第56课时--轨迹和对称问题

西师大版三年级下册《对称现象》数学教案_教学设计西师大版三年级下册《对称现象》数学教案教学目标：1、感受生活中的对称现象，初步建立起对称的概念。

2、经历观察、操作、交流等过程，在此过程中有积极的学习心态。

3、感受生活中物体的对称美，体验到学习数学的乐趣。

教学过程：一、初步感知对称1、开门见山，指出学习课题：对称教师：这节课我们学习新的知识对称。

2、独立看书第115～116页教师：请同学们看书115～116页，边看边想，你发现了什么？3、小组内说说自己的发现教师：看了，想了，想不想说说呢？请大家先在小组内说说自己的发现或看书后的想法。

要求：组内每个人均要发言，老师可以通过看、听、问的方式了解组内说的情况。

4、全班交流抽代表在全班交流，有不同的发现时，其他小组派代表补充，相同发现不重复发言。

要求：发言时要说明是组中集体的认识还是个别认识，如果有个别认识，应说明是谁认识到的。

教师在此过程中要注意调控，如果学生表达偏离建立对称概念的目标时，要适时适宜导回，并注意点到对称的本质，即对称事物(以及后面的轴对称图形)的共性：可以分为两部分，这两部分完全一样。

不要在美、漂亮这些非本质属性上过多纠缠！有！于是便有了上面的教学安排。

此安排充分利用了教科书上的素材，充分发挥了教科书的作用。

学生独立看、想，然后组内交流，再全班交流，让学生在自主学习的基础上再合作学习，充分体现了学习方式的变革。

］二、在生活中(室内、室外、校外)找对称现象，拓宽对称外延的认识（1）教师：同学们通过看书、交流知道了许多物体是对称的。

其实生活中远不止这些对称现象。

想一想，你还发现过哪些物体是对称的？为什么说它是对称的？先独立想，再告诉同伴，好吗？（2）抽代表全班交流，相互学习。

在解释为什么说它是对称时，要求不宜过高，只要说出基本意思即可。

三、通过动手操作加深对对称的认识（1）书上第117页第2题做墨渍图。

（2）书上第117页第3题：搭积木，无积木者可用小棒、图片等代替。

（西师大版）三年级数学教案：对称现象一、教学目标1.了解对称现象的概念和特点。

2.掌握通过对称现象进行图形判断的方法。

3.培养学生观察、分析、解决数学问题的能力。

二、教学内容1.了解对称现象的概念和特点。

（1）引入：教师将一些带有对称现象的图形展示给学生，引导学生观察，并询问学生他们是否发现了什么规律。

（2）讲解：教师讲解对称概念和对称轴的定义，以及常见对称形状的特点。

2.掌握通过对称现象进行图形判断的方法。

（1）练习：学生在教师的指导下，观察一些图形，判断是否存在对称现象，并标出对称轴。

（2）讲解：教师讲解通过对称轴的位置，判断图形是对称还是不对称的方法。

3.培养学生观察、分析、解决数学问题的能力。

（1）探究：教师提供一些简单的数学问题，引导学生通过对称现象解决问题。

（2）练习：学生练习完成一些简单的对称现象问题。

三、教学重难点1.教学重点掌握对称现象的概念和特点，以及通过对称轴来判断图形是否对称的方法。

2.教学难点通过对称现象解决数学问题。

四、教学过程1.了解对称现象的概念和特点（1）引入教师出示一些带有对称现象的图形，让学生观察，看看是否能发现什么规律。

（2）讲解教师讲解对称概念和对称轴的定义，以及常见对称形状的特点。

比如：点对称、轴对称、中心对称等。

2.掌握通过对称现象进行图形判断的方法（1）练习教师出示一些图形，让学生判断是否存在对称轴，并标出对称轴。

（2）讲解教师讲解通过对称轴的位置，判断图形是否对称的方法。

让学生在实践中掌握这种方法。

3.培养学生观察、分析、解决数学问题的能力（1）探究教师提供一些简单的数学问题，引导学生通过对称现象解决问题。

比如：一个圆，最多能分成几份，每份最大是多少度？（2）练习学生练习完成一些简单的对称现象问题。

比如：如何用只有直线和圆的工具来画一个正方形？五、教学反思本节课通过对称现象的概念、方法以及实践应用，实现了培养学生观察、分析、解决问题的能力目标。

在教学过程中，教师引入了“发现问题”“尝试解决”“交流讨论”等多种教学方法，使得学生在轻松愉快的氛围中学到了知识。

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF AE =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0M N A F =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得k =． 故存在直线l：3y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x y x y x841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x t y t y t y y t y y =++=+++ 2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =，则1221()3y y x x +=-，2112)3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l的距离为d ，已知||2PF =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +b k0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

北师大版七下数学5.1轴对称现象教案1一. 教材分析本节课的主题是轴对称现象，是北师大版七下数学中的一节重要课程。

通过学习本节课，学生能够理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

本节课的内容包括轴对称的定义、轴对称的性质、轴对称在实际问题中的应用等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于轴对称的概念和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

此外，学生可能对于实际问题中的应用还比较困难，需要通过实例的讲解和练习来提高。

三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学的美妙。

四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念和性质。

2.难点：轴对称在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例的引入和讲解，让学生理解和掌握轴对称的概念和性质。

2.问题驱动法：通过提问和讨论，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。

3.练习法：通过大量的练习，巩固学生对轴对称的理解和应用。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、课件等。

2.学具：学生课本、练习本、尺子、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实例的引入，让学生观察和思考，引出轴对称的概念。

例如，可以展示一个折叠纸片，让学生观察折叠后的图形和原图形的对应关系。

2.呈现（10分钟）通过课件的展示，让学生了解轴对称的定义和性质。

可以结合图形和动画，让学生直观地理解和掌握轴对称的概念。

3.操练（15分钟）通过一些练习题，让学生运用轴对称的性质解决问题。

可以设置不同难度级别的题目，让不同层次的学生都有机会练习和提高。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题的讲解和练习，让学生进一步理解和应用轴对称。

西师大版三年级下册《对称现象》数学教案一、教学目标1.了解对称现象的定义和特征；2.掌握基础对称图形的判断；3.培养观察能力和动手能力。

二、教学重点1.让学生明确对称现象的定义和特征；2.让学生能够运用所学知识判断基础对称图形；3.锻炼学生的观察能力和动手能力。

三、教学难点1.能够运用所学知识判断不规则图形的对称性；2.培养学生的观察能力和动手能力。

四、学习内容1.对称现象的定义和特征；2.基础对称图形的判断；3.不规则图形的对称性判断。

五、教学策略1.观察法：让学生观察不同形状的图形，在教师的引导下学习不同图形的对称性；2.动手法：通过绘制图形，让学生实际操作并运用所学知识判断图形对称性；3.总结法：在课程结束时，总结所学知识，让学生对对称现象有一个全面的了解。

六、教学过程1. 导入环节教师通过展示一些基本对称的日常物品，引导学生思考对称的现象以及对称的意义。

2. 学习环节第一步：对称定义／特征1.讲解对称的定义和特征，并且通过画图进行比较，让学生了解对称图的特点。

第二步：基础对称图形的判断1.教师通过展示一些基础对称图形，让学生学习基础图形的对称性判断；2.学生分组操作，通过制作简单的基础对称图形，让学生实际操作并运用所学知识判断图形对称性。

第三步：不规则图形的对称性判断1.教师通过展示一些不规则图形，让学生学习不规则图形的对称性判断；2.学生分组操作，通过制作简单的不规则图形，让学生实际操作并运用所学知识判断图形对称性。

3. 总结环节教师针对所学知识进行总结，让学生了解到对称概念的重要性。

同时，教师提醒学生在今后学习生活中，需要更加注重发现和运用对称现象。

七、教学评价1.能够准确描述对称现象的定义和特征；2.能够正确判断基础对称图形的对称性；3.能够正确判断不规则图形的对称性。

高中物理对称视频教学教案
课程名称：高中物理
教学内容：对称
教学目标：
1.了解对称的基本概念和分类。

2.学习对称性在物理中的应用。

3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。

教学重点：
1.掌握对称的概念和性质。

2.理解对称在物理中的重要性。

教学难点：
1.将对称性与物理中的应用结合起来。

2.培养学生对问题进行观察和分析的能力。

教学准备：
1.准备视频教学资源。

2.准备对称性的实例问题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过引入一个有趣的实例问题，引起学生对对称的兴趣，激发他们的好奇心。

二、视频教学（15分钟）
播放对称的视频教学资源，让学生了解对称的基本概念和分类。

三、讨论与总结（10分钟）
与学生讨论对称在物理中的应用，引导他们总结对称在物理中的重要性。

四、例题练习与分析（10分钟）
提供对称性的实例问题，让学生自行分析解决，培养他们观察、分析和解决问题的能力。

五、课堂小结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，强调对称在物理中的应用，并鼓励学生在实践中运用对称性。

六、作业布置（5分钟）
布置作业，要求学生在实践中继续体会对称性在物理中的应用，并以书面形式反馈。

教学反思：
本节课通过视频教学和实例问题练习相结合的方式，激发学生对对称性的兴趣，培养他们观察、分析和解决问题的能力，达到了预期的教学目标。

下节课可以结合更多实例问题，进一步拓展学生对对称性的理解和运用能力。

对称与方向-北京版二年级数学下册教案一、教学目的和要求通过本节课的学习，学生应该可以：1.理解图形对称的概念；2.利用镜像线判断图形是否对称；3.初步认识方向，了解方向的基本概念和表示方法。

二、教学内容和方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括：1.图形的对称；2.镜像线的确定；3.方向的认识。

2. 教学方法1.通过展示和讨论，引导学生感知图形对称、镜像线的特点；2.看图做题的方式，帮助学生巩固对知识点的理解；3.通过对常见方向表示方法的阐述，让学生了解方向是如何表示和区分的。

三、教学过程1. 导入新知活动1教师出示几个简单的图形，引导学生讨论哪些图形是对称的，哪些不是，对称的图形有什么特点，并且引导学生看一看对称图形的对称轴在哪里。

活动2接着，教师让学生画出一个等腰三角形和一个矩形，并指定两条垂直且互相穿过的线，要求学生在这两条线上找出对称点。

最后，教师引导学生总结规律。

2. 自主探究活动3让学生到课桌前或黑板前去，通过折纸的方式，找出几个具有对称性的图形，并进行描述。

教师在旁边指导和纠正。

活动4给出一个镜像线，让学生判断一下一个图形是否对称，并画出对称的部分。

3. 知识拓展活动5教师用华丽一点的语言向学生介绍方向的基本概念和表示方法。

学生可以使用轮廓线、箭头等方式。

活动6使用刚才介绍的方向表示方法，让学生先搭积木，然后给出明确的指令，让学生按照指令来拼出图案。

4. 巩固练习教师出示几个简单的图形，并以看图做题的方式，让学生考察其对称轴，并画出对称的部分。

四、教学反思本课堂通过多种形式的教学活动，使学生在很短的时间内对图形对称、镜像线，方向等知识点形成了初步的理解。

此外，教师还通过活动引导学生自主探究，更好地提高了学生的自主学习能力。

然而，在教学过程中，教师在语言、画画方面可以更加生动有趣，让学生更积极参与互动。

课题：轨迹和对称问题教学目标：掌握轨迹问题及对称问题的基本解法 （一） 主要知识及主要方法：1.求轨迹方程常用的方法：()1定义法；()2利用图形的几何性质；()3轨迹法； ()4参数法；()5代入法；()6待定系数法；()7交轨法；()8向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.2.对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决；解决轴对称问题常根据下列两个条件：①垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直；②中点.即已知点和对称点的中点在对称轴上.（二）典例分析： 问题1．（07 北京）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．()1求AD 边所在直线的方程；()2求矩形ABCD 外接圆的方程；()3若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．问题２．（07福建）如图，已知点(10)F ，，直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l于点M ，已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求12λλ+问题3．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，求线段AB 中点的轨迹方程问题4．()1双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是()2已知抛物线221y x =-，()2,0A .问是否存在过A 点的直线l ，使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称？如果存在，求出直线l 斜率的取值范围；如果不存在，请说明理由.（三）课后作业：1.已知动点(),P x y 满足34x y =+，则P 点的轨迹是.A 椭圆 .B 双曲线 .C 抛物线 .D 两相交直线2.（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r，则点 P 的轨迹是 .A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,1A ，()1,3B -，若点C 满足 OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程是4.已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是 .A 圆 .B 抛物线 .C 椭圆 .D 双曲线5.C ⊙： 16)3(22=++y x 内部一点A)与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.6.已知圆1C ：()2231x y ++=和圆2C ：()2239x y -+=，动圆M 同时与1C 与圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹.7.已知椭圆C ：22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线4y x m =+对称.8.设椭圆与双曲线有公共的焦点()14,0F -，()24,0F ，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.（四）走向高考：9.(07天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．10.（06陕西）如图,三定点()2,1A ,()0,1B -,()2,1C -; 三动点,,D E M 满足AD t AB =u u u r u u u r , BE tBC =u u u r u u u r ,DM tDE =u u u u r u u u r, []0,1t ∈， (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.。