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用反比例函数解决问题一、单选题1．已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．2．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），反比例函数y =kx的图象与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD，当BD⊥x 轴时，k的值是（）A．- 503B．-252C．﹣12D．-2544．如图，A、B两点在双曲线6yx=上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知2S=阴影，则12S S+=（）A．4B．5C．6D．85．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，⊥ABC=90°，CA⊥x 轴，点C 在函数y=k x（x ＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（ ）A ．4B ．C ．2 D8．如图，已知点A 是反比例函数y =OA 为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数k y x=的图像上，则k 的值为（ ）A ．-B ．C ．D ．9．如图，在x 轴正半轴上依次截取1122311n p OA A A A A A A -=====，过点1A 、2A 、3A 、……n A 分别作x 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x=>交于点1P 、2P 、3P 、…、n P ，连接12PP 、23P P 、…1n n P P -，，过点2P 、3P 、…、n P 分别向1P A 、22P A 、…、11n n P A --作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.A ．2nB ．1n n -C ．21nD ．22n n+ 10．如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数6y x=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将⊥BDE 沿DE 翻折至⊥B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（ ）A ．25-B ．121-C ．15-D ．124-二、填空题11．某人用660N 的恒定压力用气筒给车胎打气。
反比例函数重点回顾一、基础知识回顾1、定义：形如y =k x ( k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．注意自变量x ≠0，对于y =k x有时也可写成y =kx -1形式． 2、比例系数k 的几何意义 反比例函数y =k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为|k |．3、反比例函数的图像与性质反比例函数y =k x(k ≠0)的图像是双曲线．当k >0时，双曲线位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k <0时，双曲线位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线与x 轴、y 轴都没有交点，而是越来越接近x 轴、y 轴．图像是关于原点对称的中心对称图形．4、根据实际情景或图像确定反比例函数关系式，再利用图像与性质解决问题。
二、典例分析1．反比例函数的概念、图像与性质例1反比例函数1y x=-的图像在第 象限． 例2下列四个点中，有三个点在同一反比例函数x k y =的图像上，则不在．．这个函数图像上的点是 （ ）A ．（5，1）B ．（1-，5）C ．（35，3） D ．（3-，35-） 例3反比例函数k y x=的图像经过点()23-，，那么k 的值是（ ） A ．32- B ．23- C ．6- D ．6 析解：这组例题考查的反比例函数的基本概念，相信同学们都能轻松解出，例1填二、四，例2选B ，例3选C.2、求反比例函数关系式例4、函数k y x=的图像经过点（1，－2），则k 的值为（ ）A．12B．12- C．2 D．－2析解：因为反比例函数kyx=的图像经过点（1，－2），所以k=xy=1×（-2）=-2，故选C。
3、实际应用问题例5、某项工程需要砂石料2×106立方米，阳光公司承担了该工程运送砂石料的任务。
（1）在这项任务中平均每天的工作量v（立方米/天）与完成任务所需的时间t（天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式。
§11.3用反比例函数解决问题（1）教学设计
自主练习
数形结合进行解题。
一句话说出“使劲踩气球，气球会发生爆炸”的理由？
各抒己见课堂小结生活中还有许多反比例函数模型的实际问题，你能
举出例子吗？
老师寄语：
数学来源于生活，生活中处处有数学，
让我们学会用数学的眼光看待生活．
作业（A组题）
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压P(kpa)是
气体体积V(m3)的反比例函
数，其图像如图所示.
（1）你能写出这个函数表达
式吗？
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，
为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
2.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载
货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨
/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5
日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
(B组题)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P
在BC边上移动(不与点B、C重合)，设PA=x，点D
到PA的距离DE=y.求y
与x之间的函数关系
式及自变量x的取值
范围.。
11.3 用反比例函数解决问题一．选择题（共10小题）1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=2．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=20v B．t=C．t=D．t=3．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）A．（x＞0） B．（x≥0） C．y=300x（x≥0）D．y=300x（x＞0）4．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y= C．y=D．y=5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I 的函数解析式为（）A．B．C．D．7．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（）A．y=（x取正整数）B．y=C．y=D．y=8000x8．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）A．B． C．D．9．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（）A．t=B．t=60Q C．t=12﹣D．t=12+10．某闭合电路中，电源电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，图象过M（4，2），则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式．12．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为．13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式是．14．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为．150y（单x（单的函数解析式为，）的变化而变化，其对应的函数解析式是．三．解答题（共9小题）21．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）22．已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=2cm时，求y的值．23．已知圆锥的体积，（其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2，请写出h关于s的函数解析式．24．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数；函数关系式：（s为常数，s≠0）．25．有一水池装水12m3，如果从水管中1h流出x m3的水，则经过yh可以把水放完，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．26．已知一个长方体的体积是100m3，它的长是ym，宽是5 m，高为xm，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围．27．甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（h）表示为汽车速度v（km/h）的函数，并说明t是v的什么函数．28．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．29．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5cm，y=6cm，（1）求y与x的函数关系式；（2）求当y=4cm时，下底长多少？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．【解答】解：由题意vt=80×4，则v=．故选B．【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2015•临沂）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=20v B．t=C．t=D．t=【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t=．【解答】解：由题意得：vt=20，t=，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．3．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）A．（x＞0） B．（x≥0） C．y=300x（x≥0）D．y=300x（x＞0）【分析】这些煤能烧的天数=煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．【解答】解：∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，∴这些煤能烧的天数为y=（x＞0），故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．4．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y= C．y=D．y=【分析】利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy=10，∴y与x的函数关系式为：y=．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy=10是解题关键．5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．【解答】解：由题意设y=，由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴y=．故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y=．故选；A．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I 的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】可设I=，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．【解答】解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，∴I=．故选：C．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．7．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（）A．y=（x取正整数）B．y=C．y=D．y=8000x【分析】根据购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款，得出xy+4000=12000，即可求出解析式．【解答】解：∵购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y 元，x个月结清余款，∴xy+4000=12000，∴y=（x取正整数）．故选A．【点评】此题主要考查了根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，注意先根据等量关系得出方程，难度一般．8．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）A．B． C．D．【分析】根据电压=电流×电阻得到稳定电压的值，让I=即可．【解答】解：∵当R=20，I=11时，∴电压=20×11=220，∴．故选A．【点评】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值．9．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（）A．t=B．t=60Q C．t=12﹣D．t=12+【分析】以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满，求出水箱的容量，然后根据注满水箱所需要的时间t（h）=可得出关系式．【解答】解：由题意得：水箱的容量=12m3/h×5h=60m3．∴注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为t=．故选A．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，属于应用题，难度一般，解答本题的关键是首先得出水箱的容量．10．某闭合电路中，电源电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，图象过M（4，2），则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：观察图象，函数经过一定点（4，2），将此点坐标代入函数解析式I=（k≠0）即可求得k的值，2=，∴K=8，函数解析式I=．故选A．【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．二．填空题（共10小题）11．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式t=．【分析】根据蓄水量=每小时排水量×排水时间，即可算出该蓄水池的蓄水总量，再由防水时间=蓄水总量÷每小时的排水量即可得出时间t（小时）与Q之间的函数表达式．【解答】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，∴该水池的蓄水量为8×6=48（立方米），∵Qt=48，∴t=．故答案为：t=．【点评】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，解题的关键是根据数量关系列出t关于Q的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．12．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=．【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=300÷15x=．故本题答案为：y=．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的反比例函数，t可以写成v的函数关系式是．【分析】时间=，把相关字母代入即可求得函数解析式，看符合哪类函数的特征即可．【解答】解：t=，符合反比例函数的一般形式．【点评】解决本题的关键是得到所求时间的等量关系，注意反比例函数的一般形式为y=（k≠0，且k为常数）．14．（2015•青岛）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为s=．【分析】利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．【解答】解：由题意可得：sh=3×2×1，则s=．故答案为：s=．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．15．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是y=．【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，∴k=0.2×400=80，∴y=．故答案为：y=．【点评】考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．16．某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90～150天（含90与150天）完成总量300万米3的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为y（单位：天），平均每天运输土石方量为x（单位：万米3），请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围y=（2≤x≤）．【分析】利用“每天的工作量×天数=土石方总量”可以得到两个变量之间的函数关系．【解答】解：由题意得，y=，把y=90代入y=，得x=，把y=150代入y=，得x=2，所以自变量的取值范围为：2≤x≤，故答案为y=（2≤x≤）．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．17．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为．（不要求写出自变量x的取值范围）【分析】根据某户家庭用购电卡购买了2000度电，此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），利用总用电量除以使用的天数得出y与x的函数关系式．【解答】解：∵某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），使用的天数为y（单位：天），∴y与x的函数关系式为：y=．故答案为：y=．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，利用用电量除以使用的天数得出y与x的函数关系式是解题关键．18．若矩形的面积为48，它的两边长分别为x，y．则y关于x的函数解析式为，其中自变量x的取值范围是x＞0．【分析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：y关于x的函数解析式是y=（x＞0）．故答案为：y=，x＞0．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．19．京沪铁路全程1463km，某次列车的平均速度v（单位km/h）随此次列车的全程运行时间t（t＞0，单位：h）的变化而变化，其对应的函数解析式是（t＞0）．【分析】根据平均速度=总路程÷总时间可列出关系式，即可求解．【解答】解：由题意得平均速度v（单位km/h）与全程运行时间t的关系为：v=（t＞0）．故本题答案为：v=（t＞0）．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线．20．学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），则另一边的长y（米）与x的函数关系式为y=．【分析】根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x 的函数关系式．【解答】解：由题意得，xy=24，故另一边的长y（米）与x的函数关系式为：．故答案为：y=．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．三．解答题（共9小题）21．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v=1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P=140代入得到V即可．【解答】解：（1）设，由题意知，所以k=96，故；（2）当v=1m3时，；（3）当p=140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．22．已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=2cm时，求y的值．【分析】（1）长方体的体积等于=长×宽×高，把相关数值代入即可求解；（2）把x=2代入（1）的函数解析式可得y的值．【解答】解：（1）由题意得，10xy=100，∴y=（x＞0）；（2）当x=2cm时，y==5（cm）．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．23．已知圆锥的体积，（其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2，请写出h关于s的函数解析式．【分析】首先根据已知求出V的值，进而代入，即可得出h与s的函数关系式．【解答】解：∵，当h为10cm时，底面积为30，∴V=×10×30=100（cm3），∴100=sh，∴h关于s的函数解析式为：．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，根据已知得出V 的值是解题关键．24．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数；函数关系式：（s为常数，s≠0）．【分析】联系日常生活，要解答本题关键要找出日常生活中两个数的乘积是一个不为零的常数，写出其函数关系式．【解答】解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例1，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写出（s为常数，s≠0）．实例2，甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y（小时）是汽车平均速度x（千米/小时）的反比例函数，其函数关系式可以写出．【点评】本题与日常生活联系在一起，要解答本题，关键是要理解反比例函数的性质．25．有一水池装水12m3，如果从水管中1h流出x m3的水，则经过yh可以把水放完，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．【分析】根据等量关系“工作时间=工作总量÷工作效率”即可列出关系式即可，注意x＞0．【解答】解：由题意，得：y=（x＞0）．故本题答案为：y=（x＞0）．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．26．已知一个长方体的体积是100m3，它的长是ym，宽是5 m，高为xm，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围．【分析】根据等量关系“长方体的体积=长×宽×高”，再把已知中的数据代入得出y与x之间的函数关系式即可．【解答】解：因为长方体的长是ym，宽是5m，高为xm，由题意，知100=5xy，即y=．由于长方体的高为非负数，故自变量的取值范围是0＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．27．甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（h）表示为汽车速度v（km/h）的函数，并说明t是v的什么函数．【分析】时间=路程÷速度，把相关数值代入即可求得相关函数，看符合哪类函数的一般形式即可．【解答】解：∵路程为100，速度为v，∴时间t=，t是v的反比例函数．【点评】考查列反比例函数关系式，得到时间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般式为（k≠0）．28．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．【分析】平行四边形一边上的高=面积÷这边长，把相关数值代入即可求得函数解析式，可符合哪类函数的一般形式即可．【解答】解：∵xy=60，∴y=，∴y是x的反比例函数．【点评】考查列反比例函数解析式，得到平行四边形一边上的高的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般形式为y=（k≠0）．29．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5cm，y=6cm，（1）求y与x的函数关系式；（2）求当y=4cm时，下底长多少？【分析】（1）先根据梯形的面积公式得到梯形的面积，进而根据梯形的面积表示出梯形的高即可；（2）把y=4代入（1）得到的式子求出上底，再乘以3即为下底长．【解答】解：（1）∵x=5cm，y=6cm，上底长是下底长的，∴下底长为15cm，∴梯形的面积=×（5+15）×6=60，∴梯形的高=∴y==；（2）当y=4cm时，x=7.5，∴3x=22.5．答：下底长22.5cm．【点评】本题考查列反比例函数及相应求值问题；用到的知识点为：梯形的面积=×（上底+下底）×高．。
5.2 反比例函数的图像与性质一、教材分析函数是研究现实世界变化规律的重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识．在此基础上研究反比例函数的图像与性质，可进一步积累研究函数性质的方法与经验，有利于形成“函数意识”．反比例函数的图像是“曲线型”的，通过研究曲线的函数图像性质为今后学习二次函数的图像性质奠定基础．二、学情分析学生对于画函数图像已经积累了一定的经验，所以画函数图像的过程不仅在于“画”，更在于 “体验”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图像性质的许多经验，但是受年龄限制数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要我在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要我精心设计习题帮助学生理解和掌握反比例函数的性质．三、 教学任务分析1．经历列表、描点、连线的过程画出反比例函数的图像，初步认识反比例函数图像的形状特征． 2． 理解和掌握反比例函数的性质．3． 经历探索反比例函数性质的过程，体会函数三种表示方法之间的联系和转化，发展数形结合的意识与能力．4．使用“发言卡”和“组间批阅法”提高合作学习的效率．四、教法与学法分析围绕本节课学习内容的特点和“四基”的要求设计教法与学法如下： 1．画反比例函数图像重在积累活动经验，所以采用体验式教学．2．观察、探究反比例函数性质重在发散与归纳的过程，所以采用“发言卡”组织学生合作学习． 3．习题是引导学生进一步理解性质的重要环节，重在数学思维的训练，所以采用启发式教学． 4．当堂小测重在落实“双基”，所以采用“组间批阅法”组织学生合作学习．五、教学过程（一）探究新课1．复习导入（1）反比例函数的定义是 ．（答案：xky =，其中0≠k ）（2）已知反比例函数xy 4=，若8=x ，则y = ；若8=y ，则x = ；=xy ；x 等于0（填‘能’或是‘不能’）；（3）画函数图像的三个步骤是 、 、 ． （答案：列表、描点、连线） 2．体验画图像请同学们试一试画出反比例函数xy 4=的图像．（以下内容在学案上呈现） 【自学提示】（1）第一行中x 的值选哪些数更有代表性又便于计算？注意表中有个8-，4=k ，图中一格是单位1．（2）在坐标系中描点时，记得点画的“精细”一些哦！ （3）由所描点的位置的分布推测所连线的形态． (1)列表：x… 8- (x)y 4=……（2）描点 （3）连线备用图学生画完图像后肯定有部分学生画错，甚至是不会画，这时候留出5分钟时间进行小组内订正和“手把手”的“兵教兵”．我在巡视过程的重点在于督促和提示，同时关照组长给予这些同学点拨．提示的内容围绕两个：xy o24688-6-4-2-24688-6-4-2-xy o24688-6-4-2-24688-6-4-2-（1）列表中选择的x 的数值是否好算好画．（2）连线中不是平滑曲线的学生进行个别提问和提醒．5分钟后全班展示．展示的内容是列表、连线两个环节的好的作品．并要求展示的学生说出为什么这样做．我点评的要点是：列表中数据要好好算好标；用平滑曲线反映所描点的位置的趋势． 我追问的要点是：列表中的数据有什么特点？这两条曲线延伸的趋势能判定出与坐标轴有交点吗？这两条曲线与坐标轴有交点吗？（注意：引导学生回答，但是我不给出确切的数学语言表述！！）我会结合学生的回答穿插入几何画板演示． 【归纳】反比例函数的图像是由两条 组成的，通常称为 ． 3．发散探索请同学们结合画出反比例函数xy 4=图像的经验快速画出反比例函数x y 4-=图像的简图（画在课本第153页，图6-3中），并使用“发言卡”探索反比例函数图像的性质． （以下内容在学案上呈现）【合作提示】（1）合作技术：每人5张“发言卡”，从4号同学开始，每人找一条，依次发言．2号同学负责记录．特别的，4号同学至少找一条．直到“发言卡”用完，或者是组内没有人再发言为止．（2）探索知识：反比例函数图像的性质可以从列表中的数据中找；可以从画出的图像中找；可以借助一次函数图像性质的经验找．（3）时间5分钟，2号同学汇总汇报，组间补充．需要说明理由的条目请言简意赅；需要反驳的条目请直击要点．学生们合作学习阶段，我巡视的要点是：根据“发言卡”使用数量判断进行最慢的组和进行最快的组，对于慢的组及时了解他们的困难并给予指导；督促4号同学大胆发言．组织学生进行全班汇报，板书记录形成反比例函数的图像性质．我追问的要点是：学生汇报时需要简要说明理由的，但是说理不清楚的地方；调动组间质疑、补充等．【归纳】（1）当 时，双曲线分别位于第一、三象限内；当 时，双曲线分别位于第二、四象限内．（2）双曲线是中心对称图形，对称中心是 ；还是轴对称图形，对称轴是 ． （3）双曲线的两条分支随着延伸不断接近坐标轴，但是与坐标轴 ． （二）巩固提高【题组1】请同学们完成下列题目： 1．反比例函数xy 2-=的图象的两个分支分布在第 象限． 2．反比例函数xy 1=图象的对称轴的条数是 ． 3．若根据反比例函数xk y =（0≠k ）列出下表，则该反比例函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 4．若反比例函数xky =（0≠k ）的图象位于第二、四象限，则k 的取值可能是（ ）A ．﹣1B ．2C ．3D ．4“题组1”的题目都是直接使用反比例函数的图像性质，比较简单，所以要求学生独立完成．完成后先订正答案，再逐题提问学生使用的概念，最后如果有的学生用的是巧法，那么简要说一下所用方法．【题组2】请同学们完成下列题目： 1．反比例函数xm y 1-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 2．如图，直线mx y =与双曲线xky =的图象的一个交点坐标为（3，6）．则它们的另一个交点坐标是第2题图第3题图3．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的面积等于16，则图中阴影部分的面积等于（）A．8 B．6 C．4 D．2“题组2”有一定难度，先订正答案，然后逐题紧扣要点启发学生．我设计的“启发点”分别是：（1）第1题要点在于反比例函数的图像性质既可以“正着”用，也可以“反着”用．这样在前面归纳的基础上加四个字“反之成立”．这样逐步引导学生加深对性质的理解．（2）第2、3题要点在于完善对“对称图形”知识结构的认知．启发学生认识直线、正方形、双曲线都是中心对称图形，那么对称中心重合就是解决它们的关键．由此引导学生把新知识纳入旧有知识体系，加深对性质的理解．（3）两个题组引导学生逐步增强数形结合的能力．【选作题组】完成迅速想挑战的同学请完成下列题目：1．已知反比例函数的图象经过点P（a，a），则这个函数的图象位于．2．如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形第2题图第3题图3．如图，正方形OABC中顶点B在一双曲线上，请在图中画出一条过点B的直线，使之与双曲线的另一支交于点D，且满足线段BD最短．“选做题组”是课堂上应对学生学习能力差异的手段．根据实际课堂时间处理，如果时间允许点拨如下：（1）第1题要点在于数形结合．要么先判断点P 在哪里；要么先判断k 的正负． （2）第2题要点在于利用中心对称之后还需要使用平行四边形及特殊平行四边形的判定． （3）第3题要点在于“正比例+反比例”模型生成的一条“下游命题”． （三）课堂总结师生共同总结本节课所学知识．以学生为主，后进生参照学案上各环节的归纳内容按图索骥． 1． 通过画出反比例函数的图像，体会函数三种表示方法之间的联系和转化．2． 反比例函数的图像是由两条曲线组成的，通常称为双曲线；当k ＞0时，双曲线分别位于第一、三象限内，反之成立；当k ＜0时，双曲线分别位于第二、四象限内，反之成立；双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标系的原点；还是轴对称图形，对称轴是一、三象限或是二、四象限的角平分线所在直线；双曲线的两条分支随着延伸不断接近坐标轴，但是与坐标轴没有交点． 3．模型“正比例+反比例”． （四）当堂小测 【合作提示】（1）采用“组间批阅法”．完成后交给“组号+1”的组长，批阅后“组号+1”的组长负责统计对题数，然后负责对改组进行简要讲解. （2）选做题不再另外加分. 随堂小测：（以下内容在学案上）1．写出一个图象在二、四象限的反比例函数 ．2．已知反比例函数的图象经过点M （﹣1，﹣4），则这个函数的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 3．如图，双曲线xky =与直线mx y =相交于A 、B 两点，A 点坐标为（2，3），则B 点坐标为 ．第3题图 选做题图 4．（选做题）如图，有反比例函数x y 1=，xy 1-=的图象和一个半径为2的圆，则图中阴影部分的面积是 ．学生组间批阅讲解时，我巡视各组统计加分，当堂反馈. （五）布置作业必做题：课本第154页，习题6.2，第1、2题. 选做题：课本第154页，习题6.2，第3题.（六）板书设计六、教学设计总体思路1．设计思路引导学生探索、归纳、理解、掌握反比例函数的图像性质成为贯穿整个教学设计的“线索”．这条线索与五个教学环节之间的关系是：我这样设计的理由是，本节学习内容呈现了由具体到抽象的过程，所以我设计探索、归纳、理解、掌握反比例函数的图像性质为贯穿整个教学设计的“线索”．沿着这条线索我在不同的教学环节设计了不同的教法与学法，使之成为推动课堂学习前进的“动力”．归纳探索理解掌握§6.2反比例函数的 列表：图像与性质 （画表格处） （多媒体屏幕） （板书归纳的性质） （班级展示中学生讲解题目板书）2．突破重难点要靠“两条腿”——有效的新课学习过程，高效的习题训练过程．突破重难点不能只靠“新课教授”环节.学生掌握新知识是一个逐渐的过程，新课教授往往只是“从生活和经验中抽象的过程”，我们还需要设计高效的习题帮助学生再把所学知识“用回到生活和实际中去”.所以本节设计中是依靠“有效的新课学习过程，高效的习题训练过程”两个部分来逐步引导学生理解和掌握反比例函数的图像与性质的.何谓高效的习题，最起码要满足“典型原则”、“层次原则”，再紧扣学生的旧有知识体系设计才算有效果.3．落实“四基”要靠教法与学法的结合．落实“四基”不是一句空话，但凭老师的一张嘴、一支粉笔是不够的.最起码老师的教代替不了学生的“基本数学活动经验”的生成.所以这就需要研究教法和学法，更要研究教法和学法的结合问题.所以本节课根据学生的知识结构、能力基础和本节所学知识的特点在不同的环节采用了相应的教法和学法.这样做是否科学还有待检验，这本身就是实验的过程，但是实践了总是有收获的.。
