几种非正弦波形有效值的计算公式图例

63非正弦周期电流电路的分析rc1010100101010089159图62例63图二次谐波u单独作用时rc并联电路对二次谐波的复阻抗为电阻电压二次谐波的极大值相量851599010rcrc2m63非正弦周期电流电路的分析电阻电压二次谐波的极大值相量851599010rcrc2m9453sin53rc1010101063非正弦周期电流电路的分析电阻电压四次谐波的极大值相量为7990rc4m92026sin026t的直流分量二次谐波和四次谐波叠加得sin026sin53cos026cos5363非正弦周期电流电路的分析上述分析表明交流分量的响应所占的比例甚小谐波次数越高响应分量的比例越小
70 40 U 1002 V 115.1V 2 2
2 2
6．2．2 非正弦周期量的平均值
1. 平均值 非正弦周期函数的平均值定义为周期函数在一个周期内的绝对值的平 均值。周期电流的平均值为 1 T I av i (t ) dt T 0 同样，周期电压的平均值为 2. 周期量的测量 对于同一非正弦量，当我们用不同类型的仪表进行测量时，就会得出 不同的结果。 （1）如用磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的直流分量； （2）如用电磁系或电动系仪表测量，其读数为非正弦量的有效值。 （3）如用全波整流磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的绝对平均值。
非正弦信号可分为周期性的和非周期性的两种。含有周期性非正弦信 号的电路，称为非正弦周期性电流电路。
6．1非正弦周期量的产生和分解
(a)方波
(b)脉冲波 图6.1非正弦周期波形
(c)锯齿波
2. 非正弦周期量的分解 将非正弦电压（电流）分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后对 不同频率的正弦量分别求解，再根据线性电路的叠加原理进行叠加，就可 以得到电路中实际的稳态电流和电压。这就是分析非正弦周期电流电路的 基本方法，称为谐波分析法。 实质上就是把非正弦周期电路的计算化为一系列正弦电路的计算 设周期函数f（t）的周期为T，角频率ω＝2π/T，则其分解为傅里叶级 数为

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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …

i(t) I0 Inm sin(nt in ) n 1
当电压、电流取关联参考方向时，则此二端口 吸收的瞬时功率为
8
pt utit U0

1
Unm sinnt nu I0

1
Inm sinnt ni
模块六 非正弦周期电流电路
•项目6.1 非正弦周期量 •项目6.2 非正弦周期量的谐波分析 •项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均 值 和平均功率 •项目6.4 非正弦周期电流电路的计算
1
模块六 非正弦周期电流电路
【知识目标】 了解非正弦周期量分解为傅立叶级数的方法，了解 频普的概念。掌握应用谐波分析法计算非正弦周期电流 电路。掌握非正弦周期电流电路中的有效值、平均值以 及有功功率的计算。了解波形因数和不同测量仪表读数 的含义。 【技能目标】 1．学会非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率的 计算。 2．学会对非正弦周期电流电路的分析和计算方法。 【课时安排】6课时。
注意，非正弦周期量的有效值和最大值之间不 存在 1 的关系。
2
6
6.3.2 平均值、整流平均值
• 在工程实践中经常用到平均值的概念，以电
流 i 为例，其定义由下式表示：
T
Iav

1 T
T 0
Im
sint dt

4 T
4 0
s in tdt

0.637Im

0.898I
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值
• 电压和电流的有效值分别用相应的大写字 母U 、I 表示。 根据周期量有效值的定义，有效值
4
I 1 T i2d t
T0
将 i(t) 按照傅里叶级数形式展开，则有

k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时 功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间， 才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电 流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波， 次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着 频率的增加振幅衰减。这种规律 体现在频谱图中。方波信号的频 谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整 流波
波形图
傅立叶级数

T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j

在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到 电压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
2021/6/16
24
例10-27 图(a)所示电路中，已知
电压源电压 u S (t)2c0o 1st0 (1 0 )0 V 电流源电流 iS (t)2co 2s0 t (5 0)0 A
2021/6/16
2
12.1 非正弦周期信号 学习目标：掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与
各次谐波之间的关系。
12.1.1 非正弦周期信号的产生 1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
输入正弦波
D R
输出半波整流
2021/6/16
3
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压
示波器
奇谐波函数：特点是波形的后半周与前半周具有镜像 对称性，也称为奇次对称性，奇谐波函 数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐 波。
偶谐波函数：特点是波形的前、后半周变化相同。也 称为偶次对称性，偶谐波函数的傅里叶 级数表达式中一般只包含偶次谐波。
零次谐波： 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐 波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
cos35cos15示三种非正弦周期信号的傅里叶级数分别例1028图1056a所示幅度a10v周期t628ms周期方波电压信号ucos20cos2a5v直流电压源作用时由于0在直流稳态条件下电感相当于短路所以rads根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量45183201010104510cosrads根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量7110cos6717147520301010rads根据相应的相量模型计算出相应的相量电压分量7810cos2578176610107810cos257110cos674510cos注意

cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(

k1t)

令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k

ak Akm
，sin

k

bk Akm
k

arctan
bk ak

f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1

2

2
0 iS (t) cos ktd (t)

2Im


1 k
sin
kt
0
0
11
bk

1

2
0 iS (t) sin ktd(t)

Im

(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk

2Im
k
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1

100 2

90

70.7

90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)

1
C

1k
X L(1) L 1k
Z1

(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)

5.2 非正弦周期量的有效值
一、平均值
若
u U0 U km sin(kwt k )
k 1
则其平均值为： (直流分量)
U AV
1
2
02 udwt
U0
平均值
面积 周期
二，有效值
若 i I0 Ikm sin(kwt k )
k 1 则有效值:
I 1 T i2dt
T0
1 T
T 0
I0
WA i
u
R
求（1）电流的瞬时表达式;
（2） A 、V 的读数； V
（3） W 的读数.
解: I1 U1 4A
R
I 3 U 3 3A R
i1 4 2 sin(wt 30o )A i3 3 2 sin(3wt 60o )A
电流i的瞬时表达式 i 4 2 sin(wt 30o ) 3 2 sin(3wt 60o )A
o
t
T
5.1 非正弦周期量的分解
i e1 E0
e e1
E0
0
已知E0为直流电源, e1为正弦信号源
该电路总电动势为
R e E0 e1 E0 E1m sinw t
其波形如图所示,显然不是正弦量 电路中的电流也不是正弦量
E1m
i e E0 E1m Sinwt
RR R
wt
由此题可知:
直流电量+正弦交流电量=非正弦周期电量
第5章 非正弦周期电流的电路
目录
5.1 非正弦周期量的分解 5.2 非正弦周期量的有效值 5.3 非正弦周期电流的线性电路的计算 5.4 非正弦周期电流电路中的平均功率
概述
一. 非正弦周期交流信号的特点
不是正弦波 按周期规律变化

Um 2 2
突破二 正弦单向脉动电流有效值
因为电流热效应与电流方向无关，所以如图 Z103 所示正 弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全 Um Im 相同，即 U＝ ，I＝ . 2 2
图Z10-3
突破三 矩形脉动电流的有效值
如图 Z104 所示，电流实质是一种脉冲直流电，当它通入 t 电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T， 这里 2 U2 t U t 矩 m 2 2 t 是一个周期内脉动时间．由 I矩RT＝ T ImRT 或 T＝T R T， R 1 1 t t t 1 得 I 矩＝ TIm， U 矩＝ TUm.当T＝2时， I 矩＝ 2Im， U 矩＝ 2Um.
答案：B
突破四 非对称性交流电有效值
假设让一直流电压 U 和如图 Z10-6 所示的交流电压分别加 U2 1 T 在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为 Q1＝ R · 2 U2 2 T ＋R· 2 ，直流电在相等时间内产生的热量 U2 Q2＝ R T，根据它们的热量相等有 U2 U2 U2 1 T 2 T R· 2＋ R · 2＝ R T 得 U＝ 1 2 2 U ＋ U 2，同理有 I＝ 2 1 1 2 2 2I1＋I2.
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许 多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨 夺目的星星那样遥不可及。但实际上他 们和我们每一个同学都一样平凡而普通， 但他们有是不平凡不普通的，他们的不 平凡之处就是在学习方面有一些独到的 个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一 定的借鉴意义。

k =1
1 t 1 T 值，即 = P ∫0 pdt = T ∫ 0 uidt T ∞
i = I0 + ∑Ikm sin( kωt + ϕki )
k =1
∞
则： P = P + 0
∑P
k=1
∞
k
= U0 I0 + ∑Uk Ik cos ∆ϕk
k=1
∞
= P + P + P + P + ... 0 1 2 3
π
Im = = 1 . 414 Im / 2
第7章 非正弦周期电流电路
三、非正弦信号的平均功率
任意一个二端网络的端电压为u，电流为i，则其 任意一个二端网络的端电压为u 电流为i
ui， 如果u 瞬时功率为P=ui， 如果u与i是同频率的非正弦周期
量，其平均功率就是瞬时功率在一个周期内的平均
设： = U0 + ∑Ukm sin( kωt +ϕku) u
（不同频率的电压、电流的积分为零） 不同频率的电压、电流的积分为零）
第7章 非正弦周期电流电路
四、非正弦信号的视在功率、功率因数 非正弦信号的视在功率、
S = UI
P λ= S
已知某无源二端网络的端电压及电流分别为： 例7-3 已知某无源二端网络的端电压及电流分别为： 电压、电流为关联参考方向） （电压、电流为关联参考方向）
2 0 2 2 A0 + A12 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅
所以任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各 所以任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各 个谐波分量有效值的平方和的平方根。 个谐波分量有效值的平方和的平方根。
2 2 U = U 0 + U 12 + U 2 + ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 I = I 0 + I 12 + I 2 + ⋅ ⋅ ⋅

100
200
200
us (t)
π
50cos 2t cos 4t cos 6t L
3π
15π
基波频率：0 2rad / s
画出电路的相量模型，如图（c）所示。 直流分量单独作用时，电容开路。
I
R
I0 0
100 UC0 π 31.83V
+
Us
-
1
+
j C
UC
-
基波分量作用时， 0 2rad / s
200
U&s3
15π 0o 3180oV 2
I&3
U&s3 R 1

3180o 20 j1.33

3180o 20.04 3.8o

0.15
176.2oA
j30C
U&C3

1
j30C
I&3
j0.75 0.15
176.2o

0.1193.8oV
路中的电流 i 和电容上的电压 uC 。
us (t) / V
i
R
100 ...
+
. . . us
+
C
uC
o
π
2π t/s -
-
（a）
（b）
解：将非正弦周期电压分解为一系列谐波之和。
100
200
200
us (t)
π
50cos 2t cos 4t cos 6t L
3π
15π
X
解（续）
1
T
T 0
I02dt

非正弦交流电有效值的计算交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。

为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。

定义：若某一交流电与另一直流电在相同时间内通过同一电阻产生相等的热量，则这一直流电的电压、电流的数值分别是该交流电的电压、电流的有效值。

教材中给出了正弦交流电的有效值I与最大值的关系，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？其方法是从定义出发，根据热效应求解。

例1. 如图1所示的交变电流，周期为T，试计算其有效值I。

图1分析：由图1可知，该交变电流在每个周期T内都可看作两个阶段的直流电流：前中，，后中，。

在一个周期中，该交变电流在电阻R上产生的热量为：①设该交变电流的有效值为I，则上述热量②联立①、②两式，可得有效值为例2. 如图2所示表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t＝0开始的每个时间内的图象均为半个周期的正弦曲线。

求此交变电流的有效值。

图2分析：此题所给交变电流虽然正负半周的最大值不同，但在任意一个周期内，前半周期和后半周期的有效值是可以求的，分别为设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得即解得例3. 求如图3所示的交变电流的有效值，其中每个周期的后半周期的图象为半个周期的正弦曲线。

图3分析：从t＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为，后半周期是有效值为的交变电流。

设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得即解得例4. 如图4实线所示的交变电流，最大值为，周期为T，则下列有关该交变电流的有效值I，判断正确的是（）图4A. B. C.分析：显然题给交流电为非正弦交流电，不满足的关系。

将题给交变电流与图中虚线所示的正弦交变电流进行比较，可以看出，在一个周期内两者除了A、B、C、D四个时刻的电流瞬时值相等外，其余时刻都是虚线所示的瞬时值大于实线所示的瞬时值，所以可确定正弦交流电在任意一个周期内在相同的电阻上产生的热量必大于题给交流电产生的热量，因此题给交流电的有效值I必小于，B正确。

http:‎//bbs‎.21ic‎.com/‎i cvie‎w-412‎2-1-1‎.html‎[新手‎园地] 主‎题：有效值‎问题楼‎主：有效值‎问题有效值‎,有效值‎曾看到过‎方波的有效‎值计算是这‎个公式:‎P WM方波‎有效值=(‎方波峰值)‎*(占空比‎开根号)‎今天测到一‎方波:峰值‎为4.98‎V. T=‎388US‎,高电平‎脉宽等于1‎92US,‎那占空比就‎为0.49‎48, ‎根‎据方波的计‎算公司,算‎出此PWM‎方波有效值‎约为3.5‎V.可是我‎用万用表测‎量,却只有‎2.65V‎!究竟是‎哪出错了呢‎?请各位老‎师指点下,‎谢谢2‎楼：一般‎万用表的直‎流档测量的‎不是有效值‎，而是平均‎值...‎4楼：‎链接如下‎h ttp:‎//bbs‎.21ic‎.com/‎c lub/‎b bs/l‎i st.a‎s p?bo‎a rdid‎=2&pa‎g e=1&‎t=305‎8907&‎t p=%u‎53D1%‎u73 B0‎%u4E0‎0%u4E‎2A%u5‎D E7%u‎5999%‎u7684‎%u4E8‎B%u60‎C5相‎关链接:h‎t tp:/‎/bbs.‎21ic.‎c om/c‎l ub/b‎b s/li‎s t.as‎p?boa‎r did=‎2&pag‎e=1&t‎=3058‎907&t‎p=%u5‎3D1% u‎73B0%‎u4E00‎%u4E2‎A%u5D‎E7%u5‎999%u‎7684%‎u4E8B‎%u60C‎55楼‎：哈,谢‎谢版主,我‎以前看到的‎就是这个贴‎子...‎那说明 P‎W M方波有‎效值=(方‎波峰值)*‎(占空比开‎根号)这‎公式是对的‎喽..可‎是不理解c‎o mput‎e r00的‎解说,为什‎么万用表测‎出的是平均‎值呢?我上‎面的2.6‎5V也确实‎是峰值的一‎半?那如‎果我的方波‎最小值是负‎的,那计算‎P WM方波‎有效值时,‎那公式中的‎方波峰值是‎不是就应该‎是(量出的‎方波峰值)‎-(那负值‎)呢?‎6楼：这‎个可能和你‎使用的万用‎表类型有关‎数字万表‎表，测量的‎是电压平均‎值模拟指‎针表，测量‎的才是有效‎值7楼‎：普通指‎针表还是平‎均枝的拉.‎..只有‎搞真有效值‎的表（而且‎还要有直流‎功能哦）才‎能测出有效‎值...‎如果峰峰值‎为5V，而‎最小值是负‎的话（并且‎不能是负5‎V哦...‎不然跟0~‎5V没区别‎拉），就不‎能用这个公‎式来算拉.‎..50‎%，5V的‎方波，平均‎值就是2.‎5V的拉~‎~~所以测‎量结果差不‎多了。