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结构的几何组成分析

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建筑力学第八章 结构体系的几何组成分析

建筑力学第八章 结构体系的几何组成分析
第八章 结构体系的几何组成分析
第一节 几何组成分析的基本概念 第二节 平面体系的自由度 第三节 几何不变体系的组成规则 第四节 几何组成的分析方法 第五节 体系的几何组成与静定性的关系
第一节 几何组成分析的基本概念
几何组成分析，是以几何不变体系的组成规则为根据，确定体系的几何形状和空 间位置是否稳定的一种分析方法
分析时可针对体系的具体情况，从以下几个方面入手： ①、依次撤除体系上的一元片及二元片，使体系的组成简化，再根据基本组成 规则进行分析 ②尽可能地将体系中几何不变的局部归结为两个或三个刚片，然后考察刚片间 的连接方式是否满足几何不变体系的组成规则； ③体系仅用不共点的三根链杆与地基相连时，可先拆除这三根链杆，再由体系 的内部可变性确定整个体系的几何性质。
解：将图8-13a中的AEC、DFB与基础分别视为刚片I、II、III，刚片I和III以 铰A相联，A铰用(1，3)表示，B铰联系刚片II、III以(2，3)表示，刚片I和 刚片II是用CD、EF两链杆相联，相当于一个虚铰O用(1，2)表示，如图813b所示。则连接三刚片的三个铰(1，3)、(2，3)、(1，2)不在一直线上， 符合规则二，故为不变体系，且无多余约束。
二 、 三刚片规则
三刚片规则：三个刚片用不共线的三个铰两两相连，组成几何不变体系， 且无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余约束。
第三节 几何不变体系的组成规则
常变体系 瞬变体系
瞬变体系是不可以用于工程结构的
第四节 几何组成的分析方法
一、计算体系的自由度W，判别体系是否满足几何不变的必要条件。 若自由度W＞0，体系是几何可变的 若自由度W≤0，在此基础上进一步对体系进行几何组成分析。 二、对体系进行几何组成分析，判别其是否满足几何不变的充分条件。 (1)一元片撤除 (2)二元片撤除 (3)刚片的合成

结构力学(几何组成分析)详解

结构力学(几何组成分析)详解

单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3

Pr



A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回

结构力学 2几何组成分析

结构力学 2几何组成分析

II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变

结构的几何组成分析示例

结构的几何组成分析示例

【例8-5】试对图8-14a 所示体系进行几何组成分析。
图8-14
解：折杆 AB 和 CD 都是以其两端的铰与其他杆件相连接的，可视为直链杆。 如图8-14b所示，若将基础视为刚片Ⅰ， T 形杆 BCE 视为刚片Ⅱ，杆 AB 、CD 和 结点 E 处的支承链杆视为连接刚片Ⅰ、Ⅱ 的约束，三链杆交于一点 O ，不满足规 则 Ⅱ，为几何可变体系。
【例8-3】对图8- 12a 所示体系进行几何组成分析。
图8-12
解：基础与体系本身用三根既不全交于一点也不全平行的链杆相连，符合规 则 Ⅱ，可不考虑基础和支座，只分析体系本身的几何不变性。
如图8-12b 所示，杆 AB 视作刚片Ⅰ，杆 CD 视作刚片Ⅱ，刚片Ⅰ、Ⅱ之间用 四根链杆相连，符合规则Ⅱ，但有一个多余约束，故该体系是几何不变体系，有 一个多余约束。
需要注意的是，若连接基础与体的支承链杆多于三根或不符合规则 Ⅱ 时， 要考虑基础及支承链杆，分析整个体系的几何不变性。
【例8-4】对图8-13a 所示体系进行几何组成分析。
图8-13
解：该体系本身与基础用四根支承链杆相连，所以必须考虑基础及支承链杆， 分析整个体系的几何不变性。
首先，可拆去二元体 D‒C‒G ，如图8-13b 所示。然后，再将基础与杆 AB 组 成的几何不变部分视为刚片 Ⅰ，将铰接三角形 EGH 视为刚片Ⅱ ，杆 FD 视为刚片 Ⅲ ，剩余链杆均视为连接刚片的约束。三个刚片之间分别用两根链杆 ( 或虚铰 ) 两两相连，符合规则 Ⅲ ，故该体系是几何不变体系，且无多余约束。
建筑力学
需要注意的是，三个基本规 则是相互融通的，同一体系有时 可按不同的规则来分析，但分析 结论必定相同。
【例8-1】试对图8-10 所示体系作几何组成分析。

于玲玲结构力学第一章_结构的几何构造分析

于玲玲结构力学第一章_结构的几何构造分析

（2）图 b
刚片 I、II 和 I、III 分别由无穷远处的瞬铰 A、B 相连，由于点 A 和点 B 为同方向的无穷远点，根
据结论（1），两点其实是一点，因此该点与连接刚片 II、III 的铰 C 共线，三点共线，所以该体系为几何
瞬变体系。
（3）图 c
显然为几何常变体系。
（4）图 d
刚片 I、II、III 分别由铰 C 和无穷远处的瞬铰 A、B 相连，由于 A、B 不同方向，所以其连线是一条
(a)
A
(b) A
B
(c)
B
(d)
A
B
C
C
A
B
C
C
(a) E
C
A
D
图 1-5 B
(b) E
C
A
DB
图 1-6
注意：二元体的三个结点都必须是铰接，如图 1-6，b 图中的 CEB 部分是二元体，而 a 图中的 CEB
2
部分不是二元体，区别仅在于 C 结点的连接方式不同。 去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的周边开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从
结点 F、G、H、I、J 用 10 根链杆分别连于基础和刚片，约束数为 10，因此，
W=1×3＋2×5－6－10=－3
2、由计算自由度得出的结论
（1）若 W > 0，则体系缺乏必要约束，是几何常变的。注意：若所分析的体系没有与基础相连，应
将计算出的 W 减去 3，如果仍大于零，才可判断体系为几何常变，否则不是几何常变，详见例 1－3。
刚片，因此铰 O 不是瞬铰；而 b 图中的铰 O 是瞬铰，因为刚片 I、II 和链杆 3 组成一更大的刚片 IV，即
杆 1 和 2 连接的都是刚片 III 和 IV，因此铰 O 是瞬铰。

第一章 结构的几何构造分析

第一章 结构的几何构造分析

（2）体系中约束的布置方式要合理。
17
结构的几何构造分析
二 平面几何不变体系的基本组成规则 1、三刚片规则
三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，组成的体系 是几何不变体系，且无多余约束。
2、二刚片规则
两个刚片用三根不完全平行也不交于一同一点的链杆相联， 组成的体系是几何不变体系，且无多余约束。
在对结构进行分析计算前，首先分析体系的几何组成，以确 定其几何不变性，只有几何不变体系才能作为工程结构应用，
因此，几何构造分析的目的为：
1 判别体系是否为几何不变体系，从而决定能否 作为结构应用。
2 掌握几何不变体系的组成规则，便于设计出合理 的结构形式。 3 用以区分体系为静定结构或超静定结构，从而决 2 定采用不同的计算方法。
15
结构的几何构造分析
§1-6 平面几何不变体系的基本组成规则
一 平面几何不变体系应满足的条件 1 计算体系的自由度（或可变度），能否判断体系为几何不 变体系？ 平面体系计算自由度（可变度）的计算结果，可能有以下三 种情况： （1）W 0 ，表明体系缺少足够的约束，体系肯定为几何 可变体系。 （2）W 0 ，表明体系具有成为几何不所需的最少约束数 目，此时体系可能为几何不变体系，也可能为几何可变体 系。
5
结构的几何构造分析
约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
y x A
y

B A
2 1
o
x
o
x
6
结构的几何构造分析
⑵ 单铰：
连接两个刚片的铰称为单铰 。 一个单铰相当于两个 约束。
y
x 1 Ⅰ
A
2 Ⅱ y
o

结构的几何组成分析


结构失稳的类型和原因
01
弹性失稳
当结构受到的荷载超过其弹性极限时，会发生弹性失稳。此时，结构的
变形迅速增大，导致结构无法继续承载荷载。
02
塑性失稳
塑性失稳发生在结构进入塑性阶段后，由于塑性变形累积导致结构失去
稳定性。塑性失稳通常伴随着结构的破坏。
03
动力失稳
动力失稳是由于结构在动荷载作用下产生的振动效应导致的。当结构的
几何组成分析的基本原理
01
02
03
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提 下，体系的形状和位置都 不会发生改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提 下，体系的形状或位置可 以发生改变。
自由度
描述体系运动可能性的数 量，即体系运动所需要的 独立参数的数目。
平面体系的几何组成分析
二元体规则
两个刚片用一个铰和一个 不通过该铰的链杆相连接， 构成无多余约束的几何不 变体系。
在机械工程中的应用
机构设计
01
机械工程师可以利用几何组成原理，设计出具有特定运动规律
和动力性能的机构。
机器人运动规划
02
在机器人技术中，通过几何组成分析可以规划机器人的运动轨
迹和姿态，实现机器人的精确控制和操作。
精密制造
03
在精密制造领域，利用几何组成原理可以提高加工精度和产品
质量，降低制造成本和提高生产效率。
加强构件连接
加强构件之间的连接可以提高结构的整体刚度，减少变形 ，从而提高稳定性。例如，采用刚性连接、增加连接件的 数量和强度等。
采用新材料和新技术
新材料和新技术的应用可以改善结构的受力性能，提高其 稳定性。例如，采用高强度材料、应用先进的施工技术等 。

结构的几何组成分析概述

图8-1
1.2 几何组成分析的目的
因只有几何不变体系才能作为工程结构使用，所以，在设计结构或选取 计算简图时，应把所有的杆件都假想地看成不变形的刚体，分析研究体系的几 何性质，判别其是否几何可变，这种判别工作称为体系的几何组成分析。本书 只讨论平面体系的几何组成分析。
对体系进行几何组成分析有如下目的：
反之，在受到荷载作用后不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可 变体系。土建工程中的结构应能在使用过程中保持其自身的几何形状和位置不 变，以安全地承受荷载，因而必须是几何不变体系。
如图8-1a 所示的杆件体系，在受到荷载作用后，其几何形状和位置是不 会改变的，是几何不变体系，能作为结构使用；但如果把该体系中的斜杆 BC 撤去，如图8-1b 所示，在受载后体系将因各杆产生相对运动而倾倒，成为几 何可变体系，因而不能作为结构使用。
建筑力学
结构的几何组成分析概述
1.1 几何不变体系、几何可变体系的概念
杆系结构是由若干个杆件相互连接而形成的体系，用来安全地承受荷载 的作用。但并不是所有由杆件连接而形成的体系都能安全地承受荷载作用的， 只有组成体系的所有杆件按照一定的组成规则连接起来，才能在荷载作用下维 持其原有的几何形状和位置不变，能作为结构使用，我们把这种在受到荷载作 用后能保持原有几何形状和位置不变的体系称为几何不变体系。
如图8-5 所示，刚片Ⅰ用两根不共线的链杆AC 、BD 连 接到基础上，刚片Ⅰ相对基础发生微小移动时，相当于刚片 Ⅰ绕两链杆延长线的交点 O 转动，交点 O 称为瞬时转动中 心。这表明两根不共线链杆的约束作用相当于一个单铰，该 铰位于瞬时转动中心上，称为瞬铰，也称为虚铰。
图8-4c 图8-5
(4) 刚性约束 刚性约束即刚结点或固定支座约束，一个刚结点相当于三个约束，能减少三 个自由度。

结构力学第二章结构的几何组成分析

结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'

结构力学第二章结构的几何组成分析


链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
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（4）各有限点都不在∞线上。
§2.3 几何不变无多余约束的平面杆
件体系的几何组成规则
上节回顾
只有几何不变体系才能作为结构使用。
对于结构工程而言，几何组成分析的主要目的是判断杆件体 系是否几何不变体系，确保它能作为结构使用。
若干概念：自由度、计算自由度、几何不变体系、几何可变体 系、瞬变体系、刚片、约束、多余约束、瞬铰（虚铰）等。
3
A 1
定义
二元体：
两根不共线的链杆通过铰连接而构成的体系。
2
B
增减二元体对 体系的几何性 质没有影响！
(a)
(b)
(c)
(d )
(e)
3 规则2——两刚片规则
平面内两个刚片之间用一个铰和 一根链杆相连，若铰和链杆不共 线，则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
两刚片规则的另一种形式：
平面内两个刚片之间用三根 链杆相连，若三根链杆既不 交于一点，也不互相平行， 则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
问题
几何不变体系有什么特 点？几何不变体系有什 么组成规律？分析的方 法和途径是什么？
一、平面几何不变体系的基本组成规则
1 基本规则——铰接三角形规则
C
3
2
A
1
B
平面内三根杆用三个铰两两相连，若三铰不共线，则构成几何不 变体系，且没有多余约束。
2 规则1——二元体规则
C
平面内一个刚片和两根链杆之间 用三个铰两两相连，若三铰不共 线，则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
（1）平面内1个点——2个自由度：x、y （2）平面内1个刚体——3个自由度：x、y、θ
4、约束——减少体系运动自由度的因素。 *简单约束：能减少一个自由度的约束
（1）1根链杆=1个简单约束。
（2）1个单铰=2个简单约束。
（3）1个单刚结点=3个简单约束。 （4）1个定向连接=2个简单约束。
（5）1个连接n根杆的复铰=（n-1）个 单铰。 （6）1个连接n根杆的复刚结点=（n-1） 个单刚结点。
C
3
2
A
1
B
2、几何可变体系——忽略材料应变， 位置和形状可以改变的体系。
（1）几何常变体系——位置和形状总是可以 改变的体系。 （2）几何瞬变体系——位置和形状稍微改变 后能成为几何不变体系的体系。
§2.2 自由度和约束的概念
（运动）自由度——体系独立的运动形式 （可以独立改变的坐标数目）。
2
7
10
8
9
13
2. 合理进行等效变换，确定刚片与约束
将已知为几何不变的部分视为刚片I、II、III；两 刚片之间的两根链杆视为虚铰。
1
2
3
A
7
3. 选择合适的规则进行解释
满足三刚片规则。
4. 准确地描述结论：
（1）是几何不变体系； （2）没有多余约束。
6 4 刚片I
10 8
刚片II
5
9
刚片III11源自简例Ⅰ(Ⅰ,Ⅱ)
Ⅱ
(Ⅰ,Ⅲ)
(Ⅱ, Ⅲ)
Ⅲ
运用规则
不变,无多
不断扩大刚片并运用规则
不变,无多
二、几何分析的步骤
• 1 定刚片，找约束；——灵活 • 2 套规则；——相对灵活 • 3 出结论：——格式固定 • 两个要素： • （1）是否几何不变体系； • （2）多余约束的数目。 • 注意用图形“说话”。
二、例题
A
例1
A
B
刚片2 B
C
D
C 刚片3 D
刚片1
解：取图示刚片，刚片1与刚片2以一个铰和一根链杆 连接构成无多余约束的几何不变体系，此大刚片与 刚片3以三根既不互相平行也不交于一点的链杆连接， 故原体系为几何不变体系，没有多余约束
例2
A
刚片1 A
B
CD
E
刚片2
B
CD
E
解：AB与基础以不交于一点的一个铰和一根链杆相连，构 成无多余约束的几何不变体系，视为刚片1，刚片1与杆 CDE以三根既不互相平行也不交于一点的链杆相连，故 原体系为几何不变体系，没有多余约束
例3 C
G
D
E
E
F
H
F H
A
B
A
B
解：EFAB部分为有一个多余约束的几何不变体系，加入二 元体CEG-GDF后仍构成几何不变体系，与基础按两刚片 规则构成，故体系为有一个多余约束的几何不变体系。
例4
C
D
刚片2
C
D
刚片3
EF
EF
A
BA
B
刚片1
解：取图示3刚片，分别以实铰A、B以及水平方向无穷远 的虚铰连接，三铰共线，故体系为几何可变体系（瞬变 体系）。
例5
C D
E
A B
解：基础依次叠加二元体AE-EB,ED-EC，故体系为几何不 变体系，有2个多余约束。
例6
A
C
D
E
F
1 A
刚片2 E
B
C
刚片3
2 D
F
B 刚片1
解：取图示3刚片，由不共线的三个铰连接，构成几何不 变体系，没有多余约束。
例7
1
刚片1
3
刚片2
刚片3
2
解：取图示三刚片，以三铰相连，三铰共线，故为几何可 变体系。
三、例题 例2
C
1
D
2
3
D
45
7
8
6
A
9 E 10 F 11 G 12 B
W=2j-b＝2×8－15＝1-----视为铰接体系 W= 3m-(3g+2j+b) ＝3×12－(2×16 +3)＝1-----视为刚片体系
三、例题 例3
视为刚片体系
W= 3m-(3g+2j+b) ＝3×5-(2×4+7)＝0
问题
如何对杆件体系进行几何组成
分析？分析结果如何表达？
几何不变体系组成规则——三角形基本规律 —— 无多余联系的几何不变体系
两 刚 片
三 刚 片
二 元 体
二 元 体
三个规则
➢ 三刚片规则： 三个刚片用不在同一直线上的三 个单铰两两相连，组成无多余联系的几何不变体系。
➢ 二刚片规则： 两个刚片用一个铰和一根不通过此 铰的链杆相连，组成无多余联系的几何不变体系。
二、公式
1、 刚片体系公式
W=3m-(3g+2j+b)
其中m为体系内刚片数目；g为单刚结点数目，j为单铰数目；b为单链杆数目
2、 铰接体系公式
W=2j-b
其中j为体系内铰结点数目；b为体系内单链杆数目
a
三、例题 例1
D
1 2 E 3 F4
5 67
9
10
C 8
A
G
H
11
12
B
a
a
a
a
a
W= 2j-b ＝2×8-16＝0
§2.1 几何组成分析目的、几何不变体系和 几何可变体系
几何组成分析目的
1、判断体系是否几何可变——只有几 何不变体系才能作为结构使用。
2、判断几何不变体系中的多余约束数 目——区分静定结构与超静定结构，选 择适当的解法。
几个基本概念
• 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
1、几何不变体系——忽略材料应变， 位置和形状不能改变的体系。
FB
杆件结构根据计算特点分为两类
静定结构：所有内力、反力仅由平衡条件即可唯一确定。
超静定结构：所有内力、反力仅由平衡条件不能唯一确定。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变 瞬变
关系如何？
基本规则之间的关系
C
3
2
C
3
2
A
1
B
A
B
1
C
C
3
2
A
B
1
3
A 1
2 B
3 A
B
C 2
二、基本规则的应用——几何分析实例
例1 试对右图所示杆件体系进行几何组成分析
解： 1. 部分拆除，简化分析对象
拆除对于体系中不影响几何不变分析的二元体、与 基础之间三根不平行、不共点的链杆。
1
3 6 4 5 12 11
思考：为什么计算自由度不能区分几何不变体系？
计算自由度不能反映 约束的分布情况！
（1）W>0，体系必然几何可变(约束数目)； （2）几何不变体系必然 W<=0；
W<=0，体系不一定几何不变。
§2.6 结构的几何组成和静定性的关系
FAx FAy
FAx FAy
F
不变,无多 静定结构
FB
F FC
不变,有多 超静定结构
§2 结构的几何组成分析
本章内容包括：
1. 几何组成分析的目的、几何不变体系和几何可变体系 2. 自由度和约束的概念 3. 几何不变无多余约束的平面杆件体系的几何组成规则 4. 几何组成分析举例 5. 体系的计算自由度数公式 6. 结构的几何组成和静定性的关系
重点和难点：
1. 几何组成规则和分析举例 2. 结构的几何组成和静定性的关系
例8
刚片1
1 刚片2
刚片3
2
3
解：取图示3刚片，以不共线的三铰相连，故为几何不变 体系，没有多余约束。
例9
A
D
C
E
F
B
刚片2
1
刚片3 刚片1