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f二次型

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线性代数第六章二次型试题及答案

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

二次型及其标准形(精)

二次型及其标准形(精)
则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。

5.2 二次型的标准形

5.2 二次型的标准形

19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使

二次型的正定性及正定矩阵

二次型的正定性及正定矩阵
线性变换 X = CY ，则
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0

d1 02

dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1

由此对角矩阵 D
d2






dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。

第六章 二次型总结

第六章 二次型总结

第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数212111121213131122222232322(,,,)222222n n nn n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x=++++++++++L L L L称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n nn nn n n n n n nn nn n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax=+++++++++++++++⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=L L L L LL L L LL L L L M L因此，二次型也记AX X f T=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =；（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11TA C BC --=；（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212TA C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若()()r A r B =,问在F 上是否合同？证 若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =1101⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭，B =1200B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.证 由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，2222T B C A C =，于是令1200C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有T B C AC =，即A 与B 合同.2．3 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同. 定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00A C ⎛⎫⎪⎝⎭与00BD ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似且合同. 例5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性 标准型: 二次型12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换x Cy =化为21rT T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++---L L ,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

第五章二节二次型的标准形和规范形

T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有

线性代数-二次型

二次型也用于描述平面或三维空间中的曲面，如椭球面、抛 物面、双曲面等。这些曲面也可以通过调整二次型的系数来 改变其形状和大小。
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。

二次型及其矩阵表示


二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。

第六章(5)二次型的正定性


由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为 标准形或求出对称矩阵 的全部特征值 对称矩阵A的全部特征值 标准形 对称矩阵 的全部特征值．
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的 方法：
定义7 n阶方阵 定义
a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2 n A= M M M a n 1 a n 2 L a nn
2 2 f = x12 + x 2 + x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x12 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 ) + x 2 + x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3 x 2 − 3 x3 − 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 4 x 2 x3 ) − 3 x3 3 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 2 x3 ) 2 − 5 x3 3 3
的左上角r阶方阵的行列式
a11 Dr = a21 M ar1
a12 L a1r a22 L a2 r (r = 1, 2 ,L , n) M M ar 2 L arr
称为A的r阶顺序主子式．
定理9 （1）n阶实对称矩阵 A = (a ij )为正定矩阵 正定矩阵的充分必要 定理 正定矩阵 条件是： A的各阶顺序主子式都为正 各阶顺序主子式都为正，即 各阶顺序主子式都为正
D1 = a11 > 0, D2 =
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2
r ( A) 2
第 218页
第二部分：线性代数
（1）求 A 的全部特征值； （2）当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵。 提示： A 的特征值 满足 2 0 ， 2 或 0 ；由于 r ( A) 2 ，所以 A 的特
2 2 f X T AX d1 x12 d 2 x2 d n xn
化二次型为标准形的方法有①配方法；②正交变换法；③初等变换法等。 对于二次型 X AX 中的实对称矩阵 A ， 必存在正交矩阵 Q ， 使 Q AQ Q AQ 为
T T 1
对角矩阵，那么，作正交变换 X QY ，可将二次型
T 2 2 2
中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 12 . （1）求 a, b 的值； （2）利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
a 0 b 提示：二次型矩阵 A 0 2 0 ， tr ( A) 1, A 12 ，得 a 1, b 2 ； b 0 2 正交矩阵： Q 1 1 例 12.设 A 1 1
f X T AX ，对任何 X O ，都有 f X T AX 0 ，则称 f X T AX 是正定的，并
称矩阵 A 为正定矩阵。
n 元实二次型为正定的充分必要条件有： （1） A 的所有特征值全大于零； （2） A 与单位矩阵 E 合同； （3） A 的各阶顺序主子式全大于零； （4） A 的正惯性指数等于 n 。
T
全大于零。 2 1 。 例 2. （ 93. Ⅴ ） 设 二 次 型 f x1 x2 x3 2x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 经 正 交 变 换
2 2 2 2 2 T T ，其中 X ( x1 , x2 , x3 ) 和 Y ( y1 , y2 , y3 ) 是 3 维列向 X PY 化成标准形 f y2 2 y3
T
例 4.（99.Ⅲ）设 A 为 m n 实矩阵， E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B E A A ，
第 217页
第二部分：线性代数
试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵。 提示： 对于任意 n 非零列向量 X ，X T BX X T X X T AT AX X T X ( AX )T AX 0 ， 则二次型 f X BX 为正定二次型， 所以矩阵 B 为正定矩阵。 或者， 对于 0 ，E 正定，
f X T AX (CY )T A(CY ) Y T (C T AC )Y Y T BY B C T AC ，则称矩阵 A 与 B 是合同阵是合同的。若 A 与 B 是合同的，则
r ( A) r ( B) 。
2.二次型的标准形 如果二次型中只含有平方项（所有交叉项的系数全为零， aij 0, i j ） ，则称该二次 型为标准形
何种条件时，二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 为正定二次型。 提示： 若变换 y1 x1 a1 x2 , y2 x2 a2 x3， ，yn 1 xn 1 an 1 xn , yn xn an x1 为可 逆线性变换，则该二次型化为 f y1 y2 yn 为正定二次型。线性变换矩阵的行列式
量，P 是 3 阶正交矩阵。试求常数 , 。 提示：由于经过正交变换化成标准形 f y 2 y
2 2 2 3 ，则系数矩阵
1 1 A 1 的特 1 1
征值分别为 0，1，2；那么 A 0, E A 0 ，得 0 。 例 3.（95.Ⅳ）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 4 x2 3 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
A.合同且相似 C.不合同但相似
2 5 0 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0
1 5 2 2 。 0 ，标准形： f 2 y12 2 y2 3 y3 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，则 A 与 B 0 0
1 4 1 0 ，B 1 0 1 0
2
。
提示：系数矩阵的特征值为 6，0，0，且秩等于 1，可得 a 2 。 例 14.(05.Ⅲ)设 D 为 m n 矩阵。
A T C
C 为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C B A1C ； En
T 1
E (I) 计算 P DP ，其中 P m o
2 2 2
的 秩
(i, j 1,2, , n) ，二次型 f(x1,x2 , ,xn )
i 1 j 1 T
n
n
Aij A
xi x j
（1） 记 X ( x1 , x2 ,, xn ) ， 把 f ( x1 , x2 ,, xn ) 写成矩阵形式， 并证明二次型 f ( X ) 的 矩阵为 A ； （2）二次型 g ( X ) X AX 与 f ( X ) 的规范形是否相同？说明理由。
2 2 2
的值等于： 1 (1)
n1
a1a2 an 。参考答案： 1 (1) n 1 a1a2 an 0 。
1 * 1 *
例 6.已知 A 为 n 阶正定矩阵。证明： A , A 都是 n 阶正定矩阵。 提示： n 阶矩阵 A 正定的充分必要条件是： A 的所有特征值全大于零。考虑 A , A 的 特征值与 A 的关系与符号。 例 7. (04. 为 . 提示： y1 x1 x2 , y2 x2 x3 , y3 x3 x1 不是可逆线性变换，必须先展开，根据系 数矩阵的秩求出该二次型的秩等于 2。 例 8.(01.Ⅲ)设 A 为实对称矩阵， r ( A) n ， Aij 是 A ( aij ) nn 中元素 aij 的代数余子式 Ⅲ ) 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 )
T
AT A 半正定，因此 B E AT A 正定。
例 5. （ 00. Ⅲ ） 设 有 n 元 二 次 型 f ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 a1 x2 ) ( x2 a2 x3 )
2 2
( xn 1 an 1 xn ) 2 ( xn an x1 ) 2 ，其中 ai (i 1,2,, n) 为实数。试问：当 a1 , a2 ,, an 满足
2 2
（1）写出二次型 f 的矩阵表达式； （2）用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
2 5 参考答案：正交矩阵 Q 0 1 5
1 30 5 30 2 30
1 6 1 2 2 2 ，标准形 f y1 6 y2 6 y3 。 6 2 6
值。 3.二次型的规范形
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第二部分：线性代数
在标准形中，如果平方项的系数为 1，-1 或 0，则称为二次型的规范形。 惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换，化成的规范形是惟一的。 其 中正平方项的个数 p 、负平方项的个数 q 都是由二次型本身所惟一确定的。 两个 n 阶实对称矩阵 A 与 B 合同的充分必要条件是： A 与 B 具有相同的秩与正惯性指 数。 4.正定二次型
矩阵。求对角矩阵 ，使 B 与 相似，并求 k 为何值时， B 为正定矩阵。 参考答案： A 的特征值 0，2，2； B 的特征值 k ， (k 2) ， (k 2) ，只要 k 0 且
2 2 2
k 2 ， B 为正定矩阵。
例 10. （ 02. Ⅲ）设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 A O ，已知 A 的秩
（
）
B.合同但不相似 D.不合同且不相似
2 2 2
提示：实对称矩阵相似一定正交相似，正交相似就是合同，因此合同且相似。 例 13.已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) a ( x1 x2 x3 ) 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3 经正交变 换 X PY 可以化成标准形 f 6 y1 ，则 a
2 2 化为标准形， 其中 1 , 2 , , n f X T AX (QY )T A(QY ) 1 x12 2 x2 n xn
都是 A 的特征值。 值得注意的是：除了正交变换以外，其他可逆变换化二次型为标准形
2 2 中的平方项的系数 d1 , d 2 ,, d n 却不一定是 A 的特征 f X T AX d1 x12 d 2 x2 d n xn
第二部分：线性代数
第六章
一、考试要求
二次型
1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念。 2.了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理的条件和 结论，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。
T 1
提示： f X
T
1 *T 1 ( A ) X X T A* X X T A1 X ； 由 于 A 与 A1 合 同 ， 所 以 A A
g ( X ) X T AX 与 f ( X ) X T A1 X 具有相同的规范形。 1 0 1 2 例 9.(98.Ⅲ)设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 B ( kE A) ，其中 k 为实数， E 为单位 1 0 1
二、基本内容
1.二次型的矩阵表示形式，二次型的秩、矩阵的合同
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n