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b3.在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下，纯策略的纳什均衡可能有三个。

试举一例说明。

解答：例如，当参与人A 与B 的支付矩阵可分别表示如下时，总的支付矩阵中恰好有三个单元格的两个数字均有下划线，从而，总共有三个纳什均衡。

A 的支付矩阵＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a aB 的支付矩阵＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b 4.在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下，如何找到所有的纯策略纳什均衡？解答：可使用条件策略下划线法。

具体步骤如下：首先，设两个参与人分别为左参与人和上参与人，并把整个的支付矩阵分解为这两个参与人的支付矩阵；其次，在左参与人的支付矩阵中，找出每一列的最大者，并在其下划线；再次，在上参与人的支付矩阵中，找出每一行的最大者，并在其下划线；再再次，将已经划好线的两个参与人的支付矩阵再合并起来，得到带有下划线的整个支付矩阵；最后，在带有下划线的整个支付矩阵中，找到两个数字之下均划有线的所有的支付组合。