静电场的边值问题-03-1。

D1n D2n
8. 电容
C
q U
9. 电场能量
1 We i Qi i 1 2
We 1 1 1 (r ) (r ) dV (r ) S (r ) dS (r ) l ( r ) dl V 2 S 2 l 2
n
1 We we dV ( D E ) dV V V 2
Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition.
2 2 1 V V 2 ＝0 2 2 z r 轴对称的场，且忽略边缘效应（无限长圆柱体）V r
用电位函数
表示分界面上的衔接条件
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间 距为d，d→0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
2
电位的衔接条件
1 2
1 2
1
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。 1 2 D1n 1 E1n 1 , D2 n 2 E2 n 2 n n
对于无源区， 0 ，上式变为
2
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在V 中的电荷 (r ) 在无限大的自由 空间产生的电位为
1 (r ) 4π

V
dV | r r |
(r )
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解。
q
(r ) ˆ 点电荷 e 2 r 4π 0 r 4 0 r 电偶极子的电矩 p ql
3. 电位
电荷q有P1点移至P2点时，电场力作的总功为 P2 P2 W dW q E dl
P 1 P 1
电位的数学表示

W q
电位差的数学表示 1 2
5. 介质中的静电场方程

D ε0 E P = ε0 E ε0 e E 0 (1 e ) E = 0 r E = E
ˆn (D2 D1 ) S D2n D1n S e
S
( 0 E P ) dS D dS q
3. 方程的通解
V V C1 r C1 r r r V C1 ln r C2
4.特解（带入边界条件求解未知系数）
2 2 2 2 V V V V 2V V 2 2 2 2 0 x y z z
1.5
1
2V 区域中的场方程： 2 0 z
z
0.5
0 1 0.5 0 -0.5 y -1 -1 -0.5 x 0.5 0 1
V 边界条件 V
Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition. 匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化
S
D
l E dl 0 E 0
6. and 7. 边界条件 ˆn (E2 E1 ) 0 E1t E2t e
D1t
1

D2t
2
ˆn (P2 P e 1 ) S ' 1 E1n 2 E2 n
2
In cylindrical coordinates:
1 V 2V r r r r
In spherical coordinates:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2 V 2 R 2 sin 2 2 R R sin R sin 2 R R
1 V 2 V r r r r 1 V r r r r
V ＝0 场方程 r r r
r =a r =b
0.2
＝0
V 边界条件： V
V0 0
z
0.1
0 1 0.5 1 0 -0.5 y -0.5 -1 -1 x 0 0.5
点电荷
E
q 4 0 r
2
ˆr e
(r )

q 4π 0 r
若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是， 利用高斯定律计算电场强度 通过电位求出电场强度 直接根据电荷分布计算电场强度
z
dV

S
q E dS
0
E
(r )
r r
r
P
r
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
Example 2. The inner conductor of radius a of a coaxial cable is held at a potential of V0 while the outer conductor of radius b is grounded Determine (a)the potential distribution between the conductors (b)the electric field intensity (c)the charge density on the inner conductor (d)the capacitance of the per unit length
Field and Wave Electromagnetic
电磁场与电磁波
2011.10.10
作业情况
1班：人 2班：人
合计：人 情况:
复习
z
1. 电场强度
2. 真空中的静电场
dV
F E (V/m) q
0
E
(r )

r r
S
q E dS
W q
4. 介质极化
P p i
i 1 N
ˆn (r) P(r) e S
(r) P(r)
q
S
V
P 0 e E
qS
S
P (r ) dS
P (r ) dS
根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：
第一类是给定区域边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利 (Dirichlet)问题
2


S
f
第二类是给定区域边界上的电位的法向导数值，又称为纽曼 (Neumann)问题

2
g n S
第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另一部 分边界上给定电位的法向导数值。
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为
E

那么，电位满足的微分方程式为 2
泊松方程
In Cartesian coordinates:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2 2 2 V V V 2 V 2 2 2 x y z
z 0 z d
0 V0
3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 C2 0 V0 C1d V0 V0 C1 V z d d
ˆn (P2 P e 1 ) S '
第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容
电位微分方程，镜像法，分离变量法。 1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法
5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为
O x
y
V (r )(r r) 1 E(r ) 3 dV ' V ' 4π 0 | r r |
V (r ) 1 (r ) dV ' V ' 4π 0 | r r |
b a q
b a q
ˆn (E2 E1 ) 0 e ˆn (D2 D1 ) S e
模拟法
作图法 定性 定量
数学模拟法 物理模拟法

Example 1.一维泊松方程的解
The two metal plates having an area A and a separation d form a parallel-plate capacitor. The upper plate is held at potential of V0 , and the lower plate is grounded. Determine (a)the potential distribution (b)the electric field intensity (c)the charge distribution on each plate (d)the capacitance of the parallel-plate capacitor