09平面波的反射与透射

U 3 A 3 s in (t f3 x g 3 y 2 ) u 3 U 3sin2 ,v 3 U 3c o s2
代入边界条件可以得到：
[ x ]x0
t
2
u x
x0
0
[ xy ]x0
uyΒιβλιοθήκη v xx00
[ xy ]x0
u z
w x x0
0自 然 满 足
12
整理可以得到：
P1入射纵波
P1S1反射横波
P11反射纵波
5
设一平面纵波与x轴夹角为α1的方向入射到自由界面； 设入射纵波中质点的位移函数（即波动方程的解）为：
2U t2
Vp2
2U r2
U U 1 U 2 f1 ( r V p t) f2 ( r V p t)
U 1A 1sin(txcos1V pysin1)
0自 然 满 足
在此波动中，质点的位移函数与z无关，且位移在z方向的分量8 w=0
因为在自由界面上既有入射波带来的位移，又有反射 波带来的位移。所以在假定只有反射纵波的时候，有
uu1u2;vv1v2
U 1A 1sin (tf1 xg 1y) U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )
u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1 u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
代入边界条件可以得到：
A1(2cos21)cos(tg1y) A2(2cos22)cos(tg2y1)0 Vp[A1sin21cos(tg1y)A2sin22cos(tg2y1)]0
A1 Vp
(
2
cos2
1)
cos(
t
g1
y)
A2 Vp
(
2
cos2
2)
cos( t
g2
y
1)
A3 Vs
(
sin
22)
cos( t
g3
y
2
)
0
A1 Vp
sin
2 1
cos( t
g1 y )
A2 Vp
sin
2
2
cos( t
g2
y
1)
A3 Vs
cos
22
cos(
t
g3
y
2
)
0
13
由此可以得到:
一、
9
对于y的任意值，为了使第一式得到满足，必须有
(1)g1g2(即 11); (2)10,A 1A2或 1,A 1A2
上面两式是等价的，说明经过自由界面的反射，位移的位相 改变了π，但是将其代入第二式却不能使第二式得到满足。 于是我们可以知道仅有一反射的纵波，是不能同时满足边界 上无正应力和无剪应力的边界条件的。 现在我们证明还有一反射的横波，入射纵波、反射纵波、反 射横波代入可以同时满足边界上的边界条件。
1
地震P波(纵波)和S波(横波)运行时弹性岩石运动的形态
2
3
纵波：间隔形成压缩带（密集带）和膨胀带（稀疏带），传播 方向与振动方向一致，波速―― Vp 横波：传播方向与振动方向相垂直，波速――Vs
水平面内分量：称SH波 垂直面内分量：称SV波
4
§9-1平面波在自由界面上的反射
一、平面纵波在自由界面上的反射
形变传播时，两部分的传播速度不同。在震源附近，两部分还未分开， 所以波经过处的形变是复杂的。在较远的地方，波阵面就分成两个。胀缩波 传播较快，波阵面上的质点位移和传播方向一致，所以叫做纵波，一般用字 母P表示。较慢的叫畸变波,质点位移和传播方向垂直，所以叫做横波,一般 用字母S表示。在均匀的介质中，波阵面在震源附近是曲面，但在相当距离 后就趋近于平面。为简单起见，现只讨论平面波。
改写为 U 1A 1sin (tf1 xg 1y)
f1cVops1;g1sVinp1
6
设入射波为拉伸波，即质点的运动方向与波的前进方 向相反，于是可以知道在入射波中质点的位移分量为：
u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1
假设与自由界面作用后，只有纵波反射，且反射纵波
的位移函数为：
10
设反射横波的传播方向与x轴的夹角为β2，相应于此波质点 的位移函数为：
U 3 A 3 s in (t f3 x g 3 y 2 )
f3cV oss2;g3sV ins2
考虑到横波中质点的位移与传播方向垂直，且假定z方向无 运动，因此振动必然发生在oxy平面内，这样，在次波动中质 点的位移分量为：
7
问题：确定反射波的各参数
方法：由边界条件可以确定
边界条件：在自由界面上位移不受任何限制，即应力等于零；
即在x=0的平面上，对于y与t的任意值有
x xy xz 0
由广义胡克定理和几何方程可以得到：
[
]x x0
t
2
u x
x0
0
[
]xy x0
u
y
v x
x0
0
[
]xy x0
u z
w x x0
第九章 平面波的反射与透射
在无限弹性介质中有无旋波（纵波）和等容波（横波）这两种弹性波 的传播。
但是实际介质内部，一般都会存在分界面。如地表表面、岩层的分界 面。
通常把实际地层称为层状介质。本章研究弹性波在传播的过程中遇到 分界面的情况
纵波和横波 地震波到达之处,介质就产生形变。由力学定律知道，任何 小的形变都可以分解为两部分：一部分表示胀缩，即变体积而不变形状；另 一部分表示畸变，即变形状而不变体积。
U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )
f2
cV ops2;g2
sin2
Vp
F2前面的负号原因：反射波相对于x轴而言，是正向传播。
δ1为常数，表示由反射所引起的相位改变。
仍假设反射波为拉伸波，在此波动中质点的位移分量为：
u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
u 3 U 3sin2 ,v 3 U 3c o s2
11
入射纵波、反射纵波、反射横波同时存在，在自由界面上 质点的位移分量为：
u u 1 u 2 u 3 ;v v 1 v 2 v 3
U 1A 1sin (tf1 xg 1y) u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1
U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
设半无限弹性介质的自由表面为yoz面，z轴与图面垂直。 假定yoz面的左边为真空，由于没有传播振动的介质，故不会 产生透射问题，全部入射波都在界面上被反射。
因为地表面可以近似的看作为自由界面，任意平面波又 可以用频谱分析的方法分解为许多简谐平面波的线性叠加， 于是我们现在讨论简谐平面波在自由界面上的反射就可以了 。