数论初步

数论初步※知识要点1、奇偶性奇数±奇数＝偶数偶数±偶数＝偶数奇数±偶数＝奇数偶数±奇数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数2、数的整除一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

性质：①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a.整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数。

3、质数与合数①一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

1既不是质数也不是合数。

②如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

〘经典例题〙1桌上有11只杯子，全部口朝上，每次将其中8只同时翻转。

问：经过若干次后，能否使11只水杯杯口都朝下？〖举一反三〗11、桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时翻转。

问：经过若干次这样的翻转，能否使9只杯子全部口朝下？2、体育课上，有15位学生面向老师站成一排，听到口令后只能有4个向后转。

中预数学竞赛辅导 第1讲 数 论 初 步一、赛点归纳研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容。

虽然数论问题看似简明，但要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数及相关的一些数学知识正是中小学学习的重点，所以，在各类数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。

中小学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分析等等。

要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握考试问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的。

本讲主要介绍整数的整除和余数问题。

（一） 整除问题对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使q b a ⨯=, 则称a 能被b 整除，记作a b |, 否则就称a 不能被b 整除。

例如：9436⨯=，于是36能被4（或9）整除。

性质1若a c |, b c |, 则)(|nb ma c ±，这里m ，n 是任意整数。

性质2若b a c ∙|，且（c ，b ）=1，则a c |。

性质3 若a b |，a c |，且（b ，c ）=1，则a bc |。

性质4 a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。

整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧。

（二） 同余问题如果两个正整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即,,r pm b r qm a +=+= 则称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且m r <≤0。

可见，如果a 与b 关于模m 同余，则)(|b a m -。

性质1两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。

性质2两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。

性质3两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。

在解决同余问题时，常常把同余问题转化为整除问题来处理。

二、解题指导【例1】有0、1、4、7、9五个数，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是几？【例2】有这样的整数，它除以8所得到的商与余数相同，求所有这样的整数。

数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是。

3、下面这个199位整数：1001001001…1001 被13除，余数是多少？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。

5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。

这个三位自然数是----。

6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。

7、如果20052005…200501能被11整除，那么N的最小值是-------。

8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。

9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是------。

10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是------。

11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。

这个六位数是-----。

12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。

问：○盖住的数是多少？13、若四位数9A8A能被15整除，则A代表的数字是--------。

14、如果有一个九位数A19 993 11B能被72整除，试求A、B 两数的差。

（大减小）15、设A、B使得六位数A2000B能被26整除。

所有这样的6位数是-------。

16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。

现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。

17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。

数论初步前置知识1.唯⼀分解定理也称算术基本定理，任何⼀个⼤于 1 的⾃然数，都可以唯⼀分解成有限个质数的乘积。

即质因数分解。

2.同余：定义：设 m 是给定的⼀个正整数，a,b 是整数，若满⾜ m∣(a−b) ，则称 a 与 b 对模 m 同余，记为 a≡b(mod m)。

这个式⼦称为 模 m 的同余式。

同余概念⼜常表达为：1.a=b+km,(k∈Z)2.a 与b 被 m 除时有相同的余数。

性质同余式可以逐项相加：若a1≡b1(mod m),a2≡b2(mod m),a2≡b2(mod m),…,a n≡b n(mod m)，则a1+a2+⋯+a n≡(b1+b2+⋯+b n)(mod m)同余式可以移项，需要反号。

若a+c≡b(mod m)，则a≡b−c(mod m)同余式可以逐项相乘，类似相加。

同余式每⼀边边可以加上或减去模m的任意倍数。

若 a≡b(mod m) ，则a±km≡b(mod m)同余式两边的数如有公约数，此公约数⼜和模互素，那么就可以把两边的数除以这个公约数。

若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,gcd(m,d)=1, 则a1≡b1(mod m)同余式两边的数和模可以同时乘上⼀个整数。

若 a≡b(mod m) ，则 ak≡bk(mod mk)同余式两边的数和模可以同时被它们任⼀公约数除。

若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,m=m1d,则a1≡b1(mod m1)如果同余式对于模m成⽴，那么它对于m的任意约数相等的模d也成⽴。

若 a≡b(mod m) 且m=m1d ,则a≡b(mod d)如果同余式⼀边上的数和模能被某个数除尽，则同余式的另⼀边的数也能被这个数除尽。

若 a≡b(mod m),a∣k,m∣k, 则，b∣k。

同余式⼀边上的数与模的最⼤公约数，等于另⼀边上的数与模的最⼤公约数。

若 a≡b(mod m)，则(a,m)=(b,m)1.求正整数N的所有约数和若正整数 N 在唯⼀分解定理中：N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m则有约数和:sum=m∏i=1(k i ∑j=1p j i)2.求正整数N的约数个数：若正整数 N 在唯⼀分解定理中:N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m 则其约数个数sum=m∏i=1(k i+1)3.求出正整数的所有约数void func(int n)//n为要求的数{for(int i=1;i<=n/i;i++){if(n%i==0){var[++tot]=i;//⽤var来存储因数if(i!=n/i) var[++tot]=n/i;//因数是成对的、但√(n)两个因数⼀样 }}sort(var+1,var+1+tot);//让因数顺序从⼩到⼤}4.欧拉函数欧拉函数ϕ(x)是指 1−n 中与n 互质的数的个数若在唯⼀分解定理中，N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m,则ϕ(N)=N(1−1p1)(1−1p2) (1)1pm),(1)容斥原理求法：1.从 1−N 中去掉 p1,p2,......p k 的所有倍数N−Np1−Np2−Np3−...Np k2.加上所有 p i⋅p j 的倍数+Np1p2+Np2p3+...3.减去所有 p i⋅p j⋅p k 的倍数−Np1p2p3−Np2p3p4−...4.加上所有 p i⋅p j⋅p k⋅p l+Np1p2p3p4+...以此类推......最后得到的式⼦，恒等变形之后与(1)式相同。

1.证明：能被
整除．
【答案】见解析
【解析】证明：记原式为，则
，因为
，所以．
2.使能被整除的自然数中，第个是________．
【答案】4025
【解析】满足要求的数是所有奇数，所以第个是．
3.已知存在正整数，使得，设，
．求证：和都能被整除．
【答案】见解析
【解析】
，因为，所以．而
所以．
4.试确定使的全部正整数对．
【答案】见解析
【解析】设正整数对满足，则有
，即，也即
． (1)当时，，对任意，，为正整数有：
，．所以是满足要求的解． (2)当时，有，，，所以．则
，那么．分别考虑，，，可得正整数解为，所以是满足要求的解．注意到已
经包含在的情况中，所以解为，其中取正整数．
5.在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两数之和与的差，将这
个过程重复若干次之后，得到．问：一开始在黑板上的三个数能否是：(1)； (2)．
【答案】见解析
【解析】我们进行倒推：，，所以
可以得到．．又，所以
可以得到．由此可得
．如此倒推下去，由于
，所以经过次变换，可以从得到．继续这种变换，有，，
，，，，，，．所以，从
一开始，黑板上的三个数可能是，但不可能是．。

数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而重要的分支，它主要研究整数的性质和关系。

在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论中的关键知识点。

一、整除整除是数论中的基本概念。

如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。

例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。

例题：判断 28 能否被 4 整除。

解：因为 28÷4 ＝ 7，商是整数且没有余数，所以 4 ｜ 28。

整除有以下几个重要性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。

2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb ＋ nc)。

二、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。

例如，2、3、5、7 是质数，而 4、6、8、9 是合数。

例题：判断 19 是质数还是合数。

解：因为 19 只能被 1 和 19 整除，所以 19 是质数。

质数有一个重要的定理——算术基本定理：任何一个大于 1 的整数都可以唯一分解成若干个质数的乘积。

三、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b)。

两个或多个整数公有的倍数中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b。

例如，12 和 18 的最大公因数是 6，最小公倍数是 36。

求最大公因数和最小公倍数的方法有质因数分解法和辗转相除法。

例题：求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。

质因数分解法：24 ＝ 2×2×2×336 ＝ 2×2×3×3最大公因数＝ 2×2×3 ＝ 12最小公倍数＝ 2×2×2×3×3 ＝ 72辗转相除法：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是 0 为止。

数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而富有魅力的分支，它主要研究整数的性质和相互关系。

在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论中的重要知识点。

一、整除性整除性是数论中的基本概念之一。

如果整数 a 除以整数 b（b ≠ 0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。

例如：15 能被 3 整除，因为 15 ÷ 3 ＝ 5，没有余数，记作 3 ｜ 15。

例题：判断 27 是否能被 9 整除。

解：因为 27 ÷ 9 ＝ 3，商为整数且没有余数，所以 9 ｜ 27。

知识点总结：能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8。

能被 3 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 整除。

能被 5 整除的数的特征：个位数字是 0 或 5。

二、最大公因数和最小公倍数最大公因数（Greatest Common Divisor，简称 GCD）是指两个或多个整数共有的最大因数。

最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）是指两个或多个整数共有的最小倍数。

例如：12 和 18 的最大公因数是 6，最小公倍数是 36。

例题：求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。

解：先分别分解质因数：24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3，36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3。

最大公因数＝ 2 × 2 × 3 ＝ 12。

最小公倍数＝ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 72。

知识点总结：求最大公因数可以用辗转相除法。

两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。

三、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。

数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而又充满魅力的分支，它主要研究整数的性质和关系。

在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论的重要知识点。

一、整除的概念整除是数论中最基本的概念之一。

如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b|a。

例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3|15。

例题 1：判断 28 是否能被 4 整除。

解：28÷4 ＝ 7，商是整数且没有余数，所以 4|28。

二、因数与倍数如果 a 能被 b 整除，那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。

例如，6 的因数有 1、2、3、6，6 是 1、2、3 的倍数。

例题 2：找出 36 的所有因数。

解：36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。

三、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。

例如，2、3、5、7 是质数，4、6、8、9 是合数。

例题 3：判断 19 是质数还是合数。

解：因为 19 只能被 1 和 19 整除，所以 19 是质数。

四、最大公因数与最小公倍数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数；几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。

求最大公因数和最小公倍数的方法有很多，比如分解质因数法、短除法等。

例题 4：求 12 和 18 的最大公因数和最小公倍数。

解：（1）分解质因数：12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。

公因数有 2 和 3，所以最大公因数是 2×3 ＝ 6。

（2）最小公倍数：2×2×3×3 ＝ 36。

五、同余的概念若两个整数 a、b 除以同一个整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。

小学数学中的数论初步由于没有具体的需求和指导，我将以题目“小学数学中的数论初步”为基础，自行判断应该用什么格式来写。

以下是我撰写的文章：在小学数学中，数论是一个重要的分支，它研究整数之间的关系及其特性。

本文将介绍小学数学中的数论初步知识，包括数的分类、倍数与约数、质数与合数以及最大公约数和最小公倍数等。

1. 数的分类在数论中，我们首先需要了解数的分类。

数可以分为整数、分数、小数和无理数等。

在小学数学中，我们主要关注整数，因为它们是自然数、0和负数的集合。

2. 倍数与约数在数论中，我们经常遇到倍数与约数的概念。

如果一个整数a能被另一个整数b整除，我们就称a是b的倍数，b是a的约数。

通过学习倍数与约数，我们可以解决一些实际问题，比如寻找公共因子、求最大公约数等。

3. 质数与合数质数是只有1和自身两个约数的整数，而合数是除了1和它本身外还有其他约数的整数。

我们可以通过因式分解来判断一个数是否为质数或合数。

了解质数与合数的概念对于数论的学习非常重要。

4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是两个或多个数同时能整除的最大的数，最小公倍数是两个或多个数同时被它们整除的最小的数。

求解最大公约数和最小公倍数的方法有很多，比如质因数分解法、列举法等。

掌握这些方法能够帮助我们解决一些实际问题，比如分配物品、简化分数等。

通过以上几个方面的学习，我们可以初步了解数论在小学数学中的重要性和应用。

数论作为数学的一个分支，它不仅帮助我们加深对数的认识，还培养了我们抽象思维、逻辑推理能力等数学思维方式。

在今后的学习中，我们还将深入学习数论的更多知识，探索更多数学的奥秘。

数学是一门有趣又实用的学科，希望大家能够充分发掘其中的乐趣，并运用数学知识解决实际问题。

通过上述内容的介绍，我们简单了解了小学数学中的数论初步知识。

数论的学习不仅帮助我们了解数的分类、倍数与约数、质数与合数，还能够培养我们的数学思维方式和解决实际问题的能力。

希望大家在接下来的学习中，能够深入探索数论的更多知识，享受数学学习的乐趣。

数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是 。

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是 。

3、下面这个199位整数： 位19910011001001 被13除，余数是多少 ？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 。

5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。

这个三位自然数是 。

6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是 ， ， 。

7、如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是 。

8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。

9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是 。

10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是 。

11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。

这个六位数是 。

12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。

问：○盖住的数是多少？13、若四位数a a 89能被15整除，则A 代表的数字是 。

14、如果有一个九位数B A 1999311能被72整除，试求A 、B 两数的差。

（大减小）15、设A 、B 使得六位数B A 2000能被26整除。

所有这样的6位数是 。

16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。

现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 。

17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求： （1）它 能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。