初等数论初步PPT讲稿

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数论初步PPT课件

04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2，所有偶数（除了2）都不是素数，任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数，最小的合数是4，合数的因数除了1和它自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代数数域、代数整数环、素数、分解整环等。

石大《初等数论》课件

考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不得分也不扣分。若某位同学得了78分，那么他做对道题，做错道题，不做道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

初等数论简介PPT课件

初等数论一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解
经过8年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于在1995年完成了该定理的证明。
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
初等数论 2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。
初等数论四、我国古代数学的伟大成就
1、算经十书唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学
习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。

19初等数论PPT课件

个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立.令a-qb=r,则 a=bq+r,而0≤r<b
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理，我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明，尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受，若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法：如果把数学归纳法作为公理，可推出最小整数原理，如果把最小整数原理作为公理，可推出数学归纳法。
整除的概念
定义设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;

初等数论一-夏子厚精品PPT课件

• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n } • 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章不定方程
• 第一节二元一次不定方程 • 第二节多元一次不定方程 • 第三节勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章同余性质
• 第一节同余的概念及其基本性质 • 第二节完全剩余系 • 第三节欧拉函数与简化剩余系 • 第四节欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：b a。|
第一节整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节整除与带余数除法

初等数论绪论课件

数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念，它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制、八进制和十六进制等。不同进制之间可以进行转换，例如将十进制数转换为二进制数或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到数的符号表示，如正数、负数和零的表示方法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念，它是指将一个合数表示为其质因数的乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干个质数的乘积。例如，将数28进行质因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分解是数论中一个重要的工具，它在解决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学家对数论的深入研究和突破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量子力学和统计力学的数学结构

初等数论课程教案总结.ppt

最大公约数 : 设 a1, a2是两个不全为零的整数 . 我们把 a1和 a2 的公约数中最大的称为 a1 和 a2 的最大公约数 , 记作 ( a1, a2 ) , 一般地 , 设 a1,. . . ,ak 是 k 个不全为零的整数 . 我们把 a1,. . . , ak 的公约数中最大的称为 a1,. . . , ak 的最大公约数 , 记作 ( a1,. . . , ak ) .
P 1 8 定理 1 2 : 设 m 0,我们有
[ ma1,. . . , mak ] = m[a1,. . . , ak ] .
P 2 0 定理 2 ：设 a,b是两个给定的整数 , a 0. 再设 d是一个给定的整数. 那么,一定存在惟一的一对整数 q1 与 r1, 满足 b a q1 r1,d r1 a d. 此外 , a b的充要条件是 a r1.
P 4 4 定理 8 ：设 a1,,ak是不完全为零的整数 . 我们有 ( i ) ( a1,, ak ) = m i n { s a1x1 ak xk : x j Z( 1 j k ) , s 0} , 即 a1,, ak 的最大公约数等于 a1,,ak的所有整系数线性组合组成的集合 S中的最小正整数 . ( i i ) 一定存在一组整数 x1,0,, xk,0使得 ( a1,, ak ) = a1x1,0 ak xk,0.
P 4 8 定理 1 ：设 p 是素数 , p a1a2 . 那么 p a1或 p a2 至少有一个成立 . 一般地 , 若 p a1. . .ak , 则 p a1 ,. . . , p ak 至少一个成立.

离散数学课件初等数论

哥德巴赫猜想
总结词
哥德巴赫猜想是数论中一个著名的未解决的问题，它涉及到质数的分解。
详细描述
哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。尽管数学家们已经证明了许多特殊情况下的结论，但这个猜想至今仍未被证明或反驳。
孪生素数猜想
总结词
孪生素数猜想是数论中一个关于质数对的未解决的问题。
费马大定理
总结词
费马大定理是数论中一个著名的未解决的问题，它涉及到质数和幂的性质。
详细描述
费马大定理指出，对于任何整数n > 2，不存在三个完全不同的整数x、y和z，使得 x^n + y^n = z^n。尽管数学家们已经证明了这个定理在n=3和n=4的情况下成立，但n>4的情况仍然是一个未解之谜。
模数方程的解法
总结词
模数方程是数学中一类重要的方程，其解法包括扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉定理等。
详细描述
扩展欧几里得算法是一种求解模数方程的常用方法，它可以找到给定模数的一组解。费马小定理和欧拉定理也是求解模数方程的重要工具，它们可以用于证明一些重要的数学结论。
05
初等数论中的问题与猜想
整数的因数分解
因数分解是将一个整数表示为若干个因数的乘积的过程。完全平方数的因数分解具有特殊性，即可以表示为两个相同正整数的乘积。
因数分解是解决整数相关问题的重要手段，如求解一元二次方程、判断一个数是否为质数等。
同余方程
• 同余方程是模运算下的等式，即两个或多个整数对某个正整数同余时满足的等式。同余方程在数论和密码学中有广泛的应用，如求解线性同余方程、模简化等。
数论的基本概念
02
01
03

初等数论(课堂PPT)

自然数集：0，1，2，3，… ，n，…也叫非负整数集，记作N。
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化，并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求证： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一个六位数 2 a b c d e 与 3 之积等于 a b c d e 9 ，求这个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上述砝码？

初等数论ppt

二
几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；
费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以后才完全作到这一点。
第一章整数的整除性
第一节整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个。

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结论：任何一个大于1的整数n总可分解为一些素数的乘积。
结论：素数有无穷多个.
对给定的大于1的正整数，如何判断它是不是素数呢？
结论：如果大于1的整数a不能被所有不a超过的素数整除，那么一定是素数。
例3：找出1～100中的全部素数. 埃拉托斯特尼筛法
初等数论初步
第一讲整数的整除 §1.2 最大公因数与最小公倍数
例1：判断710316能否被9，11整除.
三、带余除法(欧式除法算式)
一般地，设a,b为整数，且b≠0，则存在唯一的一对整数q和r，使得a=bq+r,0≤r<|b|.其中唯一的q和r分别叫做a除以b的商和余数.
例2：2004除以某个整数，其商为74，求除数和余数.
探究：
我们用符号[x]表示不超过实数x的最大整数，试用a,b表示a除以正整数b的商q和余数r.
一、最大公因数
定义：给定两个整数a，b，必有公共的因数，叫做它们的公因数。当a，b不全为零时，在有限个公因数中最大的一个叫做a，b的最大公因数，记作(a，b).定义可以推广到n个整数.
类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多个非零整数的最大公因数的概念，将a,b,c的最大公因数记作(a,b,c)，依此类推。
素数 p ,使 p 2 为素数或至多为两个素数的乘积。
(相邻两个奇数同时为素数，这样的数叫做孪素数)
3.哥德巴赫猜想：大致可分为两个猜想：每个不小于6 的偶数都可以表示为两个奇素数之和；每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。1966年陈景润证明了任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。
类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多个非零整数的最小公倍数的概念，将a,b,c的最小公倍数记作[a,b,c]，依此类推。
pa；
( ) a1 , a2 , , ak dd d
(5) 若a = bq r，则(a, b) = (b, r).
(6) (ma1, ma2, , mak) = |m|(a1, a2,
, ak).
求两个数的最大公因数的方法： 1.短除法 2.辗转相除法
思考：如果b除a的余数为r，那么(a,b)=1成立吗？ (a,b)与(b,r)有什么关系？
4.圆内整点问题：高斯曾研究过这样的一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标为整数的点呢？后来它又被称作高斯圆内整点问题。
5.完全数问题：完全数又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子的和恰好等于它本身. 目前也只知道38个偶完全数，其中最大的是 26972592. 是否存在奇完全数仍是一个悬而未解的问题。
定义：如果a，b的最大公因数为1，那么称a， b是互素的.
相关性质：
(1)(a1, a2, , ak) = (|a1|, |a2|, ,
|ak|)；
(2)(a, 1) = 1，(a, 0) = |a|，(a, a) =
|a|；
(3) (a, b) = (b, a)；
(4)若p是素数，a是整数，则(p, a) = 1或
初等数论初步课件
一、数论中的著名问题：
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
1.费马大定理：当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程xn+yn=zn无正整数解(x=0或y=0不在考虑之列).1994年德国数学家维尔斯解决了这个问题，并获得了沃尔夫奖. 2.孪素数猜想：孪素数应有无穷多对。著名数学家陈景润研究哥德巴赫问题时证明了：存在无穷多个
四、素数及其判别式
定义：素数：仅有两个正因数的正整数叫做素数（正因数只有1和它本身）. 合数：不是素数又不是1的正整数叫做合数。
观察：
对于正整数6，7，9，21，65，77，121.观察它们除1以外的最小的正因数，从中你能发现什么规律？
结论：每个正整数n除1外的最小正因数p是一个素数.
为什么？
二、整除的性质和概念
定义：设a,b为整数，且b≠0. 如果存在整数q，使得 a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a，并且称b是a的因数，a是b的倍数. 如果这样的整数q 不存在，就称b不整除a，记作b | a .
性质: 若 a 0,b 0 ，则
(1)若 a | b,b | a，则 a b或a b ； (2)若 a | b,b | c，则 a | c ； (3)若 a | b,b | c ，则对任意整数x,y，恒有a|bx+cy； (4)若 a | b, a | c，且a,b互质，则ab|c；
结论：如果b除a的余数为r，那么(a，b)=(b，r).
结论：(a,b,c)=((a,b),c)
结论：设整数a,b不同时为零，则存在一对整数m,n，使得(a,b)=am+bn.
你能用辗转相除法证明这个定理吗？
对于任意的整数a，b，c，下面的结论成立： (1)若bac，且(a, b) = 1，则bc； (2)若bc，ac且(a, b) = 1，则abc.
(3)设p为素数，若p|ab，则p|a，或p|b. (4)设p为素数，若 p | a1a2 ak ，则存在 ai (1 i k) ,使得 p | ai 。
一、最小公倍数
定义：任给两个非零整数a,b，一定存在一个整数，它同时为a,b的倍数，这个倍数叫做a,b 的公倍数。我们把a,b的最小的正公倍数叫做 a,b的最小公倍数，记作[a，b].
(5)若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若
p | an , n N,则p | a
Байду номын сангаас
结论：一个正整数的各位数字之和能被3整除，那么这个正整数能被3整除.
请根据上面整除的性质证明这个命题.
探究：
利用类似的方法证明能被9,11,7整除的正整数的特征。 1、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。 2、一个正整数的奇数位数字之和与偶数为数字之和的差能被11整除，那么这个整数能被11整除. 3、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数字组成的数之差能被7(或11)整除，那么这个正整数能被7(或11)整除.