2021版高中数学必做黄金100题2 命题真假的判断 (原卷版)

第31题三角函数的图象（2020•新全国1山东）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A.πsin(3x+） B.πsin(2)3x- C.πcos(26x+）D.5πcos(2)6x-已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y sin x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ． 8πC ． 4πD ．2π【答案】B【解析】由题意知2=OP ，PN PM ⊥，∴2==ON OM ；∴函数的周期为16，即8πω=，选B ．3 =，24.（2020·河南洛阳）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（ ）A ．33-B ．33 C ．3-D ．tan 2t【答案】B【解析】由图可知，2A =， 再把点()0,3代入可得2sin 3ϕ=，所以3sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，8.（2020·全国）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．【答案】()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】根据函数图象得函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35,4123T T πππ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=，将点5212（，）π 代入，得：522212sin πϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得3πϕ=-， 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）先将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()()()h x f x g x =+在[]0,m 上单调递增，求m 的取值范围.【答案】（1）2A =，2ω=，π3ϕ=；（2）5π0,24⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】（1）由图可知2A =，ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2πω==.将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x ，得()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=.（2）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()ππ2cos 243g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()πππ2sin 22cos 222sin 23312h x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为[]0,x m ∈，所以πππ2,2121212x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 所以πππ212122m <+≤，即5π024m <≤，10.（2020·湖北）将函数(()Asin A 0,0,0())f x x ωωϕϕπ>><<=+的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．已知()g x 的部分图象如图所示，且4OM ON →→=．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()3()(2)24h x f x g x π=+-，求()h x 在,168ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）()2cos8f x x =；（2）3,2⎡⎤-⎣⎦．【解析】（1）由题可知，()sin 26g x A x ωωπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．由图可知，2A =．因为4OM ON →→=， 所以3||464TMN π=⨯=． 则2822T ππωω==⇒=。

1/ 17第49题 数列中的最值问题一．题源探究·黄金母题已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值．【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列245,4,3,77的公差为57-， ()2257555151125251271414256n n n n S n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-⋅-==--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当7n =或8时，n S 取最大值．人教A 版必修5P 45例4．【母题评析】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思路方法】由等差数列前n 项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．二．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前n 项和的最值、求满足数列的特定条件的n 的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大． 【学科素养】数学运算【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．2/ 17由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B ．三．理论基础·解题原理考点一 等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn ．当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 考点二 等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项10a >，公差0d <，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．(2)若等差数列的首项10a <，公差0d >，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩．3/ 17四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．考向1 数列中项的最值问题已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +，求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值．【解法一】基本不等式法．n a =2156n n +=1156n n+，因为156n n +≥1562n n⨯；当且仅当156n n =，即n=156时，而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a =a 且最大．【温馨提醒】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a n 满足的的值，从而找到最大项。

第5题 含参数的简易逻辑问题I ．题源探究·黄金母题 【例1】下列各题中，那些是的充要条件？（节选） （1）：，:函数是偶函数; 【解析】是的充要条件．精彩解读【试题来源】人教A 版选修1—1第11页例3．【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题．【思路方法】直接应用定义进行判断．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017天津,理4】设，则“"是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现,难度较小，往往与命题(特别是含有逻辑联结词的复合命题)真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒ 与非⇒非, ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非p qp 0b =q()2f x a x b xc =++,p q ⇔∴pqθ∈R ||1212θ-<1sin 2θ<pqq ppqpqpq q p q p p q pqqpD ．既不充分也不必要条件【解析】当时,有,即充分性成立．当时，有，得解得或，即必要性不成立，故选A ．【例3】【2014 福建理数】直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为"的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件;若＝，则是的充要条件;若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集,则是的必要不充分条件．1a b ==()21i 2i+=()2i 2i a b+=222i 2i ab a b -+=220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩1a b ==1ab ==-:1l y k x =+22:1Ox y +=,A B 1k =A B C △12ABABBA B A ⊆A BABA BABAB BAABD ．既不充分又不必要条件【解析】当时，，由题意不妨令，，则，所以充分性成立;当时，，也有，所以必要性不成立．【例4】【2014四川理数】以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当1k =:1l y x =+()1,0A -()0,1B 111122A O BS =⨯⨯=△1k =-:1l yx =-+12AOB S =△ARB()x ϕ()x ϕM()x ϕ[],M M -，时，，．现有如下命题：①设函数的定义域为，则“"的充要条件是“,,”；②函数的充要条件是有最大值和最小值; ③若函数,的定义域相同，且，，则； ④若函数()31x x ϕ=()2s i n x x ϕ=()1x A ϕ∈()2x B ϕ∈()f x D()f x A ∈b ∀∈R a D ∃∈()f a b =()f x B ∈()f x ()f x ()g x ()f x A ∈()g x B ∈()()f x gx B +∉()()2l n 21xf x a x x =+++有最大值，则．其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）【解析】依题意可直接判定①正确；令，显然存在正数2，使得的值域，但无最小值,②错误；假设，则存在正数，使得当在其公共定义域内取值时，有，则,又因为，则存在正数，使，()2,x a >-∈R ()f x B∈()(]()2,1xf x x =∈-∞()f x (][]0,22,2⊆-()f x ()()f x gx B +∈M x()()f x gx M +…()()f x M gx -…()g x B ∈1M()[]11,gxM M ∈-所以，即,所以,与矛盾,③正确；当时，，即，当时,因为的值域为，而，此时无最大值，故，④正确．III ．理论基础·解题原理考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若则”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或"“且”“非"与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题．()1g x M -…()1M g x M M -+…()1f x MM +…()f x A ∈0a =()211,122x f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦()f x B ∈0a ≠()l n 2y a x =+(),-∞+∞211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦()f x 0a =pq考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“"表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小,往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题)真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【技能方法】解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论【易错指导】（1）参数的边界值即是否取等号,容易出错； （2)判断充分条件和必要条件时，容易将方向弄错． V ．举一反三·触类旁通考向1 与充分条件、必要条件有关的参数问题【例1】【2018安徽滁州高三9月联合质检】“”是“函数在区间上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A∀∃1a >-()223f x x a x =+-()1,+∞【例2】【2017湖南邵阳第二次联考】“”是“函数在区间无零点”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若函数在区间无零点，则 故选A ．【例3】【2017黑龙江哈尔滨第三中学高三二模】对于常数，“关于的方程有两个正根” 是“方程的曲线是椭圆" 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】D【解析】依题意，两个正根即，令,此时方程有两个正根，但是方程不是椭圆．反之，令，方程是椭圆,但是没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件． 【例4】【2017江苏无锡模拟】若,则复数在复平面内对应的点在第三象限是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】∵，∴由题设可得，因此不充分；反之，当，则复数对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案B ．【例5】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题，命题，若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 ．【答案】[－2,5］ 【解析】1m >()3xm f x +=[)1,+∞()3xm f x +=[)1,+∞1313122m m m +⇒+>⇒>,m n x20x m x n -+=221mx n y +=2121240{0m n x x m x x n ∆=-≥+=>=>5mn ==22551x y +=1,12m n ==2212x y +=21102x x -+=a R ∈3iia z -=0a ≥33a iz a ii -==--00a a -⇒00a a >⇒-<3z a i =--:||4p x a -<:(1)(2)0q x x -->pqa【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法:直接判断“若则"、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件． 2．等价法:利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非，⇔ 与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆ ,则是的充分条件或是的必要条件；若＝,则是的充要条件．【跟踪练习】1．【2017湖北七市（州）3月联考】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵圆心到定直线的距离为，若半径，如上图，则恰有三个点到定直线的距离都是1．由于，故圆上最多有两个点到直线的距离为1;反之也成立，应选答案C ．2．【2017高三百校联盟】已知，,若的一个充分不必要条件是 ，则实数的取值范围是（ ）p qq ppqpq pq qpqppqpq qpA BABBAABABA ．B ．C ．D ．【答案】A3．已知，若p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．【答案】［-1,6] 【解析】∵p 是q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．又∵，∴,解得： ． 考向2 与逻辑联接词有关的参数问题【例6】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题若为假命题,则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则无解,可得； 若q 为真则，∴答案为C ． 【例7】【2017四川资阳4月模拟】设命题：函数的定义域为R ；命题:当时，恒成立，如果命题“p ∧q ”为真命题,则实数的取值范围是________． 【答案】；【解析】解：由题意可知，命题 均为真命题，为真命题时：，解得： ，:44;:(2)(3)0p a x a q x x -<<+-->⌝⌝a⌝⌝:23qx <<42,43aa -≤+≤16a -≤≤000:,0,x p x R e m x ∃∈-=2:,10,q x R m xm x ∀∈++>()p q ∨⌝m ()(),04,-∞⋃+∞[]0,4[)0,e ()0,e ()p q ∨⌝xe m x =0m e ≤<04m ≤<p ()()2l g 21f x a x x =-+q122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1x a x+>a ()12，,p q p()20{240a a >∆=--<1a >为真命题时:在区间上单调递减，在区间 上单调递增， ,故：，综上可得，实数的取值范围是：．【例8】【2017贵州校级联考】已知函数，命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【例9】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学联考】已知命题指数函数在上单调递减,命题关于的方程的两个实根均大于3．若“或"为真,“且”为假，求实数的取值范围． 【答案】．【解析】试题分析:根据指数函数的单调性求出命题p 为真命题时a 的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q 为真命题时a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或q 为真，p 且q 为假”转化为p ， q 的真假,列出不等式组解得． 试题解析：若p 真,则在R 上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a ＜．若q 真，令f （x)=x2-3ax+2a2+1,则应满足,又由已知“或”为真,“且”为假；应有p 真q 假，或者p 假q 真．q()1f x x x =+1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2m i n 11121x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭2a <a()1,2()()21l n 11f x x x =+-+px()()121f x f x +>-q x()210x m xm -++≤p ⌝q⌝m ()02，①若p 真q 假，则， a 无解．②若p 假q 真，则．综上①②知实数的取值范围为．考点：１．复合命题的真假与简单命题真假的关系；２．二次方程实根分布．【例10】【2018安徽滁州9月联考】已知； 函数有两个零点．（1）若为假命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题， 为假命题,求实数的取值范围．【答案】（1）；(2）．，令，解得,函数在上单调递减，在上单调递增，故,故．若为真,则， 或 ．(1）若为假命题,则均为假命题，实数的取值范围为．(2）若为真命题, 为假命题，则一真一假．若真假,则实数满足，即; 若假真，则实数满足,即．()2:0,,2l n p x x e x m ∃∈+∞-≤:q 221y x m x =-+p q ∨m p q ∨p q ∧m[)1,0-()[],10,1-∞-⋃()22222e x ef x x x x='-=-()0f x '=x ()22l n f x x ex =-()+∞()m i n0f x f ==0m ≥q2440m =->1m >1m <-p q ∨,p q m[)1,0-p q ∨p q ∧,p q p qm{ 11m m ≥-≤≤01m ≤≤p qm{11m m m <><-或1m <-综上所述，实数的取值范围为． 【例11】设命题p:函数的定义域为R;命题q ：对一切的实数恒成立，如果命题“p 且q”为假命题，求实数a 的取值范围． 【分析】首先分别将命题翻译成实数的取值范围，若命题“p 且q”为假命题，则至少有一个假，分类讨论．【解析】,． “且"为假命题,,至少有一假：（1）若真假，则且； （2）若假真,则且；（3)若假假，则且,． 【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系，转化为集合间的运算． 【跟踪练习】 已知命题函数的值域为，命题方程在上有解，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围．m()[],10,1-∞-⋃2()l g ()16a f x a x x =-+39x xa -<x ,p q a,p q 20:2104a p a a >⎧⎪⇒>⎨=-<⎪⎩21111:()39(3)2444x x x q g x a =-=--+≥⇒>p q ∴pqp q 2a >1,4a a ≤∈∅p q 2a ≤11,244a a ><≤pq2a ≤11,44a a ≤≤2a ∴≤:p ()222f x x a x a =++[)0,+∞:q ()()120a x a x -+=[]1,1-p qa考向3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 【例12】【2017吉林三模】函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间,使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间"．下列结论错误的是 A ．函数（）存在级“理想区间” B ．函数不存在级“理想区间" C ．函数存在级“理想区间”D ．函数不存在级“理想区间”【答案】D 【解析】易知是的一级“理想区间”．A 正确;设，，当()f x Dk[],ab D ⊆()f x ()f x [],a b ()f x [],a b [],ka kb [],a b ()y f x =k()2f x x =x R ∈1()()x f x e x R =∈2()()2401x f x x x =≥+3()t a n,,22f x xx ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭4[]0,1()2f x x =()2x gx e x =-()'2x g x e =-时, ,当时, ，因此，即无零点，因此不存在2级“理想区间”，B 正确;由,得或，则是的一个3组“理想区间"，C 正确;借助正切函数图象知与在内有三个交点，因此有4级“理想区间”，D 错误,故选D ．【例13】【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“,使得"是假命题,则实数的取值范围为__________．【答案】【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题，故将该题转化为恒成立问题处理． 【跟踪练习】已知命题p ：“∀x ∈R,∃m ∈R,使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】(－∞,－2]考向 4 与全称量词、特称量词有关的参数问题 【例14】【2017北京西城区二模】函数．若存在，使得，则k 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，ln 2x <()'0g x <ln 2x >()'0g x >()()m i n l n 222l n 20g x g ==->()0g x =()xf x e=()24301xhx x x =-=+0x =x =⎡⎢⎣()241xf x x =+ta n y x =4y x=,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()t a n ,22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x R ∃∈()2110x a x +-+<a []13-，函数 是R 上的单调递增函数，则 也是R 上的单调递增函数，则满足题意时： 只需当 时成立，分类讨论： 当 时： ，解得： ,此时： ，当时:，解得：,此时：,综合以上两种情况可得k 的取值范围是．点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求,即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍,通过分类讨论，消除这种阻碍,使问题得到解决．但需要注意一点,不能形成定势思维:有参数就一定要分类讨论．【例15】【2018江苏横林高级中学模拟】若命题“， "是真命题，则实数的取值范围是____．【答案】 【解析】，由于，命题“，”是真命题，则，实数的取值范围是．【例16】【2017湖北省黄冈模拟】若命题“"是假命题，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】∵命题“"是假命题，∴为真命题 ，即 ，故答案为．【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】【解析】 为真命题，∴ t R ∃∈20t a -<a()0,+∞2a t>20t ≥t R ∃∈20t a -<0a >a()0,+∞200,20x R x xm ∃∈-+≤m ()1,+∞2000,20x R x xm ∃∈-+≤2R ,20x x x m ∀∈-+<440,1m m ∆=-<>()1,+∞t R ∃∈220t t a --<a (],1-∞-2,20t R t t a ∀∈--≥4401.a a ∆=+≤⇒≤-【例18】已知命题：“”，命题：“"． 若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为_______________．【分析】若命题“且"是真命题,则命题都是真命题，首先将命题对应的参数范围求出来，求交集即可．【点评】命题是恒成立问题，命题是有解问题．【例19】【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题是真命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题设方程有解，故，即，故应填答案． 【跟踪练习】已知函数，(a 〉0)，若,，使得f(x 1)= g （x 2),则实数a 的取值范围是___________________．【答案】p 0],2,1[2≥-∈∀a x x q 022,2=-++∈∃a ax x R x p q a p q ,p q ,p q pq2:,20p x R x x a ∃∈++≤a 1a ≤022=++a x x 044≥-a 1≤a 1a ≤2()2f x x x =-()2g x a x =+1[1,2]x ∀∈-2[1,2]x ∃∈-]3,35(。

2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）专项题02 真假命题判断与应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选选题（共10小题）1.（2020•天津一模）已知a∈R，则“﹣1＜a＜0”是“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＝0时，不等式化为﹣1＜0，满足条件．a＜0时，ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立，△＝4a2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0，∴“﹣1＜a＜0”是“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件．故选：A．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.（2019•思明区校级二模）已知函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a＜e；②x1+x2＜2；③x1•x2＞1；④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0．则正确判断的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：对于①，∵f（x）＝e x﹣ax，∴f′（x）＝e x﹣a，令f′（x）＝e x﹣a＞0，当a≤0时，f′（x）＝e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．当a＞0时，∵f′（x）＝e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1、x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，所以①错误；对于②，x1+x2＝ln（a2x1x2）＝2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a＝，f（2）＝e2﹣2a＝0，∴x2＝2，f（0）＝1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②错误；对于③，f（0）＝1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴③错误；对于④，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0＝lna，且x1+x2＜2x0＝2lna，所以④正确．综上，正确的命题序号是故选：D．【知识点】命题的真假判断与应用3.（2019•汉阳区校级模拟）下列命题为真命题的个数是（）①ln3＜；②lnπ＜；③＜15；④3eln2＜4A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：构造函数f（x）＝，导数为f′（x）＝，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x＝e处f（x）取得最大值，ln3＜⇔2ln＜ln2⇔＜，由＜2＜e可得f（）＜f（2），故①正确；lnπ＜⇔＜，由＜＜e，可得f（）＜f（），故②错误；＜15⇔＜，由e﹣2＜﹣2，可得f（2）＜f（），故③正确；3eln2＜4⇔＜＜，由f（x）的最大值为，故④正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用4.（2019•佛山一模）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，可得存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．【知识点】命题的真假判断与应用5.（2019•海淀区二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P与A，C1不重合）．则下面结论中错误的是（）A．存在点P，使得平面A1DP∥平面B1CD1B．存在点P，使得AC1⊥平面A1DPC．S1，S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影图形的面积，对任意点P，S1≠S2 D．对任意点P，△A1DP的面积都不等于【解答】解：对于A选项，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，因为BD∥B1D1，BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理A1B∥平面B1CD1，又因为BD∩A1B＝B，BD⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以平面A1DP∥平面B1CD1；对于B选项，当当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，连接AD1，则A1D⊥AD1，又因为C1D1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以A1D⊥C1D1，又C1D1∩AD1＝D1，所以A1D⊥平面AC1D1，所以AC1⊥A1D，同理AC1⊥A1B，又因为A1D∩A1B＝A1，A1D⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，AC1⊥平面A1DP；对于选项C，在点P从AC1的中点向着点A运动的过程中，S1从减小的趋向于0，S2从接近0增大到趋向于，在此过程中，必有某个点P使得S1＝S2；对于选项D，∵△A1AP≌△DAP，∴DP＝A1P，即三角形A1PD是等腰三角形，所以当P到A1D的距离最小时，三角形A1DP的面积最小，又因为P在AC1上，A1D和AC1异面，所以当P∈平面A1BD时，P与A1D中点E的连线是两异面直线的共垂线段，P到A1D的距离最短，为，而A1D＝，所以，△A1DP的面积的最小值为S min＝＝，所以对任意点P，△A1DP的面积都不等于．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用6.（2020•宝鸡二模）已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则1∥β【解答】解：对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n位置关系不定，故错；对于C，利用面面垂直的判定，可得若l⊥α，l∥B，则α⊥β，故正确对于D，利用线面平行的判定，可得若α∥β，l⊄β，且l∥α，则1∥β，故正确；故选：B．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系、命题的真假判断与应用、空间中直线与平面之间的位置关系7.（2020•咸阳二模）关于函数f（x）＝+cos2x，下列说法正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）一个递增区间为[﹣，]C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称D．将函数y＝sin2x图象向左平移个单位可得函数y＝f（x）的图象【解答】解：f（x）＝+cos2x＝＝，对于A，tan x有意义，则，所以函数的定义域为，即A错误；对于B，令，则，当k＝0时，x∈[﹣，]，即B正确；对于C，函数f（x）的定义域不关于直线x＝对称，即C错误；对于D，y＝sin2x图象向左平移个单位得到的函数为＝f（x），但两个函数的定义域不同，即D错误．故选：B．【知识点】命题的真假判断与应用8.（2020•潍坊二模）在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为【解答】解：由题可知，x＝f（θ）＝cosθ，y＝g（θ）＝sinθ，即A正确；x＝f（θ）＝cosθ在上为增函数，在上为减函数；y＝g（θ）＝sinθ在上为增函数，即B错误；f（θ）+g（θ）＝cosθ+sinθ＝，∵，∴，，即C正确；函数t＝2f（θ）+g（2θ）＝2cosθ+sin2θ，θ∈[0，2π]，则t'＝﹣2sinθ+2cos2θ＝﹣2sinθ+2（1﹣2sin2θ）＝﹣2（2sinθ﹣1）（sinθ+1），令t'＞0，则；令t'＜0，则，∴函数t在上单调递增，在上单调递减，当sinθ＝，时，函数t取得最大值，为，即D错误．故选：AC．【知识点】命题的真假判断与应用、函数的最值及其几何意义、函数奇偶性的性质与判断9.（2020•烟台一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为棱CD，CC1的中点，Q为面对角线A1B上任一点，则下列说法正确的是（）A．平面APM内存在直线与A1D1平行9B．平面APM截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积为C．直线AP和DQ所成角可能为60°D．直线AP和DQ所成角可能为30°【解答】解：A选项：直线A1D1∥平面ABCD，平面ABCD∩平面APM＝直线AP，直线AP与直线A1D1不平行，于是A错；B选项：平面APM截正方体为平面APMB1，该四边形为等腰梯形，，于是B正确；C，D选项：当点Q在A1时两直线的夹角最小，当Q在B处时两直线的夹角最大，，所以可得θ＞30°，θ＞60°，于是C正确，D错误．故选：BC．【知识点】命题的真假判断与应用10.（2020•潍坊一模）如图，点O是正四面体P﹣ABC底面ABC的中心，过点O的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱P A的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN∥平面P AB，则AB∥RQB．存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQC．存在点S与直线MN，使D．是常数【解答】解：A选项：因为MN∥平面P AB，面ABC∩面P AB＝AB，所以MN∥AB；又面SQR∩面P AB＝QR，所以MN∥QR；所以AB∥QR；B选项取PC中点G，连接AG，BG，则AG⊥PC，BG⊥PC，所以PC⊥面ABG，过AC上一点M，作MS∥AG，SN∥BG，则面ABG∥面SMN，所以存在点S与直线MN满足条件；C选项由最小角定理知，PC与面P AB所成角的最小角为∠CPD，PD为∠APB的角平分线，最大角为∠CPD＝60°，不可能为直角，所以C不成立；D选项═，，，设，所以，因为O，Q，R，S四点共面，所以，所以，所以，得证．故选：ABD．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系、命题的真假判断与应用二、填空题（共8小题）11.（2020•衡阳二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，C1C＝BC＝2．给出下列四个结论：①四棱锥B﹣ACC1A1为阳马；②直线BC1与平面ACC1A1所成角为45°；③当AB＝1时，异面直线BC与AC1所成的角的余弦值为；④当三棱锥C1﹣ABC体积最大时，四棱锥B﹣A1ACC1的外接球的表面积为8π．其中，所有正确结论的序号是．【解答】解：对于①，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1，即四棱锥B﹣ACC1A1为阳马，故①正确；对于②，由①可知AB⊥平面ACC1A1，∴∠AC1B为直线BC1与平面ACC1A1所成角，假如∠AC1B＝45°，则Rt△AC1B为等腰直角三角形，∴，这与在Rt△ABC中AB＜BC＝2矛盾，故②不正确；对于③，当AB＝1时，，，，B 1C1＝2，∵B1C1∥BC，∴∠AC1B1为异面直线BC与AC1所成的角（或补角），在△AC1B1中，，∴异面直线BC与AC1所成的角的余弦值为，故③正确；对于④，三棱锥C1﹣ABC体积为：，当且仅当时，取“＝”，现将三棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体ABDC﹣A1B1D1C1，则长方体ABDC﹣A1B1D1C1的外接球与四棱锥B﹣A1ACC1的外接球为同一个球，∴球的直径，∴，故④正确．∴所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【知识点】命题的真假判断与应用12.（2019•海淀区二模）已知集合A0＝{x|0＜x＜1}．给定一个函数y＝f（x），定义集合A n＝{y|y＝f（x），x∈A n}若A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“g”．﹣1（I）具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是；（Ⅱ）给出下列函数：①；②y＝x2+1；③，其中具有性质“9”的函数的序号是．（写出所有正确答案的序号）【解答】解：（I）可取y＝x+1，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|1＜y＜2}，A2＝{y|2＜y＜3}，…，A n﹣1＝{y|n﹣1＜y＜n}，A n＝{y|n＜y＜n+1}，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立；（Ⅱ）①，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|y＞1}，A2＝{y|0＜y＜1}，A3＝{y|y＞1}，A4＝{y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故①具有性质“g”；②y＝x2+1，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|1＜y＜2}，A2＝{y|2＜y＜5}，A3＝{y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故②具有性质“g”；③，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|2＜y＜3}，A2＝{y|1＜y＜2}，A3＝{y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故③不具有性质“g”．故答案为：y＝x+1，①②．【知识点】命题的真假判断与应用13.（2019•咸阳一模）无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列四个命题：①诺x∥y，x∥z，则y∥z；②若x⊥y，x⊥z，则y⊥z；③若x⊥y，y∥z，则x⊥z；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点；其中正确命题序号为．【解答】解：无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也称终于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误．故答案为：①③．【知识点】命题的真假判断与应用14.（2019•河南模拟）若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0，得1＜x＜2．若m＞﹣1，则m＜2m+1，由（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0，得m＜x＜2m+1，∵若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，∴，解得≤m≤1；若m＝﹣1，（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的解集为∅，不合题意；若m＜﹣1，则2m+1＜m，由（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0，得2m+1＜x＜m，∵若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，∴，解得m∈∅．综上，实数m的取值范围是[]．故答案为：[]．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件15.（2019•十堰模拟）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【知识点】命题的真假判断与应用16.（2018•新余二模）对于函数f（x）＝，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y＝f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）＝2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2＝3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）【解答】解：f（x）＝的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y＝f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）＝2f（+2）＝4f（+4）＝6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x＝对称，若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则＝，则x1+x2＝3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【知识点】分段函数的应用、命题的真假判断与应用17.（2018•潍坊一模）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为．其中所有正确结论的序号为．【解答】解：如图，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，∴，又侧棱AA 1＝1，∴，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；∵∈（1，3），DD 1＝1，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为，故③正确；由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故④错误．∴正确结论的序号是①②．故答案为：①②③．【知识点】命题的真假判断与应用18.（2018•烟台一模）对于函数y＝e x f（x）（其中e是自然对数的底数），若存在实数T使得e x f（x）≥T在（0，+∞）上恒成立，则称函数f（x）具有性质“”．给出下列函数：①f（x）＝2e﹣2x+1②f（x）＝x2﹣2x；③f（x）＝sin x；④f（x）＝．其中具有性质“”的所有函数的序号为．【解答】解：①f（x）＝2e﹣2x+1，y＝e x f（x）＝2e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝ln时，取得等号，即满足题意；②f（x）＝x2﹣2x，y＝e x f（x）＝（x2﹣2x）e x导数为y′＝（x2﹣2）e x，当x＞时，导数y′＞0，函数y递增；当0＜x＜时，导数y′＜0，函数y递减；函数y取得最小值，满足题意；③f（x）＝sin x，y＝e x f（x）＝e x sin x的导数为y′＝e x（sin x+cos x），由sin x+cos x＝0，可得tan x＝﹣1，即x＝kπ﹣，k∈N*，则函数y无最小值，不满足题意；④f（x）＝，y＝e x f（x）＝的导数为y′＝，当x＞1时，导数y′＞0，函数y递增；当0＜x＜1时，导数y′＜0，函数y递减；函数y取得最小值，满足题意．故答案为：①②④．【知识点】命题的真假判断与应用三、解答题（共6小题）19.（2020•烟台一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，，b2＝8，b1﹣3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列的前k项和•若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分【解答】解：设等比数列，b3＝8q，于是，，若选①，则，解得d＝2，，于是＝．k的最小值为16．若选②：，则a1＝d＝2．下同①．若选③：则a1＝b1＝2，3（a1+2d）﹣（a1+3d）＝8，解得，，，于是+＝＝．令．注意到k为正整数，解得k≥7，所以k的最小值为7．【知识点】命题的真假判断与应用、等差数列与等比数列的综合20.（2020•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，①已知点A（，0），直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；②已知圆C的方程为x2+y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A（，0），（﹣，0）到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|P A|＝d1，|PB|＝d2；③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝+；（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l'交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）若选①，设p（x，y），根据题意，，整理得，所以所求的轨迹方程为＝1．若选②，设P（x，y），直线l与圆相切于点H，则|P A|+|PB|＝d1+d2＝2|OH|＝4＞2＝|AB|，由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1，所以所求轨迹方程为．若选③，设P（x，y），S（x′，0），T（0，y′）则＝3（*）．因为＝+，所以，整理得，代入（*）得，所以所求轨迹方程为．（2）方法一：设Q（0，y0），当l′斜率不存在时，y0＝0，当l′斜率存在时，设直线l′的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）＝0△＞0恒成立，x1+x2＝，设线段MN中点（x3，y3），则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣，设线段MN的垂直平分线的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0得y0＝＝当k＜0时，≤﹣4，当且仅当k＝﹣取等号，所以﹣≤y0＜0，当k＞0时，≥4，当且仅当k＝取等号，所以0＜y0≤，综上Q的纵坐标的取值范围是[﹣，]．方法二：设Q（0，y0），根据题意直线l′斜率不为0，设直线l′方程为x＝my+1，若m＝0，则y0＝0，当m≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去x整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，△＞0恒成立，y1+y2＝﹣，设线段MN中点G（x3，y3），则y3＝＝﹣，x3＝my3+1＝，所以线段MN的垂直平分线方程为：y+＝﹣m（x﹣），令x＝0得y0＝＝，当m＜0时，m+≤﹣4，当且仅当m＝﹣2时，取等号，所以﹣≤y0＜0，当m＞0时，m+≥4，当且仅当m＝2时，取等号，所以0＜y0≤，综上点Q的纵坐标的取值范围是[﹣，]．【知识点】轨迹方程、命题的真假判断与应用21.（2019•西湖区校级模拟）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆．（I）若命题p为真命题时．求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0即（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．（Ⅰ）若命题p为真命题时．则实数m的取值范围是﹣1＜m＜2；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件22.（2019•武进区一模）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）＝lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．【解答】解：①若p正确，则由题意可得≤1 恒成立，即的最大值为1，可得a＞1．（4分）②若q正确，则解集为R，（6分）当a＝0时，的解集不是R，不合题意，舍去；当a≠0时，则由解得．（10分）③∵p和q中有且仅有一个正确，∴，或，∴a≥8，或．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．（14分）【知识点】指数函数的单调性与特殊点、对数函数的单调性与特殊点、复合命题及其真假23.（2019•宿豫区校级模拟）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）＝lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．【知识点】复合命题及其真假24.（2019•广东模拟）设有两个命题p，q，其中p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集是R；q：f（x）＝log（2a2+a+1）x是减函数，且p∨q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集是R，即△＜0即满足（a﹣1）2﹣4a2＜0解得a＜﹣1或a＞．若q真，即f（x）＝log（2a2+a+1）x是减函数满足0＜2a2+a+1＜1．解得＜a＜0；若满足p∨q为真命题，即满足或或；p真q真时，无解；即有：或即为；【知识点】一元二次不等式及其应用、四种命题的真假关系、对数函数的单调性与特殊点。