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第十二章 动能定理2

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第十二章---动能定理

第十二章---动能定理
又 Mz(F) = Mz(Ft) = Ft R = Mz
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?

理论力学第12章动能定理

理论力学第12章动能定理

合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。

12：动能定理

12：动能定理

设有矢量函数（向量场）：
v v v v F (x , y , z ) = Fx i + Fy j + Fz k
则“对坐标的曲线积分”是( M 1 和 M 2 分别是曲线上 的积分起点和终点)：
òM
M2
1
(Fx dx + Fydy + Fzdz )
它与“对弧长的曲线积分”之间的关系是( (a , b , g ) 是 点 (z , y, z ) 处切线的方向角)：
v v 求证： 2r ?dr
v v d (r r )
证：
v v v v 令 r = xi + yj + zk v v v v 那么：dr = (dx )i + (dy ) j + (dz )k
v v 左边= 2r ?dr 2xdx + 2ydy + 2zdz
d(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2xdx + 2ydy + 2zdz
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效 应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。
1. 质点上力的功 一、功的一般表达式 定义：元功 W F dr
F cos ds Ftdt
r
O
dr
F
全功
W12 =
蝌 M
1
M2
F ?dr
M2 M1
Fx d x + Fy d y + Fz d z
F
FN
例12-2
均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自 由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设 OA 杆无 初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、 角加速度。 解： 受力分析 运动分析：OA杆定轴 转动，圆盘平动。

第十二章 动能定理

第十二章 动能定理


2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2

1 2
m vC2

1 2
JC2

3 4
m(R

r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P

W

F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功


F FW k
W12

M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W

F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。

12第十二章动能定理

12第十二章动能定理
J P J C Md 2
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。

012 动能定理2(必修一整套)

012 动能定理2(必修一整套)

动能定理1．动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。

（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。

表达式为W =ΔE K动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。

2．应用动能定理解题的步骤 （1）确定研究对象和研究过程。

（2）对研究对象进行受力分析。

（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。

（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。

如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

（4）写出物体的初、末动能。

（5）按照动能定理列式求解。

【例1】 如图所示，斜面倾角为 ，长为L ，AB 段光滑，BC 段粗糙，且BC =2 AB 。

质量为m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C 端时速度刚好减小到零。

求物体和斜面BC 段间的动摩擦因数μ。

【例2】 将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。

由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。

设空气阻力大小恒定，求小012球落回抛出点时的速度大小v。

【例3】如图所示，质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10停止，则（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？（2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。

v /【例4】如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。

求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

【例5】如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。

已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。

针对训练1．下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系,下列说法中正确的是（）A．如果物体所受合外力为零，则合外力对物体所的功一定为零；B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零；C．物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化；D．物体的动能不变，所受合力一定为零。

12第十二章动能定理

平面运动刚体
δW FR ' drC MCd
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
W12
C2 C1
F
'R

drC

2 1
MCd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用;
2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
于是有
T

1 2
mvC2

1 2
mivr2i
T

1 2
mv
2 A

1 2
mi
vr2i
证毕 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T
12mivi2

1 2
v2
m i

1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2

(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2 2
力矩转向与刚体转向一致，力矩做正功；反之，力矩做负功
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δW Fs dr Fs vdt 0
T

1 2
J
2
11

1 2
m2vC2

1 2
J
2
C2
J1

m1R12 , JC

理论力学课件 第十二章 动能定理


FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为

理论力学12—动能定理

解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。 先计算T 的功：
在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
δWT T cos d x
cos (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
T
A
vA2
(
1 2
l)2
2vA
1 2
l
cosj
vA2
1 4
l 22
lvA
cosj
则杆的动能
A
vA
jl
B
A
j
vA vCA vC
vA
B
T
1 2
mvC2
1 2
JC2
1 2
m(vA2
1 4
l 22
lvA
cosj)
1 2
(
1 12
ml2 )2
1 2
m(vA2
1 3
l
2
2
lvA
cosj)
12.3 动能定理
上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自 重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。
解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为
T1 0
T2
1 2
lv22
在运动过程中所有的力所作的功为
l b b
由
W12
gb(l
b)
g(l
b)
1 2
(l
b)
1 2
g(l 2
b2 )
T2 T1 W12
质心转动的动能的和。
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC

理论力学第十二章 动能定理


§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
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J112
(1 2
m2vC2
1 2
J
2
22
)
J1 m1R12
J2
1 2
m2 R22
C
2 vC / R2 1 vC / R1
m2g
W12 M m2g sin s s / R1
FS
FDN
T2
T1
W12
1 2
(2m1
3m2
1 4 )vC
(2m1 aC
3m2 (M
R1
)vC2 m2 g s
d
(
1 2
mi
vi2
)
Wi
n个方程相加
d (12mii2 ) Wi
dT Wi
(T
1 2
mivi2 )
质点系动能定理的微分形式
质点系动能的增加量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
T2 T1 Wi
质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
机器功率： Pi P输入 P有用 P无用
P输 入
P有 用
P无 用
dT dt
3. 机械效率
有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率，用η表示。
有效功率
输入功率 1
有效功率
P有用
dT dt
多级转动系统 1,2 n
例12-3 车床的电机功率Pλ=5.4kW。由于传动零件之间的摩擦，损 耗功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm,转速 n=42r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为
即:功率等于切向力与 力作用点速度的乘积。
作用于转动刚体上的力的功率
P Ftr M Z
作用于转动刚体上的力的功率等于 该力对转轴的矩与角速度的乘积。
单位：W（瓦特）,1W=1J/S
2. 功率方程
dT Wi
dT Wi
dt dt
Pi
功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于
作用于质点系的所有力的功率的代数和。
又如，由两个相互吸引的质点M1和M2 组成的质点系，两质点相互作用的力 F12和F21是一对内力，如图所示。虽然 内力的矢量和等于零，但是当两质点相 互趋近或离开时，两力所作功的和都不 等于零。
小结
M2
M1
F21
F12
质点系上的力
外力 内力
主动力 做功 约束力 非理想约束力做功
W内 0 刚体 W内 0
但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦 力作用点没动。此时的滑动摩擦力也不作功。因此，不计滚动摩 阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
必须注意，作用于质点系的力既有外力，也有内力。
刚体所有内力作功的和等于零。不可伸长的柔绳、钢索等所 有内力作功的和也等于零。
在某些情况下，内力虽然等值而反向，但所作功的和并不等 于零。例如，汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的 作用力都是内力，但内力功的和不等于零，内力的功使汽车的 动能增加。此外，如机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力对 于整个机器是内力，它们作负功，总和为负。
§12-2 动能的概念和计算
1.质点的动能
1 mv2 2
单位：J（焦耳）
2. 质点系的动能
T
1 2
mivi2
(1) 平移刚体的动能
T
1 m 2i
vi2
1 2
vC2
mi
1 2
mvC2
(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
l
l
l/3
l 60
v
l sin 60
v
vc
1 2
l
2
2
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 (1 ml2 )2
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
质心C为基点
主矢
主矩
FR ' d rC MCd
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体 上所受各力作功的代数和,也等于力系向
W12
C2 C1
F'R
d
rC
2 1
M
C
d
质心简化所得的力和力偶作功之和。
5. 理想约束及内力作功
约束力作功等于零的约束称为理想约束。
如光滑接触面、一端固定的绳索、滚动、固定铰支座、向心
第十二章 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
§12-1 功的概念和计算 §12-2 动能的概念和计算 §12-3 动能定理 §12-4 功率和机械效率 §12-5 势力场•势能•机械能守恒定律 §12-6 动力学普遍定理的综合应用
4. 平面运动刚体上力系的功
取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi
轴承、固定端等。
dr2
dr
F
F
2
F2
dr2
B
A
B F1
dr1 1
A dr1
F1
1
dr1
F2
光滑铰链、刚性二力杆以及不可伸长的细绳等作为 系统内的约束时，其中单个的约束力不一定不作功，但 一对约束力作功之和等于零，也都是理想约束。
dr2 2
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作 负功，不是理想约束。
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
2R
车轮纯滚动、质量分布在轮缘
T
1 2
mvC2
1 2
mR2 ( vC R
)2
mv
2 C
思考题
思12-1 求图示各均质物体的动能。设各物体质量皆为m 。
18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
4
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 mv2 1 (1 mR2 )( v )2
2
22
R
3 mv2 4
§12-3 动能定理
1. 质点的动能定理
例12-2 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱由静止 沿斜坡上拉。已知鼓论的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘 上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角
为，圆柱只滚不滑。求圆柱中心C经过路程s时的速度与加速度。
解：取鼓轮和圆柱体组成的质点系
M
T1 0
T2
1 2
n=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？
解： 匀速转动 dT 0
dt
P有用
P输入
P无用
(1
30 100
)
P输入
3.78 kW
P有用 Fv F d n
2 30
F
60
nd
P有 用
n 42 r/min F 17.19 kN
n 112 r/min F 6.45 kN
m
d
v
F
dt
m vd v Fd r
m
d
v
d
r
F
d
r
dt
d (1 mv2 ) W
2
动能定理的微分形式
质点动能的增加量等于作用在质点 上力的元功。
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的 改变量等于作用于质点的力作的功。
2. 质点系的动能定理
对于第i个质点有
作用点Mi的位移为随着质心的平动和绕质心的转动的微小位移
d ri d rc d ric
作用在Mi上的力Fi的元功为
Wi F i d ri F i d rC F i d riC
Fi d riC Ficos CMid M C (F i )d
力系全部力的元功之和为
W F i d rC MC (F i )d
例12-1 质量为m的质点，自高h处自由落下，落到下面有弹簧支 持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量可忽略不计，弹簧的 刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。
解：对重物从位置I到位置Ⅲ 应用动能定理
0
0
mg(h
max)
k 2
2 max
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
M (
R1
m2
in )vC
g
s in
)s
vC 2
(M m2gR1 sin )s ,
R1(2m1 3m2 )
aC
2(M m2gR1 sin )
R1(2m1 3m2 )
FOy FOx
m1g
§12-4 功率和机械效率