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第二讲整式及其运算命题1 列代数式及代数式求值类型一列代数式1．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。
故选：D．2．（2021•青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（）A．x+y B．10xy C．10（x+y）D．10x+y【解答】解：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，这个两位数10x+y．故选：D．类型二列代数式求值3．（2021•自贡）已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【解答】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，∴x2﹣3x＝12．原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．故选：B．4．（2021•黔西南州）已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝．【解答】解：∵2a﹣5b＝3，∴2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b）＝2+2×3＝8，故答案为：8．5．（2020•黔西南州）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为．【解答】解：当x＝625时，x＝125，当x＝125时，x＝25，当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，…依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，所以输出的结果是1，故答案为：1命题点2 整式的有关概念及运算类型一整式的有关概念4．（2021•上海）下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【解答】解：A、字母a、b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2020•日照）单项式﹣3ab的系数是（）A．3B．﹣3C．3a D．﹣3a 【解答】解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．故选：B类型二整式的运算6．（2021•丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．7．（2021•淮安）计算（x5）2的结果是（）A．x3B．x7C．x10D．x25【解答】解：（x5）2＝x5×2＝x10．故选：C．8．（2021•新疆）下列运算正确的是（）A．2x2+3x2＝5x2B．x2•x4＝x8C．x6÷x2＝x3D．（xy2）2＝xy4【解答】解：A．2x2+3x2＝5x2,故此选项符合题意；B．x2•x4＝x6,故此选项不合题意；C．x6÷x2＝x4,故此选项不合题意；D．（xy2）2＝x2y4,故此选项不合题意；故选：A．9．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．10．（2020•宁夏）下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a【解答】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；C、，所以C错误；D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；11．（2021•青海）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n＝．【解答】解：根据同类项的定义得：，∴，∴m+n＝2+1＝3，故答案为：3．故选：D．类型三乘法公式的应用及几何背景12．（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24B．48C．12D．2【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．13．（2019•枣庄）若m﹣＝3，则m2+＝．【解答】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．14．（2020•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【解答】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．类型四整式的化简及求值考向1 整式的化简15．（2021•衡阳）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy＝3x2．考向2 整式的化简求值16．（2021•吉林）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）＝x2﹣4﹣x2+x＝x﹣4，当x＝时，原式＝﹣4＝﹣3．17．（2020•梧州）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中+|y+2|＝0．【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，∵+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0且y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18．18．（2020•广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2＝2xy，当x＝，y＝时，原式＝2××＝2．19．（2020•北京）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．命题点3 因式分解及其应用20．（2020•柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣b2B．﹣a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2【解答】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A．21．（2021•兰州）因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故选：C．22．（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（）A．2x（x﹣1）2B．2x（x+1）2C．x（2x﹣1）2D．x（2x+1）2【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）＝2x（x﹣1）2．故选：A．23．（2019•沈阳）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy），＝﹣（x﹣2y）2．24．（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，故答案为：36．命题点4 规律套索题类型一数式规律25．（2021•济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝，故选：D．26．（2021•嘉峪关）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是．【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．故答案为:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．类型二图形规律27．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．28．（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是．【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：第一个图形：12+0，第二个图形：22+1，第三个图形：32+2，第四个图形：42+3，•，第n个图形：n2+n﹣1．故答案为：n2+n﹣1．29．（2020•柳州）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形．第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，故答案为：11．30．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．【解答】解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．。
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2017年中考数学一轮复习第2讲《整式》【考点解析】１. 代数式及相关问题【例题】. (2０16·重庆市A卷）若a=２，b=﹣1,则a+2b＋3的值为( )A．﹣1ﻩB．3 C．６ﻩD.５【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果.【解答】解：当a=2,b=﹣1时,原式=2﹣2+３=３，故选B ﻩﻩ【点评】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式】(２015·湖州市）当ｘ=1时,代数式4−３x的值是( ）A. １B。
2 ﻩC. 3 D. 4【分析】把x的值代入代数式进行计算即可得解。
【解析】把x＝1代入代数式４−3x即可得原式＝4－3=１.故选A。
【点评】代入正确计算即可．２。
幂的运算【例题】（20１６海南）下列计算中，正确的是( ）A.(a３）4=ａ12Ｂ．a3•a5=a１５Ｃ．a２＋ａ2=a4D.a6÷ａ2=a3【考点】同底数幂的除法;合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方.【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解:A、(ａ３）4＝a3×4=a1２,故A正确;B、ａ3•a5=a３+5=a8,故B错误；C、a2+a2=2a２,故C错误;D、a6÷a2=a6﹣2=a4,故D错误；故选：Ａ．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【变式】（2016·重庆市B卷)计算（x2ｙ)3的结果是（)A.ｘ6y３B.ｘ5ｙ３C.ｘ５yD.x２y3【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解.【解答】(x２y）3=（x2)３y3=x6y3，故选A．【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.3。
2023中考数学真题汇编·02整式及其运算一、单选题1.（2023·四川乐山）计算：2a a （）A ．a B ．aC ．3aD ．12.（2023·湖南）计算： 23a （）A ．5aB ．23a C ．26a D ．29a 3.（2023·江西）计算 322m 的结果为（）A ．68m B ．66m C ．62m D ．52m 4.（2023·江苏苏州）下列运算正确的是（）A ．32a a aB ．325a a a C ．321a a D ． 23a a5.（2023·云南）下列计算正确的是（）A ．236a a aB ．22(3)6a a C ．632a a a D ．22232a a a 6.（2023·湖北宜昌）下列运算正确的是（）．A ．4322x x xB ． 437x x C ．437x x x D ．3412x x x 7.（2023·浙江宁波）下列计算正确的是()A ．23x x xB ．632x x x C ． 437x x D ．347x x x 8.（2023·湖北荆州）下列各式运算正确的是（）A ．23232332a b a b a bB ．236a a aC ．623a a aD ． 325a a 9.（2023·四川眉山）下列运算中，正确的是（）A ．3232a a aB ． 222a b a b C ．322a b a aD ． 2242a b a b 10.（2023·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（）A ．23a a a B ．623a a a C ．33a a D ．222()a b a b 11.（2023·上海）下列运算正确的是（）A ．523a a a B ．336a a a C ． 235a a D a12.（2023·浙江绍兴）下列计算正确的是（）A ．623a a a B ．52a a C ． 2111a a a D ．22(1)1a a 13.（2023·内蒙古赤峰）下列运算正确的是（）A ． 22346a b a b B ．321ab ab C ．34()a a a D ．222()a b a b 14.（2023·浙江台州）下列运算正确的是（）．A ． 2122a aB ． 222a b a b C ．2325a a a D ． 22ab ab 15.（2023·四川）下列计算正确的是()A ．22ab a bB ．236a a a C ．233ab a aD ．222()()4a a a 16.（2023·黑龙江）下列运算正确的是（）A ．22(2)4a a B ．222()a b a b C ． 2224m m m D ． 257a a 17.（2023·湖南常德）若2340a a ，则2263a a ()A ．5B ．1C ．1D ．018.（2023·内蒙古赤峰）已知2230a a ，则2(23)(23)(21)a a a 的值是（）A ．6B ．5C ．3D ．419.（2023·浙江温州）化简43()a a 的结果是（）A ．12a B ．12a C ．7a D ．7a 20.（2023·新疆）计算2432a ab ab 的结果是（）A ．6aB ．6abC ．26a D ．226a b 21.（2023·甘肃武威）计算： 22a a a （）A ．2B ．2a C ．22a a D ．22a a22.（2023·江苏扬州）若23( )22a b a b ，则括号内应填的单项式是()A ．aB ．2aC ．abD ．2ab23.（2023·湖南）计算2312x的结果正确的是（）A ．6x B ．614xC ．514x D ．9x 24.（2023·内蒙古）下列各式计算结果为5a 的是（）A ．23a B ．102a a C ．4a a D ．15(1)a 25.（2023·全国）下列算式中，结果等于5a 的是（）A ．23a aB ．23a aC ．23()aD ．102a a 二、填空题26.（2023·河南）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．27.（2023·湖南永州）22a 与4ab 的公因式为________．28.（2023·天津）计算 22xy 的结果为________．29.（2023·全国）计算：(3)a b _________．30.（2023·湖北十堰）若3x y ，2y ，则22x y xy 的值是___________________．31.（2023·广东深圳）已知实数a ，b ，满足6a b ，7ab ，则22a b ab 的值为______．三、解答题32.（2023·湖南）先化简，再求值： 233(3)a b a b a b ，其中13,3a b．【参考答案与解析】1.【答案】A【解析】解：2a a a ，故A 正确．故选：A ．2.【答案】D【解析】解： 2239a a ．故选：D.3.【答案】A【解析】解： 32628m m ，故选：A ．4.【答案】B【解析】解：3a 与2a 不是同类项，不能合并，故A 选项错误；33522a a a a ，故B 选项正确；32a a a ，故C 选项错误；236a a ，故D 选项错误；故选：B ．5.【答案】D【解析】解：52233a a a a ，故A 错误；2222(3)39a a a ，故B 错误；63633a a a a ，故C 错误； 22223312a a a a ，故D 正确．故选：D ．6.【答案】A【解析】解：A.4322x x x ，计算正确，故选项A 符合题意；B.4312x x ，原选项计算错误，故选项B 不符合题意；C.4x 与3x 不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C 不符合题意；D.347x x x ，原选项计算错误，故选项D 不符合题意．故选：A ．7.【答案】D【解析】解：A 、23x x x ，错误，故不符合要求；B 、6332x x x x ，错误，故不符合要求；C 、 43127x x x ，错误，故不符合要求；D 、347x x x ，正确，故符合要求；故选：D ．8.【答案】A【解析】解：A.23232332a b a b a b ，故该选项正确，符合题意；B.235a a a ，故该选项不正确，不符合题意；C.624a a a ，故该选项不正确，不符合题意；D.326a a ，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．9.【答案】D【解析】解：33a ，2a 不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；2222a b a ab b ，故B 不符合题意；3222a b a ab ，故C 不符合题意；2242a b a b ，故D 符合题意；故选：D.10.【答案】A【解析】解：A 、23a a a ，故该选项正确，符合题意；B 、624a a a ，故该选项不正确，不符合题意；C 、32a a a ，故该选项不正确，不符合题意；D 、222()2a b a ab b ，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．11.【答案】A【解析】解：A 、523a a a ，故正确，符合题意；B 、3332a a a ，故错误，不符合题意；C 、 236a a ，故错误，不符合题意；D a ，故错误，不符合题意；故选：A ．12.【答案】C【解析】解：A ．6243a a a a ，原计算错误，不符合题意；B ．5210a a a ，原计算错误，不符合题意；C ．2111a a a ，原计算正确，符合题意；D ．222(1)211a a a a ，原计算错误，不符合题意；故选：C ．13.【答案】A 【解析】A.22346a b a b ，正确，符合题意；B.32ab ab ab ，原计算错误，本选项不合题意；C.34()a a a ，原计算错误，本选项不合题意；D.222()2a b a b ab ，原计算错误，本选项不合题意；14.【答案】A【解析】解：A ． 2122a a ，计算正确，符合题意；B ． 222222a b a ab b a b ，计算错误，不符合题意；C ．23255a a a a ，，计算错误，不符合题意；D ．2222ab a b ab ，计算错误，不符合题意；故选：A ．15.【答案】D【解析】A.22ab a b ，故该选项不正确，不符合题意；B.235a a a ，故该选项不正确，不符合题意；C.233a b a ab ，故该选项不正确，不符合题意；D.222()()4a a a ，故该选项正确，符合题意；16.【答案】C【解析】解：A. 2224a a ，原式计算错误；B.2222a b a ab b ，原式计算错误；C. 2224m m m ，计算正确；D.2510a a ，原式计算错误．故选：C ．17.【答案】A【解析】∵2340a a ，∴234a a ∴ 222632332435a a a a ，故选：A ．18.【答案】D【解析】解：由2230a a 得：223a a ，∴2(23)(23)(21)a a a 2249441a a a 2848a a 2428a a 438 4 ，故选：D ．19.【答案】D【解析】解：43()a a 437a a a ，故选：D ．20.【答案】C【解析】解：2432a a b ab3122a b ab故选：C ．21.【答案】B【解析】解： 222222a a a a a a a ，故选：B.22.【答案】A【解析】解：∵23( )22a b a b ，∴3222a b a b a ．故选：A ．23.【答案】B【解析】解：236322112124x x x，故选：B ．24.【答案】C【解析】解：A 、 236a a ，不符合题意；B 、1028a a a ，不符合题意；C 、45a a a ，符合题意；D 、515(1)a a ，不符合题意；故选：C ．25.【答案】B【解析】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a ，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a ，不符合题意；故选：B ．二、填空题26.【答案】3n【解析】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．27.【答案】2a【解析】解：根据确定公因式的方法，可得22a 与4ab 的公因式为2a ，故答案为：2a ．28.【答案】24x y 【解析】解： 2224xy x y ，故答案为：24x y ．29.【答案】3ab a【解析】解：(3)3a b ab a ．故答案为：3ab a ．30.【答案】6【解析】解：22x y xy xy x y ，∵3x y ，2y ，∴1x ，∴原式123 6 ，故答案为：6．31.【答案】42【解析】22a b abab a b 7642 ．故答案为：42．三、解答题32.【答案】226a ab ，24【解析】 233(3)a b a b a b 2222969a b a ab b 226a ab当13,3a b时，原式 212363324 ．。
第2讲代数式与整式A组基础题组一、选择题a2b n的和仍是单项式,则n m的值是( ) 1.(淄博)若单项式a m-1b2与12A.3B.6C.8D.92.(2017枣庄)购买1个单价为a元的书包和2支单价为b元的钢笔共需( )A.(a+b)元B.3(a+b)元C.(2a+b)元D.(a+2b)元3.(2017菏泽)当1<a<2时,代数式|a-2|+|1-a|的值是( )A.-1B.1C.3D.-34.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )A.x2+9B.x2-6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9二、填空题5.若2x-3y-1=0,则5-4x+6y的值为.6.如果单项式2x m+2n y n-2m+2与x5y7是同类项,那么n m的值是.7.(2017黄冈)分解因式:mn2-2mn+m= .8.(2017贵州毕节)分解因式:3m4-48= .B组提升题组一、选择题1.(2018青岛)计算(a2)3-5a3·a3的结果是( )A.a5-5a6B.a6-5a9C.-4a6D.4a62.(2018滨州)下列运算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为( )A.1B.2C.3D.43.(2017烟台)用棋子摆出下列一组图形:按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为( )A.3nB.6nC.3n+6D.3n+3二、填空题4.分解因式:a3-16a= .5.(2017泰安模拟)若3x2n y m与x4-n y n-1是同类项,则m+n= .三、解答题6.(2018湖南长沙)先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中.a=2,b=-12第2讲 代数式与整式A 组 基础题组一、选择题1.C ∵单项式a m-1b 2与12a 2b n 的和仍是单项式, ∴单项式a m-1b 2与12a 2b n 是同类项, ∴m -1=2,n=2,∴m=3,n=2,∴n m =8.故选C.2.D 购买1个单价为a 元的书包所需钱数为a 元,购买2支单价为b 元的钢笔所需钱数为2b 元,则共需(a+2b)元,故选D.3.B 当1<a<2时,|a-2|+|1-a|=2-a+a-1=1.4.C (x+3)2=x 2+2×3x+32=x 2+6x+9.二、填空题5.答案 3解析 ∵2x -3y-1=0,∴2x -3y=1,∴5-4x+6y=5-2(2x-3y)=5-2×1=3.6.答案 13 解析 因为单项式2x m+2n y n-2m+2与x 5y 7是同类项,所以{m +2n =5,n -2m +2=7, 解得{m =-1,n =3,所以n m =3-1=13. 7.答案 m(n-1)2解析 mn 2-2mn+m=m(n 2-2n+1)=m(n-1)2.8.答案 3(m 2+4)(m+2)(m-2)解析 3m 4-48=3(m 4-42)=3(m 2+4)(m 2-4)=3(m 2+4)(m+2)(m-2).B 组 提升题组一、选择题1.C 原式=a 2×3-5a 3+3=a 6-5a 6=-4a 6.2.B a 2·a 3=a 5,故①错误;(a 3)2=a 6,故②正确;a 5÷a 5=1,故③错误;(ab)3=a 3b 3,故④正确,正确的个数为2,故选B.3.D 观察题图得第n 个图形用的棋子个数为n+(n+1)+(n+2)=3n+3.二、填空题4.答案 a(a+4)(a-4)解析 a 3-16a=a(a 2-16)=a(a+4)(a-4).5.答案 53 解析 ∵3x 2n y m 与x4-n y n -1是同类项,∴{2n =4-n ,m =n -1,解得{n =43,m =13,则m+n=43+13=53.三、解答题6.解析 原式=a 2+2ab+b 2+ab-b 2-4ab =a 2-ab.当a=2,b=-12时,原式=22-2×(-12)=5.。
第2讲 整 式1. (2019，河北)小明总结了以下结论：①a (b ＋c )＝ab ＋ac ；②a (b －c )＝ab －ac ；③(b －c )÷a ＝b ÷a －c ÷a (a ≠0)；④a ÷(b ＋c )＝a ÷b ＋a ÷c (a ≠0)．其中一定成立的个数是(C )A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 根据乘法分配律知①②正确．(b －c )÷a ＝(b －c )×1a ＝b ×1a －c ×1a＝b ÷a －c ÷a ，③正确．a ÷(b ＋c )＝a ×1b ＋c≠a ×⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ，④错误．故选C. 2. (2019，河北)若7－2×7－1×70＝7p ，则p 的值为 －3 .【解析】根据同底数幂的乘法，得7－2×7－1×70＝7－2－1＋0＝7－3＝7p ，∴p ＝－3.3. (2019，河北)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：即4＋3＝7.(1)用含x 的式子表示m ＝ 3x ；(2)当y ＝－2时，n 的值为 1 .第3题图【解析】 (1)m ＝x ＋2x ＝3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3x ，n ＝2x ＋3，m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，m ＝－3，n ＝1.4. (2018，河北)用一根长为a cm 的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图所示的方式向外等距扩 1 cm ，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B )第4题图A. 4 cmB. 8 cmC. (a ＋4)cmD. (a ＋8)cm【解析】 由图形观察出正方形的边长增加2 cm ，则周长增加8 cm.5. (2018，河北)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n 的值是(A )A. －1B. －2C. 0D. 1 4【解析】∵2n＋2n＋2n＋2n＝2n×4＝2n×22＝2n＋2，∴2n＋2＝2.∴n＋2＝1，即n＝－1.6. (2018，河北)将9.52变形正确的是(C)A. 9.52＝92＋0.52B. 9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C. 9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D. 9.52＝92＋9×0.5＋0.52【解析】利用乘法公式简便计算，正确运用完全平方公式.9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52.7. (2018，河北)若a，b互为相反数，则a2－b2＝0 .【解析】∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0.∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝0.8. (2018，河北)嘉淇准备完成题目：化简(■x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“■”印刷不清楚．(1)她把“■”猜成3，请你化简(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)她的妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“■”是几？解：(1)原式＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.(2)设“■”为a.原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.因为妈妈看到该题的结果是常数，所以a－5＝0，即a＝5.所以原题中“■”为5.列代数式例1 (2019，石家庄桥西区模拟)下列赋予4m实际意义的叙述不正确的是(D)A. 若葡萄的价格是4元/kg，则4m表示买m kg葡萄的金额B. 若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长C. 将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力D. 若4和m分别表示一个两位数中的十位上的数字和个位上的数字，则4m表示这个两位数【解析】4m表示4与m的乘积，单价×数量＝总金额，选项A正确．正方形的周长等于边长的4倍，选项B正确．压强×受力面积＝压力，选项C正确．十位上的数字为4，个位上的数字为m的两位数应表示为40＋m，选项D错误．针对训练1 (2019，石家庄桥西区模拟)如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个矩形．若去掉边长为2b的小正方形后，再将剩余部分拼成一个矩形，则这个矩形的周长为(C)训练1题图A. 3a ＋2bB. 6a ＋4bC. 12aD. 12a －4b【解析】 如答图所示，可以将答图中的①拼到②的位置，就构成了一个矩形．这个矩形的长为3a ＋2b ，宽为3a －2b ，则周长为(3a ＋2b ＋3a －2b )×2＝12a .训练1答图求代数式的值 例2 (2019，石家庄28中一模)已知m ，n 互为倒数，n 是1的相反数，则m (n ＋1)－(m ＋n )＝ 2 .【解析】 根据题意，得mn ＝1，n ＝－1.所以原式＝mn ＋m －m －n ＝mn －n ＝1－(－1)＝2.针对训练2 (2019，唐山路南区一模)如图，长方形的长、宽分别为a ，b ，且a 比b 大5，面积为10，则a 2b －ab 2的值为(B )训练2题图A. 60B. 50C. 25D. 15【解析】 由已知，得ab ＝10，a －b ＝5，则a 2b －ab 2＝ab (a －b )＝50.整式的运算例3 (2019，石家庄28中一模)小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了：2⎝⎛⎭⎫x 2－12x ＋1＋＝2x 2＋x .(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；(2)若x ＝－2，求被墨水盖住的代数式的值．解：(1)2x 2＋x －2⎝⎛⎭⎫x 2－12x ＋1＝2x －2， 所以被墨水污染的代数式为2x －2.(2)当x ＝－2时，原式＝2×(－2)－2＝－6.针对训练3 (2019，保定竞秀区质检)老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片，如图所示，若两名同学的代数式相减等于第三名同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分看不清楚了．训练3题图(1)计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功；(2)嘉淇发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式．解：(1)2x 2－3x －1－(x 2－2x ＋3)＝2x 2－3x －1－x 2＋2x －3＝x 2－x －4.甲减乙不能使实验成功．(2)因为丙减甲可以使实验成功，所以丙＝甲＋乙.2x 2－3x －1＋(x 2－2x ＋3)＝3x 2－5x ＋2，即丙的代数式为3x 2－5x ＋2.因式分解例4 (1)(2019，廊坊广阳区模拟)分解因式：14x ＋x 3－x 2＝（ x ⎝⎛⎭⎫12－x 2 ）. (2)(2019，石家庄28中一模)分解因式：4x 2－16＝ 4(x ＋2)(x －2) ．【解析】 (1)14x ＋x 3－x 2＝x ⎝⎛⎭⎫14＋x 2－x ＝x ⎝⎛⎭⎫12－x 2. (2)4x 2－16＝4(x 2－4)＝4(x ＋2)(x －2).针对训练4 (2019，广安)因式分解：3a 4－3b 4＝ 3(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b ) .【解析】 3a 4－3b 4＝3(a 4－b 4)＝3(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝3(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )．针对训练5 (2019，唐山路北区一模)下列因式分解正确的是(C )A. x 2＋1＝(x ＋1)2B. x 2＋2x －1＝(x －1)2C. 2x 2－2＝2(x ＋1)(x －1)D. x 2－x ＋2＝x (x －1)＋2【解析】 选项A ，B 等式不成立．选项D 的结果不是整式乘积形式．故选C.一、 选择题1. (2019，株洲)下列各式中，与3x 2y 3是同类项的是(C )A. 2x 5B. 3x 3y 2C. －12x 2y 3D. －13y 5 【解析】 同类项所含字母相同，相同字母的指数也相同．故选C.2. (2019，唐山路南区二模)已知a ，b 为自然数，则多项式12x a －y b ＋2a ＋b 的次数应当是(A )A. a ，b 中较大的数B. aC. a ＋bD. b【解析】 多项式的次数是其最高次项的次数，每一项的次数则是该项所有字母的指数之和，2a ＋b 不含字母是常数项，所以只需比较a ，b 的大小．故选A.3. (2019，枣庄)点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB .若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为(B )第3题图A. －(a ＋1)B. －(a －1)C. a ＋1D. a －1【解析】 根据题意，得点A 表示的数为a －1.由OB ＝OA ，知点A ，B 表示的数互为相反数，所以点B 表示的数为－(a －1)．故选B.4. (2019，唐山丰南区二模)某商品打七折后价格为a 元，则原价为(B )A. a 元B.107a 元 C. 30%a 元 D. 710a 元 【解析】 a 等于原价的710，则原价等于a 除以710，得107a . 5. (2019，甘肃)计算(－2a )2·a 4的结果是(B )A. －4a 6B. 4a 6C. －2a 6D. －4a 8【解析】 (－2a )2·a 4＝4a 2·a 4＝4a 6.6. (2019，青岛)计算(－2m )2·(－m ·m 2＋3m 3)的结果是(A )A. 8m 5B. －8m 5C. 8m 6D. －4m 4＋12m 5【解析】 原式＝4m 2(－m 3＋3m 3)＝4m 2·2m 3＝8m 5.7. (2019，连云港)计算下列代数式，结果为x 5的是(D )A. x 2＋x 3B. x ·x 5C. x 6－xD. 2x 5－x 5【解析】 选项A ，C 已是最简结果，选项B 的结果为x 6.选项D 的结果为x 5.故选D.8. (2019，唐山丰南区一模)下列运算正确的是(C )A. (－x 2)3＝－x 5B. x 2＋x 3＝x 5C. x 3·x 4＝x 7D. 2x 3－x 3＝1【解析】 选项A 的结果为－x 6.选项B 非同类项不能合并．选项C 正确．选项D 的结果为x 3.故选C.9. (2019，石家庄桥西区模拟)下列计算正确的是(C )A. x 2＋3x 2＝3x 4B. (a －b )2＝a 2－b 2C. (a 3b 2)3＝a 9b 6D. (－a ＋b )(－a －b )＝b 2－a 2【解析】 选项A 的结果为4x 2.选项B 的结果为a 2－2ab ＋b 2.选项C 正确．选项D 的结果为a 2－b 2.10. (2019，邢台二模)若m ＋n ＝7，2n －p ＝4，则m ＋3n －p 的值是(D )A. －11B. －3C. 3D. 11【解析】 m ＋n ＝7，2n －p ＝4，两式相加可得m ＋3n －p ＝11，故选D.11. (2019，唐山丰润区二模)多项式4a －a 3分解因式的结果是(B )A. a (4－a 2)B. a (2－a )(2＋a )C. a (a －2)(a ＋2)D. a (2－a )2【解析】 原式＝a (4－a 2)＝a (2＋a )(2－a )，故选B.12. (2019，保定莲池区一模)若(a ＋b )2－(a －b )2＝4，则下列说法一定成立的是(C )A. a 是b 的相反数B. a 是－b 的相反数C. a 是b 的倒数D. a 是－b 的倒数【解析】 原式可化简为ab ＝1，即a ，b 互为倒数．故选C.13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知a 2－b 2＝6，a ＋b ＝2，则a －b 的值为(C )A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即6＝2(a －b )，得a －b ＝3.故选C.二、 填空题14. (2019，淄博)单项式12a 3b 2的次数是 5 . 【解析】 单项式的次数是所有字母的指数之和，3＋2＝5.15. 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为 55 .第15题图 【解析】 (32＋2)×5＝55.16. (2019，邢台二模)若|x 2－1|＋(y ＋2)2＝0，则y x的值为 2或－2 . 【解析】 根据题意，得x ＝±1，y ＝－2，故y x＝2或－2. 17. (2019，张家口桥东区一模)已知a 与b 互为相反数，则代数式a 2＋2ab ＋b 2＋2 019的值为 2 019 .【解析】 根据题意，得a ＋b ＝0.原式＝(a ＋b )2＋2 019＝0＋2 019＝2 019.18. (2019，广东)已知x ＝2y ＋3，则代数式4x －8y ＋9的值是 21 .【解析】 根据题意，得x －2y ＝3.原式＝4(x －2y )＋9＝21.19. (2019，邢台一模)若a 2＋3＝2b ，则a 3－2ab ＋3a ＝ 0 .【解析】 根据题意，得a 2－2b ＋3＝0.原式＝a (a 2－2b ＋3)＝0.20. (2019，扬州)分解因式：a 3b －9ab ＝ ab (a ＋3)(a －3) ．【解析】 原式＝ab (a 2－9)＝ab (a ＋3)(a －3)．21. (2019，威海)分解因式：2x 2－2x ＋12＝（ 2⎝⎛⎭⎫x －122 ）. 【解析】 原式＝2⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14＝2⎝⎛⎭⎫x －122. 22. (2019，南京)分解因式(a －b )2＋4ab 的结果是 (a ＋b )2 .【解析】 (a －b )2＋4ab ＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.23. (2019，唐山路南区二模)计算9992－1＝ 998 000 .【解析】 原式＝(999＋1)×(999－1)＝1 000×998＝998 000.三、 解答题24. (2019，凉山州)先化简，再求值：(a ＋3)2－(a ＋1)(a －1)－2(2a ＋4)，其中a ＝－12. 解：原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2－1)－4a －8＝2a ＋2.当a ＝－12时， 原式＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋2 ＝1.25. (2019，唐山丰润区二模)已知x 2－2x －1＝0，求代数式(x －1)2＋x (x －4)＋(x －2)(x ＋2)的值．解：原式＝x 2－2x ＋1＋x 2－4x ＋x 2－4＝3x 2－6x －3.∵x 2－2x －1＝0，∴原式＝3(x 2－2x －1)＝0.26. (2019，石家庄27中二模)小明化简(2x ＋1)(2x －1)－x (x ＋5)的过程如图所示．请指第26题图解：错误的步骤是①和②.正确的化简过程：原式＝4x 2－1－x (x ＋5)＝4x 2－1－x 2－5x＝3x 2－5x －1.27. (2019，唐山路南区一模)已知多项式A ＝x 2＋xy ＋2y －12，B ＝2x 2－2xy ＋x －1. (1)求2A －B ；(2)当x ＝－1，y ＝－2时，求2A －B 的值；(3)若2A －B 的值与x 的取值无关，求y 的值．解：(1)2A －B＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋xy ＋2y －12－(2x 2－2xy ＋x －1)＝2x 2＋2xy ＋4y －1－2x 2＋2xy －x ＋1＝4xy ＋4y －x .(2)当x ＝－1，y ＝－2时，2A －B ＝4×(－1)×(－2)＋4×(－2)－(－1)＝8－8＋1＝1.(3)∵2A －B ＝4xy ＋4y －x ＝(4y －1)x ＋4y ，其值与x 的取值无关，∴4y －1＝0.∴y ＝14. 28. (2019，张家口桥东区一模)已知：A ，B 都是关于x 的多项式，A ＝3x 2－5x ＋6，B ＝ －6，其中多项式B 有一项被“ ”遮挡住了．(1)当x ＝1时，A ＝B ，请求出多项式B 被“ ”遮挡的这一项的系数；(2)若A ＋B 是单项式，请直接写出多项式B .解：(1)设B ＝kx n －6.当x ＝1时，A ＝4，B ＝k －6，∴k －6＝4.∴k ＝10.即多项式B 被“ ”遮挡的这一项的系数是10.(2)B ＝－3x 2－6或B ＝5x －6.1. (2019，绵阳)已知4m ＝a ，8n ＝b ，其中m ，n 为正整数，则22m＋6n 等于(A ) A. ab 2 B. a ＋b 2 C. a 2b 3 D. a 2＋b 3【解析】 22m ＋6n ＝22m ·26n ＝(22)m ·(23)2n ＝4m ·82n ＝4m ·(8n )2＝ab 2.2. (2019，唐山丰南区二模)23＋23＋23＋23＝2n ，则n 的值为(C )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】 23＋23＋23＋23＝4×23＝22×23＝25，故n ＝5.3. (2019，石家庄质检)已知3x ＝5，3y ＝2，则3x ＋y 的值是 10 .【解析】 3x ＋y ＝3x ·3y ＝5×2＝10.4. (2019，宜宾)分解因式：b 2＋c 2＋2bc －a 2＝ (b ＋c ＋a )(b ＋c －a ) ．【解析】 原式＝(b ＋c )2－a 2＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )．5. (2019，常德)若x 2＋x ＝1，则3x 4＋3x 3＋3x ＋1的值为 4 .【解析】 ∵x 2＋x ＝1，∴原式＝3x 2(x 2＋x )＋3x ＋1＝3x 2＋3x ＋1＝3(x 2＋x )＋1＝3＋1＝4.6. (2019，广东)如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图①所示．小明按如图②所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是 a ＋8b .(结果用含a ，b 的代数式表示)第6题图【解析】观察图形，可知2个拼接时，总长度为2a－(a－b)，3个拼接时，总长度为3a－2(a－b)，4个拼接时，总长度为4a－3(a－b)……所以9个拼接时，总长度为9a－8(a －b)＝a＋8b.。
第2讲整式与因式分解 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·徐州）下列计算正确的是（）A．a2⋅a6=a8B．a8÷a4=a2C．2a2+3a2=6a4D．(−3a)2=−9a22．（2022·镇江）下列运算中，结果正确的是（）A．3a2+2a2=5a4B．a3−2a3=a3C．a2⋅a3=a5D．(a2)3=a5 3．（2022·南通）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（）A．24B．443C．163D．-4 4．（2022·南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（）A．1B．-1C．4D．-45．（2022·海陵模拟）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能6．（2022·沭阳模拟）下列计算正确的是（）A．−3a+4a=a2B．a2⋅a3=a6C．a3+a6=a3D．(a3)2=a6 7．（2022·建湖模拟）2、6、m是某三角形三边的长，则√(m−4)2−√(m−8)2等于（）.A．2m−12B．12−2m C．12D．−4 8．（2022·南通模拟）计算(√2+√3)2021(√2−√3)2020的结果是（）A．√2+√3B．−√2−√3C．−√2+√3D．√2−√3 9．（2021·丰县模拟）下列运算正确的是（）A．3x3−x3=3B．a4÷a4=1(a≠0)C．(−2m)2=−4m2n4D．a2b3÷(−ab2)=ab10．（2021·阜宁模拟）分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）二、填空题11．（2022·南通模拟）单项式−5πa3b4的次数是．12．（2022·常州）计算：m4÷m2=.13．（2022·苏州）已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=.14．（2022·苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为.15．（2022·扬州）掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n 的关系为E=k×101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的倍.16．（2022·沭阳模拟）已知：a m=10，a n=2，则a m+n=.17．（2022·泗洪模拟）已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝时，这个二次三项式的值等于﹣1.18．（2022·锡山模拟）如果代数式x2+3x+1的值是5，那么代数式3﹣2x2﹣6x的值等于19．（2022·江苏模拟）若x+y=5，2x－3y=10，则x－4y的值为.20．（2021·常州模拟）观察下列等式：2+22=23﹣2；2+22+23=24﹣2；2+22+23+24=25﹣2；2+22+23+24+25=26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=(结果用含m的代数式表示).21．（2021·丰县模拟）把多项式9x2y−y3分解因式的结果是. 22．（2022·徐州模拟）分解因式：3a2+12a+12=．23．（2021·南通模拟）将3x2y−27y因式分解为.24．（2021·连云港）分解因式：9x2+6x+1=.三、解答题25．（2022·盐城）先化简，再求值：(x+4)(x−4)+(x−3)2，其中x2−3x+1=0．26．（2022·苏州）已知3x2−2x−3=0，求(x−1)2+x(x+23)的值.27．（2021·大丰模拟）先化简，再求值：(x+1)(x-1)+x(3-x)，其中x=2．28．（2021·射阳模拟）已知a=12014x+2013，b=12014x+2014，c=12014x+2015，求代数式2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)的值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、a2⋅a6=a8，故该选项正确，符合题意；B、a8÷a4=a4，故该选项不正确，不符合题意；C、2a2+3a2=5a2，故该选项不正确，不符合题意；D、(−3a)2=9a2，故该选项不正确，不符合题意.故答案为：A.【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断D. 2．【答案】C【解析】【解答】解：A、3a2+2a2=5a2，故A计算错误，不符合题意；B、a3−2a3=−a3，故B计算错误，不符合题意；C、a2⋅a3=a5，故C计算正确，符合题意；D、(a2)3=a6，故D计算错误，不符合题意．故答案为：C.【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵m2＋n2＝2＋mn，∴（2m−3n）2＋（m＋2n）（m−2n）＝4m2＋9n2−12mn＋m2−4n2＝5m2＋5n2−12mn＝5（mn＋2）−12mn＝10−7mn，∵m2＋n2＝2＋mn，∴（m＋n）2＝2＋3mn≥0（当m＋n＝0时，取等号），∴mn≥−2 3，∴（m−n）2＝2−mn≥0（当m−n＝0时，取等号），∴mn≤2，∴−23≤mn≤2，∴−14≤−7mn ≤143， ∴−4≤10−7mn ≤443，即（2m−3n ）2＋（m ＋2n ）（m−2n ）的最大值为443，故答案为：B.【分析】将代数式利用平方差公式和完全平方公式先去括号，再合并同类项，结合已知可转化为10−7mn ；将m 2＋n 2＝2＋mn 进行配方，可得到关于mn 的不等式，求出mn 的取值范围为−23≤mn ≤2，利用不等式的性质可得到10−7mn 的取值范围，即可求出已知代数式的最大值.4．【答案】A【解析】【解答】解： ∵2x =2×1⋅x ，∴k =12=1 ， 故答案为：A ．【分析】根据完全平方式的特点可得2=2√k ，求解可得k 的值.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵3x ﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10，∴3x −y −(x +y)=(3a 2−6a +9)−(a 2+6a −10)，∴2x −2y =2a 2−12a +19=2(a 2−6a +9)+1=2(a −3)2+1， ∵不论a 为何值，2(a −3)2+1≥1， ∴2x −2y ＞0， ∴2x ＞2y ， ∴x ＞y ． 故答案为：A ．【分析】先求出2x −2y =2a 2−12a +19=2(a 2−6a +9)+1=2(a −3)2+1，再求出2x −2y ＞0，最后求解即可。
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·浙江温州）计算的结果是A．6 B．C．3D．2．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（）A． B． C． D．3．（2022·陕西）计算：（）A．B．C．D．4．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（）A．a B．3a C．2a2D．a35．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．6．（2022·江西）下列计算正确的是（）A． B． C． D．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积8．（2022·浙江温州）化简的结果是（）A．B．C．D．9．（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．1210．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（）A． B． C． D．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（）A．(2n-1)B．(2n+1)C．(n-1)D．(n+1)12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．913．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于的是（）A．B．C．D．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（）A． B． C． D．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（）A．B．C．D．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．4117．（2022·湖南湘潭）下列整式与为同类项的是（）A．B．C．D．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．19．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3二．填空题20．（2022·江苏苏州）已知，，则______．21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．22．（2022·四川乐山）已知，则______．23．（2022·湖南邵阳）已知，则_________．24．（2022·天津）计算的结果等于___________．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．28．（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）30．（2022·四川德阳）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．32．（2022·湖南怀化）因式分解：_____．33．（2022·浙江绍兴）分解因式：＝ ______．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．35．（2022·江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．37．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．38．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______．三．解答题39．（2022·江苏苏州）已知，求的值．40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，．42．（2022·浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当时，该小正方形的面积是多少？43．（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：，其中．45．（2022·重庆）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．46．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵，∴247是13的“和倍数”．又如：∵，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．47．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a＝3时，352＝1225＝；……(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·浙江温州）计算的结果是A．6 B．C．3D．【答案】A【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】解：．故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．2．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C符合题意；，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．3．（2022·陕西）计算：（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．4．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（）A．a B．3a C．2a2D．a3【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．【详解】解：故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键．5．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；B. ，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；C. ，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．6．（2022·江西）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积【答案】C【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy，所以根据题意，已知条件为xy的值，A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH的面积=y2，根据条件无法求出，不符合题意；C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C．【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．8．（2022·浙江温州）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．9．（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．10．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A、，原式计算正确；B、，原式计算错误；C、，原式计算错误；D、，原式计算错误；故选：A．【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（）A．(2n-1)B．(2n+1)C．(n-1)D．(n+1)【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．13．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．，符合题意；C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；D．，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；B.，故该选项错误，不符合题意；C.，故该选项错误，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A、，该选项错误；B、，该选项错误；C、，该选项正确；D、，该选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．17．（2022·湖南湘潭）下列整式与为同类项的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D 选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．【详解】A. ，故A不正确；B. ，故B正确；C. ，故C不正确；D. ，故D不正确；故选B．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．19．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵∴①说法正确∵又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；当括号中有四个字母，共有1种情况，∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．20．（2022·江苏苏州）已知，，则______．【答案】24【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．【答案】5【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．22．（2022·四川乐山）已知，则______．【答案】【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解：，，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．23．（2022·湖南邵阳）已知，则_________．【答案】2【分析】将变形为即可计算出答案．【详解】∵∴故答案为：2．【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．24．（2022·天津）计算的结果等于___________．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为：，当震级为6级的地震所释放的能量为：，，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=；n=2时，“○”的个数是，n=3时，“○”的个数是，n=4时，“○”的个数是，……∴第n个“○”的个数是，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022①，②解①得：无解解②得：故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．28．（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．【答案】90【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．30．（2022·四川德阳）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．【答案】4【分析】根据完全平方公式的运算即可.【详解】∵，∵+=4=16，∴=4.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．【答案】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：m2－1＝故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键．32．（2022·湖南怀化）因式分解：_____．【答案】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．33．（2022·浙江绍兴）分解因式：＝ ______．【答案】【分析】利用提公因式法即可分解．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．【答案】（x-1）2【详解】由完全平方公式可得：故答案为．【点睛】错因分析容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.35．（2022·江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程的一个解是，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．【答案】【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；（2）根据分解因式可得，继而求得。
整式的运算复习考点攻略考点01 整式的有关概念1．整式：单项式和多项式统称为整式．2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中.每一个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例1】单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【例2】下列说法中正确的是（ ）A ．25xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1.次数为0C ．222xyz -的次数是6D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D【解析】A.25xy -的系数是–15.则A 错误；B.单项式x 的系数为1.次数为1.则B 错误；C.222xyz -的次数是1+1+2=4.则C 错误；D.xy ＋x –1是二次三项式.正确.故选D.【例3】若单项式32m x y 与3m nxy +是同类项.2m n +_______________．【答案】2【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩221242m n +=⨯+==故答案为：2．【例4】按一定规律排列的单项式：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….第n 个单项式是（ ）A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A 【解析】解：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【例5】如图.图案均是用长度相等的小木棒.按一定规律拼搭而成.第一个图案需4根小木棒.则第6个图案需小木棒的根数是（ ）A ．54B ．63C ．74D ．84【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒. 拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒. 拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒. 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒. …拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时.n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.考点02 整式的运算1．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -. 2. 整式的加减：几个整式相加减.如有括号就先去括号.然后再合并同类项。
专题02 整式与因式分解一、单选题1．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()222a b a b +=+D 5=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．【详解】A.32a a +不能合并，故A 错误；B.633a a a ÷=，故B 错误；C.()2222a b a ab b +=++，故C 错误；5，故D 正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则等知识．掌握合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则是解答本题的关键． 2．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+ 【答案】B【解析】【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键． 3．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16【答案】C【解析】【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∵0a b +=，∵c 的倒数是4， ∵14c =， ∵334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-， 故选：C【点睛】 本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 4．（2022·广西河池）多项式244x x +﹣因式分解的结果是( )A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()22442x x x +=-﹣． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．5．（2022·广西柳州）把多项式a 2+2a 分解因式得（ ）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【答案】A【解析】【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】22(2)a a a a +=+ 故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．6．（2021·广西百色）下列各式计算正确的是（ ）A ．33＝9B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2C ．＋D ．（2a 2b ）3＝8a 8b 3【答案】C【解析】【分析】分别根据有理数的乘方、二次根式的计算法则和整式的乘法计算法则进行计算判断即可得到答案.【详解】解：A 、33=27，此选项错误；B 、()2222a b a ab b -=-+，此选项错误；C 、D 、()362328a b a b =，此选项错误. 故选C.【点睛】本题主要考查了二次根式的加法运算和整式的乘法运算，解题的关键在于熟练的掌握相关知识进行求解. 7．（2021·甘肃兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，则()2a b +=（ ）A ．12B ．13C ．24D ．25【答案】D【解析】【分析】 根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得22a b +，进而根据面积差以及三角形面积公式求得12ab ，最后根据完全平方公式即可求得2()a b +． 【详解】菱形的对角线互相垂直平分，∴4个直角三角形全等；,90ADH BAE DAH HAD ∴∠=∠∠+∠=︒，AD AB BC CD ===，90DAB ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形，又正方形ABCD 的面积为13，∴根据勾股定理，则22213a b AB +==，中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，∴4个直角三角形的面积为13112-=，112432ab ∴=÷=， 212ab ∴=，222()2a b a b ab +=++，∴()2a b +=121325+=．故选D ．【点睛】 本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得12ab 是解题的关键． 8．（2022·青海）下列运算正确的是（ ）A ．235347x x x +=B ．()222x y x y +=+ C ．()()2232394x x x +-=- D ．()224212xy xy xy y +=+ 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ()2222x y x xy y +=++，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= 249x -，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=()212xy y +，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．9．（2020·四川广安）下列运算中，正确的是（ ）A ．347x x x +=B ．248236x x x ⋅=C ．2242(3)9x y x y -=-D 【答案】D【解析】【分析】根据同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A ．3x 和4x 不是同类项，不能合并，故错误；B ．246236x x x ⋅= ，故错误；C ．2242(3)9x y x y -=，故错误；D ==故选D ．【点睛】此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键．10．（2020·黑龙江大庆）若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－1【答案】A【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可；【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=，∵20x +=，30y -=，∵2x =-，3y =，∵235-=--=-x y ．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．11．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为（ ）A ．252B ．253C ．336D ．337【答案】B【解析】【分析】 根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．【详解】解：设第n 个图形需要an （n 为正整数）根小木棒，观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，∵第n 个图形需要小木棒：6n +2（n -1）=8n -2．∵8n -2=2022，得：n =253，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键． 12．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：∵面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；∵等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD AE =，则3∠=∠BAD EDC ；∵两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；∵一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可， 本号资料皆来源于微信公众*号：#数学 【详解】解：∵项，会员原来购买一个面包需要0.85a 元，现在需要a ×(1+10%)×0.9=0.99a ，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a -0.85a =0.14a 元，故∵项正确；∵项，如图，∵∵ABC是等边三角形，∵∵B=∵C=60°，∵∵B+∵BAD=∵ADE+∵EDC，∵C+∵EDC=∵AED，又∵AD=AE，∵∵ADE=∵AED，∵∵B+∵BAD=∵ADE+∵EDC=∵C+∵EDC+∵EDC，本号资料皆来源于微#信：数学∵∵BAD=∵EDC+∵EDC=2∵EDC，故∵项错误；∵项，如图，∵ABC和∵DEF，AB=DE，AC=DF，AM是∵ABC的BC边上的中线，DN是∵DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有∵ABC∵∵DEF，理由如下：延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∵BM=MC，∵AM=MG，∵AMB=∵GMC，∵∵AMB∵∵GMC，∵AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∵AG =2AM =2DN =DH ，∵AB =DE ，∵GC =HF ，∵结合AC =DF 可得∵ACG ∵∵DFH ，∵∵GAC =∵HDF ，同理可证∵GAB =∵HDE ，∵∵BAC =∵GAB +∵GAC =∵HDF +∵HDE =∵EDF ，∵AB =DE ，AC =DF ，∵∵ABC ∵∵DEF ，故∵正确；∵设原数为x ，则新数为21100x ，设原数与新数之差为y ， 即21100y x x =-，变形为：21(50)25100y x =--+， 将x 等于0、1、2、3、55分别代入可知，y 随着x 的增大而增大，故∵正确；即正确的有三个，故选：C ，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．13．（2022·广西玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A 处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A ．4B ．C ．2D ．0【答案】B【解析】【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022， 本号资料#皆来*源于微信公*众号：数学∵67461122,20226337÷=⋅⋅⋅⋅⋅÷=，∵经过2022秒后，红跳棋落在点A 处，黑跳棋落在点E 处，连接AE ，过点F 作FG ∵AE 于点G ，如图所示：在正六边形ABCDEF 中，2,120AF EF AFE ==∠=︒， ∵1,302AG AE FAE FEA =∠=∠=︒， ∵112FG AF ==，∵AG∵AE =故选B ．【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．14．（2021·内蒙古）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【解析】【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．15．（2021·江苏苏州）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b a a b +等于（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab++， ∵()2222==a b ab b a b a a b ab ab +-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=， ∵()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+， 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．16．（2021·山东临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【解析】【分析】 根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∵再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．17．（2020·四川眉山）已知221224a b a b +=--，则132a b -的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】A【解析】【分析】根据221224a b a b +=--，变形可得：()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭，因此可求出1a =，2b =-，把a 和b 代入132a b -即可求解． 【详解】 ∵221224a b a b +=-- ∵()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭ 即2(1)0a -=，21(1)02b += ∵求得：1a =，2b =-∵把a 和b 代入132a b -得：131(2)42⨯-⨯-= 故选：A【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键． 18．（2020·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）A 12±B ．()325ab ab =C ．22422()xy xy y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ D ．223152845c a c c ab ab a-÷=- 【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.【详解】解：A 12===，故选项错误； B 、()3236ab a b =，故选项错误；C 、2422xy xy y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()22422x y x y y x xy xy y x y x y y x y x ⎛⎫-+-⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=()()22x y x y x y y x+-⋅--- =()2x y +，故选项正确；D 、22222315348481510c a c c ab c ab ab ab a c a -÷=⨯=--，故选项错误； 故选C.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.19．（2020·青海）下面是某同学在一次测试中的计算：∵22352m n mn mn -=-；∵()326224a b a b a b ⋅-=-；∵()235a a =；∵()32()a a a -÷-=，其中运算正确的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】【分析】 根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．【详解】23m n 与25mn 不是同类项，不可合并，则∵错误 本号资料*皆来源于微信：数学()332251122244a b a b a b a b ++⋅-=-=-，则∵错误 ()23326a a a ⨯==，则∵错误 ()33312()a a aa a a -÷=-÷-==，则∵正确 综上，运算正确的个数为1个故选：D ．【点睛】 本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．20．（2020·广西柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．﹣a 2﹣b 2C ．a 2+b 2D ．a 2+2ab +b 2 【答案】A【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、a 2﹣b 2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B 、﹣a 2﹣b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C 、a 2+b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D 、a 2+2ab +b 2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A ．【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b -=+-． 本号资料皆来源于微信@公*众号：数#学21．（2022·内蒙古通辽）下列命题：∵()3235m n m n ⋅=；∵数据1，3，3，5的方差为2；∵因式分解()()3422x x x x x -=+-；∵平分弦的直径垂直于弦；∵1≥x ．其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：∵()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ∵数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题；∵()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；∵10x -≥，即1≥x ，是真命题；∵假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2021·广西贺州）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x + 【答案】A【解析】【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=- 故答案选：A ．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．23．（2021·四川眉山）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a +B ．1a a +C ．1a a -D ．21a a + 【答案】B【解析】【分析】 小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．【详解】 解：原式()()()()221111111=11a a a a a a a a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ．【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则． 24．（2020·浙江金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )A ．22a b +B ．22a b -C ．22a b -+D ．22a b --【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】A 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C 、原式()()b a b a =-+，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．25．（2020·湖南益阳）下列因式分解正确的是（ ） 本号资料皆来源于微信：数学第六*感A ．()()()()a a b b a b a b a b ---=-+B ．2229(3)a b a b -=-C ．22244(2)a ab b a b ++=+D ．2()a ab a a a b -+=-【答案】C【解析】【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．【详解】A 、2()()()()()a a b b a b a b a b a b ---=--=-，故此选项错误；B 、229(3)(3)a b a b a b -=+-，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b a b ++=+，故此选项正确；D 、2(+1)a ab a a a b -+=-，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．26．（2020·内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【解析】【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题，（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =， ∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是34，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.二、填空题27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m_______．【答案】2m【解析】【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m÷=．故答案为：2m．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．28．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要__________元．（用含m的代数式表示）【答案】10m【解析】【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m元，故答案为：10m．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．29．（2022·天津）计算1)的结果等于___________．【答案】18【解析】【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：221)119118=-=-=，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．30．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．31．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______． 本号*资料皆来源于@微信：数学第*六感【答案】5【解析】【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∵4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∵c=3b，则b=13 c，∵d=2b+c=53c，则c=35d，∵4d+65d =26，∵d=5，∵正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．32．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b+-+是一个完全平方式，则实数t的值为____________．【答案】52或32-【解析】【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∵()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∵214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．33．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．【答案】14【解析】【分析】先根据2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，得到23a b +=，再把所求的代数式变形为()()22221a b a b +++-，把23a b +=整体代入即可求值．【详解】解：∵2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，∵23a b +=，∵2244421a ab b a b ++++-()()22221a b a b =+++-23231=+⨯- 14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解34．（2021·贵州黔西）已知2a ﹣5b ＝3，则2+4a ﹣10b ＝________．【答案】8【解析】【分析】先变形得出2+4a ﹣10b ＝2+2（2a ﹣5b ），再代入求出答案即可．【详解】解：∵2a ﹣5b ＝3，∵2+4a ﹣10b＝2+2（2a ﹣5b ）＝2+2×3＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了求代数式的值，掌握整体代入法是解此题的关键．35．（2021·贵州铜仁）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；【答案】11【解析】【分析】把x =1代入运算程序的y =6＜9，无法输出，再把x =2代入运算程序得y =11＞9，输出答案，问题得解．【详解】解：把x =1代入223y x x =++得y =1+2+3=6＜9，无法输出，∵把x =1+1=2代入223y x x =++得y =4+4+3=11＞9，输出答案．【点睛】本题考查了根据运算程序进行计算，理解运算程序是解题关键．36．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．【答案】 22a b + 4【解析】【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为,a b∵取甲、乙纸片各1块，其面积和为22a b +；故答案为：22a b +．（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为224a b +，若再加上4ab （刚好是4个丙），则()222442a b ab a b ++=+，则刚好能组成边长为2+a b 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．37．（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．【答案】27【解析】【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∵15-2ab=3∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．38．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【解析】【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 39．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______．【答案】()220221x -【解析】【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-； 故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．40．（2020·浙江）化简：2121x x x +++＝_____． 【答案】11x +【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．【详解】2121x x x +++ ＝21(1)x x ++ ＝11x +． 故答案为：11x +． 【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．41．（2022·浙江丽水）如图，标号为∵，∵，∵，∵的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知∵和∵能够重合，∵和∵能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________． 【答案】 -a b3+【解析】【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；（2）根据2220a ab b --=分解因式可得()()0a b a b -+-=，继而求得a b =+，根据这四个矩形的面积都是5，可得55,EP EN a b ==，再进行变形化简即可求解．（1）∵和∵能够重合，∵和∵能够重合，,AE a DE b ==，PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=---=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =+这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b ∴==，()()()()()()()()22555555ABCDPQMN a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab⎛⎫++⋅++⋅ ⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅ ⎪⎝⎭四边形矩形，2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，3=+【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．本号资料皆来*源于微信公*众号：#数学42．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 【答案】2aa +【解析】【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ =2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++22222a aa a a -=+=+++ 故答案为2aa +本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．43．（2021·四川内江）若实数x 满足210x x --=，则3222021x x -+=__．【答案】2020【解析】【分析】由等式性质可得21x x =+，21x x -=，再整体代入计算可求解．【详解】解：210--=x x ，21x x ∴=+，21x x -=，3222021x x -+2(1)22021x x x =+-+2222021x x x =+-+22021x x =-+12021=-+2020=．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为21x x =+，21x x -=是解题的关键．44．（2021·广东）若1136x x +=且01x <<，则221x x -=_____． 【答案】6536-【解析】【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x -的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】 ∵1136x x +=， ∵2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∵1x x<， ∵1x x-=56-， ∵221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-， 故答案为：6536-【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．45．（2021·湖北十堰）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．本号资料皆来源于微信：数学第*六感【答案】36【解析】【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵2,33xy x y =-=，∵原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．46．（2020·湖南）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：@ 本@号资料皆来源于微信：数学 x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【答案】x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【解析】【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【详解】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∵x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∵x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0，∵x （x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，则（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，即（x ﹣2）（x 2+2x ﹣1）＝0，∵x ﹣2＝0或x 2+2x ﹣1＝0，解得x ＝2或x ＝﹣1故答案为：x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三、解答题47．（2021·吉林长春）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =． 【答案】4,5a【解析】【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】 221a a a a224a a a =-+-4a =-当4a =时，原式44-=【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．48．（2021·湖南永州）先化简，再求值：()()212(2)x x x +++-，其中1x =．【答案】25x +，7．【解析】【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将1x =代入求值即可得．【详解】解：原式22214x x x =+++-， 25x =+，将1x =代入得：原式2157=⨯+=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．49．（2021·河北）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m 本甲种书和n 本乙种书，共付款Q 元．（1）用含m ，n 的代数式表示Q ；（2）若共购进4510⨯本甲种书及3310⨯本乙种书，用科学记数法表示Q 的值．【答案】（1）410Q m n =+（2）52.310Q =⨯【解析】【分析】（1）进m 本甲种书和n 本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．【详解】（1）410Q m n =+（2）43,351010m n =⨯⨯=43510410310Q ∴=⨯+⨯⨯⨯44453102310201 2.3100=+⨯=⨯=⨯⨯所以52.310Q =⨯．。
第2课时整式及因式分解知能优化训练一、中考回顾1.(2021云南中考)按一定规律排列的单项式:a2,4a3,9a4,16a5,25a6,…,第n个单项式是()A.n2a n+1B.n2a n-1C.n n a n+1D.(n+1)2a n2.(2021安徽中考)计算x2·(-x)3的结果是()A.x6B.-x6C.x5D.-x53.(2021四川成都中考)下列计算正确的是()A.3mn-2mn=1B.(m2n3)2=m4n6C.(-m)3·m=m4D.(m+n)2=m2+n24.(2021江苏连云港中考)下列运算正确的是()A.3a+2b=5abB.5a2-2b2=3C.7a+a=7a2D.(x-1)2=x2+1-2x5.(2021天津中考)计算4a+2a-a的结果等于.a6.(2021云南中考)分解因式:x3-4x=.(x+2)(x-2)二、模拟预测1.下列计算正确的是()A.3a2-a2=2B.2a3·a3=2a9C.a8÷a2=a6D.(-2a)3=-2a22.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为()A.3B.4C.5D.63.若关于x的二次三项式x2-kx-b可因式分解为(x-1)(x-3),则k+b的值为()A.-1B.1C.-7D.74.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底部为长方形(长为m cm,宽为n cm)的盒子底部(如图②),盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是()A.4m cmB.4n cmC.2(m+n)cmD.4(m-n)cm5.若3x m+5y2与x3y n的和是单项式,则n m=.6.按照下图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为.7.若(a+1)2+|b-2|=0,则a(x2y+xy2)-b(x2y-xy2)的化简结果为.3x2y+xy28.先化简,再求值:(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中,x=-√3.=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,当x=-√3时,原式=(-√3)2-5=3-5=-2.。
第2讲整式与因式分解一、选择题1．(2020·通辽)下列说法不正确的是( D )A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数2．(2020·无锡)若x＋y＝2，z－y＝－3，则x＋z的值等于( C )A．5 B．1 C．－1 D．－53．(2020·临沂)计算(－2a3)2÷a2的结果是( D )A．－2a3B．－2a4C．4a3D．4a44．(2020·青海)下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n－5mn2＝－2mn；②2a3b·(－2a2b)＝－4a6b；③(a3)2＝a5；④(－a3)÷(－a)＝a2.其中运算正确的个数为( D )A．4个B．3个C．2个D．1个5．(2020·河北)对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( C )A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解6．(2020·淮安)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( D )A．205 B．250 C．502 D．520二、填空题7．(2020·江西南昌二模)因式分解：4x2－y2＝__(2x＋y)(2x－y)__．8．(2020·长沙)某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为__7____．9．(2020·成都)已知a＝7－3b，则代数式a2＋6ab＋9b2的值为__49__．10．(2020·甘孜州)若m2－2m＝1，则代数式2m2－4m＋3的值为__5____．三、解答题11．解答下列问题．(1)一正方形的面积是a2＋6ab＋9b2(a＞0，b＞0)，则表示该正方形的边长的代数式是________.(2)求证：当n为正整数时，(2n＋1)2－(2n－1)2能被8整除．(1)a＋3b；(2)证明：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)]＝4n×2＝8n，∴原式能被8整除．12．分解因式：(1)a 2＋1－2a ＋4(a －1)；解：原式＝(a －1)2＋4(a －1)＝(a －1)(a －1＋4)＝(a －1)(a ＋3).(2)6(a －b )2＋3(a －b ).解：原式＝3(a －b )[2(a －b )＋1]＝3(a －b )(2a －2b ＋1).13．(2020·邵阳)已知：|m －1|＋n ＋2 ＝0.(1)求m ，n 的值；(2)先化简，再求值：m(m －3n)＋(m ＋2n)2－4n 2.解：(1)m ＝1，n ＝－2；(2)原式＝m 2－3mn ＋m 2＋4mn ＋4n 2－4n 2＝2m 2＋mn ，当m ＝1，n ＝－2，原式＝2×1＋1×(－2)＝0.14．(2020·北京)已知5x 2－x －1＝0，求代数式(3x ＋2)(3x －2)＋x (x －2)的值．解：(3x ＋2)(3x －2)＋x (x －2)＝9x 2－4＋x 2－2x ＝10x 2－2x －4，∵5x 2－x －1＝0，∴5x 2－x ＝1，∴原式＝2(5x 2－x )－4＝－2.15．(2020·乐山)已知3m ＝4，32m －4n ＝2.若9n ＝x ，则x 的值为( C ) A ．8 B ．4 C ．2 2 D ． 216．如图，已知点C 是线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD ＝12AB ＝a .延长CB 至点E ，使得BE ＝b ，以CD ，CE 为边作矩形CEFD.连结并延长DB ，交FE 的延长线于点G ，连结CF ，AG.《几何原本》中利用该图解释了代数式(2a ＋b )2＋b 2＝2[(a ＋b )2＋a 2]的几何意义，则AG CF的值为( A )A ．2B ．2C ．32 2D ．2 2 17．在任意n(n ＞1且为整数)位正整数K 的首位后添加6得到的新数叫做K 的“顺数”，在K 的末位前添加6得到的新数叫做K 的“逆数”，若K 的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K 是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324－13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．(1)请根据以上方法判断31568________(选填“是”或“不是”)最佳拍档数．(2)若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N ，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N 的值．解：(1)31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568－315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；(2)设N ＝5000＋100y ＋10x ＋8－x (其中x 、y 都为整数，0≤x ≤9，0≤y ≤8，y ≥x )，则[(56000＋100y ＋10x ＋8－x )－(50000＋1000y ＋100x ＋60＋8－x )]÷17＝5940－90x －900y 17＝349－5x －53y ＋7－5x ＋y 17 ，∵N 为“最佳拍档数”，∴7－5x ＋y 17为整数，∵x 、y 都为整数，0≤x ≤9，0≤y ≤8，y ≥x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝6， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝8， ∴N ＝5326或5662或5835.。
专题02整式与因式分解一．选择题1．（2021·湖北十堰市·中考真题）下列计算正确的是（）A ．3332a a a ⋅=B ．22(2)4a a -=C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(2)2a a a +-=-【答案】B【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A ．336a a a ⋅=，该项计算错误；B ．22(2)4a a -=，该项计算正确；C ．222()2a b a ab b +=++，该项计算错误；D ．2(2)(2)4a a a +-=-，该项计算错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．2．（2021·四川成都市·中考真题）下列计算正确的是（）A ．321mn mn -=B ．()22346m n m n =C ．()34m m m -⋅=D ．()222m n m n +=+【答案】B 【分析】利用合并同类项法则可判定A ，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B ，利用同底数幂乘法法则可判定C ，利用完全平方公式可判定D ．【详解】解：A .321mn mn mn -=≠，故选项A 计算不正确；B.()()()222232346m n m n m n =⋅=，故选项B 计算正确；C .()3344m m m m m m -⋅=-⋅=-≠，故选项C 计算不正确；D .()222222m n m mn n m n +=++≠+，故选项D 计算不正确．故选择B ．【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键．3．（2021·陕西中考真题）计算：()23a b -=（）A ．621a b B ．62a b C ．521a b D ．32a b-【答案】A【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可．【详解】解：()23621a ba b -=，故选：A ．【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．4．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23a b 的同类项是（）A ．32a b B ．232a b C ．2a bD ．3ab 【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．5．（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2020·柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A ．a 2﹣b 2B ．﹣a 2﹣b 2C ．a 2+b 2D ．a 2+2ab +b 2【答案】A【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、a 2﹣b 2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B 、﹣a 2﹣b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C 、a 2+b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D 、a 2+2ab +b 2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A ．【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b -=+-．7．（2021·湖北宜昌市·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a 米（6a >）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A ．没有变化B ．变大了C ．变小了D ．无法确定【答案】C【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．【详解】原来的土地面积为2a 平方米，第二年的面积为2(6)(6)36a a a +-=-22(36)360a a --=-< ∴所以面积变小了，故选C ．【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．8．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b aa b+等于（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab ++，∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++，∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+，故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．9．（2021·浙江台州市·中考真题）将x 克含糖10%的糖水与y 克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A ．20%B ．+100%2x y⨯C ．+3100%20x y⨯D ．+3100%10+10x yx y⨯【答案】D【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．【详解】解：混合之后糖的含量：10%30%3100%1010x y x yx y x y++=⨯++，故选：D ．【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．10．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a ＋b ）2＝49，a 2＋b 2＝25，则ab ＝（）A．24B ．48C ．12D ．【答案】C【分析】利用完全平方公式计算即可．【详解】解：∵()222249a b a b ab +=++=，2225a b +=，∴4925122ab -==，故选：C ．【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．11．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=，再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=，...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=，此时132132⨯=mg ，故选C ．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b++=+，那么我们称这一对数,a b 为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（）A ．2-B ．1-C ．2D ．3【答案】A【分析】先根据新定义，可得9m +4n =0，将整式()21]2[33m m n ++-去括号合并同类项化简得942m n +-，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵(),m n 是“相随数对”，∴2323m n m n++=+，整理得9m +4n =0，()323213642942[]2m m n m m n m n ++-=++-=+-=-．故选择A ．【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．13．（2021·四川泸州市·中考真题）已知1020a =，10050b =，则1322a b ++的值是（）A ．2B ．52C ．3D ．92【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法31010010a b ⋅=，可求23a b +=再整体代入即可．【详解】解:∵1020a =，10050b =，∴2310100102050100010a b a b +⋅==⨯==，∴23a b +=，∴()()1311233332222a b a b ++=++=+=．故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．14．（2020·四川眉山市·中考真题）已知221224a b a b +=--，则132a b -的值为（）A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】A【分析】根据221224a b a b +=--，变形可得：()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭，因此可求出1a =，2b =-，把a 和b 代入132a b -即可求解．【详解】∵221224a b a b +=--∴()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭即2(1)0a -=，21(1)02b +=∴求得：1a =，2b =-∴把a 和b 代入132a b -得：131(2)42⨯-⨯-=故选：A 【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．15．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．()20 3.6a +元【答案】D【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a 元，后面3立方米单价为（a +1.2）元，∴应缴水费为17a +3（a +1.2）=20a +3.6（元），故选：D ．【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．16．（2020·湖南娄底市·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（）A ．135B ．153C ．170D ．189【答案】C【分析】由观察发现每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=可求解b ，从而得到a ，再利用,,a b x 之间的关系求解x 即可．【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=218,b ∴=9,b ∴=由观察发现：8,a =又每个正方形内有：2419,36220,48335,⨯+=⨯+=⨯+=18,b a x ∴+=1898170.x ∴=⨯+=故选C ．【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．17．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-【答案】B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x 2-1=（x+1）（x-1）．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．18．（2020·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则n =（）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】B【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得n 为正整数即成立，否则舍去．【详解】根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2(1)n n +，若2(1)396n n +=，解得n 不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去；下中三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：(4)n n +，若(4)396n n +=，解得18n =，或22n =-，舍去，故选：B ．【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．19．（2020·山东潍坊市·中考真题）若221m m +=，则2483m m +-的值是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】把所求代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-，然后把条件整体代入求值即可．【详解】∵221m m +=，∴2483m m +-=24(2)3m m +-=4×1-3=1．故选：D ．【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-．20．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于()A ．302B B ．308BC ．10810B ⨯D ．30210B⨯【答案】A【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．【详解】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B 故选A ．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．21．（2020·江苏无锡市·中考真题）若2x y +=，3z y -=-，则x z +的值等于（）A ．5B ．1C ．-1D ．-5【答案】C【分析】将两整式相加即可得出答案．【详解】∵2x y +=，3z y -=-，∴()()1x y z y x z ++-=+=-，∴x z +的值等于1-，故选：C ．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2020·湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【答案】D【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1），应停在第12k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤12k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，12k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，12k（k+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.23．（2020·山东枣庄市·中考真题）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2【答案】C【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故选C．24．（2020·山东日照市·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A．59B．65C．70D．71【答案】C【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝1411(111)2+⨯⨯+70=．故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．25．（2019·湖北中考真题）一列数按某规律排列如下：1121231234 ,,,,,,,,, 1213214321…，若第n个数为57，则n=（）A．50B．60C．62D．71【答案】B【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1,(1,2),(1,2,3)，…，分母变化是1,(2,1),(3,2,1)，…，从而可以求得第n个数为57时n的值，本题得意解决．【详解】1121231234,,,,,,,,,1213214321，…，可写为：1121231234,,,,,,,,,1213214321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，∵57的分子和分母的和为12，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234567891011,,,,,,,,,,1110987654321，∴第n 个数为57，则123410560n =++++⋯++=，故选B ．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．26．（2019·重庆中考真题）按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是（）A ．11m n ==，B ．10m n ==，C ．12m n ==，D ．21m n ==，【答案】D 【分析】逐项代入，寻找正确答案即可.【详解】解：A 选项满足m≤n ，则y=2m+1=3；B 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=-1；C 选项满足m≤n ，则y=2m-1=3；D 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=1；故答案为D ；【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.27．（2019·四川绵阳市·中考真题）已知4m a =，8n b =，其中m ，n 为正整数，则262m n +=()A ．2ab B ．2a b +C ．23a b D ．23a b +【答案】A【分析】先变形262m n +成4m 与8n 的形式，再将已知等式代入可得．【详解】解：∵4m a =，8n b =，∴2626222m n m n +=⨯()()22322m n =⋅248m n =⋅()248m n =⋅2ab =，故选A ．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则．28．（2019·广西柳州市·中考真题）定义：形如a bi +的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定21i =-），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如2222(13)1213(3)16916986i i i i i i i +=+⨯⨯+=++=+-=-+，因此，2(13)i +的实部是﹣8，虚部是6．已知复数2(3)mi -的虚部是12，则实部是（）A ．﹣6B ．6C ．5D ．﹣5【答案】C【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi ）2=9-6mi+m 2i 2，再根据新定义得出复数（3-mi ）2的实部是9-m 2，虚部是-6m ，由（3-mi ）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m 2计算即可．【详解】解：∵222222(3)323()9696mi mi mi mi m i m mi-=-⨯⨯+=-+=--∴复数2(3)mi -的实部是29m -，虚部是6m -，∴612m -=，∴2m =-，∴2299(2)945m -=--=-=．故选C ．【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．二．填空题1．（2021·四川达州市·中考真题）已知a ，b 满足等式2690a a +++=，则20212020a b =___________．【答案】-3【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．【详解】解：由2690a a +++=，变形得()230a ++=，∴130,03a b +=-=，∴13,3a b =-=，∴()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：-3【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a 、b 的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．2．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m-【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m ∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．3．（2021·四川广安市·中考真题）若x 、y 满足2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩，则代数式224x y -的值为______．【答案】-6【分析】根据方程组中x +2y 和x -2y 的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵x -2y =-2，x +2y =3，∴x 2-4y 2=（x +2y ）（x -2y ）=3×（-2）=-6，故答案为：-6．【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．4．（2021·江苏苏州市·中考真题）若21m n +=，则2366m mn n ++的值为______．【答案】3【分析】根据21m n +=，将式子2366m mn n ++进行变形，然后代入求出值即可．【详解】∵21m n +=，∴2366m mn n ++=3m (m +2n )+6n =3m +6n =3(m +2n )=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．5．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．6．（2021·重庆中考真题）某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B 、C 饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．【答案】910【分析】设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x,销售C 种饮料的数量4x ，A 种饮料的单价y ．B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%，总销售额为m ，可求A 饮料销售额为3xy+115m ，B 饮料的销售额为91210xy m +，C 饮料销售额：171420xy m +，可求=15m xy ，六月份A 种预计的销售额4xy ，六月份预计的销售数量103x ，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x 计算即可【详解】解：某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x,销售C 种饮料的数量4x ，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A 种饮料的单价y ．B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m ，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，A 饮料销售额为3xy+115m ，A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，，B 饮料的销售额为31913=215210xy m xy m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B 饮料的销售额增加部分为3134215xy m xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴C 饮料增加的销售额为131342215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C 饮料销售额：13117134+42215420xy m xy xy xy ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++=∴=15m xy 六月份A 种预计的销售额1315415xy xy xy +⨯=，六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷=∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x =故答案为910【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键7．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【答案】()221n n --．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∵22110=-，22321=-，22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．8．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．9．（2021·陕西中考真题）分解因式：3269x x x ++=______．【答案】()23x x +【分析】题目中每项都含有x ，提取公因式x ；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案．【详解】()322269(69)3x x x x x x x x ++=+++=故答案为()23x x +．【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．10．（2021·江苏连云港市·中考真题）分解因式：2961x x ++=____．【答案】（3x ＋1）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x ＋1）2，故答案为：（3x ＋1）2【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2020·四川绵阳市·中考真题）因式分解：x 3y ﹣4xy 3＝_____．【答案】xy （x+2y ）（x ﹣2y ）【分析】原式提取公因式xy ，再利用平方差公式分解即可；【详解】解：x 3y ﹣4xy 3，＝xy （x 2﹣4y 2），＝xy （x+2y ）（x ﹣2y ）．故答案为：xy （x+2y ）（x ﹣2y ）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解．一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【详解】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣或x＝﹣1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．13．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）若单项式a m﹣2b n＋7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝_______．【答案】9【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值，进而得出答案．【详解】由题意知：单项式a m﹣2b n＋7与单项式﹣3a4b4是同类项，∴m−2＝4，n＋7＝4，解得：m＝6，n＝−3，故m−n＝6−（−3）＝9．故填：9．【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确得出m，n的值是解题关键．14．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．【答案】65【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，∴第m组有m个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝44(441)2⨯+＝990，1+2+3+ (45)45(451)2⨯+＝1035，∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65．故答案为：65．【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．15．（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式||22(2)1m n xy n x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，则mn =_____．【答案】0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．【详解】解： 多项式||22(2)1m n xy n x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，20n ∴-=，1||3m n +-=，2n ∴=，||2m n -=，2m n ∴-=或2n m -=，4m ∴=或0m =，0mn \=或8．故答案为：0或8．【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．16．（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用A ．B ．C 三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A 型）地砖记作(1,1)，第二块（B 型）地时记作(2,1)…若(,)m n 位置恰好为A 型地砖，则正整数m ，n 须满足的条是__________．【答案】m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数【分析】几何图形，观察A 型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m 、n 满足的条件．【详解】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，正整数m ，n 须满足的条件为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数，故答案为：m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数．【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．17．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．【答案】27【分析】根据题意得出a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b ）2即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，∵（b-a ）2=3a 2-2ab+b 2=3，∴15-2ab=32ab=12，∴（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．18．（2020·湖南长沙市·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学，请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．【答案】9【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．【详解】设每个同学的扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +；第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)；。
中考数学题型归类与解析2 整式及运算一、单选题1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -⋅的结果是（ ）A ．8aB ．6aC ．8aD ．6a -【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【解析】解：原式24246a a a a +=⋅==．故选B ．【小结】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．2．（2021·四川资阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．2242a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．22(3)6a a =D ．623+=a a a【答案】B【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算作出判断．【解析】解：A . 2222a a a +=，故此选项不符合题意； B . 23a a a ⋅=，正确，故此选项符合题意；C . 22(3)9a a =，故此选项不符合题意；D . 62,a a 不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：B ．【小结】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．3．（2021·四川自贡市·中考真题）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是（ ）A ．31B ．31-C ．41D ．41-【答案】B【分析】根据题意，可先求出x 2-3x 的值，再化简()22395=3+53x x x x -++--，然后整体代入所求代数式求值即可．【解析】解：∵23120x x --=，∴23=12x x -，∴()223395=3+5=312+5=31x x x x -++---⨯-．故选：B ．【小结】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出23=12x x -，是解题的关键．4．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A ．8n m （元）B ．8n m （元）C ．8m n （元）D ．8m n（元） 【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；【解析】∵m 千克的售价为n 元，∴1千克商品售价为n m， ∴8千克商品的售价为8n m （元）； 故答案选A ．【小结】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．5．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或40【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得2m =或1m =-，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．【解析】解：一元二次方程2220x mx m m ++-=21,2,a b m c m m ===-2122c m x am x ==-= 220m m --=(2)(1)0m m ∴-+=2m ∴=或1m =-当2m =时，原一元二次方程为2420x x ++=12=24b m ax x +-=-=-， 22221212122)+2((2)(2)()+4=x x x x x x +∴++，221212122=()2x x x x x x ++-221212212212)+(2)(2)=)(2(4+4x x x x x x x x -∴+++22=2+2(4)424⨯--⨯+32=当1m =-时，原一元二次方程为2220x x +=-2(2)41240∆=--⨯⨯=-<原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C ．【小结】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·四川泸州市·中考真题）已知1020a =，10050b =，则1322a b ++的值是（ ） A ．2B ．52C ．3D ．92【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法31010010a b ⋅=，可求23a b +=再整体代入即可．【解析】解: ∵1020a =，10050b =，∴2310100102050100010a b a b +⋅==⨯==，∴23a b +=， ∴()()1311233332222a b a b ++=++=+=． 故选：C ．【小结】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．7．（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ）A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【解析】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...，∴第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【小结】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．8．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【解析】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，∵先提价30%，再降价30%，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B【小结】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．9．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．()20 3.6a +元【答案】D【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．【解析】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a 元，后面3立方米单价为（a +1.2）元， ∴应缴水费为17a +3（a +1.2）=20a +3.6（元），故选：D ．【小结】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．10．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b ++=+，那么我们称这一对数,a b 为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．3【答案】A先根据新定义，可得9m +4n =0，将整式()21]2[33m m n ++-去括号合并同类项化简得942m n +-，然后整体代入计算即可．【解析】解：∵(),m n 是“相随数对”， ∴2323m n m n ++=+， 整理得9m +4n =0，()323213642942[]2m m n m m n m n ++-=++-=+-=-．故选择A ．【小结】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．11．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解析】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【小结】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．12．（2021·山东泰安市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235235x x x +=B ．()3326x x -=-C ．()222x y x y +=+D ．()()2322349x x x +-=- 【答案】D【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．【解析】解：A 、x 2和x 3不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、()3328x x -=-，此选项错误；C 、()2222x y x xy y +=++，此选项错误；D 、()()23223(23)(23)49x x x x x +-=+-=-，此选项正确， 故选：D ．【小结】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键．13．（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【解析】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意； 故选：D ．【小结】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则．14．（2021·安徽）计算23()x x ⋅-的结果是（ ）A ．6xB ．6x -C ．5xD ．5x -【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可【解析】解：52233=-()x x x x +⋅-=-故选：D【小结】本题考查同底数幂的乘法法则，正确使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加是关键15．（2021·陕西中考真题）计算：()23a b -=（ ） A ．621a b B ．62a b C ．521a bD ．32a b - 【答案】A【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可．【解析】解：()23621a b a b -=， 故选：A ．【小结】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．16．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列运算结果为6a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．()23aD ．2312a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可．【解析】A 选项，23235a a a a +⋅==，不符合题意；B 选项，12210122=a a a a -=÷，不符合题意；C 选项，()23326=a a a ⨯=，符合题意；D 选项，22233611=1224a a a ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，不符合题意． 故选：C ．【小结】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式的积的乘方，再把所得的幂相乘．17．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a ＋b ）2＝49，a 2＋b 2＝25，则ab ＝（ ）A ．24B ．48C ．12D ．【答案】C【分析】利用完全平方公式计算即可．【解析】解：∵()222249a b a b ab +=++=，2225a b +=， ∴4925122ab -==， 故选：C ．【小结】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．18．（2021·浙江台州市·中考真题）将x 克含糖10%的糖水与y 克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）A ．20%B ．+100%2x y ⨯C ．+3100%20x y ⨯D ．+3 100%10+10x y x y ⨯ 【答案】D【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．【解析】 解：混合之后糖的含量：10%30%3100%1010x y x y x y x y ++=⨯++， 故选：D ．【小结】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．19．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b a a b +等于（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【解析】 解：∵22=b a b a a b ab++， ∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab +-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=， ∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+， 故选：A ．【小结】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．20．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23a b 的同类项是（ ）A ．32a bB ．232a bC ．2a bD ．3ab【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【解析】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意； ∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致， ∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【小结】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．21．（2021·四川广安市·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）A ．2510a a a ⋅=B ．222()a b a b -=-C ．()23636a a -=D ．22232a b a b a b -+=- 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．【解析】解：A 、257a a a ⋅=，故选项错误；B 、222()2a b a b ab -=+-，故选项错误；C 、()23639a a -=，故选项错误；D 、22232a b a b a b -+=-，故选项正确；故选D ．【小结】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．22．（2021·四川眉山市·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）A ．5315a a a ⨯=B ．53a a a ÷=C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+ 【答案】C【分析】逐一分析各选项中的计算结果，利用计算公式进行计算即可得到正确选项．【解析】解：A 选项中，538a a a ⨯=；B 选项中，532a a a ÷=;C 选项正确；D 选项中，()2222a b a ab b +=++;故选：C ．【小结】本题综合考查了同底数幂的乘法计算、同底数幂的除法计算、幂的乘方运算、积的乘方运算、完全平方公式等内容，解决本题的关键是牢记对应法则和公式即可．23．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）A ．32a a -=B ．248a a a ⋅=C ．()()2224a a a +-=-D ．()22a a -=- 【答案】C【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．【解析】解：A 选项中：32a a a -=，因此错误；B 选项中：246·a a a =，因此错误;C 选项中：()()2224a a a +-=-，因此正确；D 选项中：()22a a -=，因此错误；故选：C ．【小结】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．24．（2021·浙江台州市·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）A ．a 2＋a ＝a 3B ．（-ab ）2＝-ab 2C ．a 5÷a 2＝a 3D ．a 5・a 2＝a 10【答案】C【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．【解析】解：A ．2a 与a 不是同类项，不能合并，故该项错误；B ．()222b a ab =-，故该项错误；C ．523a a a ÷=，该项正确；D ．527a a a ⋅=，该项错误；故选：C ．【小结】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键．25．（2021·四川成都市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．321mn mn -=B ．()22346m n m n = C ．()34m m m -⋅=D ．()222m n m n +=+ 【答案】B【分析】利用合并同类项法则可判定A ，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B ，利用同底数幂乘法法则可判定C ，利用完全平方公式可判定D ．【解析】解：A . 321mn mn mn -=≠，故选项A 计算不正确；B.()()()222232346m n m n m n =⋅=，故选项B 计算正确； C . ()3344m m m m m m -⋅=-⋅=-≠，故选项C 计算不正确；D . ()222222m n m mn n m n +=++≠+，故选项D 计算不正确．故选择B ．【小结】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键．26．（2021·山东临沂市·中考真题）计算3325a a 的结果是（ ）A ．610aB ．910aC ．37aD ．67a【答案】A【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．【解析】解：6332510a a a =⋅，故选：A ．【小结】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．27．（2021·浙江宁波市·中考真题）计算()3a a ⋅-的结果是（ ）A ．2aB ．2a -C ．4aD ．4a -【答案】D【分析】根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可．【解析】解：原式4a =-．故选：D【小结】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．28．（2021·重庆中考真题）计算63a a ÷的结果是（ ）A ．63aB ．52aC ．62aD ．53a【答案】D【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．【解析】解：63a a ÷=53a ，故选：D ．【小结】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题29．（2021·上海中考真题）计算：72=x x÷_____________．【答案】5x【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【解析】∵72=÷5x,x x故答案为: 5x．【小结】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．30．（2021·天津中考真题）计算42a a a+-的结果等于_____．【答案】5a【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案．【解析】()+-=+-=424215a a a a a故答案为：5a．【小结】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解．31．（2021·江苏扬州市·中考真题）计算：22-=__________．20212020【答案】4041 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【解析】 解：2220212020-=()()2021202020212020+⨯- =40411⨯ =4041故答案为：4041． 【小结】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．32．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________． 【答案】()221n n --． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【解析】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --． 【小结】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．33．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20 【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【解析】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球． 故答案为：20． 【小结】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．34．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知1x x +=1x x+=______． 【答案】0 【分析】把1x x+=直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值． 【解析】10x x+== 故答案为：0． 【小结】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键． 35．（2021·江苏苏州市·中考真题）若21m n +=，则2366m mn n ++的值为______． 【答案】3 【分析】根据21m n +=，将式子2366m mn n ++进行变形，然后代入求出值即可． 【解析】 ∵ 21m n +=，∴2366m mn n ++=3m (m +2n )+6n =3m +6n =3(m +2n )=3． 故答案为：3． 【小结】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．36．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275 【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 【解析】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【小结】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．37．（2021·陕西中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．【答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值． 【解析】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-， ∴626a -++=-， ∴2a =-， 故答案为：2-． 【小结】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．38．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【解析】解：∵当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【小结】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．39．（2021·重庆中考真题）某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B 、C 饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 【答案】910【分析】设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ，A 种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%，总销售额为m ，可求A 饮料销售额为3xy+115m ，B 饮料的销售额为91210xy m +，C 饮料销售额：171420xy m +，可求=15m xy ，六月份A 种预计的销售额4xy ，六月份预计的销售数量103x ，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x 计算即可【解析】解：某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A 种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m ，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115A 饮料销售额为3xy+115m ， A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，B 饮料的销售额为31913=215210xy m xy m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B 饮料的销售额增加部分为3134215xy m xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴C 饮料增加的销售额为131342215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C 饮料销售额：13117134+42215420xy m xy xy xy m ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++= ∴=15m xy六月份A 种预计的销售额1315415xy xy xy +⨯=， 六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷=∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x = 故答案为910【小结】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键40．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n +1 【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可． 【解析】 解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍， 拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍， 拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍， ...拼成第n 个图形共需要3+2×（n -1）=2n +1根火柴棍， 故答案为：2n +1． 【小结】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．三、解答题41．（2021·湖南衡阳市·中考真题）计算：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-． 【答案】23x【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可 【解析】解：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-222224x 444x y y x y x xy =+++-+-23x =.【小结】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．42．（2021·浙江金华市·中考真题）已知16x =，求()()()2311313x x x -++-的值． 【答案】1 【分析】直接利用完全平方差公式展开及平方差公式展开后，合并同类项化简，再将16x =代入进去计算． 【解析】解：原式229611962x x x x =-++-=-+ 当16x =时，原式16216=-⨯+=． 故答案是：1．【小结】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是：先利用完全平方差公式，平方差公式，合并同类项运算法则化简，然后代值计算．43．（2021·浙江温州市·中考真题）（1）计算：()0438⨯-+--．（2）化简：()()215282a a a -++． 【答案】（1）-6；（2）22625a a -+．【分析】（1）直接利用有理数乘法法则以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算再合并即可得出答案．【解析】解：（1）()0438⨯-+- 12831=-+-+6=-；（2）()()215282a a a -++ 2210254a a a a =-+++22625a a =-+．【小结】此题主要考查了实数运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．44．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：2(21)(21)(23)x x x +---，其中1x =-．【答案】1210x -，-22【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．【解析】解：原式=2241(4129)x x x ---+=22414129x x x --+-=1210x -，当x =-1时，原式=()12110⨯--=-22．【小结】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．45．（2021·浙江宁波市·中考真题）（1）计算：()()()2113a a a +-++． （2）解不等式组：21930x x +<⎧⎨-≤⎩①②． 【答案】（1）610a +；（2）34x ≤<．【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可； （２）先解出①，得到4x <，再解出②，得到3x ≥，由大小小大中间取得到解集．【解析】解：（1）原式22169a a a =-+++610a =+．（2）解不等式①，得4x <，解不等式②，得3x ≥，所以原不等式组的解是34x ≤<．【小结】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．46．（2021·重庆中考真题）计算：（1）2(23)()a a b a b ++-；（2）22293211x x x x x x ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭． 【答案】（1）223++a ab b ；（2）-31x x + 【分析】（1）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式计算即可；（2）利用分式的混合运算法则进行计算即可．【解析】解：（1）2(23)()a a b a b ++-2222+3+2+=a ab a ab b -22=3++a ab b （2）22293211x x x x x x ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭()()()222+3-3+3=11+x x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭()()()2+3-31=31x x x x x +++ -3=1x x + 【小结】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．47．（2021·浙江中考真题）计算：()()()211x x x x +++-．【答案】21x +【分析】利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．【解析】解：原式2221x x x =++-21x =+．【小结】本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．48．（2021·四川乐山市·中考真题）已知2612(1)(2)A B x x x x x --=----，求A 、B 的值． 【答案】A 的值为4，B 的值为-2【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案．【解析】(2)(1)12(1)(2)(1)(2)A B A x B x x x x x x x ---=+------， ∴(2)(1)26(1)(2)(1)(2)A xB x x x x x x -+--=----， ∴(2)(1)26A x B x x -+-=-，即()(2)26A B x A B x +-+=-．∴226A B A B +=⎧⎨+=⎩， 解得：42A B =⎧⎨=-⎩∴A 的值为4，B 的值为2-．【小结】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解．49．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？n ；（3）1008块【答案】（1）2 ；（2） 24【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，（3）再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【解析】。
备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1、了解：因式分解的概念，感受因式分解与整式乘法的互逆运算过程.2、理解：单项式、多项式、整式等概念，及它们之间的区别与联系；理解同类项概念；理解因式分解的意义.3、会：推导幂的运算公式及乘方公式（平方差、完全平方）.4、掌握：正整数幂的乘、除运算性质；整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算；掌握提公因式法和公式法这两种分解因式的基本方法.5、能：利用乘法公式进行乘法运算；灵活运算运算律与乘法公式化简求值.1．（2020秋•西城区期末）下列计算正确的是( ) A ．2()2a b a b --=-+ B ．2222c c -= C ．325a b ab +=D ．22243x y yx x y -=-【解答】解：A 、2()22a b a b --=-+，故此选项错误；B 、2222c c c -=，故此选项错误；C 、32a b +，无法合并，故此选项错误；D 、22243x y yx x y -=-，正确．故选：D ．2．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．2(2)2x x x x -=- B ．22(1)21x x x +=++ C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+【解答】解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C ．3．（2020•密云区二模）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b +=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【解答】解：计算大正方形的面积：方法一：2()a b +，方法二：四部分的面积和为222a ab b ++， 因此：222()2a b a ab b +=++， 故选：A ．4．（2020•朝阳区二模）如果23x x +=，那么代数式(1)(1)(2)x x x x +-++的值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：(1)(1)(2)x x x x +-++ 2212x x x =-++ 2221x x =+-22()1x x =+-， 23x x +=，∴原式2315=⨯-=．故选：C ．5．（2019秋•东城区校级期中）将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，⋯，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置(C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数( )，2013-应排在A 、B 、C 、D 、E 中的位置( )，其中两个填空依次为( )A ．28-，CB ．29-，BC ．30-，DD ．31-，E【解答】解：每个峰需要5个数， 5525∴⨯=，251329++=，∴ “峰6”中C 位置的数的是29-，(20131)5402-÷=余2，2013∴-为“峰403”的第二个数，排在B 的位置．故选：B ．6．（2020•西城区校级模拟）因式分解：228168ax axy ay -+-= ． 【解答】解：原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--．7．（2020秋•大兴区期末）若22(3)9x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于 ． 【解答】解：22(3)9x m x +-+是完全平方式，33m ∴-=±，解得：6m =或0． 故答案为：6或0．8．（2020秋•海淀区校级月考）已知2a b +=，1ab =，则22a b += ． 【解答】解：2a b +=，1ab =，222()2422a b a b ab ∴+=+-=-=， 故答案为：2．9．（2020春•东城区期末）当n 取正整数时，(1)n x +的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式：（1）观察上面数表的规律，若623456(1)1615156x x x ax x x x +=++++++，则a = ； （2）7(1)x +的展开式中每一项的系数和为 ．【解答】解：（1）由题意可得，623456(1)1615156x x x ax x x x +=++++++，则20a =；（2）当1n =时，多项式1(1)x +展开式的各项系数之和为：11122+==， 当2n =时，多项式2(1)x +展开式的各项系数之和为：212142++==， 当3n =时，多项式3(1)x +展开式的各项系数之和为：3133182+++==， 当4n =时，多项式4(1)x +展开式的各项系数之和为：414641162++++==，⋯∴多项式7(1)x +展开式的各项系数之和72=．故答案为：20，72．10．（2020秋•朝阳区期末）已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值． 【解答】解：2(23)(3)(21)x x x ---+ 224129263x x x x x =-+--++ 22712x x =-+，当2277x x -=时，原式71219=+=．1．同底数幂乘法同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，2．同底数幂的除法同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 ，即m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数，并且m n ＞）． 推导过程：()()()m nm an am n am na a a a a a a a a a aa ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=个个个一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，3．幂的乘方幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ，即()nmmn a a =（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，4．积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式 分别乘方 ，再把 所得的幂相乘 ，即()nn n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，5．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注：单项式与单项式的乘积仍是单项式． 6．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()m a b c am bm cm ++=++．7．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()()a b m n am an bm bn ++=+++． 8．平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差 ，即：22()()a b a b a b +-=-． 9．完全平方公式()()()m n m an am n am na a a a a a a a a a aa --÷=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=个个个()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个()()()()n abnn an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个两个数的和的平方，等于它们的 平方和 ，加上它们的 积的2倍 ， 即：222()2a b a ab b +=++．两个数的差的平方，等于它们的 平方和 ，减去它们的 积的2倍 ， 即：222()2a b a ab b -=-+． 10．因式分解的定义把一个多项式化成 几个整式的积的形式 ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 11．因式分解（1）公因式：多项式各项都含有的 公共因式 ，叫做这个多项式的公因式．（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式 ，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （3）平方差公式：()()22a b a b a b -=+- （4）完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±考点一 幂的运算例1．（2020秋•海淀区校级期中）已知m x a =，n x b =，则32m n x +可以表示为( ) A ．32a b + B ．32a b - C ．32a b + D ．32a b【解答】解：32m n x + 32m n x x =32()()m n x x =， m x a =，n x b =，∴原式32a b =．故选：D ． 【变式训练】1．（2020秋•西城区期末）下列运算中正确的是( ) A ．23a a a +=B ．5210a a a ⋅=C ．238()a a =D ．2224()ab a b =【解答】解：A ．2a 与a 不是同类项，不能合并，因此A 不符合题意；B ．52527a a a a +⋅==，因此B 不符合题意；C ．23236()a a a ⨯==，因此C 不符合题意；D ．2224()ab a b =，因此D 符合题意；故选：D ．2．（2020秋•海淀区校级月考）计算10099(2)(2)-+-的结果为( ) A ．992-B ．992C ．2-D ．2【解答】解：原式99(2)(21)=-⨯-+99(2)(1)=-⨯-992=．故选：B ． 考点二 整式乘法例2．（2020•密云区一模）下列各式计算正确的是( ) A ．326a a a =B ．5510a a a +=C ．339(2)8a a -=-D ．22(1)1a a -=-【解答】解：A 、原式5a =，不符合题意；B 、原式52a =，不符合题意；C 、原式98a =-，符合题意；D 、原式221a a =-+，不符合题意，故选：C ．【变式训练】1．（2020秋•海淀区校级期中）如果2(4)(8)x x x mx n -+=++，那么m n +的值为( ) A ．36B ．28-C ．28D ．36-【解答】解：2(4)(8)432x x x x -+=+-，2(4)(8)x x x mx n -+=++， 4m ∴=，32n =-， m n ∴+的值为28-，故选：B ．2．（2020秋•海淀区校级期中）计算()(3)x k x -+的结果中不含x 的一次项，则k 的值是( ) A ．0B ．3C ．3-D ．2-【解答】解：()(3)x k x -+ 233x kx x k =-+-2(3)3x k x k =+--．()(3)x k x -+的结果中不含x 的一次项， 30k ∴-=． 3k ∴=．故选：B ．考点三 平方差公式例3．（2020秋•东城区校级期中）下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A ．(2)(2)x x +--B ．(5)(5)a y y a +-C ．()()x y x y -+-D ．(3)(3)x y y x +-【解答】解：222(2)(2)(2)(44)44x x x x x x x +--=-+=-++=---；2222(5)(5)25552455a y y a ay a y ay ay a y +-=-+-=-+； 22222()()()(2)2x y x y x y x xy y x xy y -+-=--=--+=-+-； 22(3)(3)(3)(3)9x y y x y x y x y x +-=+-=-． 故选：D ． 【专项训练】1．化简(23)(32)x x ---的结果是( )A ．249x -B ．294x -C ．249x --D ．2469x x -+【解答】解：2(23)(32)49x x x ---=-， 故选：A ．2．（2020春•朝阳区期末）已知x =+y =，则xy = ．【解答】解：因为x y =，所以xy =22=-53=-2=，故答案为：2．考点四 完全平方公式例4．（2020秋•海淀区校级期中）若17a b +=，60ab =，则2()a b -= ． 【解答】解：17a b +=，60ab =，222()()41746049a b a b ab ∴-=+-=-⨯=． 故答案为49．【专项训练】1．（2020秋•丰台区期末）如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b = ． 【解答】解：22242x bx x bx ++=++，2124b ∴=±⨯⨯=±，故答案为：4±．2．（2020秋•海淀区校级期中）如果a ，b ，c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=，则abc 等于( ) A ．9B ．27C ．54D ．81【解答】解：222222269a b c ab bc c ++---+，22222(2)(2)(69)a ab b b bc c c c =-++-++-+， 222()()(3)0a b b c c =-+-+-=， 2()0a b ∴-=，2()0b c -=，2(3)0c -=， a b ∴=，b c =，3c =，即3a b c ===． 27abc ∴=．故选：B ．考点五 代数式化简求值——直接代入例5．当13a =时，代数式(4)(3)(1)(3)a a a a -----的值为( )A ．343B ．10-C ．10D ．8【解答】解：(4)(3)(1)(3)a a a a -----， 2271243a a a a =-+-+-， 39a =-+，当13a =时，原式13983=-⨯+=．故选：D ． 【专项训练】1．（2020春•房山区期末）已知12m =，求代数式2(1)(1)(1)m m m +-+-的值． 【解答】解：2(1)(1)(1)m m m +-+-2221(1)m m m =++-- 22211m m m =++-+ 22m =+，当12m =时，原式123=+=． 2．（2019春•房山区期中）已知2|2|(1)0a b -++=，化简求值：4()(2)(2)a a b a b a b +-+-． 【解答】解：4()(2)(2)a a b a b a b +-+- 222444a ab a b =+-+ 24ab b =+，2|2|(1)0a b -++=， |2|0a ∴-=，2(1)0b +=，解得，2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式242(1)(1)817=⨯⨯-+-=-+=-．考点六 代数式化简求值——整体代入例6．（2020•北京二模）若245a a +=，则代数式2(2)(1)(1)a a a a +-+-的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：原式222241(4)1a a a a a =+-+=++， 245a a +=，∴原式516=+=．故选：D ． 【专项训练】1．（2020•海淀区二模）如果220a a --=，那么代数式2(1)(2)(2)a a a -++-的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：原式22222142232()3a a a a a a a =-++-=--=--， 220a a --=， 22a a ∴-=，∴原式2231=⨯-=．故选：A ．2．（2020春•通州区期末）若225m n -=，则22()()m n m n +-的值是( ) A ．25B ．5C ．10D ．15【解答】解：225m n -=，22222()()()25m n m n m n ∴+-=-=， 故选：A ．3．（2020春•海淀区校级期末）已知3x y -=，1xy =，则22(x y += ) A ．5B ．7C ．9D ．11【解答】解：3x y -=，1xy =，222()2x y x y xy ∴-=+-， 2292x y ∴=+-， 2211x y ∴+=， 故选：D ．考点七 因式分解例7．（2020•朝阳区一模）分解因式：2288x x ++= ． 【解答】解：原式222(44)2(2)x x x =++=+．故答案为：22(2)x +． 【专项训练】1．（2020秋•东城区期末）下列各式由左到右是分解因式的是( ) A ．269(3)(3)6x x x x x +-=+-+ B ．2(2)(2)4x x x +-=- C ．2222()x xy y x y --=-D ．22816(4)x x x -+=-【解答】解：A ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B ．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C ．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D ．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D ．2．（2020秋•西城区校级期中）分解因式：233ma mb -= ． 【解答】解：原式23()m a b =-．3．（2020•密云区二模）分解因式：2312ax a -= ． 【解答】解：原式23(4)a x =- 3(2)(2)a x x =+-．故答案为：3(2)(2)a x x +-．考点八 规律探索例8．（2020•北京模拟）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B C →→→→→→→→→⋯的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4⋯，当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 603 ；当字母C 第21n +次出现时(n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解答】解：由题意可得，一个循环为A B C D C B →→→→→，即六个数一个循环， 由题意可得，一个循环中C 出现两次，20121001∴÷=⋯，∴当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是61003603⨯+=，(21)21n n +÷=⋯，∴当字母C 第21n +次出现时（为正整数），恰好数到的数是63n +．故答案为：603，63n +． 【专项训练】1．（2020秋•海淀区校级期中）按一定规律排列的一列数为12-，2，92-，8，252-，18⋯，则第8个数为 ，第n 个数为 ．【解答】解：把整数化为分母是2的分数，可以发现该数列中的每一个数的绝对值的分母都为2，分子恰是自然数列的平方，前面的符号，第奇数个为负，第偶数个为正，可用(1)n -表示，故第n 个数为：2(1)2nn -⨯，第8个数为：288(1)322-⨯=．故答案为：32，2(1)2nn -⨯．2．（2020•密云区一模）如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1．取ABC ∆和DEF ∆各边中点，连接成正六角星形111111A F B D C E ，如图2中阴影部分：取△111A B C 和△111D E F 各边中点，连接成正六角星形222222A F B D C E ，如图3中阴影部分⋯如此下去，则正六角星形n n n n n n A F B D C E 的面积为 ．【解答】解：1A 、1F 、1B 、1D 、1C 、1E 分别是ABC ∆和DEF ∆各边中点，∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形111111A F B D C E ，且相似比为2:1，正六角星形AFBDCE 的面积为1，∴正六角星形111111A F B D C E 的面积为14，同理可得，第三个六角形的面积为：311464=， 第n 个六角形的面积为：14n， 正六角星形n n n n n n A F B D C E 的面积为：14n， 故答案为为：14n． 3．（2020•东城区一模）从1-，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作k a ，)k b 构成一个数对{k k M a =，)k b （其中1k =，2，⋯，s ，且将{k a ，}k b 与{k b ，}k a 视为同一个数对），若满足：对于任意的{i i M a =，}i b 和{j j M a =，)(j b i j ≠，1i s ，1)j s 都有i i j j a b a b +≠+，则s 的最大值是 ．【解答】解：101-+=-，121-+=，132-+=，022+=，033+=，235+=， i i a b ∴+共有5个不同的值．又对于任意的{i i M a =，}i b 和{j j M a =，)(j b i j ≠，1i s ，1)j s 都有i i j j a b a b +≠+， s ∴的最大值是5．故答案为：5．。
第2讲 整式
【回顾与思考】
【例题经典】
一．幂的运算性质 例1（1）a m ·a n =_______（m ，n 都是正整数）；
（2）a m ÷a n =________（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m>n ），特别地：a 0
=1（a ≠0），
a -p
=
1
p
a （a ≠0，p 是正整数）； （3）（a m ）n =______（m ，n 都是正整数）； （4）（a
b ）n =________（n 是正整数）
（5）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=_________． （6）完全平方公式：（a ±b ）2=__________． 【点评】能够熟练掌握公式进行运算.
二．同类项的概念
例2 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值． 【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得25,
227m n n m +=⎧⎨
-+=⎩
解出即可
三．整式的化简与运算
例3 （2006年江苏省）先化简，再求值：
[（x-y ）2+（x+y ）（x-y ）]÷2x 其中x=3，y=-1．5．
【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．
【基础训练】
1．下列运算正确的是（ ）
A ．a 5·a 3=a 15
B ．a 5-a 3=a 2
C ．（-a 5）2=a 10
D ．a 6÷a 3=a 2
2．（2006年黄冈市）下列运算正确的是（ ）
A ．2x 5-3x 3=-x 2
B ．
C ．（-x ）5·（-x 2）=-x 10 D.（3a x -9a x ）÷（-3ax 3）=3x 2-a 5
3．随着新农村建设的进一步加快，湖州市农村居民人均纯收入增长迅速．据统计，2005年本市农村居民纯收入比上一年增长14.2%，若2004•年湖州市农村居民纯收入为a 元，则2005年农村居民人均纯收入可表示为（ ）
A ．14.2a 元
B ．1.42a 元
C ．1.142a 元
D ．0.142a 元 4．（2006年成都市）已知代数式
12x a-1y 3
与-3x -b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A ．2
222 (1)
111a a a a B C D b b b b ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩
5．从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼
成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ） A ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） B.（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
C.（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 D ．a 2+ab=a （a+b ）
6．全国中小学危房改造工程实施五年来，已改造农村中小学危房7800万平方米，如果按一幢教学楼的总面积是750平方米计算，•那么该项改造工程共修建教学楼大约有（ ） A ．10幢 B ．10万幢 C ．20万幢 D ．100万幢 7．已知x-y=2，则x 2-2xy+y 2=_________．
8．（2005年兰州市）某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元，增长到800万元，则平均每年增长的百分数是_________． 9．将连续的自然数1至36
按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9•个数的和为__________．
10．用火柴棒按下图中的方式搭图形． （1）按图示规律填空：
（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要_________
根火柴棒．
【能力提升】
11．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，•直角三角形的较短直角边为a ，
较长直角边为b ，那么（a+b ）2
的值为（ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169
12．先化简，再求值:5x 2-（3y 2+5x 2）+（4y 2+7xy ）,其中x=-1，
．
13．（2006年常德市）右边是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n•为正整数），表示数表中第n 行第n 列的数：______________．
14．（2005年广东省）如图，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r 米，长方形长为a 米，宽为b 米． （1）请用代数式表示空地的面积．
（2）若长方形长为300米，宽为200米，圆形的
半径为10米，求广场空地的面积（•结果保留准确值）．
【应用与探究】
15．（2006年泉州市）某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a ，从第2排开始，•第一排都比前一排增加b 个座位．
（1
（2）已知第42倍，求第21排有多少个座位？
答案与参考例题经典
例1：（1）a m+n（2）a m-n（3）a mn
（4）a n b n（5）a2-b2（6）a2±2ab+b2
例2：先求出n=3，m=-1则n m=1 3
例3：x-y=4.5
考点精练：
1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．4 8．100% 9．9a
10
（4）4n+1 11．C 12．-4 13．n2-（n-1）
14.（1）（ab-πr2）米2
（2）（60000-100π）米2
15.（1）a+3b （2）52个.。
