概率论与随机过程习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

解：{}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解：{} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解：{}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解：{}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解：{}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解：{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

解：{}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒子A 中，余者类推。

随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。

在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。

下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。

解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。

由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。

因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。

根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。

将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。

解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。

根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。

根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。

将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。

所以，该过程的均值为μ。

根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。

将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

南京邮电大学概率论与随机过程答案1、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、42、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] * A．1(正确答案)B．4C．－3D．33、若39?27?=321，则m的值是（）[单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 5D. 64、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项，则m，n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=95、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)6、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（1）的值为（）。

[单选题] *12283(正确答案)7、?方程x2?+2X-3=0的根是（? ? ? ??）[单选题] *A、X1=-3, X2=1(正确答案)B、X1=3 ,X2=-1C、X1=3, X2=1D. X1=-3, X2=-18、13．在数轴上，下列四个数中离原点最近的数是（）[单选题] *A．﹣4(正确答案)B．3C．﹣2D．69、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] * A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c210、9．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．正分数和负分数统称为分数(正确答案)B．正整数、负整数统称为整数C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数11、手表倒拨1小时20分，分针旋转了多少度？[单选题] *-480°120°480°(正确答案)-120°12、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)13、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}14、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④15、二次函数y=3x2-4x+5的常数项是（）。

《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。

三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程作业题及参考答案(第一章)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2第一章 随机过程基本概念P391. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。

试求()X t 的一维概率分布。

解：1 当0cos 0t ω=，02t k πωπ=+，即0112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k πωπ≠+，即0112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.()()20~0cos X t N t ω∴，. 则()2202cos x tf x t ω-=；.2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。

试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；，。

3解：001110122211<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x()(){}0111112212<-⎧⎪⎪∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x随机矢量()112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，.而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()1111222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X .()1212111122⎧⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，；，，F x x P X x X x1212121200110110122112<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()12313P P P ωωω===。