概率论与随机过程》第章习题答案

其中 n = 1, 2 . . . , k = 1, 2 . . .
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
参考答案：
(1) V = a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2
(2) ξ (0) = 0，fξ(0)(x) = δ(x)；ξ (π/2ω) = V ，其概率密度同 V 一样。
(π) ξ
4ω
=
V
√ 2
,
fξ(
π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
0
<
0, 其他
xHale Waihona Puke <√a 2() 5π
ξ 4ω
=
V
−
√ 2
n
pmqn−m = pn − qn。
m=0
m
∑n
解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E [η (n)] = E[ξi] = (p − q)n。
i=1
清华大学电子工程系版权所有
3
(2) 假设 n1 < n2,
Rηη (n1, n2) = E [η (n1) η (n2)] = E {η (n1) [η (n1) + η (n2) − η (n1)]} = E[η (n1)]2 + E [η (n1)] E [η (n2) − η (n1)] = {E [η (n1)]}2 + V ar [η (n1)] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n21 + n1V ar [ξi] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n1n2 + n1[1 − (p − q)2]

《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解： {} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。

在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。

下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。

解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。

由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。

因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。

根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。

将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。

解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。

根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。

根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。

将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。

所以，该过程的均值为μ。

根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。

将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。

南京邮电大学概率论与随机过程答案1、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、42、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] * A．1(正确答案)B．4C．－3D．33、若39?27?=321，则m的值是（）[单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 5D. 64、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项，则m，n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=95、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)6、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（1）的值为（）。

[单选题] *12283(正确答案)7、?方程x2?+2X-3=0的根是（? ? ? ??）[单选题] *A、X1=-3, X2=1(正确答案)B、X1=3 ,X2=-1C、X1=3, X2=1D. X1=-3, X2=-18、13．在数轴上，下列四个数中离原点最近的数是（）[单选题] *A．﹣4(正确答案)B．3C．﹣2D．69、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] * A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c210、9．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．正分数和负分数统称为分数(正确答案)B．正整数、负整数统称为整数C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数11、手表倒拨1小时20分，分针旋转了多少度？[单选题] *-480°120°480°(正确答案)-120°12、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)13、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}14、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④15、二次函数y=3x2-4x+5的常数项是（）。

6、证函数 f (t ) 解 （1）
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2

i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)

x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )

f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt

3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n

《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

第一章 概率论的基本概念注意： 这是第一稿（存在一些错误）第一章概率论习题__偶数.doc2、解（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ；（2）AB BC AC （提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （3）ABC ABC ABC ； （4）A B C 或ABC ； （提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-=；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P AB P B ==；6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； （2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）82210()45P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。

8、解（1）设A ={“1红1黑1白”}，则1112323712()35C C C P A C ==； （2）设B ={“全是黑球”}，则33371()35C P B C ==； （3）设C ={第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球”}，则2322()7!35P C ⨯⨯==。

10、解 由已知条件可得出:()1()10.60.4P B P B =-=-=；()()()0.70.50.2P AB P A P AB =-=-=；()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=；（1）(())()7(|==()()9P A A B P A P A A B P AB P A B =）； （2）()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=()(+()()0.5P A B P A P B P AB =-=）于是 (())()2(|==5()()P A A B P AB P A A B P A B P A B =）； （3）(())()2(|)()()9P AB AB P AB P AB AB P AB P A B ===。

似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t

时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k

时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t

5.4 对于题5.2，若滤波器的输出，再加到第二个相同的滤波器中，仍用频域分析法求出第二个滤波器
的输出。

解：
第一个滤波器输入是
，则经过两个相同的滤波器以后的输出
5.14 假设一个零均值平稳随机过程
加到冲激响应为
（t.>=0）的线形滤波器中，证明
证明：
5.15 假设一个零均值平稳随机过程
，加到冲激响应为
的线性滤波器中，证明输出功率谱密度为。

证明：
所以，
5.18 假设随机过程
通过一个微分器，其输出过程
存在，微分器的传密为
，求（1）
与
的互功率谱密度。

（2）
的功率谱密度。

解：（1）
（2）
5.20 图为单个输入两个输出的线形系统，输入
为平稳随机过程，求证输出
和
的互谱密度为
证明：
令
，则
5.26 若线性系统输入平稳过程
的功率谱密度为
，现要求系统输出
的功率谱密度为
，求：相应的稳定系统的传输系数。

解：
5.29 某个放大器，其功率增益随频率的变化为
，求：该放大器的噪声带宽。

解：。

1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。

所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。

（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。

即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。

（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。

即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。

2、解 （4）（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ； （5）（2）ABBC AC （6）（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （7）（3）ABC ABC ABC ；（8）（4）AB C 或ABC ；（9）（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；3（1）错。

依题得,但，故A 、B 可能相容。

（2）错。

举反例 （3）错。

举反例 （4）对。

证明：由,知,即A 和B 交非空，故A 和B 一()()()()0=-+=B A p B p A p AB p 空集≠B A ()6.0=A p ()7.0=B p ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p定相容。

4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：AB ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；5解：由题知,. 因得，故A,B,C 都不发生的概率为.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； ()3.0=BC AC AB p ()05.0=ABC P ()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= ()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p ()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。

《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。

三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjt k pp qe qe∞==-∑ 又20()kk k k q q E X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n x S t dt n tdt xx∞∞+===+==-∑∑⎰⎰ 202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b+==222()()()PD XE X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。

第一章随机过程的基本概念1．设随机过程X(t)=X cosω0t,-∞ <t< +∞，其中ω0是正常数，而X是标准正态变量。

试求X（t）的一维概率分布解：∵当cosω0t=0 即ω0 t =(k + 1)π 即t=1(k+1)π时2 ω0 2p{x(t)=0}=1若 c o ωs0t≠ 0 即t ≠1 (k+ 1 )π时2ω0F (x, t)= P{X (x)≤ x}= P{X cosω0t ≤ x} 当 c o ωs0t> 0 时此时若 c o ωs0t同理有⎧ x ⎫ 1 x - ξ 22F (x, t)= P⎨X ≤ ⎬ = cosω0t e dξ⎩ cosω0t ⎭ 2π⎰0∂F (x, t ) 1 - x2 1f (x, t)= = e 2 c o 2sω 0t⋅∂x c o sω0tπ< 0 时⎧ x ⎫ ⎧ x ⎫F (x, t)= P⎨X ≥ ⎬ = 1 -P⎨x< ⎬⎩ cosω0t⎭ ⎩ cosω0t⎭1 x e- ξ 2= 1 - cosω0t 2 dξ⎰0- x21f (x, t)= - 2 c o 2sω t ⋅c o ωs0t综上当：cosω0t≠0 即t ≠1 (k+ 1 )π时ω0 21 1 - x2f (x, t) e 2 cos2 ω0t| cosω0 t |π2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为⎧cos πt , 出现正面X (t ) = ⎨⎩ 2t , 出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。

试确定 X (t ) 的一维分布函数 F (x , 2)和 F (x ,1) ，以及二维分布函数 F (x 1 , x 2 ;12 ,1)解：（1）先求 F (x , 1 )2⎧ π 出现正面 ⎧0⎛ 1 ⎫ ⎪cos 2 , 出现正面显然 X⎪ = ⎨= ⎨1出现反面 ⎝ 2 ⎭ ⎪2 - , 出现反面 ⎩12⎩⎛ 1 ⎫随机变量 X ⎪ 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是⎝ 2 ⎭⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ 1⎧ ⎛ 1 ⎫⎫ 1 P ⎨X⎪ = 0⎬ =P ⎨X⎪ = 1⎬ =⎩ ⎝ 2 ⎭⎭ 2 ⎩ ⎝ 2 ⎭⎭ 2所以⎧ 0 x < 0⎛1 ⎫ ⎪ 1F x ,⎪ =⎨ 0 ≤ x < 1⎝2 ⎭ 2⎪1 x ≥ 1⎩再求 F （x ,1）⎧cos π 出现正面 ⎧-1 出现正面显然 X (1) = ⎨= ⎨⎩2出现反面 ⎩2出现反面p {X (1) = -1}= p {X (1) = 2}= 12所以⎧0x < -1⎪ 1F (x ,1) = ⎪-1 ≤ x < 2⎨ 2⎪⎪1x ≥ 2⎩1(2) 计算 F (x 1 , x 2 ; 2 ,1)1 0 出现正面-1 出现正面X () = ⎨出现反面, X (1) = ⎨出现反面2⎩1⎩2于是⎛ 1 ⎫⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ F x x 1 , x 2 ; ,1⎪ =p ⎨X ⎪ ≤ x 1 ; X (1) ≤ x 2 ⎬⎝2 ⎭⎩⎝ 2 ⎭⎭⎧0 x 1 < 0- ∞ < x 2 < +∞⎪或 x 1 ≥ 0, x 2 < -1⎪⎪ 10 ≤ x 1 < 1, 2 ≤ x 2= ⎨2 ⎪ 或 x 1> 1,⎪ -1 ≤ x 2 < 2⎪⎩1x 1 > 1,x 2 ≥ 23．设随机过程 {X (t ),-∞ < t < +∞}共有三条样本曲线X (t,ϖ1 ) = 1, X (t,ϖ 2 ) = sin t , X (t,ϖ 3 ) = cos t且 p(ϖ1 ) = p(ϖ 2 ) = p(ϖ 3 ) = 1 , 试求随机过程 X (t ) 数学期望 EX(t) 和相关函数3 R x (t 1,t 2)。

a2 2
cos(0
)
2.12
若随机过程并

t
的导数存在，求证：


t

d t
dt



dR t，t
dt


t
d t
dt


E

X

(t
)

lim
t 0
X (t

t) t
X (t)
证：

lim
t 0
3
f (x,6) 1 (x 2) (x 5) (x 7)
3
F(x,6) 1 U(x 2) U(x 5) U(x 7)
3
fX
(
x1,
x2
,
2,
6)

1 3

(
x1

3)
( x2

5)


( x1

4)
( x2

7)


(
x1

6)
F
x;1 以及二维分布
F

x1
,
x2
;
1 2
,1
解： f x, 1 0.5 x 0.5 x 1
2
Fx

x,
1 2


0.5 pcos

2

x

0.5 p2 *

1 2

x
0.5 px

0
3
3
E[X(6)]= 1 (2 5 7) 14

解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”
P( A)
C1100C43C32 C1175
1 4 3 17 8
3 34
a
9பைடு நூலகம்
8
4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
(1)两只都是正品 解：以A表示事件“两只都是正品
P( A) 8 7 ”28
1
S {v | v 0}
Aa {v | 60 v 80}
1
2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件
(1)A与B 不发生，而C 发生
ABC
(2)A，B，C 都不发生
ABC
(3)A、B、C 至少有一个发生
A B C
(4)A、B、C中恰有一个发生 ABC ABC ABC
(5)A、B、C 中恰有两个发生 ABC ABC ABC
解：以A表示事件“系统的可靠性 ”
P( A) [1 (1 p)2]2 p2(2 p)2
(2,1)和(4,4)
P( A) 2 1 36 18
a
11
10
练习三
1. (1)已知 P( A) 0.3, P(B) 0.4, P( AB) 0.5,求 P(B | A B)
。解 ：
P(B | A B)
P(B ( A B)) P(A B)
P( AB) P( A) P(B) P( AB)
0.002
0.3223
a
13
12
3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患 者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则
(1)此人是色盲患者的概率
解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。