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第二章1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636P X；X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618P X ； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612P X； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则{}415669P X ； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则{}5566636P X ； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则{}617666P X； 类似地，可以算得{}5586636P X ，{}419669P X ，{}31106612P X， {}21116618P X，{}11126636P X 。
因此，X 的分布律为[()](),,,{}[()](),,,||,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667234111236i i i i P X i i i i i i2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。
由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为123421777kX P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为{}.007P X ，{}...10307021P X ，{}....20303070063P X， {}.....30303030700189P X，{} (403030303)00081P X 。
即X 的分布律为.....012340702100630018900081k X P 。
6．解：X 的可能取值为1，2，3，其取值概率为24353{1}5C P X C ，23353{2}10C P X C ，22351{3}10C P X C ； 即X 的分布律为12333151010kX P 。
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。
第一章4．解：（1）()1()0.7P B P B =-= ，()()()()0.4P AB P A P B P A B ∴=+-⋃=；（2）()()()()0.3P B A P B AB P B P AB -=-=-= ； （3）()()1()0.2P A B P A B P A B =⋃=-⋃= 。
5．解：从8个球中任取2个，共有2887282!n C ⨯===种取法；设事件A 表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球、取到黑球。
完成事件A 共有22535432132!2!m C C ⨯⨯=+=+=种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得13()28m P A n == 。
6．解：考虑将两组分别记为A 组和B 组，则分配球队的时候，先将10支球队分到A 组，剩下的10支球队分到B 组，共有101010201020n C C C ==种分法；对于最强的两队，先取一支分到A 组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到A 组，这样A 组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到B 组，这样共有19218m C C =种分法，则最强的两队被分到不同组内的概率为1921810201019C C m p nC===。
7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有123n =种放法。
设事件A 表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A 共有39122m C =⨯种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为3912122()0.2123C m P A n⨯==≈。
8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有46n =种不同的情形。
（1）设事件A 表示4颗骰子的点数不同，共有6543m =⨯⨯⨯种情形，其发生的概率为465435()618m P A n ⨯⨯⨯===；（2）设事件B 表示恰有2颗骰子的点数相同。
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ] （A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) A B 一定为不可能事件 (D) A B 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
Probability & Statistics第一章 随机事件与概率 1．基本概念：Ω：样本空间ω：样本点2．随机事件之间的关系和运算包含：B A ⊂ 相等：B A = 和（并）事件：B A积（交）事件：B A （或AB ） 差事件：B A -互不相容（互斥）事件：φ=B A 对立（逆，余）事件：A A -Ω= 运算定律：①交换律：A B B A =，A B B A =②结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =③分配律：()()()C A B A C B A =，()()()C A B A C B A = ④德·摩根(De Morgan)法则：B A B A =，B A B A =3．古典型概率：nn A P A=)(（A 事件中包含A n 个样本点） 4．几何型概率：)()()(Ω=m A m A P 5．频率：nn A f An =ˆ)( 6．概率的性质：①非负性：对于任意一个事件A ，0)(≥A P ②规范性：1)(=ΩP③可列可加性：当可列无限个时间 ,,21A A 两两互不相容时，∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P④0)(=φP ⑤)(1)(A P A P -= ⑥1)(≤A P⑦)()()(AB P B P A B P -=- ⑧)()()()(AB P B P A P A B P -+=7．条件概率：)()(ˆ)|(B P AB P B A P = 8．乘法公式：当0)(>A P 时，)|()()(A B P A P AB P =当2≥n 且0)(11>-n A A P 时，)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P 9．随机事件的独立性：事件A 与B 相互独立)()()(B P A P AB P =⇔事件C B A ,,相互独立)()()(B P A P AB P =⇔且)()()(C P A P AC P =且)()()(C P B P BC P =且 10．二项概率：k n kk n n p p C k P --=)1()(，n k ,,1,0 =11．设n 个事件21,,A A 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当),,1(0)(n i A P i =>时： )()()()(C P B P A P ABC P =全概率公式：∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(贝叶斯公式：当0)(>B P 时，n i A B P A P A B P A P B A P nj jji i i ,,1,)|()()|()()|(1==∑=第二章 离散型随机变量及其分布 1．随机变量：)(ωX X =2．概率函数： ,2,1,)(===i p a X P i i3．二项分布：),(~p n B X 的概率函数为：n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-4．泊松定理：设)10(,0<<>=n n p np λ，对于0≥∀k ，!)1(lim k e p p C kkn n k nknn λλ⋅=---→∞5．泊松分布：)(~n P X 的概率函数为： ,2,1,0,!)(=⋅==-k k e k X P kλλ6．联合概率函数： ,2,1,}){}({ˆ),(=======j i p b Y a X P b Y a X P ij j i j i ， 7．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(j i j i b Y P a X P b Y a X P =====⇔ 8．条件概率函数：jij j i p p b Y a X P .)|(===iij i j p p a X b Y P .)|(===9．随机变量分布的可加性：设X 与Y 相互独立，则①当),(~),,(~p n B Y p m B X 时，),(~p n m B Y X ++ ②当)(~),(~21λλP Y P X 时，)(~21λλ++P Y X第三章 连续型随机变量及其分布 1．随机变量的分布函数：)()()(x X P x F x F X ≤==，+∞<<-∞x则)()()(a F b F b X a P -=≤< 2．分布函数的性质：①1)(0≤≤x F②当21x x <时，)()(21x F x F ≤ ③0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =→∞x F x④)(x F 在),(+∞-∞上每一点处至少右连续3．随机变量X 与Y 的联合分布函数：)),((),(),(xy D Y X P y Y x X P y x F ∈=≤≤= 4．联合分布函数的性质：①1),(0≤≤y x F②固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的 ③对任意固定一个y ，0),(lim =-∞→y x F x ；对任意固定一个x ，0),(lim =-∞→y x F y ；0),(lim =-∞→-∞→y x F y x ，0),(lim =→∞→∞y x F y x④固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量至少右连续 ⑤对任意的R y y x x ∈2121,,,：0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F ⑥),(),(lim y Y X P y x F x ≤+∞≤=+∞→,),(),(lim b x F y x F by =+→5．连续性随机变量X 的概率密度函数)(x f ：⎰∞-=xdt t f x F )()(①0)(≥x f ②1)(=⎰+∞∞-dx x f6．连续型随机变量的性质：①)(x F 是连续函数，且当)(x f 在0x x =处连续时，)()(00x f x F =' ②对R Const c ∈=∀，0)(==c X P③对R Const b a ∈=∀,，dx x f b x a P ba ⎰=≤<)()(7．常用连续型随机变量：①均匀分布),(~b a R X ：⎪⎩⎪⎨⎧=<<- ,0 ,1)(else bx a a b x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≥<≤--<b x b x a a b a x a x x F,1 ,,0)(②指数分布)(~λE X ：⎩⎨⎧=>-else x e x x f ,00 ,)(λλ,⎩⎨⎧=<≥--0 ,00,1)(x x e x x F λ③正态分布),(~2σμN X ：222)(21)(σμσπ--=x ex f④标准正态分布)1,0(~N X ：2221)(x ex -=πϕ，分布函数：dt ex Φxt ⎰∞--=2221)(π性质：)(1)(x Φx Φ-=-，5.0)0(=Φ，0)(=-∞Φ，1)(=∞Φ正态概率计算公式：⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<σμσμa Φb Φb x a P )(标准正态分布的p 分位数：)(1p Φu p -=，p p u u --=18．二维随机变量的联合密度函数),(y x f ：dv du v u f y x F x y⎰⎰∞-∞-=),(),(① ②9．二维随机变量的边缘分布函数：),()(∞=x F x F X ，),()(y F y F Y ∞=10．二维随机变量的边缘密度函数：⎰∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰∞∞-=dx y x f y f Y ),()(11．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ 12．条件密度函数：)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =，)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =①0)|(|≥y x f Y X ②1)(),()|(|==⎰⎰+∞∞-∞+∞-y f dx y x f dx y x f Y Y X13．条件分布函数：F ( ) ∫f (u )xdu ∫f(u )f ( )xdu ，F ( ) ∫f (v )y dv ∫f(v )f ( )ydv14．当X 与Y 相互独立时：F ( )(x y) (y)(x) (y) (y)f ( )，F ( )(y x) (x)(x) (y) (x)f ( )15．求 g( )的分布函数与密度函数的一般步骤： ①由 的值域 确定 的值域②对任意 ，求出F ( ) ( ) (g ( ) ) ( y ) ∫f( )d③按分布函数性质写出F ( ) ④通过求导得f ( )16．当 N( ς ) 时， c N ( c ς ) ，N ( )当X 与Y 相互独立， N ( ς )， N( ς )时： N ( ς ς )17．设 * n +， * n +， ( n)独立同分布，且 的分布函数和密度函数分别为F( )和f( )，则f U (u ) nF (u )n f(u)，f V (u ) n, −F (v )-n f(v)第四章 随机变量的数字特征1．离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E ( ) ∑a p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E ( ) ∫ f( )+d 2．常用分布的期望：当 B(n p)时，E ( ) np当 (λ)时，E ( ) λ，E ( ) λ λ 当 R(a b)时，E ( )(a b) 当 E(λ)时，E ( )λ，E ( ) λ当 N( ς )时，E ( ) ，E ( ) ς 3．期望计算公式：①离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E,g( )- ∑g(a )p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E,g( )- ∫g( )f( )+d②离散型随机变量( )的概率函数为 ( a b j ) p j ， j ，E,g( )- ∑∑g(a b j )p j j 连续性随机变量( )的密度函数为f( )，E,g( )- ∫∫g( )f( )+d +d 4．期望的性质： ①E (c ) c②E ( c ) E ( ) c ③E ( l ) E ( ) lE ( )④当X 与Y 相互独立时，E ( ) E ( )E( )5．方差：D ( ) E *, −E ( )- + E ( )−,E( )- ；标准差：√D ( ) 6．常用分布的方差：当 B(n p)时，D ( ) np( −p) 当 (λ)时，D ( ) λ 当 R(a b)时，D ( )(b −a) 当 E(λ)时，D ( )λ当 N( ς )时，D ( ) ς 7．方差的性质： ①D (c )②D ( c ) D ( )③D ( ± ) D ( ) D ( )± E *, −E( )-, −E( )-+ ④当X 与Y 相互独立时，D ( ± ) D ( ) D ( )8．中心化随机变量： ∗ −E ( )，其E ( ∗) ，D ( ∗) D( ) 标准化随机变量： ∗E ( )√D( )，其E ( ∗) ，D ( ∗)9．协方差：cov ( ) E *, −E( )-, −E( )-+ E ( )−E ( )E( )D ( ± ) D ( ) D ( )± cov ( )10．协方差的性质： ①cov ( ) cov ( )②cov ( c )③cov ( l ) lcov ( )④cov (∑ m=∑ j nj=) ∑∑cov( j )nj=m=11．相关系数：ρ( ) E ( ∗ ∗) cov ( )√D( )D( )12．相关系数的性质： ①ρ( ) ρ( )② ρ( )③ ρ( ) ⟺∃ c ，使 ( c ) 13．相关性：①当ρ( ) 时，X 与Y 正线性相关 ②当ρ( ) − 时，X 与Y 负线性相关 ③当ρ( ) 时，X 与Y 不相关 ④X 与Y 相互独立 X 与Y 不相关⑤若二维随机变量( )服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立⟺X 与Y 不相关 14．X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k -X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k l )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k ( −E( ))l -二维随机变量( )的期望向量：(E( )E( )*；( )的协方差矩阵：(D( )cov ( )cov ( )D( )*15．p 分位数：νp ，其中, ( νp )≥p( ≥νp ) −p ，ν12为中位数变异系数：δ√D( ) E( )众数：,离散型随机变量： ( a ∗)≥ ( a )，连续型随机变量：f ( ∗)≥f ( )， R ，则a ∗或 ∗为众数16．两个不等式： 3 ς准则： ( − ≥3 ς) .3%切比雪夫不等式：设E ( ) ，D ( ) ς ，对∀ε> ， ( − ≥ε) 2ε2柯西—许瓦兹不等式：对∀随机变量( )，,E ( )- E ( )E( )第五章 随机变量序列的极限1．随机变量序列 ，若∃c ∀ε>n( n −c <ε)则随机变量序列 依概率收敛于c ，记作 n→ c 2．若 n→ a ， n→ b ，且g ( )在(a b )处连续，则g ( n n )→ g (a b )3．大数定律：切比雪夫大数定律：随机变量序列 两两不相关，∃c 使D ( ) c ， ，则n ∑ n=− n ∑E( )n=n ∑ ∗n=→ 辛钦(独立同分布)大数定律：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则̅→ 贝努利大数定律：随机变量序列 独立同分布，且 B( p) ,则 ̅→ p 4．中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 N( ς ) ,则( − ≥ε) * −Φ(√nες)+当n 足够大时，则近似认为∑ n = 服从正态分布列维—林德博格(独立同分布)中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则对∀ R 有：n(∑ −n n=√nς̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) Φ( )其中Φ( )为N( )的分布函数德莫夫—拉普拉斯中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 B( p),则对∀ R 有：n( ∑ −npn= √np( −p)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )Φ( ) 5．由德莫夫—拉普拉斯中心极限定理的近似计算：若 B(n p)，则当n 较大时：(a < b ) ∑C n k p k ( −p)n k a<k≤b≈Φ(b −np √np ( −p ))−Φ(a −np √np( −p))说明：①无论不等号中是否含等号，都用此公式近似②当a 时，认为a −∞；当b n 时，认为b ∞第七章 数理统计的基本概念 1．设( n )是一个样本，定义： 样本均值：̅n∑ n= 样本方差：n −∑( −̅) n= 样本方差： √n −∑( −̅) n=样本的 阶原点矩：A kn∑ k n=样本的 阶中心矩：M kn∑( −̅)k n= 2．设( n )是取自总体 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则①E (̅) ，D ( ̅) ςn②E ( ) ς ，D ( n )n − nς，n ≥ ③当n ⟶∞时， ̅→ ，→ ς ， n→ ς3．三个常用分布： ①χ 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且都服从N ( )，若 ∑ n = ，则 χ(n)联合密度函数：f ∗( n ) ∏f i ( )n=∏√ πn=e x i 2( π)n e p {−∑ n=}密度函数：f ( ) {n Γ.n/ n e y ， > ， else，其中Γ(n ) ∫t n e t + 0dt性质：①当 χ (n)时，E ( ) n ，D ( ) n②可加性：设与相互独立，且 χ (m)， χ (n)，则X χ (m n)分位数：χp (n )，当 χ (n)时， . χp(n )/ p ， <p < ②t 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 N ( )， χ (n)，若T √n，则T t(n)密度函数：f T (t ) Γ.n /√nπΓ.n/( t n ) n+ ，t R 分位数：t p (n )，当T t(n)时， . t p (n )/ p ， <p <（当p >时，可查表得到，当p <时，利用t p (n ) −t p (n )得到t p (n )的值）③F 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 χ (m)， χ (n)，若F m n ，则F F(m n)密度函数：f ( ) {Γ.m n /Γ.m/Γ.n /.m n /m m . m n / m+n， >， else分位数：F p (m n )，当F F(m n)时， . F p (m n )/ p ， <p <（当p > 时，可查表得到，当p < 时，利用F p (m n )F p (n m )得到F p (m n )的值） *若T t(n)，则T F( n)*具有可加性质的分布：χ 分布、柏松分布、正态分布、二项分布X Y p p p4．设( n )是取自总体N( ς )的一个样本，则：①X̅ N (μ σ )或√ X ̅−μσN( ) ②( − )S σ S n σσ∑(X i −X ̅) ni=χ ( − ) ③X ̅与S 相互独立 ④√n̅− √n −̅− nt(n − ) 5．设(X X m )是取自总体N(μ σ)的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ )√σ m σn N( )② ∑( −μ )mσm=∑( i −μ )nσ ni= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ F(m n) ③ σσF(m − n − ) 6．设(X X m )是取自总体N(μ σ )的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ ) w √ mnt (m n − )， w √ w ， wm n −[∑(X i −X ̅) mi=∑( i − ̅) ni=] ②F(m − n − ) 7．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，当n 较大时，近似地有：①X ̅ N (μσ )或√ X ̅−μσN( ) ②√n̅− N ( )，或√n ̅− ςN( ) 8．最小次序统计量：X ( ) ≤ ≤nX i 最大次序统计量：X (n) ≤ ≤nX i第八章 参数估计1．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则： ①̅是未知参数 的矩估计②S n 是未知参数ς 的矩估计，S n是未知参数ς的矩估计 2．常用分布的矩估计：设(X X m )是取自总体X 的一个样本， 当 (λ)时，λ̂ ̅，λ̂ ̅ 当 R( θ)时，θ̂ ̅ 当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n3．似然函数：L(θ;n)∏f(;θ)n=设(X X m)是取自总体X的一个样本，若存在θ̂使：L(θ̂)ΘL(θ)，则θ̂为θ的极大似然估计值一般通过解方程ddθlnL(θ)得到θ的极大似然估计4．常用分布的极大似然估计：设(X X n)是取自总体X的一个样本，当 (λ)时，λ̂̅当 R(θθ)时，θ̂X( )，θ̂X(n)当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n，变异系数δ̂x S n ̅5．无偏性：若未知参数θ的估计量θ̂满足：E(θ̂)θ，则θ̂为θ的无偏估计；若未知参数θ的估计量θ̂满足：nE(θ̂)θ，则θ̂为θ的渐近无偏估计；6．设(X X n)是取自正态总体N( ς)的一个样本，①当未知但ς已知时，的矩估计和极大似然估计都是̅，̅是的无偏估计②当已知但ς未知时，ς的极大似然估计ς̂S n具有无偏性，因为E(S n)ς③当与ς均未知时，ς的矩估计和极大似然估计都分别是̅S n，则̅是的无偏估计, Sn不是ς的无偏估计，而是ς的一个渐近无偏估计7．有效性：设θ̂和θ̂∗都是未知参数θ的无偏估计，若D(θ̂∗)<D(θ̂)，则θ̂∗比θ̂有效8．相合性：若未知参数θ的估计量θ̂满足θ̂→θ，即对∀ε>，n(|θ̂−θ|>ε)则θ̂为θ的相合估计9．设θ̂是未知参数θ的无偏估计，若nD(θ̂)，则θ̂为θ的相合估计10．置信区间：设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ θ，使得：(θθθ)≥−α则[θ θ]为θ的双侧−α置信区间，−α为置信水平(度)，θ θ为θ的双侧−α置信区间的上、下限11．求置信区间的一般步骤：①求出未知参数θ的较优点估计θ̂②以θ̂为基础，寻找一个只包含θ̂的随机变量J③记J的α分位数为a，−α分位数为b，则(aθb)−α④把aθb作等价变形，成为θθθ，则[θ θ]为双侧−α置信区间12．设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ，使得：(θθ)≥−α则[θ ∞]为θ的单侧−α置信区间，−α为置信水平，θ为θ的单侧−α置信区间的下限（上限类似）13．一个正态总体下位置参数的置信区间（见附表Ⅰ）14．常用分布总结（见附表Ⅱ）附表Ⅰ一个正态总体下位置参数的置信区间未知参数随机变量J J的分布双侧置信区间的上、下限单侧置信区间的下限单侧置信区间的上限ς已知√X̅−μσN( )̅±uασ√̅−uας√n̅uας√nς未知√X̅−μσt(n− )̅±tα(n−)σ√̅−tα(n−)ς√n̅tα(n−)ς√nς已知∑(−μ)n=ςχ(n)∑(−)n=χα(n)，∑(−)n=χα(n)∑(−)n=χ α(n)∑(−)n=χα(n)未知∑(−μ)n=ςχ(n− )∑(−X̅)n=χα(n− )，∑(−X̅)n=χα(n−)∑(−X̅)n=χ α(n−)∑(−X̅)n=χα(n−)附表Ⅱ常用分布总结X B( p)X P(λ)X R( b)X E(λ)X N(μ σ)f()/()C n k p k( −p)n k e λλk!{b−a， a<<b， else,λe λx，>， else√ πςe(x μ)2σ2F()/ /{，<a −ab−a， a<b ，≥b ,−e λx，≥，<略E(X) pλ( b)λμD(X) p( −p)λ(b− )λσ矩估计略λ̂̅b̂̅λ̂̅ ̂̅，ς̂n 极大似然估计略λ̂̅â( )，b̂(n)λ̂̅ ̂̅，ς̂n。
