解决函数零点问题的几种方法

隐零点问题的8种解决策略我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上参变分离，技巧上反客为主 一、直接观察如果导函数存在零点，但令导函数为零后，出现超越方程，直接求解比较困难，此时可先用特殊值试探出方程的一个根，再通过二次求导研究其单调性，并证明其是唯一的。

一般的，当导数式含有x ln 时，可试根1，e 或e1等，当导数式含有xe 时可试根0或1 例1.（2013北京卷）求证：1ln -≤x xx证法1：令xx x x g ln 1)(--=，则22'ln 1)(x x x x g +-=，令x x x h ln 1)(2+-=， 则012)('>+=xx x h ，所以)(x h 在),0(+∞单调递增，又0)1(=h ，故当10<<x 时，0)(<x h 0)('<⇒x g ，)(x g 递减，当1>x 时，0)(>x h 0)('>⇒x g ，)(x g 递增，所以0)1()(=≥g x g ，即1ln 0ln 1-≤⇒≥--x xxx x x 证法2：（对数单身狗）即证x x x -≤2ln ，令x x x x f ln )(2--=，则)0()1)(12(112)('>-+=--=x xx x x x x f ，所以当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减 当),1(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以0)1()(=≥f x f ，即0ln 2≥--x x x所以1ln -≤x xx例2.已知0ln )1(≥--a x x 恒成立，求a 的取值范围解：由题意x x a ln )1(-≤恒成立，令x x x f ln )1()(-=，则xx x x x f 1ln )('-+=观察知0)1('=f ，当10<<x 时，0)('<x f ，1>x 时，0)('>x f所以)(x f 在)1,0(内单调减，在),1(+∞单调增，所以0)1()(min ==f x f ，0≤∴a 二、虚设零点当导函数存在零点，但零点式子非常繁琐或无法求解时，可考虑虚设零点0x ，再对0)(0'=x f 进行合理的变形与代换，将超越式化为普通式，从而达到化简)(0x f 的目的例3.设函数)0()1ln(1)(>++=x x x x f ，若1)(+>x kx f 在),0(+∞内恒成立，求正整数k 的最大值解：由题意得xx x k ]1)1)[ln(1(+++<在),0(+∞内恒成立令)0(]1)1)[ln(1()(>+++=x x x x x g ，则2')1ln(1)(x x x x g +--=， 令)0)(1ln(1)(>+--=x x x x h ，则01)('>+=x x x h ，所以)(x h 在),0(+∞上递增又03ln 1)2(<-=h ，04ln 2)3(>-=h ，所以存在唯一的)3,2(0∈x 使得0)(0=x h ，即)1ln(100+-=x x ，所以当),0(0x x ∈时0)(<x h 0)('<⇒x g )(x g ⇒在),0(0x 上递减，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h 0)('>⇒x g )(x g ⇒在)(0∞+，x 上递增， 所以)4,3(1]1)1)[ln(1()()(00000min ∈+=+++==x x x x x g x g ，故3≤k ，k 的最大值为3例4.已知)2ln()(+-=x e x f x，求证：0)(>x f 恒成立 证明：21)('+-=x e x f x，显然)('x f 在),2(+∞-上递增，又011)1('<-=-e f ，021)0('>=f 所以存在唯一的)0,1(0-∈x 使得0)(0'=x f ，即2100+=x ex )2ln(00+-=⇒x x 所以当),2(0x x -∈时0)('<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时0)('>x f ，)(x f 递增，所以02)1(21)2ln()()(0200000min 0>++=++=+-==x x x x x e x f x f x ，所以0)(>x f 恒成立例5.（2015年全国卷）设x a e x f xln )(2-=，求证：当0>a 时aa a x f 2ln2)(+≥ 证明：xa e x f x-=2'2)(，当0>a 时，显然)('x f 在),0(+∞上递增， 又012)(2'>-=aea f ，+→0x 时-∞→)('x f ，所以)('x f 存在唯一零点0x ，即0002ln 2ln )2ln(220x a x a x x a e x -==⇒=所以当00x x <<时，0)('<x f ，)(x f 递减，当0x x >时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以)22(ln 2ln )()(00020min 0x a a x a x a ex f x f x --=-==aa a a a ax x a 2ln 22ln 2200+≥++= 例6.（2018广州一测）设1ln )(++=x ax x f ，若对任意的0>x ，xxe x f 2)(≤恒成立，求a 的范围解：对任意的0>x ，xxe x f 2)(≤恒成立xx e a x1ln 2+-≤⇔在),0(+∞上恒成立 令xx e x g x1ln )(2+-=，则222'ln 2)(x x e x x g x +=，令x ex x h xln 2)(22+=，则01)(4)(22'>++=xe x x x h x ⇒)(x h 在),0(+∞上递增 又082ln 16)41(<-=e h ，02)1(2>=e h ，所以)(x h 存在唯一零点)1,41(0∈x ，所以当00x x <<时0)(0)('<⇒<x g x h ，当0x x >时0)(0)('>⇒>x g x h ，所以)(x g 在),0(0x 递减，在)(0∞+，x 递增，0020min 1ln )()(0x x e x g x g x +-==∴ 由00002202200ln )2ln()ln ln(22ln 0ln 2)(00x x x x x x e x ex x h x x ---=⇒-=⇒=+= )ln ()ln ln(2)2ln(0000x x x x -+-=+⇒，设x x x F +=ln )(，则)ln ()2(00x F x F -=，又易知)(x F 在),0(+∞上递增，020020012ln ln 20x x x ex x x =-=⇒-=∴ 21ln )()(0020min 0=+-==∴x x e x g x g x ，所以2≤a 例7.（2017年全国2卷）已知函数x x x x x f ln )(2--=，且0)(≥x f ，求证：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e证明：x x x f ln 22)('--=，设x x x h ln 22)(--=，则由21012)('>⇒>-=x x x h )(x h ∴在]21,0(上单调递减， ),21[+∞上单调递增，又0)1(,012ln )21(=<-=h h ，+→0x 时+∞→)(x h ，)(x h ∴在)21,0(上存在唯一零点0x 即0000ln 220ln 22x x x x =-⇒=--，当),0(0x x ∈时0)(>x h 0)('>⇒x f ，当)1,(0x x ∈时0)(<x h 0)('<⇒x f ，当),1(+∞∈x 时0)(>x h 0)('>⇒x f ，所以)(x f 为],0(0x 上递增，]1,[0x 上递减，),1[+∞递增，所以)(x f 极大值为)1()22(ln )(0000020000200x x x x x x x x x x x f -=---=--=，而)1,0(0∈x ，220002)21()(-=-+<∴x x x f ，又10-≠e x 且)1,0(1∈-e ，210)()(--=>∴e e f x f 综上2022)(--<<x f e例8.设2)(--=x e x f x，若0>x 时，01)()('>++-x x f k x ，求整数k 的最大值 解：（分离参数）1)('-=xe xf ，01)1)((1)()('>++--=++-x e k x x x f k x x等价于1111)1(-++=-++-<x x x e x x e x e x k 对0>x 恒成立令)0(11)(>-++=x e x x x g x ，则2')1()2()(---=x x x e x e e x g ， 令)0(2)(>--=x x e x h x ，则01)('>-=xe x h ，所以)(x h 在),0(+∞上递增， 又03)1(<-=e h ，04)2(2>-=e h ，所以)(x h 存在唯一零点)2,1(0∈x ，则200+=x ex当),0(0x x ∈时0)(<x h 0)('<⇒x g ，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h 0)('>⇒x g ，)(x g ∴在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增所以)3,2(111)()(0000min 0∈+=-++==x e x x x g x g x ， 又min )(x g k <，所以整数k 的最大值为2 三、分类讨论例9.设21)(ax x e x f x---=，若当0>x 时0)(≥x f ，求a 的取值范围解：（分类讨论）ax e x f x21)('--=， 令)0(21)(>--=x ax e x g x，则a e x g x2)('-=因为1≥xe （1）当12≤a 即21≤a 时，0)('>x g 恒成立，)(x g ∴在),0(+∞上递增，0)0()(=>∴g x g ，即0)('>x f ，)(x f ∴在),0(+∞上递增，0)0()(=>∴f x f 成立（2）当12>a 即21>a 时，由a x x g 2ln 00)('<<⇒<，)(x g ∴在]2ln ,0(a 递减，),2[ln +∞a 递增所以当)2ln ,0(a x ∈时，0)0()(=≤g x g ，即0)('≤x f )(x f ⇒]2ln ,0(a 在递减，0)0()(=<∴f x f 与题意不符综合（1）（2）知a 的取值范围为21≤a 解法2：（切线放缩）先证明1+≥x e x ，当且仅当0=x 时等号成立，事实上，设1)(--=x e x g x ，则1)('-=x e x g ，令0)('>x g ，解得0>x ，令0)('<x g ，解得0<x ，所以)(x g 在]0,(-∞递减，),0[+∞上递增，所以0)0()(=≥g x g ，即1+≥x e x ，当且仅当0=x 时等号成立x a ax x ax e x f x )21(221)('-=-≥--=①当021≥-a 即21≤a 时，0)('≥x f 对),0(+∞∈x 恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上递增，所以0)0()(=>f x f 成立，符合题意②当021<-a 即21>a 时，由当0≠x 时，1+>x e x 得)0(1≠-≥-x x e x ，从而xx x xxxea e e ea e ax e x f )2)(1()1(2121)('--=---<--=- 所以当)2ln ,0(a x ∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，此时0)0()(=<f x f ，不合题意综上可知实数a 的取值范围为21≤a 例10.（2012 山东卷）已知xex x x x x f )ln 1)(1()(--+=，求证：21)(-+<e x f 证明：易知当1≥x ，则210)(-+<≤e x f所以当10<<x 时，0ln 1>--x x x ，由1+>x e x110<+<⇒xe x ，x x x x f ln 1)(--<∴ 令)10(ln 1)(<<--=x x x x x g ，则由2'00ln 2)(-<<⇒>--=ex x x g)(x g ∴在],0(2-e 单调递增，在),[2+∞-e 单调递减，所以221)()(--+=≤e e g x g从而21)(-+<e x f 综上知21)(-+<e x f例11.（2013广东卷）设2)1()(kx e x x f x --=，当]1,21(∈k 时，求)(x f 在],0[k 上最大值 解：由0)2()('>-=k e x x f xk x 2ln >⇒，考虑k 2ln 是否属于区间],0[k 令kk k g -=2ln )(，则01)('≤-=k k k g ，)(k g ∴在]1,21(∈k 递减，021)21()(<-=<g k g ，故当]1,21(∈k ]1,21(∈k 时，k k <<2ln 0)(x f ∴在]2ln ,0[k 递减，在],2[ln k k 递增，下面比较)0(f 与)(k f 的大小令)121(1)1()0()()(3≤<+--=-=k k e k f k f k h k，则)3()('k e k k h k -= 设)121(3)(≤<-=k k e k m k，则03)('<-=k e k m )(k m ⇒在]1,21(∈k 递减又049)21(>-=e m ，03)1(<-=e m ，所以)(k m 存在唯一零点)1,21(0∈k所以当),21(0k k ∈时0)(>k m 0)(>⇒k h ，当]1,(0k k ∈时0)(<k m 0)(<⇒k h ，所以)(k h 在),21(0k 递增，在]1,(0k 上递减，又0849)21(>-=eh ，0)1(=h ， 0)(≥∴k h ，即)0()(f k f ≥，所以)(x f 在],0[k 上最大值为3)1()(k e k k f k --=例12.设2)(--=x e x f x，若0>x 时，01)()('>++-x x f k x ，求整数k 的最大值 解：（分类讨论）1)('-=xe xf ，设)0(1)1)((1)()()('>++--=++-=x x e k x x x f k x x g x则x e k x x g )1()('+-=（1）当01≤-k 即1≤k 时，0)('>x g 恒成立)(x g ⇒在),0(+∞递增，0)0()(=>g x g 符合题意（2）当01>-k 即1>k 时，由0)('>x g 1->⇒k x ，所以)(x g 在]1,0(-k 上递减，),1[+∞-k 上递增，1min 1)1()(--+=-=k e k k g x g令)1(1)(1>-+=-k ek k h k ，则01)(1'<-=-k e k h 恒成立)(k h ⇒在),1(+∞上递减又03)2(>-=e h ，04)3(2<-=e h ，故整数k 的最大值为2四、拆分函数当原函数比较复杂时，可适当将函数拆分成几个简单函数，便于处理例13.（2014 全国卷）求证：12ln )(1>+=-xe x e xf x x证明：exe x x e ex x ex x e x f x x x2ln 2ln 1)2(ln 1)(->⇔>+⇔>+⇔>-- 设x x x g ln )(=则由e x x x g 101ln )('>⇒>+=，)(x g 在]1,0(e 上递减，),1[+∞e上递增e e g x g 1)1()(min -==⇒设e xe x h x2)(-=-，则由10)1()('<⇒>-=-x x e x h x ，)(x h 在]1,0(上递增，),1[+∞递减eh x h 1)1()(max -==所以max min )()(x h x g ≥，又)(x g 和)(x h 不能同时取得最值，所以1)()()(>⇒>x f x h x g 例14.（2016山东卷）设212)ln ()(x x x x a x f -+-=，求证：当1=a 时23)()('+>x f x f 对任意的]2,1[∈x 恒成立证明：当1=a 时212ln )(x x x x x f -+-=，32'2211)(xx x x f +--= 23)()('+>x f x f 25312ln 23221122ln 23322+-->-⇔++-->-+-⇔x x x x x x x x x x x x令])2,1[(ln )(∈-=x x x x g ，])2,1[(25312)(23∈+--=x x x x x h1011)('>⇒>-=x xx g ，所以)(x g 在]2,1[上递增，1)1()(min ==g x g由0623)(42'>-+=x x x x h 3119->⇒x ，所以)(x h 在]3119,1[-上递减，]2,3119[-上递增，又21)1(=h ，1)2(=h ，1)2()(max ==∴h x h 故max min )()(x h x g ≥，又 )(x g 和)(x h 不能同时取得最值，故)()(x h x g >成立 所以23)()('+>x f x f 对任意的]2,1[∈x 恒成立 五、等价转化例15.（2013四川高考）设a x e x f x -+=)(，若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使得00))((y y f f =，求a 的取值范围解：]1,1[sin 00-∈=x y ，且0)(≥x f ，00))((y y f f =，所以]1,0[0∈y ，又)(x f 递增，若00)(y y f >，则000)())((y y f y f f >>与00))((y y f f =矛盾 若00)(y y f <，则000)())((y y f y f f <<与00))((y y f f =矛盾所以00)(y y f =，即x x f =)(在]1,0[上有解，即2x x e a x a x e x x -+=⇔=-+ 令])1,0[()(2∈-+=x x x e x g x，则021)('≥-+=x e x g x恒成立，)(x g 在]1,0[上递增 又1)0(=g ，e g =)1(，即)(x g 的值域为],1[e ，],1[e a ∈∴例16.已知函数x x x x f 11ln )(++=，求证：当1>x 时，1ln )(->x xx f 证明：1ln )(->x x x f 即1ln 11ln ->++x x x x x x x x x x x x ln )1(1ln )1(2+>-+-⇔01ln 2<+-⇔xx x 令)1(1ln 2)(>+-=x xx x x g ，则0)1()(22'<--=x x x g 恒成立)(x g ⇒在),1(+∞上递减 0)1()(=<⇒g x g ，即1ln )(->x xx f 六、降次代换例17.已知函数271)(23+++=ax x x x f 有3个零点，求实数a 的取值范围 解：a x x x f ++=23)(2'，则310)31(4<⇒>-=∆a a ，设)('x f 的两个零点分别为)(,2121x x x x <，则3,322121a x x x x =-=+，32023121121ax x a x x +-=⇒=++)(x f ∴在],(1x -∞上递增，],[21x x 上递减，),[2+∞x 上递增273192627132)32(271)(11111121311ax a ax a x a x x ax x x x f -+-=+++-+-=+++= 所以)2731926)(2731926()()(2121ax a a x a x f x f -+--+-=2212212)2731()(243)31(2)926(a x x a x x a -++-+-=1250)512(27)31()2731(3243)31(2)32()926(2222-<⇒<+-=-+⋅-+--==a a a a a a a七、巧妙放缩 利用常见的不等式1ln 11-≤≤-x x x ，1+≥x e x ，ex e x ≥，exx 1ln -≥进行放缩 例18.（2018广州一测）设1ln )(++=x ax x f ，若对任意的0>x ，xxe x f 2)(≤恒成立，求a 的范围解：（放缩法）由1+≥t e t得2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 222=+-++≥+-=+-=+-+xx x x x x e x x xe x x e x x x x所以2)1ln (min 2=+-≤xx ea x例19.求证：32ln 2))(1(<+---x x e x x证明：由1ln -≤x x 及xe x ≤+1得)2)(1()1()1(2))(1(ln 2))(1(----=-+--≤+-----x x e x x x e x x x e x x x x 324141)23(222<+<+--⋅<---e x e e x x例20.求证：12ln 1>+-xe x e x x证明：由exx 1ln -≥及1+≥x e x得12)1(2ln 11>=+-≥+--x e x e ex e x e x e x x x x x 例21.求证：)22(ln 22+-≥-x x e x e xe x证明：原不等式2121)1(2ln 21)1(2ln 2xx x x e x x x xex x --≥-⇔--≥-⇔-- 由1ln -≤x x 得x ex ≥-1，故21)1(2ln 201x x x x e x --≥≥--得证 例22.求证：当1>x 吋，x x x x ln 91)1(923+>++ 证明：先把3x 放缩下，x x x x x x x x x ln 9)1(ln 991)1(91)1(92223+>+>=++>++ 例23.求证：2ln ≥-x e x证明：由1+≥x e x 及1ln -≤x x 得2ln ≥-x e x例24.求证：2)1(ln 1)1(-+<+-+x x xe e ex x x 证明：原不等式)1()]1(ln 1)[1(22-+<+-+⇔e e x x x x对x e 放缩，由1+≥x e x可知只需证)1()1()]1(ln 1)[1(22-++<+-+e x x x x即证0ln 2)1)(1()1(ln 1222>+++⇔++<+----ex e x x x e x x x故只需证0ln 22>++-ex x x ，令2ln 2)(-++=e x x x x f ，则3'03ln )(->⇒>+=e x x x f)(x f ∴在],0(3-e 上递减，在),[3+∞-e 上递增，故0)()(323>-=≥---e e e f x f ，得证例25.证明：当0>x 肘，22>+-xex x 证明：先把2x 放缩掉，由x x x x x x ln 101222≥-≥-⇒≥+-xex x e x x +>+-⇒ln 2令x e x x f +=ln )(，则由e x xe x xf >⇒>-=01)(2'，)(x f 在],0(e 递减，在),[+∞e 递增，所以2)()(=≥e f x f 证毕例26.设0>>a b ，求证：b ab ab a <--<ln ln证明：由基本不等式1ln 11-≤≤-x x x 得1ln 1-<<-aba b b ab ab a b a a a b a b b a a b a b b a b <--<⇒<--<⇒-<-<-⇒ln ln 1ln ln 1ln ln例27.求证：当20<<x 时，6911)1ln(+<-+++x xx x证明：由11)11(2111ln 211)1ln(1ln -++-+<-+++=-+++⇒-≤x x x x x x x x)11(3-+=x ，令)3,1(1∈=+t x ，则只需证0)2()1(5)1(31222<--⇔+-<-t t t t t显然成立，证毕例28.（2004全国2）设x x x g ln )(=，b a <<0，求证：2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+< 证明：ba bb b a a a b a b a b b a a b a g b g a g +++=++-+=+-+2ln2ln 2ln )(ln ln )2(2)()( 由x x 11ln -≥0)21()21(2ln 2ln =+-++-≥+++⇒bba b a b a a b a b b b a a a2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln 22a b b a ba b a b a b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<+++⇒+<+ 例29.求证：2ln 3>-x e x证明：由132)1(32ln 31ln +-=---≥--⇒-≤x e x e x e x x xxx令23)(+-=x e x f x，则由3ln 03)('>⇒>-=x e x f x，)(x f ∴在]3ln ,0(上递减，在),3[ln +∞上递增，所以03ln 34)3(ln )(>-=≥f x f ，所以2ln 3>-x e x11 八、反客为主例30.（2015全国Ⅰ）设)0(ln )(2>-=a x a ex f x ，求证：a a a x f 2ln 2)(+≥ 证明：原不等式等价于02ln 2ln 2≥---a a a x a ex ，转换主元，视a 为主元， 令aa a x a e a g x 2ln 2ln )(2---=，则ex a ex a a g 20)2ln(ln )('>⇒>-= )(a g ∴在]2,0(ex 上递减，在),2[+∞ex 上递增，所以02)2()(2≥-=≥ex e ex g a g x。

函数的单调性与零点的求解函数的单调性和零点的求解在数学中是非常重要的概念和技巧。

单调性描述了一个函数在某个区间内的增减趋势，而求解函数的零点则是求出函数取零的x值。

本文将对函数的单调性和零点的求解进行详细的讨论。

一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域内增减的趋势。

一个函数可以是递增的，也可以是递减的，还可以是常数函数或者不单调的函数。

下面是一些常用的判断函数单调性的方法：1. 导数法：对于连续可导的函数，通过求导可以得到函数的导函数，即函数的变化率。

如果导函数在某个区间内恒正，那么函数在该区间内是递增的；如果导函数在某个区间内恒负，则函数在该区间内是递减的。

2. 增减表法：对于不连续的函数或者无法求导的函数，可以通过增减表来判断函数的单调性。

增减表是一个表格，将函数的定义域分成若干个区间，然后确定每个区间上函数的增减性。

在每个区间内选择一个x值，代入函数中求得函数值，然后观察函数值的增减情况，从而确定函数的单调性。

二、函数零点的求解函数的零点指的是函数取零的x值，即满足函数f(x) = 0的x值。

求解函数的零点在许多数学问题中都是非常重要的：1. 列方程法：对于一元函数，可以通过列方程来求解函数的零点。

将函数等于零的方程列出，然后通过解方程的方法来求得函数的零点。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以将f(x) = 0化为方程x^2 -4x + 3 = 0，然后通过因式分解、配方法或者求根公式等方法解方程，得到函数的零点为x = 1和x = 3。

2. 图像法：对于一元函数，可以通过观察函数的图像来估计函数的零点。

将函数的图像绘制在坐标系中，然后通过观察图像与x轴的交点来估计函数的零点。

这种方法在函数比较简单、对称性较明显的情况下比较有效。

3. 数值解法：对于一些复杂的函数，或者求解精度要求较高的情况，可以使用数值解法来求解函数的零点。

常用的数值解法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。

函数零点问题的4种解题方法一 、 依据概念 化为方程求根对于函数y=f(x)，我们把f(x)=0使的实数x叫做函数y=f(x)的零点，因此，该方法就是将函数的零点问题转化为方程f(x)=0的问题来解答。

二 、由数到形实现零点交点的互化函数y=f(x)的零点，即函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

因此，求函数的零点问题可转化为函数y=f(x)图像与x轴的交点的横坐标，或将方程f(x)=0整理成f1(x)=f2(x)形式，然后在同一直角坐标系下，画出两函数的图像，交点的横坐标即为函数的零点，交点的个数即为函数的零点个数。

注：在解题中，若遇到函数形式复杂难以作图时，则不妨先整理表达式，一般以所涉及的函数能作其图像为整理要求。

接着在同一坐标系下，规范作图，然后确定交点的位置或个数，特别在部分区间上是否存在交点，要细心对待，有时还需计算相关的函数值（函数值的趋势）来确定是否有交点。

三 、依存定理 凭号而论如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时联系不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点存在性定理。

因此，该解题策略就是将函数零点分布问题转化为判断不等式f(a)f(b)<0是否成立。

四、借助单调 确定问题如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时连续不断的一条具有单调性曲线，并且有f(a)f(b) <0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点，即存在唯一的c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点唯一性定理。

因此，该策略解题需要考虑两个条件：条件一是f(a)f (b)<0是否成立；条件二是否具有单调性。

题型一：已知零点个数求参数范围题型二：求零点所在区间题型三：求零点个数。

导数压轴题中函数零点求参问题的分析思路和解题⽅法已知函数有零点(⽅程有根),求参数取值范围常⽤的⽅法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,化为a=g(x)的形式,进⽽转化成求函数最值问题加以解决;
(3)数形结合法:将函数解析式(⽅程)适当变形,转化为图象易得的函数与⼀个含参的函数的差,在同
⼀平⾯直⾓坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象
求解.
经典例题：
的影响,所以多利⽤导数来研究函数的性质,从⽽较为准确地画出函数的草图,进⽽解决零点问题.。

求函数零点的四种解题方法函数零点是数学中一个重要的概念，它是指函数图像上单调递增或单调递减部分的交点，而求解函数零点是数学中的重要问题，它是解决各类物理、化学及建筑等工程问题的重要工具。

本文将介绍求解函数零点的四种解题方法，希望能为读者提供参考。

第一，利用极值的思想求解函数零点。

求函数零点的思路就是，从分析函数的极大值和极小值开始，找出函数零点。

比如，设函数y=f(x)，其中f(x)是定义在x1<x2<x3<x4关于连续的实数上的函数，函数f(x)在区间(x1,x4)上单调递增(递减)，那么函数f(x)在极大值点(最大值点)x2处取得极大值f2，在极小值点(最小值点)x3处取得极小值f3，则可知函数零点处f(x)=0。

第二，根据函数的导数的特性来求解函数零点。

求函数零点的思路就是，分析函数的导数(即导函数)，如果函数的导数在某个点有极值，则在此点上函数图像必定有零点，而且函数图像在此点有拐点，因此可以根据函数的导数求函数零点。

第三，利用二分法求解函数零点。

求函数零点的思路就是，将函数的定义域分为两个部分，再将其中一部分分为两个部分，以此类推，直至求出函数零点。

举个例子，设函数y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，且函数f(x)在区间[a,b]上单调，那么可以先将定义域[a,b]划分为两部分，[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]，其中，区间[a,(a+b)/2]上函数f(x)是单调递增，在区间[(a+b)/2,b]上函数f(x)是单调递减，则可知区间[a,(a+b)/2]上或[(a+b)/2,b]上至少有一个零点，然后将[a,(a+b)/2]或[(a+b)/2,b]二分，重复上述步骤，直至求出函数零点。

第四，用牛顿迭代法求解函数零点。

牛顿迭代法又叫牛顿法，是求函数零点的一种数值及其它迭代方法，用于近似求解函数零点。

它的基本思想是，以待求解函数f(x)的定义域上某一点x0为初始值，取函数f(x)的导函数f′(x)的直线作为近似的函数，用它来逐步近似求函数f(x)的零点。

函数零点的7种问题及解法1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()a．(0,1) b．(1,1.25)c．(1.25,1.75) d．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－，f(2)＝lg 20.答案：d2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()a．0个 b．1个 c．2个 d．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：c3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()a．f(m－1)0b．f(m－1)0c．f(m－1)＝0d．f(m－1)与0的'大小不能确定解析：融合图象极易推论．答案：a4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间就是()a．(－2，－1) b. (－1,0)c. (0,1) d．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选c.答案：c5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点就是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可以解．答案：38．未知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nn*)，则n＝________.解析：根据f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f(x)＝x2x－1，则f(x)在区间(－，＋)上的图象是一条连续不断的曲线．当x＝0时，f(x)＝－10.当x＝1时，f(x)＝10.f(0)f(1)0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足01，且f(x0)＝0，故方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．。

三角函数零点问题解题技巧三角函数是初中数学中最重要的知识点之一。

在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到求三角函数的零点问题。

所谓零点，指的是函数取零值的时候所对应的自变量值。

下面介绍几种常见的求三角函数零点的解题技巧。

技巧一：观察正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期均为360度或2π弧度。

因此，我们可以通过观察正弦函数或余弦函数的周期来推断它的零点。

例如，对于sinx=0的问题，我们可以先看作sin(x+360k)=0，其中k为整数。

如果我们找到一个x值，使得x+360k使得sin(x+360k)=0，则x+360k就是这个函数的一个零点。

同理，对于cosx=0的问题，我们可以先看作cos(x+360k)=0，其中k为整数。

如果我们找到一个x值，使得x+360k使得cos(x+360k)=0，则x+360k就是这个函数的一个零点。

技巧二：观察正切函数、余切函数的周期与奇偶性正切函数和余切函数都是周期为180度或π弧度的函数。

但是，正切函数是奇函数，余切函数是偶函数。

因此，我们在解决tanx=0或cotx=0的问题时，需要分别考虑它们的奇偶性。

对于tanx=0的问题，我们可以先看作tan(x+180k)=0，其中k为整数。

但是由于tanx是奇函数，因此x=0+180k或x=180+180k为它的零点。

对于cotx=0的问题，我们可以先看作cot(x+180k)=0，其中k为整数。

但是由于cotx是偶函数，因此x=90+180k为它的零点。

技巧三：使用三角函数的求根公式在一些特殊情况下，我们可以使用三角函数的求根公式来求解三角函数的零点。

例如，对于sinx=a的问题，我们可以先将其转化为sinx=0.5a的形式，然后利用求根公式得到x=2kπ±arcsin(0.5a)，其中k为整数。

同理，对于cosx=a的问题，我们可以先将其转化为cosx=0.5a的形式，然后利用求根公式得到x=2kπ±arccos(0.5a)，其中k为整数。

专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。

例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。

导数与函数零点问题解题方法归纳导函数零点问题一、方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。

应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程$f'(x)=0$。

若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。

二、解题策略类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点例1】【2020·福建南平期末】已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$1）讨论$f(x)$的单调性；2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有两个零点，求$m$的取值范围。

分析】1）首先求出函数的导函数因式分解为$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。

故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。

②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1<x<-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数。

③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由$f'(x)<0$得$-1<x<-a-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。

综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数；当$a<0$时，$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。

谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。

三法破解函数零点个数问题冯雄德发表时间：2015-11-03T14:39:44.450Z 来源：《教育学文摘》2015年9月总第169期供稿作者：冯雄德[导读] 甘肃省武威第七中学函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点。

在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系◆冯雄德甘肃省武威第七中学733006近几年高考，有关函数零点个数问题的试题层出不穷，对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大，以下举例探讨判断函数零点个数的方法。

解析：选D。

注意到f(-1)×f(0)= ×(-1)＜0，因此函数f(x)在(-1，0)上必有零点。

又f(2)=f(4)=0，因此函数f(x)的零点个数是3。

三、数形结合法即转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。

例5.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )。

A.1B.2C.3D.4解析：选B。

易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|＝=( )x的根的个数函数y1=|log0.5x|与y2=( )x的图象的交点个数。

作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点。

例6.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且x∈ [-1，1]时，f(x)=1-x2，函数g(x)= ，则方程f(x)-g(x)=0在区间[-5，5]上的解的个数为( )。

A．5 B．7 C．8 D．10解析：选C。

依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象，结合图象得，当x∈[-5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)-g(x)=0在区间[-5，5]上的解的个数为8。

函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点。

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

从近几年高考试题看;函数的零点、方程的根的问题是高考的热点;题型主要以选择题、填空题为主;难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．1函数零点的定义对于函数y＝fx x∈D;把使fx＝0成立的实数x叫做函数y＝fx x∈D的零点．2零点存在性定理函数零点的判定若函数y＝fx在闭区间a;b上的图像是连续曲线;并且在区间端点的函数值符号相反;即fa·fb＜0;则在区间a;b内;函数y＝fx至少有一个零点;即相应方程fx＝0在区间a;b内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝fx在区间a;b上的图象是连续不断的一条曲线;并且有fa·fb＜0;那么;函数y＝fx在区间a;b内有零点;即存在c∈a;b;使得fc＝0;这个c 也就是方程fx＝0的根．提醒此定理只能判断出零点存在;不能确定零点的个数．3几个等价关系函数y＝fx有零点方程fx＝0有实数根函数y＝fx的图象与函数y＝0即x 轴有交点．推广：函数y＝fx－gx有零点方程fx－gx＝0有实数根函数y＝fx－gx的图象与y＝0即x轴有交点．推广的变形：函数y＝fx－gx有零点方程fx＝gx有实数根函数y＝fx的图象与y＝gx有交点．1．函数的零点是函数y＝fx与x轴的交点吗是否任意函数都有零点提示：函数的零点不是函数y＝fx与x轴的交点;而是y＝fx与x轴交点的横坐标;也就是说函数的零点不是一个点;而是一个实数；并非任意函数都有零点;只有fx＝0有根的函数y＝fx才有零点．2．若函数y＝fx在区间a;b内有零点;一定有fa·fb<0吗提示：不一定;如图所示;fa·fb>0．3．若函数y＝fx在区间a;b内;有fa·fb<0成立;那么y＝fx在a;b内存在唯一的零点吗提示：不一定;可能有多个．4二次函数y＝ax2＋bx＋c a>0的图象与零点的关系价转化为主要考点;涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．2015·温州十校联考设fx＝ln x＋x－2;则函数fx的零点所在的区间为A．0;1 B．1;2C．2;3 D．3;4解析法一：∵f1＝ln 1＋1－2＝－1＜0;f2＝ln 2＞0;∴f1·f2＜0;∵函数fx＝ln x＋x－2的图象是连续的;∴函数fx的零点所在的区间是1;2．法二：函数fx的零点所在的区间转化为函数gx＝ln x;hx＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围;如图所示;可知fx的零点所在的区间为1;2．答案B2．2015·西安五校联考函数y＝ln x＋1与y＝错误!的图象交点的横坐标所在区间为A．0;1 B．1;2C．2;3 D．3;4解析函数y＝ln x＋1与y＝错误!的图象交点的横坐标;即为函数fx＝ln x＋1－错误!的零点;∵fx在0;＋∞上为增函数;且f1＝ln 2－1＜0;f2＝ln 3－错误!＞0;∴fx的零点所在区间为1;2．答案B3．函数fx＝3x－7＋ln x的零点位于区间n;n＋1n∈N内;则n＝________．解析求函数fx＝3x－7＋ln x的零点;可以大致估算两个相邻自然数的函数值;如f2＝－1＋ln 2;由于ln 2＜ln e＝1;所以f2＜0;f3＝2＋ln 3;由于ln 3＞1;所以f3＞0;所以函数fx的零点位于区间2;3内;故n＝2．答案24．2015·长沙模拟若a＜b＜c;则函数fx＝x－ax－b＋x－bx－c＋x－cx－a的两个零点分别位于区间A．a;b和b;c内B．－∞;a和a;b内C．b;c和c;＋∞内D．－∞;a和c;＋∞内解析本题考查零点的存在性定理．依题意得fa＝a－ba－c＞0;fb＝b－cb－a＜0;fc＝c－bc－a＞0;因此由零点的存在性定理知fx的零点位于区间a;b和b;c内．答案A5．2014·高考湖北卷已知fx是定义在R上的奇函数;当x≥0时;fx＝x2－3x;则函数gx＝fx－x＋3的零点的集合为A．{1;3} B．{－3;－1;1;3}C．{2－错误!;1;3} D．{－2－错误!;1;3}解析令x＜0;则－x＞0;所以fx＝－f－x＝－－x2－3－x＝－x2－3x．求函数gx＝fx－x＋3的零点等价于求方程fx＝－3＋x的解．当x≥0时;x2－3x＝－3＋x;解得x1＝3;x2＝1；当x＜0时;－x2－3x＝－3＋x;解得x3＝－2－错误!．答案D确定函数fx零点所在区间的方法1解方程法：当对应方程fx＝0易解时;可先解方程;再看解得的根是否落在给定区间上．2利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝fx在区间a;b上的图象是否连续;再看是否有fa·fb＜0．若有;则函数y＝fx在区间a;b内必有零点．3数形结合法：通过画函数图象;观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数fx＝错误!－log2x;在下列区间中;包含fx零点的区间是A．0;1 B．1;2 C．2;4 D．4;＋∞解析因为f1＝6－log21＝6＞0;f2＝3－log22＝2＞0;f4＝错误!－log24＝－错误!＜0;所以函数fx的零点所在区间为2;4．答案C2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为A．0;1 B．1;2 C．2;3 D．3;4解析法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数fx＝log3x＋x－3的零点;由于f2＝log32＋2－3＝log32－1<0;f3＝log33＋3－3＝1>0且函数fx在0;＋∞上为单调增函数．∴函数fx的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为2;3．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间;两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为2;3．答案C3．2015·武汉调研设a1;a2;a3均为正数;λ1＜λ2＜λ3;则函数fx＝错误!＋错误!＋错误!的两个零点分别位于区间A．－∞;λ1和λ1;λ2内B．λ1;λ2和λ2;λ3内C．λ2;λ3和λ3;＋∞内D．－∞;λ1和λ3;＋∞内解析本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈λ1;λ2时;函数图象连续;且x→λ1;fx→＋∞;x→λ2;fx→－∞;所以函数fx在λ1;λ2上一定存在零点；同理当x∈λ2;λ3时;函数图象连续;且x→λ2;fx→＋∞;x→λ3;fx→－∞;所以函数fx 在λ2;λ3上一定存在零点;故选B．答案B考向二、判断函数零点个数1．已知函数fx＝错误!满足f0＝1;且f0＋2f－1＝0;那么函数gx＝fx＋x的零点个数为________．解析∵f0＝1;∴c＝1;又∵f0＋2f－1＝0;∴f－1＝－1－b＋1＝－错误!;∴b＝错误!．∴当x＞0时;gx＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时;gx＝－x2＋错误!x＋1;令gx＝0得x＝－错误!或x＝2舍去;综上可知;gx＝fx＋x有2个零点．答案22．2013·高考天津卷函数fx＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A．1 B．2C．3 D．4解析由fx＝2x|log0.5x|－1＝0;可得|log0．5x|＝错误!x．设gx＝|log0.5x|;hx＝错误!x;在同一坐标系下分别画出函数gx;hx的图象;可以发现两个函数图象一定有2个交点;因此函数fx有2个零点．答案B3．2015·高考天津卷已知函数fx＝错误!函数gx＝3－f2－x;则函数y＝fx－gx 的零点个数为A．2 B．3C．4 D．5解析分别画出函数fx;gx的草图;观察发现有2个交点．答案A4．若定义在R上的偶函数fx满足fx＋2＝fx;且当x∈0;1时;fx＝x;则函数y＝fx－log3|x|的零点个数是________．解析由题意知;fx是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝fx及y＝|x|的图象;如下：观察图象可以发现它们有4个交点;即函数y＝fx－log3|x|有4 log3个零点．答案4判断函数零点个数的方法1解方程法：令fx＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点．2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a;b上是连续不断的曲线;且fa·fb＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象;看其交点的个数;其中交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．1．2015·淄博期末函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数是________．解析函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数;即为函数y＝ln x＋1与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln x＋1与y＝x－1的图象;如图;由图可知函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数是2．答案22．若定义在R上的函数fx满足fx＋2＝fx;且x∈－1;1时;fx＝1－x2;函数gx＝错误!则方程fx－gx＝0在区间－5;5上的解的个数为A．5 B．7C．8 D．10解析依题意得;函数fx是以2为周期的函数;在同一坐标系下画出函数y＝fx与函数y＝gx的图象;结合图象得;当x∈－5;5时;它们的图象的公共点共有8个;即方程fx－gx＝0在区间－5;5上的解的个数为8．答案C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．2014·合肥检测若函数fx＝ax2－x－1有且仅有一个零点;则实数a的取值为A．0 B．－错误!C．0或－错误!D．2解析当a＝0时;函数fx＝－x－1为一次函数;则－1是函数的零点;即函数仅有一个零点；当a≠0时;函数fx＝ax2－x－1为二次函数;并且仅有一个零点;则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0;解得a＝－错误!．综上;当a ＝0或a＝－错误!时;函数仅有一个零点．答案C2．2014·洛阳模拟已知方程|x2－a|－x＋2＝0a＞0有两个不等的实数根;则实数a的取值范围是A．0;4 B．4;＋∞C．0;2 D．2;＋∞解析依题意;知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根;即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图;则错误!＞2;即a＞4．答案B3．已知函数fx＝log2x－错误!x;若实数x0是方程fx＝0的解;且0<x1<x0;则fx1的值为A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零解析在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝错误!x的图象;由图象知fx1＜0．答案A4．2014·高考江苏卷已知fx是定义在R上且周期为3的函数;当x∈0;3时;fx ＝错误!．若函数y＝fx－a在区间－3;4上有10个零点互不相同;则实数a的取值范围是________．解析当x∈0;3时;fx＝错误!＝错误!;由fx是周期为3的函数;作出fx在－3;4上的图象;如图．函数y＝fx－a在区间－3;4上有互不相同的10个零点;即函数y＝fx;x∈－3;4与y＝a的图象有10个不同交点;在坐标系中作出函数fx在一个周期内的图象如图;可知当0＜a＜错误!时满足题意．答案错误!5．2015·湖北八校联考已知x∈R;符号x表示不超过x的最大整数;若函数fx＝错误!－ax≠0有且仅有3个零点;则a的取值范围是A．错误!∪错误!B．错误!∪错误!C．错误!∪错误!D．错误!∪错误!解析当0＜x＜1时;fx＝错误!－a＝－a；当1≤x＜2时;fx＝错误!－a＝错误!－a；当2≤x＜3时;fx＝错误!－a＝错误!－a；…．fx＝错误!－a的图象是把y＝错误!的图象进行纵向平移而得到的;画出y＝错误!的图象;如图所示;通过数形结合可知a ∈错误!∪错误!．答案A已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围．2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决．3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．1．2015·莱芜一模已知函数fx＝错误!则函数fx的零点为A．错误!;0 B．－2;0C．错误!D．0解析当x≤1时;由fx＝2x－1＝0;解得x＝0；当x＞1时;由fx＝1＋log2x＝0;解得x＝错误!;又因为x＞1;所以此时方程无解．综上;函数fx的零点只有0．解析D2．已知函数fx＝错误!若函数gx＝fx－m有3个零点;则实数m的取值范围是________．解析画出fx＝错误!的图象;如图．由函数gx＝fx－m有3个零点;结合图象得：0＜m＜1;即m∈0;1．答案0;13．已知函数fx＝错误!有三个不同的零点;则实数a的取值范围是________．解析要使函数fx有三个不同的零点;则当x≤0时;方程2x－a＝0;即2x＝a必有一根;此时0＜a≤1；当x>0时;方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根;即方程x2－3ax＋a ＝0有2个不等正实根;于是错误!∴a＞错误!;故错误!＜a≤1．答案错误!必记结论有关函数零点的结论1若连续不断的函数fx在定义域上是单调函数;则fx至多有一个零点．2连续不断的函数;其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3连续不断的函数图象通过零点时;函数值可能变号;也可能不变号．1．2015·高考安徽卷下列函数中;既是偶函数又存在零点的是A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解析y＝cos x是偶函数;且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数;但不存在零点．答案A2．函数fx＝2x－错误!－a的一个零点在区间1;2内;则实数a的取值范围是A．1;3 B．1;2C．0;3 D．0;2解析由题意知f1·f2＜0;即aa－3＜0;∴0＜a＜3．答案C3．2016·东城期末函数fx＝e x＋错误!x－2的零点所在的区间是A．错误!B．错误!C．1;2 D．2;3解析∵f错误!＝错误!－错误!＜错误!－错误!＜0;f1＝e－错误!＞0;∴零点在区间错误!上．答案B4．2014·昆明三中、玉溪一中统考若函数fx＝3ax＋1－2a在区间－1;1内存在一个零点;则a的取值范围是A．错误!B．－∞;－1∪错误!C．错误!D．－∞;－1解析当a＝0时;fx＝1与x轴无交点;不合题意;所以a≠0；函数fx＝3ax＋1－2a 在区间－1;1内是单调函数;所以f－1·f1＜0;即5a－1a＋1＞0;解得a＜－1或a＞错误!．答案B5．fx是R上的偶函数;fx＋2＝fx;当0≤x≤1时;fx＝x2;则函数y＝fx－|log5x|的零点个数为A．4 B．5 C．8 D．10解析由零点的定义可得fx＝|log5x|;两个函数图象如图;总共有5个交点;所以共有5个零点．答案B6．2014·开封模拟偶函数fx满足fx－1＝fx＋1;且当x∈0;1时;fx＝－x＋1;则关于x的方程fx＝lg x＋1在x∈0;9上解的个数是A．7 B．8 C．9 D．10解析依题意得fx＋2＝fx;所以函数fx是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝fx的图象与y＝lg x＋1的图象如图所示;观察图象可知;这两个函数的图像在区间0;9上的公共点共有9个;因此;当x∈0;9时;方程fx＝lg x＋1的解的个数是9．答案C7．2014·南宁模拟已知函数fx＝ln x＋3x－8的零点x0∈a;b;且b－a＝1;a;b∈N;则a＋b＝________．解析∵f2＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0;f3＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0;且函数fx＝ln x＋3x－8在0;＋∞上为增函数;∴x0∈2;3;即a＝2;b＝3．∴a＋b＝5．答案58．已知函数y＝fx x∈R满足f－x＋2＝f－x;当x∈－1;1时;fx＝|x|;则y＝fx 与y＝log7x的交点的个数为________．解析因为f－x＋2＝f－x;所以y＝fx为周期函数;其周期为2．在同一直角坐标系中;画出函数y＝fx和y＝log7x的图象如图;当x＝7时;f7＝1;log77＝1;故y＝fx与y＝log7x共有6个交点．答案69．若函数y＝fxx∈R 满足fx＋2＝fx且x∈－1;1时;fx＝1－x2；函数gx＝lg|x|;则函数y＝fx与y＝gx的图象在区间－5;5内的交点个数共有________个．解析函数y＝fx以2为周期;y＝gx是偶函数;画出图象可知有8个交点．答案810．2015·高考湖南卷已知函数fx＝错误!若存在实数b;使函数gx＝fx－b有两个零点;则a的取值范围是________．解析令φx＝x3x≤a;hx＝x2x＞a;函数gx＝fx－b有两个零点;即函数y＝fx的图象与直线y＝b有两个交点;结合图象图略可得a＜0或φa＞ha;即a＜0或a3＞a2;解得a＜0或a＞1;故a∈－∞;0∪1;＋∞．答案－∞;0∪1;＋∞1．2014·高考山东卷已知函数fx＝|x－2|＋1;gx＝kx．若方程fx＝gx有两个不相等的实根;则实数k的取值范围是A．错误!B．错误! C．1;2 D．2;＋∞解析先作出函数fx＝|x－2|＋1的图象;如图所示;当直线gx＝kx与直线AB平行时斜率为1;当直线gx＝kx过A点时斜率为错误!;故fx＝gx有两个不相等的实根时;k的范围为错误!．答案B2．若函数fx＝a x－x－aa＞0且a≠1有两个零点;则实数a的取值范围是A．2;＋∞ B．错误! C．1;＋∞ D．0;1解析函数fx＝a x－x－aa＞0且a≠1有两个零点;就是函数y＝a x a＞0且a≠1与函数y＝x＋aa＞0且a≠1的图象有两个交点;由图1知;当0＜a＜1时;两函数的图象只有一个交点;不符合题意；由图2知;当a＞1时;因为函数y＝a x a＞1的图象与y轴交于点0;1;而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点0;1的上方;所以两函数的图象一定有两个交点;所以实数a的取值范围是a＞1．答案C3．2015·高考天津卷已知函数fx＝错误!函数gx＝b－f2－x;其中b∈R．若函数y＝fx－gx恰有4个零点;则b的取值范围是A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!解析函数y＝fx－gx恰有4个零点;即方程fx－gx＝0;即b＝fx＋f2－x有4个不同的实数根;即直线y＝b与函数y＝fx＋f2－x的图象有4个不同的交点．又y＝fx＋f2－x＝错误!作出该函数的图象如图所示;由图可得;当错误!＜b＜2时;直线y＝b与函数y＝fx＋f2－x有4个交点．答案D4．已知函数fx满足fx＋1＝错误!;当x∈0;1时;fx＝x;若在区间－1;1内;函数gx＝fx－mx－m有两个零点;则实数m的取值范围是A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!解析当x∈－1;0时;x＋1∈0;1．因为函数fx＋1＝错误!;所以fx＝错误!－1＝错误!－1＝－错误!.即fx＝错误!函数gx＝fx－mx－m在区间－1;1内有两个零点等价于方程fx＝mx＋1在区间－1;1内有两个根;令y＝mx＋1;在同一坐标系中画出函数y＝fx和y＝mx＋1的部分图象图略;可知当m∈错误!时;函数gx＝fx－mx－m有两个零点．答案A5．2014·高考天津卷已知函数fx＝错误!若函数y＝fx－a|x|恰有4个零点;则实数a的取值范围为________．解析画出函数fx的图象如图所示．函数y＝fx－a|x|有4个零点;即函数y1＝a|x|的图象与函数fx的图象有4个交点根据图象知需a＞0．当a＝2时;函数fx的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a＜2．当y1＝a|x|x≤0与y＝|x2＋5x＋4|相切时;在整个定义域内;fx的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点;此时;由错误!得x2＋5－ax＋4＝0．由Δ＝0得5－a2－16＝0;解得a＝1;或a＝9舍去;则当1＜a＜2时;两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1＜a＜2．答案1;2考向四、二分法1定义：对于在区间a;b上连续不断且fa·fb＜0的函数y＝fx;通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二;使区间的两个端点逐步逼近零点;进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2给定精确度ε;用二分法求函数fx零点近似值的步骤如下：①确定区间a;b;验证fa·fb<0;给定精确度ε；②求区间a;b的中点c；③计算fc；ⅰ若fc＝0;则c就是函数的零点；ⅱ若fa·fc＜0;则令b＝c此时零点x0∈a;c；ⅲ若fc·fb＜0;则令a＝c此时零点x0∈c;b．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε;则得到零点近似值a或b；否则重复②③④．1．教材习题改编下列函数图象与x轴均有交点;其中不能用二分法求图中函数零点的是A B C D解析由图象可知;选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的;故不能用二分法求解．解析C2．教材习题改编用二分法求函数y＝fx在区间2;4上的近似解;验证f2·f4＜0;给定精确度ε＝0.01;取区间2;4的中点x1＝错误!＝3;计算得f2·fx1＜0;则此时零点x0所在的区间为A．2;4 B．3;4C．2;3 D．2．5;3解析∵f2·f4＜0;f2·f3＜0;∴f3·f4＞0;∴零点x0所在的区间为2;3．解析C3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解精确度0.001时;如果我们选取初始区间1.4;1.5;则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析设至少需要计算n次;由题意知错误!＜0．001;即2n＞100;由26＝64;27＝128知n＝7．解析7。

例谈函数零点问题处理的几种方法作者：王世恩来源：《环球市场信息导报》2013年第12期函数零点问题往往以选择、填空题形式出现在近几年的高考试题中，该问题主要考查函数与方程的关系，要求学生能够运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想来解决函数的零点分布或个数问题，该文从以下几个方法来探讨处理函数零点问题的策略。

方法一、直接法人教数学必修1在函数零点这一节中：“方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。

”由此可知，求函数的零点，就是直接求方程的实数根。

例1. （2010年福建卷理4）函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3解：当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。

备注：利用直接法求函数零点，前提是函数的零点，即方程的实数根，是我们能够用代数方法求解的，往往是我们所熟悉的一次、二次、对数、指数等一些初等函数所对应的方程。

方法二、定理法人教数学必修1中的零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根，也就是函数的零点。

零点存在定理告诉我们，如果连续函数在区间端点的函数值异号，那么函数在区间内至少有一根（奇数个根）。

例2.（2010年高考天津卷理科2）函数的零点所在的一个区间是（） A.（-2，-1）B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）解：因为，，所以选B。

例3.“ ”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：若，不妨设则当时，有；当时，有。

将零点存在定理拓展的非正常区间，有，故函数在必有一根。

反之，显然不成立，若，函数可能退化为二次或一次函数，仍然可能有根，故选A备注：零点存在定理虽然是判断零点存在的一个充分条件，但是却定量的刻画了函数零点所在区间，尤其在引入二分法后，用逼近的思想，可以将函数的零点定位在一个长度充分小的区间内。

求函数零点的四种解题方法在代数学中，函数的零点是使得函数值为零的输入值。

求解函数的零点是数学中常见的问题之一、以下将介绍四种常用的方法来求解函数的零点。

方法一：图像法图像法是一种常用的直观方法，在解决函数零点问题时非常有用。

它主要通过绘制函数图像来确定函数零点的位置。

具体步骤如下：1.首先，根据函数的定义确定函数的定义域和值域。

2.使用合适的比例和区间，在坐标轴上绘制函数的图像。

3.根据图像的形状和变化，使用直观的方法估计函数的零点的位置。

4.根据估计的位置，使用更精确的方法来求解函数的零点。

图像法的优点是直观、易于理解，在初步估计函数零点的位置时非常有用。

然而，它对于精确求解函数的零点并不总是有效，需要进一步使用其他方法来提高精度。

方法二：因数分解法因数分解法是一种常见的方法，适用于多项式函数（特别是一次、二次和三次多项式函数）。

它的基本思想是将多项式函数分解为两个或更多个因式相乘的形式，然后根据因式为零的性质来求解函数的零点。

具体步骤如下：1.将多项式函数表示为二项式或多项式的乘积。

2.令每个因式为零，解得每个因式的解。

3.将解代入原多项式函数，验证是否为零点。

因数分解法通常适用于可因式分解的多项式函数。

然而，对于高次多项式函数，因数分解法可能不太实用，因为需要找到合适的因式分解形式。

方法三：代入法代入法是一种常用的方法，适用于无法通过因数分解或图像法求解函数的零点。

具体步骤如下：1.首先，从函数的定义出发，选择一个合适的变量替换，将原函数转化为一个新的函数。

2.将新函数设置为零，并求解变量的值。

3.将求解得到的变量值代回原函数，验证是否为零点。

在实际应用中，选择合适的变量代换往往是关键。

代入法通常适用于复杂函数的求解，但也可能需要使用其他数值或近似方法来解决问题。

方法四：数值法数值法是一类通过数值计算来解决函数零点问题的方法。

它主要通过数值逼近的原理和算法，以迭代的方式逐步求解函数的零点。