第1章 第2讲 整 式

2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单 项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝___m__a_＋__m__b_＋__m_c________________. (3)多项式与多项式相乘：(a＋b)(m＋n)＝___a_m_＋__a_n_＋__b_m__＋__b_n_________. (4)乘法公式 ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2___. ②完全平方公式：(a±b)2＝___a_2±__2_a_b_＋__b_2 ___.
4．(2018·洛阳二模)下列计算结果正确的是( D ) A．(－a3)2＝a9 B．a2·a3＝a6 C．(－12)－1－22＝－2 D．(cos 30°－12)0＝1
5．(2018·安阳二模)下列计算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝a4 B．(2a)3＝6a3 C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a2)3＝－a6
D．b＝22.1%×2a
【解析】 根据“现期量＝基期量＋增长量，增长量＝基期量×增长率”，可知 2017 年我省有效发明专利数为 a＋22.1%a＝(1＋22.1%)a(万件)，2018 年我省有效发 明专利数为(1＋22.1%)·(1＋22.1%)a(万件)，即 b＝(1＋22.1%)2a(万件)，故选 B．
第2讲 整式(3～8分)
考点一 整式的相关概念 1．单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也 是单项式． (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． (2)一个单项式中，所有字母的指数的___和______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项， 不 含 字 母 的 项 叫 做 __常__数__项___ ． 多 项 式 中 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 做 这 个 多 项 式 的 __次__数_____．

考点一 匀变速直线运动规律及应用1．基本规律(1)速度公式：v ＝v 0＋at . (2)位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2.(3)位移速度关系式：v 2－v 20＝2ax .这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．均为矢量式，应用时应规定正方向． 2．两个重要推论(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：v ＝v t ＝v 0＋v2. (2)任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差为一恒量，即：Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2.3．v 0＝0的四个重要推论(1)1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为： v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n . (2)1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为： x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2.(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移的比为：x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n [思维深化]飞机着陆后以6 m /s 2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60 m/s ，则它着陆后12 s内滑行的距离是多少？ 某位同学的解法如下：由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，代入已知量求得滑行距离x ＝288 m ，请分析以上解析是否正确，若不正确，请写出正确的解析． 答案 不正确．解析如下：先求出飞机着陆后到停止所用时间t .由v ＝v 0＋at ，得t ＝v －v 0a ＝0－60－6 s ＝－10 s ，由此可知飞机在12 s 内不是始终做匀减速运动，它在最后2 s 内是静止的．故它着陆后12 s 内滑行的距离为x ＝v 0t ＋at 22＝60×10 m ＋(－6)×1022m ＝300 m.1．[基本规律的应用]一个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5 m/s ，第9 s 内的位移比第5 s 内的位移多4 m ，则该质点的加速度、9 s 末的速度和质点在9 s 内通过的位移分别是( ) A ．a ＝1 m /s 2，v 9＝9 m/s ，x 9＝40.5 m B ．a ＝1 m /s 2，v 9＝9 m/s ，x 9＝45 m C ．a ＝1 m /s 2，v 9＝9.5 m/s ，x 9＝45 m D ．a ＝0.8 m /s 2，v 9＝7.7 m/s ，x 9＝36.9 m 答案 C解析 根据匀变速直线运动的规律，质点在t ＝8.5 s 时刻的速度比在t ＝4.5 s 时刻的速度大4 m/s ，所以加速度a ＝Δv Δt ＝4 m/s 4 s ＝1 m /s 2，v 9＝v 0＋at ＝9.5 m/s ，x 9＝12(v 0＋v 9)t ＝45 m ，选项C 正确．2．[刹车问题]汽车以20 m /s 的速度做匀速直线运动，见前方有障碍物立即刹车，刹车后加速度大小为5 m/s 2，则汽车刹车后第2 s 内的位移和刹车后5 s 内的位移为( ) A ．30 m,40 m B ．30 m,37.5 m C ．12.5 m,40 m D ．12.5 m,37.5 m答案 C解析 由v ＝v 0＋at ，可求得汽车刹车后运动时间t ＝4 s ，刹车后第2 s 内位移x 2＝20×2－12×5×22－20×1＋12×5×12 m ＝12.5 m ．刹车后5 s 内位移即为4 s 内的位移，看成反向初速度为0的匀加速直线运动，x 5＝12at 2＝12×5×42 m ＝40 m.3．[两个重要推论的应用]一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s 内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(连接处长度不计)．求： (1)火车的加速度的大小； (2)人开始观察时火车速度的大小． 答案 (1)0.16 m /s 2 (2)7.2 m/s解析 (1)由题意知，火车做匀减速直线运动，设火车加速度大小为a ，人开始观察时火车速度大小为v 0，L ＝8 m Δx ＝aT 2，8L －6L ＝a ×102 a ＝2L 100＝2×8100m /s 2＝0.16 m/s 2 (2)v t ＝v 平＝8L ＋6L 2T ＝14×820 m /s ＝5.6 m/s2v t ＝v 0－aT ，解得v 0＝7.2 m/s4．[v 0＝0重要推论的应用]一列车由等长的车厢连接而成．车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐．当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2 s ，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少？ 答案 4 s解析 取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动． 据通过连续相等的位移所用时间之比为t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)得 2Δt ＝1(16－15)＋(15－14)＋…＋(5－4)＝116－4＝12. 所以Δt ＝4 s.记住两个推论，活用一种思维1．两个重要推论公式 (1)v t ＝2v t ＝v 0＋v t 2(2)Δx ＝aT 22．用逆向思维法解决刹车问题(1)逆向思维法：匀减速到速度为零的直线运动一般看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．(2)对于刹车类问题，实质是汽车在单方向上的匀减速直线运动问题．速度减为零后，加速度消失，汽车停止不动，不再返回，若初速度为v 0，加速度为a ，汽车运动时间满足t ≤v 0a，发生的位移满足x ≤v 202a.考点二 常用的几种物理思想方法1．一般公式法一般公式指速度公式v ＝v 0＋at ，位移公式x ＝v 0t ＋12at 2及推论式2ax ＝v 2－v 20，它们均是矢量式，使用时要注意方向性，一般以v 0方向为正方向，已知量与正方向相同者取正，与正方向相反者取负．未知量按正值代入，其方向由计算结果决定． 2．平均速度法定义式v ＝x t 对任何性质的运动都适用，而v ＝12(v 0＋v )只适用于匀变速直线运动．3．中间时刻速度法利用“任一时间t 中间时刻的瞬时速度等于这段时间t 内的平均速度”，即2v t ＝v ＝12(v 0＋v )，适用于匀变速直线运动． 4．推论法对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx ＝aT 2求解． 5．逆向思维法把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况． 6．图象法应用v －t 图象，可以把较复杂的问题转变为较简单的数字问题来解决． [思维深化]做匀变速直线运动的物体，在t s 内通过的位移为x ，则中间时刻的速度2v t 和位移中点的速度2v x 谁大呢？答案 方法一：图象法由图知v x >v t .方法二：数学求差法2v t ＝v 0＋v t2 2v x ＝v 20＋v 2t22v x 2－2v t 2>0所以2v x >2v t5．[比例法的应用]做匀减速直线运动的物体经4 s 停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最后1 s 内的位移是( )A ．3.5 mB ．2 mC ．1 mD ．0 答案 B解析 利用“逆向思维法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则匀减速直线运动的物体在相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1，所以71＝14 m x 1，x 1＝2 m ．故选B.6．[中间位置速度公式的应用]滑板爱好者由静止开始沿一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v ，则到达斜坡底端时的速度为( ) A.2v B.3v C ．2v D.5v 答案 A解析 由匀变速直线运动的中点位置的速度公式2v x ＝v 20＋v22，有v ＝ 0＋v 2底2，得v 底＝2v ，所以只有A 项正确．7．[平均速度公式的应用]质点由A 点出发沿直线AB 运动，行程的第一部分是加速度大小为a 1的匀加速运动，接着做加速度大小为a 2的匀减速运动，到达B 点时恰好速度减为零．若AB 间总长度为s ，则质点从A 到B 所用时间t 为( ) A.s (a 1＋a 2)a 1a 2B.2s (a 1＋a 2)a 1a 2 C.2s (a 1＋a 2)a 1a 2D.a 1a 22s (a 1＋a 2)答案 B解析 设第一阶段的末速度为v ， 则由题意可知：v 22a 1＋v 22a 2＝s ，解得：v ＝2a 1a 2sa 1＋a 2；而s ＝0＋v 2t 1＋v ＋02t 2＝v 2t ，由此解得：t ＝2(a 1＋a 2)sa 1a 2，所以选B. 8．[物理思想方法的综合应用]物体以一定的初速度从斜面底端A 点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l ，到达斜面最高点C 时速度恰好为零，如图1，已知物体运动到距斜面底端34l 处的B 点时，所用时间为t ，求物体从B 滑到C 所用的时间．图1答案 t解析 方法一：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面．设物体从B 到C 所用的时间为t BC .由运动学公式得x BC ＝at 2BC 2，x AC ＝a (t ＋t BC )22，又x BC ＝x AC4，由以上三式解得t BC ＝t . 方法二：基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v 0，物体从B 滑到C 所用的时间为t BC ，由匀变速直线运动的规律可得v 20＝2ax AC ①v 2B ＝v 20－2ax AB ② x AB ＝34x AC ③由①②③解得 v B ＝v 02④又v B ＝v 0－at ⑤ v B ＝at BC ⑥由④⑤⑥解得t BC ＝t . 方法三：比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．因为x CB ∶x BA ＝x AC 4∶3x AC4＝1∶3，而通过x BA 的时间为t ，所以通过x BC 的时间t BC ＝t .方法四：中间时刻速度法利用推论：匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，vAC ＝v 0＋02＝v 02.又v 20＝2ax AC ，v 2B ＝2ax BC ，x BC ＝x AC 4.由以上三式解得v B ＝v 02.可以看成v B 正好等于AC 段的平均速度，因此B 点是这段位移的中间时刻，因此有t BC ＝t . 方法五：图象法根据匀变速直线运动的规律，画出v －t 图象．如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得S △AOC S △BDC ＝CO 2CD 2，且S △AOC S △BDC ＝41，OD ＝t ，OC ＝t ＋t BC .所以41＝(t ＋t BC )2t 2，解得t BC ＝t .匀变速直线运动规律中应用的两个技巧1．匀减速直线运动减速到0时，通常看成反向的初速度为0的匀加速直线运动． 2．若告诉匀变速直线运动的时间和位移，通常要考虑应用平均速度公式，求出中间时刻的瞬时速度．考点三 自由落体和竖直上抛运动1．特点和规律 (1)自由落体运动的特点 ①从静止开始，即初速度为零． ②只受重力作用的匀加速直线运动． ③公式：v ＝gt ，h ＝12gt 2，v 2＝2gh .(2)竖直上抛运动的特点 ①初速度竖直向上．②只受重力作用的匀变速直线运动． ③若以初速度方向为正方向，则a ＝－g . 2．处理竖直上抛运动的方法 (1)分段处理①上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动． ②几个特征物理量上升的最大高度H ＝v 202g ，上升到最高点所用的时间T ＝v 0g ，回到抛出点所用的时间t ＝2v 0g，回到抛出点时的速度v ＝－v 0. (2)全程处理①初速度为v 0(设为正方向)，加速度为a ＝－g 的匀变速直线运动． ②v >0时，物体上升． v <0时，物体下降．③h >0时，物体在抛出点上方． h <0时，物体在抛出点下方． [思维深化]如图2所示，物体以初速度v 0竖直上抛，A 、B 为途中的任意两点，C 为最高点．请分析以下问题：图2(1)物体从A →C 的时间t AC 与从C →A 的时间t CA 有什么关系？ (2)物体在上升和下降过程经过A 点的速度有什么关系？ (3)从A →B 和从B →A 的重力势能变化量有什么关系？答案 (1)时间对称性：物体上升过程中从A →C 所用时间t AC 和下降过程中从C →A 所用时间t CA 相等．(2)速度对称性：物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等、方向相反．(3)能量对称性：物体从A →B 和从B →A 重力势能变化量的大小相等，均等于mgh AB .9．[自由落体运动规律的应用]一小石块从空中a 点自由落下，先后经过b 点和c 点，不计空气阻力．经过b 点时速度为v ，经过c 点时速度为3v ，则ab 段与ac 段位移之比为( ) A ．1∶3 B ．1∶5 C ．1∶8 D ．1∶9 答案 D解析 物体做自由落体运动， 2gh ab ＝v 2① 2gh ac ＝(3v )2②由①②得h ab h ac ＝19，故D 正确．10．[竖直上抛运动规律的应用]气球下挂一重物，以v 0＝10 m /s 的速度匀速上升，当到达离地高度h ＝175 m 处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地时的速度多大？空气阻力不计，g 取10 m/s 2. 答案 见解析解析 解法一：分成上升阶段和下落阶段两个过程处理． 绳子断裂后重物要继续上升的时间t 1和上升的高度h 1分别为 t 1＝v 0g＝1 sh 1＝v 202g＝5 m故重物离地面的最大高度为H ＝h 1＋h ＝180 m 重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为 t 2＝2Hg＝6 s v ＝gt 2＝60 m/s所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间为t ＝t 1＋t 2＝7 s.解法二：取全过程作为一个整体考虑，从绳子断裂开始计时，经时间t 后重物落到地面，规定初速度方向为正方向，则重物在时间t 内的位移h ′＝－175 m ，由位移公式有： h ′＝v 0t －12gt 2即－175＝10t －12×10t 2＝10t －5t 2t 2－2t －35＝0解得t 1＝7 s ，t 2＝－5 s(舍去) 所以重物落地速度为：v ＝v 0－gt ＝10 m /s －10×7 m/s ＝－60 m/s 其中负号表示方向向下，与初速度方向相反．抓住两种运动的实质，选用不同的解题技巧1．根据定义，全盘接收对自由落体运动，v 0＝0，a ＝g ，将匀变速运动的所有公式和推论全部接收过来．2．机智灵活，思维发散(1)对竖直上抛运动，既能分段处理又可全程处理．(2)全程处理时，要注意速度、加速度、位移等的方向，方程以匀减速体现，初速度方向与重力加速度方向必相反．如 速度公式：v ＝v 0－gt 或v ＝－v 0＋gt 位移公式：h ＝v 0t －12gt 2或h ＝－v 0t ＋12gt 2(3)理解运算结果中的负号．考点四 多过程组合问题多过程问题解题思路如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带．可按下列步骤解题：(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图； (2)列：列出各运动阶段的运动方程；(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移－时间关系； (4)解：联立求解，算出结果．11．[匀加速与匀速运动组合](2014·海南·13)短跑运动员完成100 m 赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段．一次比赛中，某运动员用11.00 s 跑完全程．已知运动员在加速阶段的第2 s 内通过的距离为7.5 m ，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离． 答案 5 m/s 2 10 m解析 设运动员在匀加速阶段的加速度为a ，在第1 s 和第2 s 内通过的位移分别为x 1和x 2. 在第1 s 和第2 s 内运动员都做匀加速运动，由运动学规律得 x 1＝12at 20①x 1＋x 2＝12a (2t 0)2②式中t 0＝1 s.联立①②两式并代入已知条件，得a ＝5 m/s 2.③设运动员做匀加速运动的时间为t 1，匀速运动的时间为t 2，匀速运动的速度为v ；跑完全程的时间为t ，全程的距离为x . 依题意及运动学规律，得t ＝t 1＋t 2④v ＝at 1⑤ x ＝12at 21＋v t 2⑥ 设匀加速阶段通过的距离为x ′，则x ′＝12at 21⑦联立③④⑤⑥⑦式，并代入数据得x ′＝10 m.12．[匀减速与匀加速的组合]已知一足够长的粗糙斜面，倾角为θ，一滑块以初速度v 1＝16 m /s 从底端A 点滑上斜面，经2 s 滑至B 点后又返回A 点．其运动过程的v －t 图象如图3所示．已知上滑的加速度大小是下滑的4倍．求：(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g ＝10 m/s 2)图3(1)AB 之间的距离；(2)滑块再次回到A 点时的速度及滑块在整个运动过程中所用的时间． 答案 (1)16 m (2)8 m/s 6 s解析 (1)由v －t 图象知AB 之间的距离为x AB ＝16×22m ＝16 m. (2)设滑块从A 点滑到B 点过程的加速度大小为a 1，从B 点返回A 点过程的加速度大小为a 2，由题意知a 1＝4a 2.根据a 1t 21＝a 2t 22＝2x AB ，得t 2＝a 1t 21a 2＝4 s 因为v 12t 1＝v 22t 2，则滑块返回A 点时的速度为v 2＝8 m/s则滑块在整个运动过程中所用的时间为t ＝t 1＋t 2＝6 s.多过程组合问题的“三个”处理技巧1．用图象分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律，且直观、形象，这是图象法的优势，一些物理量的关系能通过图象很明显地反映出来．2．将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动． 3．多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键．1．质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为 x ＝5t ＋t 2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )A ．第1 s 内的位移是5 mB ．前2 s 内的平均速度是6 m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是1 mD ．任意1 s 内的速度增量都是2 m/s 答案 D解析 由匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，对比题给关系式可得v 0＝5 m /s ，a ＝2m/s 2，则第1 s 内的位移是6 m ，A 错；前2 s 内的平均速度是v ＝x 2t ＝5×2＋222 m /s ＝7 m/s ，B 错；Δx ＝aT 2＝2 m ，C 错；任意1 s 内的速度增量Δv ＝a Δt ＝2 m/s ，D 对．2．做匀加速直线运动的物体途中依次经过A 、B 、C 三点，已知AB ＝BC ＝l2，AB 段和BC段的平均速度分别为v 1＝3 m /s 、v 2＝6 m/s ，则： (1)物体经过B 点时的瞬时速度v B 为多大？(2)若物体运动的加速度a ＝2 m/s 2，试求AC 的距离l . 答案 (1)5 m/s (2)12 m解析 (1)设物体运动的加速度大小为a ，经A 、C 点的速度大小分别为v A 、v C .由匀加速直线运动规律可得：v 2B －v 2A ＝2a ×l 2① v 2C －v 2B ＝2a ×l 2② v 1＝v A ＋v B 2③v 2＝v B ＋v C 2④解①②③④式得：v B ＝5 m/s (2)解①②③④式得： v A ＝1 m /s ，v C ＝7 m/s由v 2C －v 2A ＝2al 得：l ＝12 m.3．(2014·山东·23)研究表明，一般人的刹车反应时间(即图4甲中“反应过程”所用时间)t 0＝0.4 s ，但饮酒会导致反应时间延长．在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以v 0＝72 km /h 的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L ＝39 m ．减速过程中汽车位移x 与速度v 的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动．重力加速度的大小g 取10 m/s 2.求：甲乙 图4(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间； (2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少；(3)减速过程汽车对志愿者作用力的大小与志愿者重力大小的比值． 答案 (1)8 m/s 2 2.5 s (2)0.3 s (3)415解析 (1)设减速过程中汽车加速度的大小为a ，所用时间为t ，由题可得初速度v 0＝20 m/s ，末速度v t ＝0，位移x ＝25 m ，由运动学公式得v 20＝2ax ①t ＝v 0a② 联立①②式，代入数据得 a ＝8 m/s 2③ t ＝2.5 s ④(2)设志愿者反应时间为t ′，反应时间的增加量为Δt ，由运动学公式得 L ＝v 0t ′＋x ⑤ Δt ＝t ′－t 0⑥联立⑤⑥式，代入数据得 Δt ＝0.3 s ⑦(3)设志愿者所受合外力的大小为F ，汽车对志愿者作用力的大小为F 0，志愿者质量为m ，由牛顿第二定律得 F ＝ma ⑧由平行四边形定则得F 20＝F 2＋(mg )2⑨联立③⑧⑨式，代入数据得 F 0mg ＝415. 练出高分基础巩固1．假设某无人机靶机以300 m /s 的速度匀速向某个目标飞来，在无人机离目标尚有一段距离时发射导弹，导弹以80 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，以1 200 m/s 的速度在目标位置击中该无人机，则导弹发射后击中无人机所需的时间为( ) A ．3.75 s B ．15 s C ．30 s D ．45 s 答案 B解析 导弹由静止做匀加速直线运动，即v 0＝0，a ＝80 m/s 2 ，据公式v ＝v 0＋at ，有t ＝v a ＝1 20080s ＝15 s ，即导弹发射后经15 s 击中无人机，选项B 正确． 2．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，若从0时刻起汽车在运动过程中的位移与速度的关系式为x ＝(10－0.1v 2) m ，则下列分析正确的是( ) A ．上述过程的加速度大小为10 m/s 2 B ．刹车过程持续的时间为5 s C ．0时刻的初速度为10 m/s D ．刹车过程的位移为5 m 答案 C解析 由v 2－v 20＝2ax 可得x ＝12a v 2－12a v 20，对照x ＝(10－0.1v 2) m ，可知a ＝－5 m /s 2，v 0＝10 m/s ，选项A 错误，C 正确；由v ＝v 0＋at 可得刹车过程持续的时间为t ＝2 s ，由v 2－v 20＝2ax 可得刹车过程的位移x ＝10 m ，选项B 、D 错误．3．某同学在实验室做了如图1所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm ，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10－3 s ，g 取10 m/s 2，则小球开始下落的位置距光电门的距离为( )图1A ．1 mB ．1.25 mC ．0.4 mD ．1.5 m 答案 B解析 本题主要考查瞬时速度的含义．小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v ＝xt ＝5 m/s ，由自由落体运动规律可知h ＝v 22g ＝1.25 m ，B 正确．4．(多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a ，初速度大小为v 0，经过时间t 速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示( ) A ．v 0t －12at 2B ．v 0t C.v 0t 2 D.12at 2 答案 ACD5．(多选)给滑块一初速度v 0使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为g2，当滑块速度大小减为v 02时，所用时间可能是( )A.v 02gB.v 0gC.3v 0gD.3v 02g 答案 BC解析 当滑块速度大小减为v 02时，其方向可能与初速度方向相同，也可能与初速度方向相反，因此要考虑两种情况，即v ＝v 02或v ＝－v 02，代入公式t ＝v 0－v a 得t ＝v 0g 或t ＝3v 0g ，故B 、C正确．6．(多选)在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀加速直线运动，刚运动了8 s ，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4 s 停在巨石前．则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( ) A ．加速、减速中的加速度大小之比为a 1∶a 2等于2∶1 B ．加速、减速中的平均速度大小之比v 1∶v 2等于1∶1 C ．加速、减速中的位移大小之比x 1∶x 2等于2∶1 D ．加速、减速中的加速度大小之比a 1∶a 2不等于1∶2 答案 BC解析 汽车由静止运动8 s ，又经4 s 停止，加速阶段的末速度与减速阶段的初速度相等，由v ＝at ，知a 1t 1＝a 2t 2，a 1a 2＝12，A 、D 错；又由v 2＝2ax 知a 1x 1＝a 2x 2，x 1x 2＝a 2a 1＝21，C 对；由v＝v2知，v 1 ∶v 2＝1∶1，B 对． 7．(多选)物体做匀加速直线运动，在时间T 内通过位移x 1到达A 点，接着在时间T 内又通过位移x 2到达B 点，则物体( ) A ．在A 点的速度大小为x 1＋x 22TB ．在B 点的速度大小为3x 2－x 12TC ．运动的加速度为2x 1T 2D ．运动的加速度为x 1＋x 2T 2答案 AB解析 匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则v A ＝v ＝x 1＋x 22T ，A 正确．设物体的加速度为a ，则x 2－x 1＝aT 2，所以a ＝x 2－x 1T 2，C 、D 均错误．物体在B 点的速度大小为v B ＝v A ＋aT ，代入数据得v B ＝3x 2－x 12T，B 正确．综合应用8．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为( ) A ．gt 2 B.38gt 2 C.34gt 2 D.14gt 2答案 D9．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a 的时间间隔是T a ，两次经过一个较高点b 的时间间隔是T b ，则a 、b 之间的距离为( ) A.18g (T 2a －T 2b ) B.14g (T 2a －T 2b ) C.12g (T 2a －T 2b ) D.12g (T a －T b ) 答案 A解析 根据时间的对称性，物体从a 点到最高点的时间为T a 2，从b 点到最高点的时间为T b2，所以a 点到最高点的距离h a ＝12g (T a 2)2＝gT 2a 8，b 点到最高点的距离h b ＝12g (T b 2)2＝gT 2b 8，故a 、b 之间的距离为h a －h b ＝18g (T 2a －T 2b )，故选A. 10．(多选)一物体以初速度v 0做匀减速运动，第1 s 内通过的位移为x 1＝3 m ，第2 s 内通过的位移为x 2＝2 m ，又经过位移x 3物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是( ) A ．初速度v 0的大小为2.5 m/s B ．加速度a 的大小为1 m/s 2C ．位移x 3的大小为1.125 mD ．位移x 3内的平均速度大小为0.75 m/s 答案 BCD解析 第1 s 末的速度v 1＝x 1＋x 22T ＝2.5 m /s ，则A 错误；由Δx ＝aT 2可得加速度的大小a ＝1 m/s 2，则B 正确；物体的速度由2.5 m/s 减小到0所需时间t ＝Δv－a＝2.5 s ，经过位移x 3的时间t ′为1.5 s ，故x 3＝12at ′2＝1.125 m ，C 正确；位移x 3内的平均速度v ＝x 3t ′＝0.75 m/s ，则D正确.11．如图2所示是在2014年韩国仁川亚运会上，我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿，运动员从离水面10 m 高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g 取10 m/s 2)图2(1)运动员起跳时的速度v 0.(2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t (结果保留3位有效数字)． 答案 (1)3 m/s (2)1.75 s解析 (1)上升阶段：－v 20＝－2gh 解得v 0＝2gh ＝3 m/s (2)上升阶段：0＝v 0－gt 1 解得：t 1＝v 0g ＝310 s ＝0.3 s自由落体过程：H ＝12gt 22解得t 2＝2H g ＝ 2×10.4510s ≈1.45 s 故t ＝t 1＋t 2＝0.3 s ＋1.45 s ＝1.75 s12．(2014·新课标Ⅰ·24)公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离．当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰．通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s ，当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120 m ．设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的加速度为晴天时的25，若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安全行驶的最大速度． 答案 20 m /s(72 km/h)解析 设路面干燥时，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为s ，反应时间为t 0，由运动学公式得s ＝v 0t 0＋v 202a 0①式中，v 0为汽车刹车前的速度．设在雨天行驶时，汽车的加速度为a ，依题意有 a ＝25a 0② 设在雨天行驶时汽车，安全行驶的最大速度为v ，由运动学公式得 s ＝v t 0＋v 22a③联立①②③式并代入题给数据得 v ＝20 m /s(72 km/h)13．珠海航展现场“空军八一飞行表演队”两架“歼－10”飞机表演剪刀对冲的精彩空中秀．质量为m 的“歼－10”飞机表演后返回某机场，降落在跑道上的减速过程简化为两个匀减速直线运动过程．飞机以速度v 0着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为a 1，运动时间为t 1；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下．在平直跑道上减速滑行总路程为x .求第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间．答案 (v 0－a 1t 1)22x ＋a 1t 21－2v 0t 1 2x ＋a 1t 21－2v 0t 1v 0－a 1t 1解析 如图，A 为飞机着陆点，AB 、BC 分别对应两个匀减速直线运动过程，C 点停下．A 到B 过程，依据运动学规律有： x 1＝v 0t 1－12a 1t 21，v B ＝v 0－a 1t 1B 到C 过程，依据运动学规律有： x 2＝v B t 2－12a 2t 22，0＝v B －a 2t 2 A 到C 过程，有x ＝x 1＋x 2 联立解得a 2＝(v 0－a 1t 1)22x ＋a 1t 21－2v 0t 1t 2＝2x ＋a 1t 21－2v 0t 1v 0－a 1t 1。

第二讲 整式(时间：45分钟)一、选择题1.下列从左到右的变形：(1)(x ＋1)(x －2)＝x 2－x －2；(2)ax －ay －1＝a(x －y)－1；(3)6x 2y 3＝2x 2·3y 3；(4)x 2－4＝(x ＋2)(x －2)；(5)x 2－1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ,属于因式分解的有( B ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个2.若单项式2x 2y a ＋b 与－13x a －b y 4是同类项,则a 、b 的值分别为( A ) A .a ＝3,b ＝1 B .a ＝－3,b ＝1C .a ＝3,b ＝－1D .a ＝－3,b ＝－13.下列计算正确的是( D )A .a 2·a 3＝a 6B .2a 2＋a 2＝3a 4C .a 6÷a 3＝a 2D .(ab 2)3＝a 3b 64.下列计算正确的是( D )A .2x ＋3y ＝5xyB .(m ＋3)2＝m 2＋9C .(xy 2)3＝xy 6D .a 10÷a 5＝a 55.计算(x ＋1)(x ＋2)的结果为( B )A .x 2＋2B .x 2＋3x ＋2C .x 2＋3x ＋3D .x 2＋2x ＋26.(2018·乐山中考)已知实数a 、b,满足a ＋b ＝2,ab ＝34,则a －b ＝( C ) A .1 B .－52 C .±1 D .±527. 由于受H 7N 9禽流感的影响,某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%,3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24元/kg ,设3月份鸡的价格为m 元/kg ,则( D ) A .m ＝24(1－a%－b%)B .m ＝24(1－a%)b%C .m ＝24－a%－b%D .m ＝24(1－a%)(1－b%)8.图①是一个长为2m,宽为2n(m ＞n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空的部分面积是( C )图① 图②A .2mnB .(m ＋n)2C .(m －n)2D .m 2－n 29.分解因式：2x 2－4x ＋2＝__2(x －1)2__. 10.(2018·达州中考)已知a m ＝3,a n ＝2,则a2m －n 的值为__4.5__. 11.若a ＋b ＝8,a 2b 2＝4,则a 2＋b 22－ab ＝__28或36__. 12.(2018·十堰中考)对于实数a 、b,定义运算“※”如下：a ※b ＝a 2－ab ,例如,5※3＝52－5×3＝10.若(x ＋1)※(x －2)＝6,则x 的值为__1__.13.根据如图所示的程序计算函数y 的值,若输入的x 值是4或7时,输出的y 值相等,则b ＝__－9__.14.定义错误!)为二阶行列式,规定它的运算法则为错误!))＝ad －bc,那么当x ＝1时,二阶行列式错误!))的值为__0__.三、解答题15.(2018·衡阳中考)先化简,再求值：(x ＋2)(x －2)＋x(1－x),其中x ＝－1.解：原式＝x 2－4＋x －x 2＝x －4.当x ＝－1时,原式＝－1－4＝－5.16.先化简,再求值：(1)(2018·乐山中考)(2m ＋1)(2m －1)－(m －1)2＋(2m)3÷(－8m),其中m 是方程x 2＋x －2＝0的根；解：原式＝4m 2－1－m 2＋2m －1－m 2＝2m 2＋2m －2.∵m 是方程x 2－x －2＝0的根,∴m 2＋m －2＝0,∴m 2＋m ＝2,∴原式＝2(m 2＋m －1)＝2×(2－1)＝2.(2)(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2,其中4x ＝3y.解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2－2y 2＝3y 2－4xy.∵4x ＝3y,∴原式＝y(3y －4x)＝0.17.若2x ＝61,4y ＝33,则2x ＋2y 的值为( D )A .94B .127C .129D .2 01318.已知a －1a ＝3,则4－12a 2＋32a 的值为( D ) A .1 B .32 C .52 D .7219.多项式5x 2－4xy ＋4y 2＋12x ＋25的最小值为__16__.20.(2018·宁波中考)在矩形ABCD 内,将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S 1,图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时,S 2－S 1的值为( B )A .2aB .2bC .2a －2bD .－2b21.选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a≠0)中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x,或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料,解决下面问题：(1) 写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；(2) 已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0,求x y 的值.解：(1)①x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；②x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x －2)2－4x ；(2)∵x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0,∴(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0.∴x ＋12y ＝0,y －2＝0, ∴x ＝－1,y ＝2, 则x y ＝(－1)2＝1.。

为 99 ．
9．(2018 秋·龙岗区期末考)先化简，再求值：－a2－(2a－3a2)＋2(3a
－a2＋1)，其中 a＝－2.
解：－a2－(2a－3a2)＋2(3a－a2＋1) ＝－a2－2a＋3a2＋6a－2a2＋2 ＝4a＋2 当 a＝－2 时 原式＝4×(－2)＋2 ＝－6
10．(2018·浙江宁波中考)先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其 中 x＝－21.
思路分析：第一行的规律是 1，2，3，4，…，故第五个数是 5； 第二行的规律是 1，2，4，8，…，故第五个数是 16；故第五个图 中共有 5＋16＝21 个太阳．
方法总结：观察图形，找出数字与图形之间关系的代数式，然后 根据关系式求值．
2．(2014 年深圳中考第 16 题)如图，下列图形是将正三角形按一定
第 6 幅图中有 36 个正方形．
知识点 2：整式的有关概念
1．整式—— 单单项项式式 和 多项式 统称为整式．
2．单项式——数与字母的积所表示的代数式叫做单项式
单项式中的数字因数叫做单项式的 系系数数 ，单项式中所有 字母的指数和叫做单项式的 次次数数 ，特别地，单独一个数
或者一个字母也是单项式．
A．a2＋a2＝a4
B．a3·a4＝a12
C．(a3)4＝a12
D．(ab)2＝ab2
思路分析：主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方 以及积的乘方，分别计算出各项的结果，再进行判断即可． A．a2＋a2＝2a2，故原选项错误； B．a3·a4＝a3＋4＝a7，故原选项错误； C．(a3)4＝a12，计算正确； D．(ab)2＝a2b2，故原选项错误．
项．其法则是：合并同类项时，把同类项的 系系数数 相加， 所得的和作为系数，字母与字母的 指指数数 不变．

1．(2021·温州)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不
超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元
．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( D)
A．20a元
B．(20a＋24)元
C．(17a＋3.6)元
D．(20a＋3.6)元
2．(2021·杭州二模)已知a＝1，则a2＋4a＋4＝__9__．
1．(2021·湖州)计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x).
解：原式＝x2＋2x＋1－x2 ＝2x＋1.
2．(2021·长沙)先化简，再求值：(x－3)2＋(x＋3)(x－3)＋ 2x(2－x)，其中 x＝－12 .
解：原式＝x2－6x＋9＋x2－9＋4x－2x2＝－2x， 当 x＝－12 时，原式＝－2×(－12 )＝1.
11．(2021·常州)计算：2a2－(a2＋2)＝ a2－2 ．
12．(2021·宁波)计算：(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2. 解：原式＝1－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋10.
考 点 四 因式分解
13．(2021·温州)分解因式： 2m2－18＝ 2(m＋3)(m－3)．
14．(2021·菏泽)因式分解： －a3＋2a2－a＝ －a(a－1)2 ．
第一章 数与式
第2讲 整式与因式分解
考点扫描
考 点 一 代数式及代数式求值
1．列代数式 (1)定义：一般地，用含有数、① 字母 及运算符号的式子把问 题中的数量关系表示出来，就是列代数式．
(2)列代数式常见模型
问题描述 原价a的x折
质量a的n倍多(少)m
列代数式
a·1x0
an±m
质量a增长(减少)x%
(2)100x2－4＝2＝ (2a＋3b)(2a－3b) ；

8
温馨提示 (1)常数项是同类项. (2)整式的加减实质是合并同类项. (3)去括号与添括号:
a+(b+c)= a+b+c ;a-(b+c)=
a-b-c ;
a+b–c =a +
(b-c) ;a–b+c =a- (b-c) .
温馨提示 (1)去括号时,括号前面是“+”的,直接去掉括号,
括号内的项符号不变;括号前面是“-”的,去掉括号后,括号内的
12
知识点四 因式分解
1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的 积 像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.
的形式,
2.因式分解的方法
(1)提公因式法:用式子表示m a+mb+mc= m(a+ b +c ) .
公因式的确定:首先,取各项式系数的最大公约数;然后,取各项相 同的字母;最后,取各项相同字母的最低次数.
A.- 3 x2的系数是 3
4

C.3ab2的系数是3a
B. π 3a2的系数为 3
2
2
D. 2xy2的系数是 2
5
5
解析 选项A中的系数是- 34 ,选项B中的系数是 32π ,选项C中的系 数是3,故选D.
K12教育课件
30
4.(2017泰安新泰一模)把多项式x2+ax+b分解因式得(x+1)(x-3),则
( B )
A.a=2,b=3
B.a=-2,b=-3
C.a=-2,b=3
D.a=2,b=-3
解析 ∵(x +1)(x -3)=x2-3x +x -3=x2-2x-3, ∴x2+ax+b =x2-2x -3,∴a =-2,b =-3.故选B.

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。

解：(x－y)2－(x－2y)(x＋y)＝x2－2xy＋y2－x2＋xy＋2y2＝ －xy＋3y2. 当 x＝14，y＝－4 时，原式＝－14×(－4)＋3×(－4)2＝49. [名师点评]本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方 公式、多项式乘多项式法则是解题吉林)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(4－x)， 其中 x＝14. 解：(x＋2)(x－2)＋x(4－x)＝x2－4＋4x－x2＝4x－4， 当 x＝14时，原式＝4×14－4＝1－4＝－3.
B.(－4)0＝1 D.(－5)4÷(－5)2＝－52
答案：B
4.(2016 年广东)已知方程 x－2y＋3＝8，则整式 x－2y 的值
为( )
A.5
B.10
答案：A
C.12
D.15
5.(2014年广东)计算：2x3÷x＝________. 答案：2x2 6.(2014 年广东)计算： 9＋|－4|＋(－1)0－12－1. 解：原式＝3＋4＋1－2＝6. 7.(2012 年广东)先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－x(x－2)， 其中 x＝4.
B.(a2)3＝a5
C.a2＋3a2＝4a4
D.a4÷a2＝a2
答案：D
整式运算
5.(2016年广东深圳)下列运算正确的是( )
A.8a－a＝8
B.(－a)4＝a4
C.a3×a2＝a6
D.(a－b)2＝a2－b2
答案：B
6.(2016年湖北荆门)下列运算正确的是( )
A.a＋2a＝2a2
B.(－2ab2)2＝4a2b4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第2讲 整式与分式
第1课时 整式
1.能借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数 的意义.

B．10(100－x)元
• C．8(100－x)元
D．(100－8x)元
• 2．(2022·广安)已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的 值1为0 _____．
考点 幂的运算性质
• 3．(2022·台州)下列运算正确的是
• A．a2·a3＝a5
B．(a2)3＝a8
• C．(a2b)3＝a2b3
安徽十年精选
考点 幂的运算性质
• 1．(2022·安徽)下列各式中，计算结果等于a9的是 ( B )
• A．a3＋a6
B．a3·a6
• C．a10－a
D．a18÷a2
2．(2020·安徽)计算－a6÷a3 的结果是
• A．－a3
B．－a2
• C．a3
D．a2
(C )
• 3．(2018·安徽)下列运算正确的是
B
• 10．(2014·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是
()
• A．a2＋1
B．a2－6a＋9
• C．x2＋5y
D．x2－5y
考点 规律探究
• 11．(2022·安徽)观察以下等式： • 第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2； • 第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2； • 第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2； • 第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2；
• 8．(2018·安徽)下列分解因式正确的是 • A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
( C)
• B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
• C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
• D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)

七年级数学第一章 第1—2节 整式及整式的加减北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第一章 第1—2节 整式及整式的加 1、单项式的概念、次数及系数. 2、多项式的概念、项及次数. 3、整式的概念. 4、整式的加减.二、教学目标1、能求出单项式的次数、单项式的系数、多项式的项的系数和次数.2、要掌握同类项的本质属性，并能正确地合并同类项，在将同类项的概念加以拓广后，会简化某些运算.3、能够准确进行整式加减法，全面掌握求代数式的值的基本方法.三、知识要点分析1、单项式的相关概念 （这是重点）前面我们学习过代数式，在代数式中只有数字与字母相乘的式子能不能给它一个新名称，这是我们这节课要研究的问题.像ah ，5xy ，12axy 等等，都是数字与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式.既然单项式是数与字母的乘积，那么数字因数称为单项式的系数，所有字母指数的和称为单项式的次数.如：－32πab 是单项式，次数是2，系数是－32π. a 是单项式，次数是1，系数是1. 3是单项式，次数是0，系数是3. 2、多项式的相关概念 （这是重难点）①定义：几个单项式的和叫做多项式.②次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数. ③项数：一个多项式中有几个单项式就有几项. 如：31a 2＋2a －1是多项式，次数是2，有三项，可说成二次三项式. 注意：单项式和多项式称为整式. 3、整式加减的法则前面我们学习去括号合并同类项，对于今天要学习的整式的加减与去括号和合并同类项有着非常密切的联系，今天我们重点学习整式的加减.它的法则是：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接. 整式加减的一般步骤是：①如果遇到括号，按去括号法则去括号； ②合并同类项.整式包括单项式和多项式，因此，整式的加减就包括单项式与单项式、单项式与多项式及多项式与多项式的加减.在具体进行几个整式的加减运算中，一般情况是根据题目的要求，先把这几个整式写成和的形式或差的形式.即先列式，再去括号及合并同类项，最后求出结果.【典型例题】考点一：单项式例1.下列整式中，次数与项数相同的有哪些？ ①7②－x ③1－s 2＋3t ④πx ＋1⑤53a 2b －2bc ＋3⑥6xy【思路分析】先分别找出每小题的次数与项数，再判断它们是否一致. ①单项式，次数是0. ②单项式，次数是1. ③多项式，二次三项式. ④多项式，一次二项式. ⑤多项式，三次三项式. ⑥单项式，次数是2. 解：次数与项数相同的有②⑤.方法与规律：πx 是第一项，是一次的. π只能出现在某一个单项式或项的系数中.例2：若－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________，m ＝________.【思路分析】“关于x 、y 的单项式”说明只有x 、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分，所以－3a 是系数，也就是－6，即－3a =－6，解得：a =2. 而单项式的次数是x 、y 的指数和：（1＋m ），也就是3. 因此1＋m =3得m =2.解：a =2，m =2 .考点二：多项式例3. 一个五次多项式，它的任何一项的次数都（） A. 小于5B. 等于5C. 不小于5D. 不大于5【思路分析】由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于五次的. 因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的.解：D例4.已知多项式21233154a xy x y +--是七次二项式，则a=_____.【思路分析】这个多项式21233154a x y x y +--是七次多项式，所以2125a x y +-的次数是七次，得到2a+1+2=7，所以a=2.解：2.方法与规律：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与求单项式的次数区分开.考点三：整式的加减例5. 求单项式b a 24，b a 26-，23ab 的和与b a 27的差。

整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．1、单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式，它的指数为，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．【例1】在代数式，0，中，整式共有（）个A、5B、6C、7D、8【难度】★【答案】【解析】【例2】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．，，，，，，，．【难度】★【答案】【解析】【例3】写出下列多项式的次数及最高次项的系数．（1）；（2）．【难度】★【答案】【解析】【例4】解答题（1）把多项式按的降幂排列；（2）把多项式按的升幂排列；（3）求多项式的各项系数之和．【难度】★【答案】【解析】【例5】多项式是几次几项式？【难度】★★【答案】【解析】【例6】多项式是三次三项式，求代数式的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式次数相同，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】设自然数满足，求多项式的次数？【难度】★★【答案】【解析】【例9】请各写出一个符合条件的整式：（1）系数是，次数是3的单项式；（2）系数是3，次数是1的单项式；（3）常数项为的二次三项式．【难度】★★【答案】【解析】【例10】下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？【难度】★★★【答案】【解析】【例11】现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中均只含有字母x；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为2；（3）这两个多项式的和是一个5次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式．问：这两个多项式分别是多少？【难度】★★★【答案】【解析】【例12】已知有一组多项式，如下所示：我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面; （2）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面；（3）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面．请问：（1）将这个多项式按上述法则排序，那么应排在第_______（几）位．（2）请问排在________位．（3）请按照上述排序写出这个多项式．【难度】★★★【答案】【解析】1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【例13】下列各组单项式中属于同类项的是：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．【难度】★【答案】【解析】【例14】合并下列同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】【解析】【例15】单项式与是同类项，求的值．【难度】★【答案】【解析】【例16】合并下列同类项（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】【解析】【例17】单项式与是同类项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例18】如果是五次多项式，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知，化简：．．【难度】★★【答案】【解析】【例20】已知：，．求的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】多项式中不含项，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知代数式，（1）当=________，=___________时，此代数式的值与字母的取值无关．（2）在（1）的条件下，多项式的值为_______．【难度】★★★【答案】【解析】【例23】一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线（∥）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线、之间把绳子再剪（－2）次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是多少？（用表示）图（1）图（2）图（3）【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】讲下列代数式分别填入相应的括号内：单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）．【难度】★【答案】【解析】【习题2】下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数：【难度】★【答案】【解析】【习题3】写出下面式子的同类项（写出一个即可）：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】【解析】【习题4】下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】【解析】【习题5】若与是同类项，求，的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】同时都含有，且系数为的次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【答案】【解析】【习题7】填空：若单项式是关于的三次单项式，则【难度】★★【答案】【解析】【习题8】将多项式按的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】若多项式不含的奇次项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】多项式是关于的四次二项式，求的值．【答案】【解析】【习题11】去括号，在合并同类项：．【难度】★★【答案】【解析】【习题12】化简：．【难度】★★【答案】【解析】【习题13】设表示正整数，多项式是几次几项式？【难度】★★★【答案】【解析】【习题14】一个多项式按的降幂排列，前几项如下：试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】★★★【解析】【习题15】已知对任意的值都成立，求下列各式的值：（1）；（2）．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？，，，，，，，，【难度】★【答案】【解析】【作业2】指出下列多项式是几次，几项式，并指出系数最小的项：（1）；（2）．【难度】★【答案】【解析】【作业3】合并同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】【作业4】将多项式（1）按的降幂排列；（2）按的降幂排列．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】若与是同类项，求，的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】若和是同类项，求的值．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】合并同类项：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】设和均不为零，和是同类项，则_______________．【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如果与是同类项，且与互为负倒数，求值．【难度】★★★【答案】【解析】。

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

第2讲代数式和整式(建议用时∶45分钟)一、选择题1．(2019·泸州)计算3a2·a3的结果是(C)A．4a5B．4a6C．3a5D．3a62．(2019·广西)下列运算正确的是(A)A．(ab3)2＝a2b6B．2a＋3b＝5abC．5a2－3a2＝2 D．(a＋1)2＝a2＋13．(2019·宜昌)化简(x－3)2－x(x－6)的结果为(C)A．6x－9 B．－12x＋9C．9 D．3x＋94．(2019·株洲)下列各选项中因式分解正确的是(D)A．x2－1＝(x－1)2B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)25．(2019·绵阳)已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m＋6n＝(A) A．ab2B．a＋b2C．a2b3D．a2＋b36．(2019·枣庄)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是(D)A B C D二、填空题7．(2019·绥化)计算：(－m3)2÷m4＝m2．8．(2019·甘肃)如图，每幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010 ．9．(2019·咸宁)若整式x2＋my2(m为常数，且m≠0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是－1(答案不唯一) (写一个即可)．10．(2019·枣庄)若m－1m＝3，则m2＋1m2＝11 ．三、解答题11．(1)(2019·河池)分解因式：(x－1)2＋2(x－5)；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3)(x－3)．(2)(2019·齐齐哈尔)因式分解：a2＋1－2a＋4(a－1)．解：原式＝(a－1)2＋4(a－1)＝(a－1)(a－1＋4)＝(a－1)(a＋3)．12．(2019·兰州)化简：a(1－2a)＋2(a＋1)(a－1)．解：原式＝a－2a2＋2(a2－1)＝a－2a2＋2a2－2＝a－2.13．(2019·长春)先化简，再求值：(2a＋1)2－4a(a－1)，其中a＝1 8.解：原式＝4a2＋4a＋1－4a2＋4a ＝8a＋1.当a＝18时，原式＝8×18＋1＝2.14．(2019·安徽)观察以下等式：第1个等式：21＝11＋11，第2个等式：23＝12＋16，第3个等式：25＝13＋115，第4个等式：27＝14＋128，第5个等式：29＝15＋145，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：．(2)写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．解：(1)211＝16＋166.(2)22n－1＝1n＋1n（2n－1）.证明：∵右边＝2n－1＋1n（2n－1）＝22n－1＝左边，∴22n－1＝1n＋1n（2n－1）.一、选择题1．(2019·临沂)将a3b－ab进行因式分解，正确的是(C)A．a(a2b－b)B．ab(a－1)2C．ab(a＋1)(a－1) D．ab(a2－1)2．(2019·常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是(A)A．0B．1C．7D．83．(2019·资阳)4张长为a、宽为b(a＞b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1＝2S2，则a，b满足(D)A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b二、填空题4．(2019·滨州)观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝ n （n ＋1）2＋2 .(用含n 的式子表示)5．(2019·常德)若x 2＋x ＝1，则3x 4＋3x 3＋3x ＋1的值为 4 ． 三、解答题6．(2019·凉山)先化简，再求值：(a ＋3)2－(a ＋1)(a －1)－2(2a ＋4)，其中a ＝－12.解：原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2－1)－4a －8 ＝2a ＋2.当a ＝－12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.7．(2019·重庆)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为32＋33＋34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23＋24＋25在列竖式计算时个位产生了进位．(1)请直接写出1949到2019之间的“纯数”；(2)求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．解：(1)显然1949到1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n＋(n ＋1)＋(n＋2)的运算时要产生进位．在2000到2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义，所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012.(2)不大于100的“纯数”的个数有13个．理由如下：因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100，共13个．。

式
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a
多项式乘
的
＋b)(p＋q)＝ ap＋aq＋bp＋bq
多项式
乘
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2
法
完全平方公式：(a±b)2＝ a2±2ab＋b2
单项式除 整式的 以单项式 除法 多项式除
以单项式
把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加
能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅 北师：七上第三章P78～P104；
指一次式之间以及一次式与二次式相乘)． 七下第一章P2～P36；
(3)能推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2； 八下第四章P92～P106；
(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，并 华师：七上第3章P82～P118；八上第12章
(3)原式＝26＋6×25×－12＋15×24×－122＋ 20×23×－123＋15×22×－124＋6×2×－125＋－126－2－－126 ＝2－126－－126－2 ＝326－126－2 ＝323－123323＋123－2 ＝32－12×94＋34＋14×32＋12×
94－34＋14－2 ＝143×2×74－2 ＝2×131×6 7－1 ＝785.
第一章 数与式
第2讲 整式和因式分解
第1课时 整 式
忆知识·奇妙导引 过考点·夯实基础 破重难·讲透练活 练好题·课堂达标
课标要求
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(1)了解整数指数幂的意义和基本性质．
(2)理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号 人教：七上第二章P53～P76；

C.(2m)3＝8m3
D.m6÷m2＝m3
8.(2021·永州)先化简，再求值：(x＋1)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝1.
解：原式＝x2＋2x＋1＋4－x2 ＝2x＋5.
当x＝1时，原式＝2＋5＝7.
考点4 因式分解 考点精讲 5.(2020·益阳)下列因式分解正确的是(C )
A.a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b) B.a2－9b2＝(a－3b)2 C.a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2 D.a2－ab＋a＝a(a－b)
2.在同类项的概念的应用中，一般是根据同类项中“相同字母的指数相同” 建立方程(组)求解.
对点训练 4.下列代数式中，是整式的为( A)
A.x＋1
B. 1 x+1
C. x2 1
D.x+1 x
5.已知两个单项式7ym－1xm＋n与－5x7－my1＋n能合并为一个单项式，则m＝ ___3_____，n＝___1_____.
字或字母也是单项式. (1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； (2)次数：一个单项式中，所有字母的②__指__数__的__和___叫做这个单项式的次数.
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.
(1)项：一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项叫做常
数项；
(2)次数：多项式里，③__次__数__最__高__的__项___的次数叫做这个多项式的次数.如
D.a2－2πa
2.(2020·潍坊)若m2＋2m＝1，则4m2＋8m－3的值是( D ) A.4 B.3 C.2 D.1
命题点2 整式的相关概念及运算
3.(2021·十堰)下列计算正确的是( )B
A.a3·a3＝2a3

A.
B．
C．1
D．3
24. (2017西宁)x2y是____三______次单项式. 25.（2018 德阳）分解因式：2xy2+4xy+2x= _2_x_（__y_+_1_）__2__. 26.（2018内江）分解因式：a3b-ab3= ___a_b_（__a_+_b_）__·__（__a_-_b_）_____． 27.（2018绥化）因式分解：3ax2-12ay2= __3_a_（__x_+_2_y_）__（__x_-_2_y_）____．
A.（a+b）2=a2+b2
B．a2+2a2=3a4
C．x2y÷ =x2（y≠0） D．（-2x2）3=-8x6
3.（2018沈阳）下列运算错误的是( D )
A.（m2）3=m6
B．a10÷a9=a
C．x3·x5=x8
D．a4+a3=a7
4.（2018宜昌）先化简，再求值：x（x+1）+ （2+x）·（2-x），其中x= -4．
2. 幂的运算公式： (1)同底数幂相乘：am·an =a(___m__+_n____)(m,n为正整
数).
(2)同底数幂相除：am÷an =a(__m__-_n_____)(a≠0，m，
n为正整数). (3)幂的乘方：(am)n=a(____m_n_____)(m，n为正整数).
(4)积的乘方：(ab)n=anbn(n为正整数).
综合提升
30. (2017济宁) 计算(a2)3+a2·a3-a2÷a-3得( D )
A. 2a5-a
B. 2a5-
C. a5
D. a6