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外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆是平面图形中常见的两个组合形态，它们的面积由一定的公式计算得出。
下面将会分别介绍外圆内方和外方内圆的面积公式及其应用。
一、外圆内方的面积公式
外圆内方是指一正方形内切于一个圆形，该圆形与正方形相切于其四个顶点。
外圆内方的面积公式如下：
S = πr²/2
其中，S代表正方形的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外圆内方的面积等于圆的面积的一半。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内切圆的面积。
解：由于正方形内切于圆，则圆的直径等于正方形的对角线长，即10√2。
故圆的半径r=5√2。
带入公式S = πr²/2，得到答案S = 25π。
二、外方内圆的面积公式
外方内圆是指一个圆形内含于一个正方形，该正方形的四个顶点位于
圆周上。
外方内圆的面积公式如下：
S = (2-π)r²
其中，S代表圆的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外方内圆的面
积等于圆的面积与正方形面积之差。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内含圆的面积。
解：进一步分析可得，正方形对角线长等于圆的直径，即10√2为圆直径。
所以圆的半径r=5√2/2。
带入公式S = (2-π)r²，得到答案S ≈ 11.32。
以上是外圆内方和外方内圆的面积公式及应用的介绍。
这两种形态的
应用十分广泛，常见于建筑物设计、广场景观等领域。
第五单元第7课时教学设计有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题学习任务一：结合具体情境，认识组合图形的特征。
【设计意图：观察两个图案，找出组成两个图案的基本图形，并找出它们的特点关系,说一说，总结“外方内圆”、“外圆内方”图形的特点以及图形的构成。
】➯情境导入，引“探究”教师谈话导入：同学们，中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就。
造型独特，图案丰富多彩，变化多端。
（教师相机课件出示图片一起举例说明）这些建筑中藏着很多的古人的智慧，我们一起来看看！1.回忆一下,正方形、圆及圆环的面积计算公式是什么?正方形面积公式：圆的面积公式：圆环的面积公式：2.收集古代建筑的图片，分析图形的特点。
➯新知探究，习“方法”课件出示例3中的雕窗图案。
一、学生独立自学，教师观察指导。
1.观察一下，这两种设计图案有什么联系和区别？每个图案中的圆和正方形有什么关系？2.阅读例题内容①从图中你获得哪些数学信息？②要解决的核心问题什么。
3.小结：根据它们的特征,我们可以把两种图案分别称为“”和“”。
二、学生发言，教师总结1.学生通过观察图案总结特点：都是由正方形和圆组成的，但左边是外方内圆，正方形的边长等于圆的直径；右边是外圆内方，圆的直径等于正方形的对角线的长。
2.通过阅读和理解：1）知道了两个圆的半径1m。
2）要解决的问题是：求出正方形和圆之间的面积吗？3.理解题意。
如果两个圆的半径都是1 m，求出正方形和圆之间部分的面积。
抽象成我们学过的数学图形就是：思考：怎样求正方形和圆之间部分的面积？先想一想，再同桌交流。
左图求的是正方形比圆多的面积，即用正方形的面积减去圆的面积。
右图求的是圆比正方形多的面积，即用圆的面积减去正方形的面积。
学习任务二：掌握“内圆外方”和“外圆内方”的图形面积的计算方法。
【设计意图：学生掌握了圆面积公式，能正确计算圆的面积，能认识组合图形的特点，；理解组合图形的构成，正确求组合图形中部分的面积。
外方内圆及外圆内方面积的计算教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握外方内圆及外圆内方的概念。
2. 让学生学会计算外方内圆及外圆内方的面积。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 外方内圆的面积计算公式：外方内圆的面积等于外正方形的面积减去内圆的面积。
2. 外圆内方的面积计算公式：外圆内方的面积等于外圆的面积减去内正方形的面积。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握外方内圆及外圆内方的面积计算公式。
2. 教学难点：如何引导学生理解和运用面积计算公式解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究外方内圆及外圆内方的面积计算方法。
2. 利用几何图形模型，直观展示外方内圆及外圆内方的面积计算过程。
3. 通过实际例子，让学生学会将数学知识应用于解决实际问题。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生观察外方内圆及外圆内方的特征。
2. 讲解概念：讲解外方内圆及外圆内方的定义，让学生明确其含义。
3. 面积计算公式的推导：引导学生通过实际操作，推导出外方内圆及外圆内方的面积计算公式。
4. 例题讲解：讲解几个典型例题，让学生学会运用面积计算公式解决问题。
5. 巩固练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概念的理解和计算公式的掌握情况。
2. 练习题完成情况：检查学生练习题的完成情况，分析其解题思路和错误原因。
3. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，了解其对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对本节课的教学，反思教学方法是否恰当，学生学习效果是否良好。
2. 思考如何改进教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握外方内圆及外圆内方的面积计算。
3. 考虑如何在教学中更好地培养学生的实际问题解决能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考：除了外方内圆和外圆内方，还有其他类似的图形吗？它们的面积如何计算？2. 探讨实际生活中的应用：让学生举例说明外方内圆及外圆内方在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。
外方内圆与外圆内方教学设计教学内容教材第69页例3教学目标知识与技能1、让学生结合具体情境认识组合图形，掌握“外方内圆”与“外圆内方”图形的面积计算方法。
2、通过教师引导，小组合作，培养学生独立思考，合作探究的学习数学的习惯。
过程与方法1、通过观察，探究，交流等活动培养学生独立思考、灵活运用知识解决问题的能力。
2、进一步发展学生的空间观念和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观让学生在解决问题的过程中，进一步体验数学解决问题方法的多样性和灵活性，提高学习数学的兴趣。
教学重点：探究并掌握“外方内圆”与“外圆内方”图形的面积计算方法教学难点：探究并总结出圆内正方形面积的计算方法教学过程一、导入1、展示课前预习成果，通过预习提高本节课的学习效率。
昨天老师布置了一个非常有挑战的预习任务，哪位同学能分享你的预习成果？指名学生汇报。
2、情境导入新课，激发学生兴趣。
前面我们已经学习过正方形和圆，今天我们将要学习正方形和圆的组合图形，外方内圆与外圆内方。
（PPT出示课题，并板书）在我国传统的建筑和艺术品中，就大量应用了这样的图案设计，特别的漂亮，我们一起来欣赏吧！（PPT展示欣赏图片，激发学生对祖国传统建筑艺术的喜爱和学习新知识的兴趣）二、探究新知，解决问题中国人真了不起！现在老师这有一个问题，希望能和了不起的你们一起来解决，好吗？出示例题：上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？为了方便探究，老师把这两个图案用简单的几何图形表示出来。
提出疑问：正方形和圆之间的部分指的是哪？哪位同学上来把它指出来？真棒！和老师想的一样，我用阴影部分表示出来1、阅读与理解老师：从图中你知道哪些数学信息？指名学生作答：板书：已知：r=1m老师：要求的是什么？指名学生作答：板书：要求：s阴影2、分析与解答老师：根据图中的信息，请同学们独立思考，拿出老师为你们准备好的学习单。
完成活动1。
教师巡视并个别指导学生独自完成。
《圆的面积解决问题》教学设计【教学目标】1. 结合具体情境，认识组合图形的特征。
掌握“内圆外方”和“外圆内方”的图形面积的计算方法，并能准确计算。
适时渗透中国传统文化教育。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 通过回顾和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，感受数学的价值，提升学习的兴趣。
【教学重难点】重点：掌握“内圆外方”和“外圆内方”的图形面积的计算方法，并能准确计算。
难点：对于“内圆外方”和“外圆内方”图形的分析【学习过程】一、创设情境，谈话引入1．师与学生谈话，简单了解“天圆如张盖，地方如棋局”的古代宇宙说。
并引出对它的影响特别是建筑。
2. 课件展示（鸟巢、水立方、精美的雕窗）。
二、探究新知，解决问题1. 实际操作（课件出示教材例3中的雕窗插图）。
（1）学生观察思考两者的联系和区别。
学生描述并总结出“内圆外方”和“外圆内方”。
（2）学生思考此为组合图形，并动手操作，利用提供的学具自己组合所需图形。
2．解决问题（1）阅读与理解怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再同桌交流。
预设1：正方形的面积减去圆的面积；圆的面积减去正方形的面积。
预设2：需要知道正方形的边长和圆的半径。
只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？学生思考，尝试练习。
（2）分析与解答①谁来说说你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？(先独立思考，再同桌交流)预设：正方形的面积减去圆的面积等于0.86m²。
②你是怎么知道正方形的边长的？根据学生回答课件展示：正方形的边长=圆的直径。
③在右图中你能得出正方形的边长吗？（不能）该如何计算正方形的面积呢？（独立思考，小组合作交流）预设1：可以把右图中的正方形看成两个三角形。
追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？（底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。
外方内圆外圆内方教学目标：1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3．结合外圆内方的主题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值。
教学重点：掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
教学难点：对组合图形进行分析。
教学准备：课件、学具、作业纸。
教学过程：一、谈话引入激发兴趣1．师：我国古代有“天圆如张盖，地方如棋盘”的说法。
（结合课件出示）虽然这种说法是错误的，却产生了深远的影响。
2．课件展示。
3、在这些的设计里，都是什么形状？【设计意图】由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
二、探究新知解决问题（一）动手操作，理联系1．这4个图形，谁来分分类？2.师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？3.．着重来看第二个外方内圆的图形，在这个特殊的外方内圆的图形中，圆和正方形有什么联系呢？4.学生动手测量圆的直径，正方形的边和对角线。
5.作品展示。
汇报6.小结：外方内圆的这个图形：正方形的边长和圆的直径相等，外圆内方的这个图形：圆的直径和正方形的对角线相等。
7．揭题【设计意图】动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。
与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。
（二）解决问题，理思路1．同学们，发现这两个图形线段的长度上有相等，真厉害。
那会求正方形和圆之间部分的面积？2.需要什么条件？先想一想，再同桌交流。
3.老师只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？4.学生思考，尝试练习。
5.生讲解、交流（结合学生回答课件展示）追问：（1）为什么求正方形的面积，他们却在求三角形的面积？（2）三角形的底和高分别是多少？相当于什么？（底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。
教学内容：解决问题（“外方内圆”和“外圆内方”的面积）教学目标：1、认识“外圆内方”和“外方内圆”的图形的特征，掌握这两类问题的解题方法。
2、应用掌握的方法解决生活中的相关实际问题，培养学生灵活、综合运用知识的能力。
3、体验数学与生活的联系，感受平面图形的学习价值，在解决问题的过程培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
教学重点：掌握“外圆内方”和“外方内圆”的图形面积计算方法。
教学难点：1、“外圆内方”中正方形面积的求法。
2、总结一般性的规律。
教学过程：一、协同准备1、今天在上新课前我们先来完成一组复习题，为我们的新课学习做好准备。
请同学们完成答题卡上的复习题。
复习题：1、求下列图形的面积。
2、看图填空。
正方形的周长是（，r=3cm r=2cm 圆的周长是（全对的同学举手！看来同学们对这些知识掌握的不错，今天我们继续来学习与圆有关的内容。
二、协商定标1、在我国古代园林建筑中，形态不一的花窗造型优美，给人带来不同的美感。
今天老师想带领大家一起去欣赏。
有没有同学知道花窗是什么吗？（古代的窗户）课件播放2、觉得古代设计师的设计的花窗美吗？今天这节课我们就来研究这些设计中的数学问题。
板书：解决问题三、协作探究1、我们来看看这两个设计有什么特点呢？师：同学们很善于观察！这两个设计都是由圆和正方形组成的。
左图把正方形放在了圆的外面，我们把像样的设计叫做“外方内圆”，右图是把正方形放在了圆的里面，我们把像这样的设计叫做“外圆内方”。
这两个设计中蕴藏着什么数学问题呢！为了便于研究，我们把他们抽象成几何图形。
“阅读和理解”1、（出示例3）我们一起来看例3，这是一道解决问题。
按照解决问题的步骤我们要先进行“阅读与理解”请同学们自由的把题目读一读。
（师贴“阅读与理解”）2、通过阅读你知道了哪些数学信息，要我们解决什么问题？板书：r=1m, ，求正方形和圆之间的面积3、同学们知道正方形和圆之间的面积指的是哪里吗？谁能上来指一指！同学们和他的想法是一样的吗？4、这两个圆的大小相等，正方形和圆之间的面积是否相等呢？你感觉哪边大些？分析与解答1、到底是不是左图外方内圆间的面积大些呢！我们肯定要进行准确的计算！接下来我们进行分析和解答。
第3课时解决问题▶教学内容教科书P69~70例3及“做一做”，完成教科书P72~73“练习十五”中第9、10、13题。
▶教学目标1.运用圆的面积公式解决生活中的数学问题，结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2.在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.结合例题渗透传统文化的教育，使学生将数学和实际生活联系起来，感受数学的价值，提升学习的兴趣。
▶教学重点理解并掌握“外方内圆”和“外圆内方”图形中圆和正方形面积的计算方法。
▶教学难点对组合图形进行分析。
▶教学准备课件。
▶教学过程一、创设情境，谈话引入师：我国是文明古国，文化博大精深，在建筑设计上也追求文化底蕴和内涵。
大家请看。
课件演示鸟巢、水立方、精美的雕窗等。
师：认识这些建筑吗？【学情预设】学生会说出这些建筑的名字。
师：你觉得这些建筑怎么样？【学情预设】有的学生会觉得很精致、设计很好，有的学生会觉得很有文化气息。
二、提出问题，探寻策略1.观察图形，呈现问题。
课件呈现两幅雕窗。
师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？【教学提示】如果学生从美观角度说两个雕窗的联系与区别，也要给予肯定。
【学情预设】预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。
预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
师：是的，我国建筑非常讲究文化美。
这两幅图就是中国建筑中常见的“外方内圆”和“外圆内方”的设计，在生活中都能经常见到。
今天我们就来利用已有的知识研究与圆和正方形有关图形的面积计算。
（板书课题：解决问题）【设计意图】由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
2.阅读与理解。
课件出示教科书P69例3。
师：你读到了哪些数学信息？【学情预设】学生能读出两个圆的半径都是1m，要求正方形和圆之间部分的面积。
《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教学内容：本课教学内容为六年级上册数学人教版，主要围绕几何图形的面积计算展开，重点探讨外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。
通过本课的学习，学生将掌握如何求解组合图形的面积，并能够灵活运用到实际生活中。
教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法，并能运用到实际问题中。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、概括的能力，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的精神，增强学生的自信心。
教学难点：1. 理解并掌握外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。
2. 学会运用分割法、添补法等方法求解组合图形的面积。
3. 能够将所学知识灵活运用到实际问题中，解决生活中的数学问题。
教具学具准备：1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：草稿纸、铅笔、橡皮等。
教学过程：一、导入1. 利用多媒体展示生活中常见的外方内圆和外圆内方两种组合图形，引导学生观察并说出这些图形的特点。
2. 提问：这些组合图形的面积该如何计算呢？今天我们就来学习外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。
二、探究新知1. 请学生拿出草稿纸和铅笔，跟随教师在黑板上一起画出一个外方内圆图形。
2. 引导学生观察外方内圆图形，并提问：如何计算这个图形的面积？5. 重复步骤14，引导学生探究外圆内方图形的面积计算方法。
三、巩固练习1. 请学生在草稿纸上分别画出一个外方内圆图形和一个外圆内方图形。
2. 学生独立计算这两个图形的面积，教师巡回指导。
四、课堂小结五、板书设计1. 《外方内圆，外圆内方》2. 内容：（1）外方内圆图形的面积计算方法：（2）外圆内方图形的面积计算方法：六、作业设计1. 请学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 结合生活实际，寻找并解决一个外方内圆或外圆内方的问题。
第6 课时有关“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形的面积问题（教案）教学内容教材第67 页例3。
教学目标 1. 结合具体的情境，利用圆的面积计算公式解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
2. 提高分析问题和解决问题的能力。
3. 结合例题渗透传统文化的教育，使学生将数学和实际生活联系起来，感受数学的价值，提升学习的兴趣。
教学重点会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
教学难点理解图形中正方形和圆的关系。
教学方法观察、推理、验证。
教学准备多媒体。
教学过程一、新课导入1. 出示。
师：仔细观察这两幅图，你发现了什么？预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的，右边的雕窗外面是圆的里面是方的。
预设2 ：都是由圆和正方形这两种图形组成的。
2. 揭示课题。
师：中国建筑非常讲究传统文化美。
这两幅图就是中国建筑中常见的“外方内圆”和“外圆内方”的设计，在生活中都能经常见到。
今天我们就来利用已有的知识解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形的面积问题。
（板书课题）设计意图通过展示中国建筑中经常能见到的“外方内圆”和“外圆内方”设计，为学习本课内容作好了铺垫。
二、探究新知探究点解决“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形的面积问题1. 阅读与理解。
下图中的两个圆半径都是1 m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？师：从题中你得到了哪些信息？预设1 ：知道了两个圆的半径都是1 m。
预设 2 ：左图求的是正方形比圆多的面积，右图求的是圆比正方形多的面积。
2. 分析与解答。
把实物图用下面的图（1）、图（2）来表示。
（1）观察图（1）。
师：正方形和圆有什么关系？预设：正方形的边长= 圆的直径。
师：“外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。
师：如何求阴影部分的面积？预设：阴影部分的面积= 正方形的面积- 圆的面积。
师：如何计算图（1）中阴影部分的面积？（根据学生回答适当板书）预设：正方形的边长：1×2=2（m）正方形的面积：2×2=4（m2）圆的面积：3.14×12=3.14（m2）阴影部分的面积：4-3.14=0.86（m2）答：阴影部分的面积是0.86m2。
