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高等数学 多元函数微分法及其应用

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高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

f ( x 0 , y0 + y ) f ( x 0 , y0 ) lim y → 0 y
记为,
z y
f , x = x0 y
y = y0
x = x0 y = y0
, zy
x = x0 y = y0
或 f y ( x 0 , y0 )
偏导函数:
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是 x , y 的函数,它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导函数, 记作 ,
注: 请同学们把上述结果与一元函数导数的 相应结果作一个比较.
有关偏导数的几点说 明: u
1, 偏导数
x
是一个整体记号,不能拆分;
2, 求分段点,不连续点处的偏导数要用 定义求;
例如, 设z = f ( x , y ) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
解
| x 0 | 0 = 0 = f y (0,0). f x (0,0) = lim x → 0 x
y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0 x( x 2 y 2 ) 2 f y ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) , ( x , y ) = (0,0) ( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) . ( x , y ) = ( 0 ,0 )
xy 2 x + y2 例 5 设 f ( x, y) = 0 求 f ( x , y )的偏导数 .
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) ( x , y ) = ( 0 ,0 )

高等数学复习-多元函数微分法及其应用

高等数学复习-多元函数微分法及其应用

高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。

高等数学第八章 多元函数微分法及其应用第五节 隐函数的求导公式8-5

高等数学第八章 多元函数微分法及其应用第五节 隐函数的求导公式8-5
3/16
例１验证 x +y =1 在点(0,1) 的某邻域内唯一确定单值 可导、且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f (x) ，并求其一阶 和二阶导数在 x=0 的值.
2 2 F ( x , y ) x y 1 令 解 则 Fx 2 x, Fy 2 y , F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0, 依 TH1 知， x2+y2=1 在点 (0,1) 某邻域内唯一确定单值可 导、且 x 0 时 y 1 的 y f ( x ) ； dy dy Fx x 0, , dx x 0 dx Fy y
8/16
二、方程组的情形
TH2：设Fi ( x1 , , x n ; y1 , , ym ) ( i 1 , ,m )在
x 直接法 2 x 2zz (*) zx ; x 4z x 0 直接法 2 z 再对* 式两边关于 x 求导，得 2 2 2 1 zx ( 2 z ) x 2zxx 0 , zxx . 1 zx zx zzxx 3 2 z (2 z )
.
对 z f ( x y z, xyz) 两边微分，得 dz f1 d ( x y z ) f 2 d ( xyz) 形式不变 f1 (dx dy dz) f 2 (dx yz x dy z xy dz) f1 yz f 2 f1 xz f 2 dz dx dy 1 f1 xy f 2 1 f 1 xy f 2 z f1 f 2 yz ; 全微分与偏导数 x 1 f1 xy f 2 x y 同理，得 , . y z
x x 0 f1 ( 1) f 2 z( y x) y y x f1 xzf 2 ; y f1 yzf 2 y 1 f 1 xyf 2 同理，得 . z f 1 xzf 2

《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)

《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)

例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)

高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)

故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导

高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分

高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fx (1,2) 2, fy ( x, y) x y ln x,fy (1,2) 0,
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
2020/2/13
线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)


x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
2020/2/13
14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
2020/2/13
20
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1

高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt

高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt

当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故

多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则

高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则

Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐 函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
隐函数存在定理 2 (1)设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数, (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ,(3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ,则 方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域 内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ,它满足条 z0 = f ( x0 , y0 ) , 并有
Fx Fv G x Gv 1 (F ,G ) u , = = Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) = = Gu G x x J ( u, x )
Fu Fv Gu Gv
Fy 1 (F ,G ) u = = Gy y J ( y, v )
Fv Gv
Fu
在 J ≠ 0 的条件下,
u y u v x xu + yv v = = = 2 , 2 x y x x x +y y x x u3;y y x
将所给方程的两边对 y 求导,用同样方法得
u xv yu = 2 , 2 y x + y v xu + yv = 2 . 2 y x +y

高等数学第八章 多元函数微分法及其应用

高等数学第八章 多元函数微分法及其应用

其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,

高等数学课件 同济四版

高等数学课件 同济四版
∂z ∂z 计算公式 dz = dx + dy ∂x ∂y f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) ∂f = lim 6、方向导数 、 ρ ∂l ρ→0 ∂f ∂f ∂f = cos α + sin α 计算公式 ∂l ∂x ∂y ∂f ∂f i+ j 7、梯度 gradf ( x , y , z ) = 、 ∂x ∂y 方向导数取最大值方向， 最大值为 gradf ( x , y ) 意义 方向导数取最大值方向，
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

多元函数的基本概念

多元函数的基本概念

fx
, cos
fy

1
f
2 x

f
2 y

1
f
2 x

f
2 y
cos r
1
1
f
2 x

f
2 y
有 cos2 cos2 cos2 r 1
注意：根号前要取“+”号都取“+”号，表示法线的一个方向。
根号前要取“-? 号都取“-? 号，表示法线的另一个方向。
6. 求多元函数极值
（x-tx00）
y（ty0）0
z z0
（ t0）
法平面方程：（ t0 )(x-x0）+(t0 )(y-y0 ) (z z0 ) 0
若曲线为
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
曲线的切向量为
T

Fy

Gy
Fz , Fz Gz M Gz
Fx , Fx Gx M Gx
Fy
Gy
M

高等数学（XAUAT）
切线：
x x0 Fy Fz
y y0 Fz Fx
z z0 Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面：Fy Gy
Fz Gz
M
x

x0


Fz Gz
Fx Gx
M

y

y0


Fx Gx
高等数学（XAUAT）
c.
如果方程组
F（x，y，u，v）=0 G（x，y，u，v）=0
满足隐函数存
在定理条件则方程组可确定u, v是x, y的函数，这时，
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z
Tx
Ty
M0
z
f (x0, x x0
y)
o
y0
x0
11
z
f (x, y0) y y0
y
x
(x0, y0)
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【5.几何意义】
12
偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截的曲线
在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率 ta.n
【例1】
求lxim0 x2
xy y2
y0
【解】 取路径 y = k x，则
lx i0x m 2x yy 2lx i0(m 1 k k2 2)x x21 k k2,与k有关,故不存在.
y kx
【例2】
计算limln(xey) x1 x2 y2
y0
初等函数.(1,0)定义域 内点.连续. 代入法
【例3】 求 lx i0mx2(yx22 sy2 i)n 3x 22y2 y 0
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x ;
x
y
2z x 2
6xy2,
3 z 6y2, x 3
2 z 2x318x;y y2
2 z 6x2y9y21, 2 z 6录 上页 下页 返回 结束
20
【例 2】设u eax cos by，求二阶偏导数.
【解】
uaeaxcobsy, ubeaxsinby;
x
y
x2u2 a2eaxcobsy, y2u2 b2eaxcobsy,
【例 2】 求 z x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数．
【解】 z 2x3y; z 3x2y.
x
y
z x
x1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
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15
【例 3】设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z. y x ln x y
x y
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )] (u v
z z u z v y u y v y
xyxy
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )] (
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其 z f ( x 0 x , 中 y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) , ( x ) 2 ( y ) 2
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8
2.【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
记作 z x
，f x
，
z
x或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
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9
3.【多元函数的偏导数】 偏导数的概念可以推广到二元以上函数
②z
v
x zzuzv y y uy v y
u x zf fu
y x x ux
③ zf(u ,x ,y) x y
zf f u y y u y
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24
例1. 设 z e u sv i ,u n x y ,v x y ,求 z , z .
解:
z x
z u z v u x v x
x x z x 2z2fx(xx,y),y y z y2z2fy(yx,y)
②［二阶混合偏导数］
y x z x2 zyfx(yx,y), x y z y2 zxfyx (x,y)
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19
【定义式】 f x ( x x ,y ) lx i 0 f x m ( x x , y x ) f x ( x ,y ) 其余类推 fx(y x ,y ) ly i0f m x (x ,y y y ) fx (x ,y )
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5
x2
(1)lim sinx(y) (a0); (2)lim(1 1)x2y2;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1sinxy)xy; x0
x2 y2 (4) lxim x4 y4
y0
y
【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧
【解】 (1)原 式 lim sin x)y (ya x 0 xy
y a x
(2)原 式 li[m 1 (1)x]x2y2e01 x x
y a
1 six ny
(3)原式 li[m 1 (sixn )s yix n]yxye x 0 y 0
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(4) 【法Ⅰ】 原 式 lx i m xx 42 y2 y4xx 22 y2 y20
18
三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类
1. 【高阶偏导数的定义】
(1)若 z
f ( x, y)的一阶偏导数 z x
f
x
(
x
,
y
)，z y
fy(x, y)的
偏导数仍存在，则称它们是函数z f ( x, y)的二阶偏导数.
函数z f ( x, y)的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：
①［二阶纯偏导数］
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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22
(4)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 即混合偏导数与求导次序无关.
【定理】若z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z yx xy
f( x ,y ,z z ) f( x ,y ,z )
f z ( x ,y ,z ) lz 0 im z
.
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10
4. 【偏导数的几何意义】 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z f 曲 ( x ,y ) 上 面 , 如图
25
【例2】设 uxyz,x0,y0,求一阶 . 偏导
【解】
uyzxyz1; x uxyz(ln x)(zyz1); y
uxyz(lx n)yz(ly n) z
【注意】 (xy)zxyz xyz
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26
例3. u f( x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求n u , u x y
0,
x2y20
问 f(x,y)在(点 0,0)处是否？ 连续
【解】
lx im 0f(x,y)lx im 0x2x2yy2
y0
y0
x2y 0x2y2 y0
lim f(x,y)0f(0,0) x 0 y 0
即f(x, y)在 点 (0,0)处 是 连 .续 的
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14
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【例4】 设zx3f(xy,y),(f 具有二阶连续 )，偏 27 导
求z, y
2z y2,
2uabaexsinby, 2uabaexsinby.
xy
yx
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例3. 解:
求函数 zex2y的二阶偏导数及
z ex2y
z 2ex2y
3 y
z x
2
.
21
x
y
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
x z(2,1 )e2, y z(2 ,1 )2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例5. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du ?
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17
作业 p100 同济p62, p69
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【证】 z yxy1, x
z xylnx, y
xz 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z. 原结论成立．【证完】
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16
例4. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
解: z ye xy , x
z xexy y
［连 续］ x l ix0m f(x,y)f(x0,y0) 内含三条，缺一不可 y y0
［可偏导］ f x ( x 0 ,y 0 ) l h 0 if( m x 0 h ,y 0 h ) f( x 0 ,y 0 )包导括数高定阶义偏等 ［可 微］