第2讲 整式(3~8分)
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第2讲 整式乘法1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算.2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律简化运算.知识点01单项式的乘法单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释:(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.(2)单项式的乘法方法步骤:积的系数等于各系数的积,是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算,先确定符号,再计算绝对值;相同字母相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”进行计算;只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. (3)运算的结果仍为单项式,也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. (4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识拓展1】计算:(1)221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2)121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭;(3)232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-.知识精讲目标导航【即学即练1】 计算: (1)()()121232n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭(2)322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----.知识点02单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释:(1)单项式与多项式相乘的计算方法,实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同.(3)计算的过程中要注意符号问题,多项式中的每一项包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. (4)对混合运算,应注意运算顺序,最后有同类项时,必须合并,从而得到最简的结果. 【知识拓展1】 计算: (1)21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; (2)22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭;(3)2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;【即学即练1】 224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.【即学即练2】若n 为自然数,试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数.【知识拓展2】计算:(1)(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- (2)2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【知识拓展3】化简求值: (1)已知()2352122=-+-,求代数式a b ab a a b a b 的值(2)已知33202()48+=+++-,求a b a ab a b b 的值.(3)已知210+-=m m ,求3222010++m m 的值.【知识拓展4】若20x y +=,求332()4x xy x y y +++的值.知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释:多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简,有同类项的要合并.特殊的二项式相乘:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【知识拓展1】计算:(1)(32)(45)a b a b +-; (2)2(1)(1)(1)x x x -++;(3)()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-; (4)25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-.【知识拓展2】求方程(1)(21)(21)(2)x x x x -+=-+的解.【即学即练1】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解.【知识拓展3】若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项,也不含x 项,求a 和b 的值.【即学即练1】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中,3x 项的系数是-5,2x 项的系数是-6, 求a 、b .1.已知(m - x )⋅ (-x ) + n (x + m ) = x 2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立, 求 m (n -1) + n (m +1) 的值.能力拓展2.已知a + 2b = 0 ,求a 3 + 2ab (a + b ) + 4b 3 - 8 的值.3.已知(x + ay )(x + by ) = x 2 - 4xy - 6y 2 ,求代数式3(a + b ) - 2ab 的值.4.(x + y + z )4的乘积展开式中,各项系数之和是.题组A 基础过关练一、单选题1.(2021·北京市第一六一中学分校七年级期中)化简8(21)x --的结果是( ) A .161x --B .161x -+C .168x -+D .168x --2.(2021·上海黄浦·七年级期末)若x 2+px +q =(x ﹣3)(x +5),则p 的值为( ) A .﹣15B .﹣2C .2D .83.(2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中)如图所示,一块“L ”型菜地,小新在求菜地面积的面积时,列出了下列4个式子,其中错误的是( )A .()ab a c a +-B .()ac a b a +-C .ab ac +D .()()bc c a b a ---4.(2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习)如图,阴影部分的面积是( )A .112xy B .132xy C .6xy D .3xy分层提分5.(2021·北京市第三十五中学七年级期中)规定新运算“ω”的运算规则为:aωb=3a-2b,则(x+y)ω(x-y)等于()A.x+y B.x+2yC.2x+2y D.x+5y6.(2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习)“数形结合”思想是一种常用的数学思想,其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式.例如,根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是()A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2D.(a+3b)(a﹣b)=a2+2ab﹣3b2二、填空题7.(2021·上海市傅雷中学七年级期中)计算:23(66)32ab ab a b--+=______.8.(2021·北京市三帆中学七年级期中)如图(图中长度单位:m)阴影部分的面积是_____m2(用含x的式子表示),面积表达式是_____次三项式.9.(2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中)一套住房的平面图如图所示,其中卫生间、厨房的占地面积之和是______.(用含x、y的代数式表示)三、解答题10.(2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中)为庆祝六一儿童节,某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》(如图(1)),推出了一系列优惠活动,购买此书籍则赠送如图(2)所示的精致矩形包书纸.在图(2)的包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折进去的宽度.已知该包书纸正好可以包好图(1)中的《世界经典童话》这本书,该书的长为24 cm ,宽为17 cm ,厚度为2 cm .设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm .(1)该包书纸的长为_____________cm ,宽为___________cm (用含a 的代数式表示); (2)当a =2时,求该包书纸的面积(含阴影部分).11.(2021·广西·大新县养利学校七年级期中)填空:()()23a a ++= ;()()23a a +-= ; ()()35a a ++= ;()()35a a --= ;(1)从上面的计算中总结规律,写出下式结果:()()x a x b ++= ; (2)运用上述结果,写出下列各题结果: ①()()20121000x x +-= ; ②()()20122000x x --=题组B 能力提升练一、填空题1.(2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习)如图,我们知道(a+b )n 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n +1行中的每一项,给出了“杨辉三角”的前7行,如第4行对应的等式为:4322344()464a b a a b a b ab b +=++++,照此规律,计算:65423262152202152621+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=__________;2.(2021·上海市民办新竹园中学七年级期中)若22(4)(3)x mx x x n ++-+展开后不含3x 和x 项,则m n +的值为___.3.(2021·上海市民办新竹园中学七年级期中)计算:211(4)(2)42x x x ++-=__. 二、解答题4.(2022·全国·七年级)计算(1)232232213(-)334()a b ab a b (2)223-53()-6a ab a (3)()()223x x -+5.(2021·全国·七年级专题练习)已知28x px ++与23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项,求,p q 的值.6.(2021·上海市西延安中学七年级期中)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a +b )n (n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律. 例如:(a +b )0=1,它只有一项,系数为1;(a +b )1=a +b ,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;(a +b )2=a 2+2ab +b 2,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;根据以上规律,解答下列问题:(1)(a +b )5展开式的系数和是 ;(a +b )n 展开式的系数和是 .(2)当a =2时,(a +b )5展开式的系数和是 ;(a +b )n 展开式的系数和是 .7.(2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习)定义 ac bd =ad bc -,如 12 34=14232⨯-⨯=-.(1)若11x x +-11x x -+=4,求x 的值;(2)若1x m nx +-121x x -+的值与x 无关,求n m 值.8.(2021·上海市民办新竹园中学七年级期中)有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答后面的问题.例:若123456789123456786x =⨯,123456788123456787y =⨯,试比较x ,y 的大小.解:设123456788a =,那么2(1)(2)2x a a a a =+-=--2(1)y a a a a =-=-22(2)()20x y a a a a -=----=-<x y ∴<看完后,你学到了这种方法吗?再亲自试一试吧,你准行!问题:若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯,20072008200720122007200920072011y =⨯-⨯,试比较x ,y 的大小.9.(2021·上海奉贤·七年级期中)图1是一个长方形窗户ABCD ,它是由上下两个长方形(长方形AEFD 和长方形EBCF )的小窗户组成,在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘,这两个遮阳帘的高度分别是a和2b(即DF=a,BE=2b),且b>a>0.当遮阳帘没有拉伸时(如图1),窗户的透光面积就是整个长方形窗户(长方形ABCD)的面积.如图2,上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH.当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时,恰好与GH在同一直线上(即点G、H、P在同一直线上).(1)求长方形窗户ABCD的总面积;(用含a、b的代数式表示)(2)如图3,如果上面窗户的遮阳帘保持不动,将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时,求此时窗户透光的面积(即图中空白部分的面积)为多少?(用含a、b的代数式表示)(3)如果上面窗户的遮阳帘保持不动,当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时,请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小.题组C 培优拔尖练一、单选题1.(2021·浙江·七年级专题练习)已知在216()()x mx x a x b +-=++中,a 、b 为整数,能使这个因式分解过程成立的m 的值共有( )个A .4B .5C .8D .102.(2021·全国·七年级期中)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”,这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律(按n 的次数由大到小的顺序)1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律,写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是( )A .-2021B .2021C .4042D .-4042 3.(2021·浙江浙江·七年级期中)如图,长为(cm)y ,宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块,除阴影A ,B 外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为5cm ,下列说法中正确的是( )①小长方形的较长边为15y -;②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+;③若x 为定值,则阴影A 和阴影B 的周长和为定值;④当15x =时,阴影A 和阴影B 的面积和为定值.A .①③B .②④C .①③④D .①④二、填空题4.(2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中)数学兴趣小组发现:(x -1)(x +1)=x 2-1(x -1)(x 2+x +1)=x 3-1(x -1)(x 3+x 2+x +1)=x 4-1利用你发现的规律:求:20212020201977771+++⋯++=__________5.(2020·浙江杭州·模拟预测)若2()()6x a x b x mx ++=++,其中,,a b m 均为整数,则m 的值为_______.6.(2021·全国·七年级专题练习)若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项,则=a ___________. 7.(2021·浙江南浔·七年级期末)建党100周年主题活动中,702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是:如图2,在边长为a 的正方形EFGH 四周分别放置四个边长为b 的小正方形,构造了一个大正方形ABCD ,并画出阴影部分图形,形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作1S ,每一个边长为b 的小正方形面积记作2S ,若126S S =,则a b的值是______.三、解答题8.(2020·重庆文德中学校七年级期中)数学上,我们把a bc d 称作二阶行列式,规定它的运算法则为a bad bc c d=-,例23=2534245⨯-⨯=-,请根据阅读理解上述材料解答下列各题: (1)64132-=___________;(2)计算:12569798+++347899100(3)已知实数a b ,满足行列式2 15 1a a b a -=-+-,求代数式534222a b ab ab b --+-+的值.9.(2021·江苏锡山·七年级期中)(感悟数学方法)已知:2A ab a =-,2B ab a b =-++.(1)计算:52A B -;(2)若52A B -的值与字母b 的取值无关,求a 的值.(解决实际问题)请利用上述问题中的数学方法解决下面问题:新冠疫情期间,某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩.已知甲型号口罩每箱进价为800元,乙型号口罩每箱进价为600元.该医药公司根据疫情,决定购进两种口罩共20箱,有多种购进方案,现销售一箱甲型口罩,利润率为45%,乙型口罩的售价为每箱1000元.而且为了及时控制疫情,公司决定每售出一箱乙型口罩,返还顾客现金m 元,甲型口罩售价不变,要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同,求m 的值.10.(2020·河南·七年级期中)已知x y 、为有理数,现规定一种新运算#,满足3#2x y xy x =-. ()1求(2)#4-的值;()2求()1#3#2⎡⎤⎣⎦-的值;()30a ≠,探索#)(a b c +与##a b a c +两个式子是否相等,说明理由.11.(2021·贵州织金·七年级期末)为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段以达到节水的目的.如图所示是该市自来水收费价格见价目表.(1)填空:若某户居民2月份用水34m ,则2月份应收水费______元;若该户居民3月份用水38m ,则3月份应收水费______元;(2)若该户居民4月份用水量3m a (a 在6至310m 之间),则应收水费包含两部分,一部分为用水量为36m ,水费12元;另外一部分用水量为______3m ,此部分应收水费______元;则4月份总共应收水费______元.(用a 的整式表示并化简)(3)若该户居民5月份用水3m (10)x x >,求该户居民5月份共交水费多少元?(用x 的整式表示并化简)12.(2021·全国·七年级单元测试)在长方形ABCD 内,将两张边长分别为a 和b (a b >)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为1S ,图2中阴影部分的面积为2S ,当42AD AB -=时求21S S -的值(用含a 、b 的代数式表示).13.(2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习)(1)填空:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=;(2)猜想:(x﹣1)(x n+x n﹣1+……+x+1)=(n为大于3的正整数),并证明你的结论;(3)运用(2)的结论计算(32019+32018+32017+……+32+3+1)﹣(31050×2)2÷(8×380);(4)32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3=.。
整式知识点梳理考点01 代数式1.代数式的概念:用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。
单独一个数或一个字母也是代数式.运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。
2.代数式的书写规则:(1)含有乘法运算的代数式的书写规则:字母与字母相乘,乘号一般可以省略不写,字母的排列顺序不变.数字与字母相乘,乘号一般也可以省略,但数字一定要写在字母的前面,且当数字是带分数时,必须写成假分数的形式.数字与数字相乘,乘号不能省略.带括号的式子与字母的地位相同。
(2)含有除法运算的代数式的书写规则:当代数式中含有除法运算时,一般不用“÷”,而改用分数线.因为分数线具有括号的作用,所以分数线又称括线。
(3)含有单位名称的代数式的书写规则:若代数式是和或差的形式,如需注明单位,则必须用括号把整个式子括起来后再写单位.若代数式是积或商的形式,则无需加括号,直接在代数式后面写出单位即可。
3.代数式的值(1)代数式的值:一般地,用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中指明的运算计算出的结果,叫作代数式的值。
(2)求代数式的值的步骤:第1步:代入,用具体数值代替代数式里的字母.第2步:计算,按照代数式里指明的运算,计算出结果。
(3)求代数式的值时要注意:一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值去代替.如果代数式里省略了乘号,那么字母用数值代替时要添上乘号,代入负数和分数时要加括号.代入数值时,不能改变原式中的运算符号及数字。
(4)运算时,要注意运算顺序。
(先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的要求先算括号里面的)考点02 单项式和多项式一、单项式1.单项式的概念:如3、a 、xy 、ab 31-等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积,像这样的式子叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算,但可以含有除法运算。
3.单项式的系数:单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数,确定单项式的系数的注意事项:(1)确定单项式的系数时,最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式,在确定系数.(2)圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.(3)当一个单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写,负数做系数应包括前面的符号.(4)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数。
第2讲整式及因式分解(精练)(解析版)A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1.(2022•山东枣庄•中考真题)下列运算正确的是()A. 3屋一次=3 B. a3-ra2=a C. ( - 3ab2) 2= - 6a2h4 D. (a+h) 2=a2+ab+b2【答案】B【详解】A、3/-。
2=2〃2,故A错误,不符合题意;B、a3-ra2=ch故B正确,符合题意;C、( - 3ab2) 2 = 9612b4,故c错误,不符合题意;D、(6f+Z?) 2 = a2+2ah+h29故D不正确,不符合题意;故选:B.2.(2022•江苏泰州,中考真题)下列计算正确的是()A. 3ab + 2ab = 5ab B. 5y2 -2y2 = 3C. 7a + a = 7。
2D. /rTn — Imn2 = —mn2【答案】A【详解】解:A、3ab+lab - 5ab,故选项正确,符合题意;B、5/-2/=3/,故选项错误,不符合题意;C、Ja + a = Sa,故选项错误,不符合题意;D、和22不是同类项,不能合并,故选项错误,不符合题意;故选:A.3.(2022•广西河池・中考真题)多项式/一以+ 4因式分解的结果是()A. x (% - 4) +4 B. (x+2) (x- 2) C. (x+2) 2D. (%- 2) 2【答案】D【详解】解:d-4x+4 = (%-2)2.故选:D.4.(2022・湖南永州•中考真题)下列因式分解正确的是()A. 6+冲= i(x+y) + lB. 3Q +3Z?=3(Q+Z7)C. Q?+4Q +4=S+4『D. a2 -^b = a(a+b)【答案】B【详解】解:A、ax+ay=a(x+y),故选项计算错误;B、3a+3b=3(a+b)9选项计算正确;C> (a+b)2=a2^2ab+b2,故原选项错误;D、由A项解答可得a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故原选项正确;故选D.2.(2022,江苏・顾山中学九年级阶段练习)直角三角形两直角边是方程%2一8%+ 14 = 0的两根,则它的斜边为()A. 8B. 7C. 6D. 2、/7【答案】C【详解】解:设直角三角形的斜边为J两直角边分别为〃与b,・・・直角三角形两直角边是方程8x + 14 = 0的两根,:,a + b = S,勿? = 14,根据勾股定理可得:=/+/=(〃 +与2—2^ = 64-28 = 36,• • c = 6 ♦故选:C.3.(2022・全国•七年级课时练习)若4 = /—2xy, 3 = J孙+ /,则A-23为()A. 3x2-2y2 -5xy^B. x2-2y2 -3xyC. —5xy — 2 y ~D . 3x~ + 2y~【答案】B【详解】解:A = £-2盯,8 = J孙+ y2,A — 2B = x~-2xy _ 2 _xy+y~] = x2 _2xy _ xy _ 2^~ =—2y——3xy ,故选:B.4.(2022 ・全国•八年级课时练习)对于多项式(1) d-y2;(2)-x2-y2; (3) 4x2-y ; (4)—4 + d中,能用平方差公式分解的是()A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4)D. (2) (4)【答案】C【详解】解:・・・平方差公式必须只有两项,并且是两个数平方差的形式,(1)—— y2两平方项符号相反,可以利用平方差公式;(2)-%2 - ,两平方项符号相同,不能运用平方差公式;(3)4/—y虽然是两项,并且是差的形式,但不是平方差的形式;(4)-4 + X2,两平方项符号相反,可以利用平方差公式.所以(1) (4)能用平方差公式分解.故选:C.5.(2022•辽宁•沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)八年级期中)小军是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:%-V, a—b, c , /_)/,《J工+了,分别对应下列六个字:抗,胜,必、,利,我,疫.现将y2户阳/_力因式分解,结果呈现的密码信息可能是() A.抗疫胜利B.抗疫必胜C.我必胜利D.我必抗疫【答案】B【详解】解:原式=(/一》2)(女—秘) = C(Q_〃)(X+・・・x-y, a-b,c, /_y2, 0 ,x+y,分别对应下列六个字:抗,胜,必,利,我,疫. 对应抗,x+y对应疫,。
第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理
数学选择题解题技巧
1、排除法。
是根据题设和有关知识,排除明显不正确选项,那么剩下唯一的选项,自然就是正确的选项,如果不能立即得到正确的选项,至少可以缩小选择范围,提高解题的准确率。
排除法是解选择题的间接方法,也是选择题的常用方法。
2、特殊值法。
即根据题目中的条件,选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件,且易于计算。
此类问题通常具有一个共性:题干中给出一些一般性的条件,而要求得出某些特定的结论或数值。
在解决时可将问题提供的条件特殊化。
使之成为具有一般性的特殊图形或问题,而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。
利用特殊值法解答问题,不仅可以选用特别的数值代入原题,使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。
3、通过猜想、测量的方法,直接观察或得出结果。
这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题,此类题的主要解法是运用不完全归纳法,通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式,能用代数式探索有关的规律.2.会用语言文字叙述代数式的意义,同时掌握求代数式的值的方法.3.理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式,能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算.4.能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一,在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题,重点考查其基本概念及运算法则,同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1.整式整式是单项式与__________的统称.2.单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子;单项式中的________因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数.3.多项式几个单项式的______叫做多项式;多项式中,每一个________叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数.二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则:a m·a n=______,(a m)n=______,(ab)n=a n b n,a ma n=a m-n(m,n是正整数).三、同类项与合并同类项1.同类项所含字母相同,并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项.2.合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的______,字母和字母的指数不变.四、求代数式的值1.代数式的值一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值.2.求代数式的值的基本步骤(1)代入:一般情况下,先对代数式进行化简,再将数值代入;(2)计算:按代数式指明的运算关系计算出结果.五、整式的运算1.整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项;(2)整式加减的步骤:有括号,先去括号;有同类项,再合并同类项.注意去括号时,如果括号前面是负号,括号里各项的符号要______.2.整式的乘除(1)整式的乘法.①单项式与单项式相乘:把______、__________分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.②单项式与多项式相乘:m (a +b +c )=ma +mb +mc .③多项式与多项式相乘:(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nB . (2)整式的除法.①单项式除以单项式:把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的______作为商的一个因式.②多项式除以单项式:(a +b )÷m =a ÷m +b ÷m . 3.乘法公式(1)平方差公式:(a +b )(a -b )=a 2-b 2;(2)完全平方公式:(a ±b )2=a 2±2ab +b 2. 六、因式分解1.因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式,叫做多项式的因式分解. 2.因式分解的方法 (1)提公因式法.公因式的确定:第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数);第二,确定字母或因式底数(取各项的相同字母);第三,确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂).(2)运用公式法.①运用平方差公式:a 2-b 2=__________.②运用完全平方公式:a 2±2ab +b 2=________. 3.因式分解的一般步骤一提(提取公因式法);二套(套公式法).一直分解到不能分解为止. 自主测试1.(2012福建福州)下列计算正确的是( )A .a +a =2aB .b 3·b 3=2b 3C .a 3÷a =a 3D .(a 5)2=a 72.下列各式中,与x 2y 是同类项的是( )A .xy 2B .2xyC .-x 2yD .3x 2y 23.(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ,宽为2n (m >n )的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是( )A .2mnB .(m +n )2C .(m -n )2D .m 2-n 24.(2012四川宜宾)分解因式:3m 2-6mn +3n 2=__________.5.单项式-3π5m 2n 的系数是______,次数是______.考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A .a 2·a 3=a 6B .a +a =a 2C .(a 2)3=a 6D .a 8÷a 2=a 4解析:A 项是同底数幂的乘法,a 2·a 3=a 2+3=a 5,故A 项错误;B 项是整式的加减运算,a +a =2a ,故B 项错误;C 项是幂的乘方,(a 2)3=a 2×3=a 6,故C 项正确;D 项是同底数幂的除法,a 8÷a 2=a 8-2=a 6,故D 项错误.答案:C方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方,以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.触类旁通1下列运算中,正确的是( )A .x 3·x 2=x 5B .x +x 2=x3C .2x 3÷x 2=xD .⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23=x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】 单项式-13x a +b y a -1与3x 2y 是同类项,则a -b 的值为( )A .2B .0C .-2D .1解析:本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法,由-13x a +b y a -1与3x 2y 是同类项,得⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2,a -1=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =0.所以a -b =2-0=2. 答案:A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数分别相同.二者必须同时具备,缺一不可;2.同类项与项的系数无关,与项中字母的排列顺序无关,如xy 2与-y 2x 也是同类项. 3.根据同类项概念,相同字母的指数相同,列方程(组)是解此类题的一般方法.触类旁通2如果3x 2n -1y m 与-5x m y 3是同类项,则m 和n 的取值是( ) A .3和-2 B .-3和2 C .3和2 D .-3和-2 考点三、整式的运算【例3】 先化简,再求值:(a +b )(a -b )+(a +b )2-2a 2,其中a =3,b =-13.解:(a +b )(a -b )+(a +b )2-2a 2=a 2-b 2+a 2+2ab +b 2-2a 2=2ab ,当a =3,b =-13时,2ab =2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-2. 方法总结 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a ,b 所表示的两个数及公式的结构特征,注意套用公式.触类旁通3 已知2x -1=3,求代数式(x -3)2+2x (3+x )-7的值. 考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式:m 2-n 2=__________. 答案:(m +n )(m -n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式,再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解.(2)提取公因式时,若括号内合并的项有公因式,应再次提取;注意符号的变换y -x =-(x -y ),(y -x )2=(x -y )2.(3)应用公式法因式分解时,要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点. (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止.1.(2012湖南常德)下列运算中,结果正确的是( )A .a 3·a 4=a 12B .a 10÷a 2=a 5C .a 2+a 3=a 5D .4a -a =3a 2.(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A .2a +3b =5abB .(x +2)2=x 2+4C .(ab 3)2=ab 6D .(-1)0=13.(2012湖南湘潭)因式分解:m 2-mn =__________.4.(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:__________.5.(2012湖南怀化)当x =1,y =15时,3x (2x +y )-2x (x -y )=__________.6.(2012湖南株洲)一组数据为:x ,-2x 2,4x 3,-8x 4,…观察其规律,推断第n 个数据应为__________.1.将代数式x 2+4x -1化成(x +p )2+q 的形式为( )A .(x -2)2+3B .(x +2)2-4C .(x +2)2-5D .(x +2)2+42.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式( )A .(a +b )2=a 2+2ab +b 2B .(a -b )2=a 2-2ab +b 2C .a 2-b 2=(a +b )(a -b )D .(a ±b )2=a 2±2ab +b 23.多项式__________与m 2+m -2的和是m 2-2m .4.若3x m +5y 2与x 3y n 的和是单项式,则n m=__________.5.若m -n =2,m +n =5,则m 2-n 2的值为__________.6.若2x =3,4y =5,则2x -2y的值为__________.7.给出3个整式:x 2,2x +1,x 2-2x .(1)从上面3个整式中,选择你喜欢的两个整式进行加法运算,若结果能因式分解,请将其因式分解;(2)从上面3个整式中,任意选择两个整式进行加法运算,其结果能因式分解的概率是多少?参考答案 【知识梳理】一、1.多项式 2.数字 和 3.和 单项式 次数最高二、a m +n a mn三、1.指数 2.合并同类项 系数 五、1.(2)变号2.(1)①系数 同底数幂 (2)①指数 六、1.积2.(2)①(a +b )(a -b ) ②(a ±b )2导学必备知识 自主测试1.A a +a =2a ,A 项正确;b 3·b 3=b 6,B 项错误;a 3÷a =a 2,C 项错误;(a 5)2=a 10,D 项错误.2.C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同.3.C 因为长方形的长为2m ,宽为2n (m >n ),则小长方形的长为m ,宽为n ,小正方形的边长为(m -n ),所以面积是(m -n )2.4.3(m -n )2 原式=3(m 2-2mn +n 2)=3(m -n )2.5.-3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘,x 3·x 2=x3+2=x 5,B 项中的两项不是同类项,不能合并,C 项是单项式相除,2x 3÷x 2=(2÷1)x 3-2=2x ,D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23=x 323=x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n -1=m ,m =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =2. 触类旁通3.分析:本题需先把2x -1=3进行整理,得出x 的值,把代数式进行化简,再把x 的值代入即可求出结果.解:由2x -1=3得x =2,又(x -3)2+2x (3+x )-7=x 2-6x +9+6x +2x 2-7=3x 2+2,∴当x =2时,原式=14.品鉴经典考题1.D a 3·a 4=a 7,所以A 项不正确;a 10÷a 2=a 8,所以B 项不正确;a 2与a 3不是同类项,不能合并,所以C 项不正确;4a -a =3a ,D 项正确.2.D 2a 与3b 不能合并,A 项不正确;(x +2)2=x 2+4x +4,B 项不正确;(ab 3)2=a 2b 6,C 项不正确;由任何一个不等于零的数的零次幂等于1,知D 项正确.3.m (m -n ) m 2-mn =m (m -n ).4.答案不唯一,如x 2-1.5.5 3x (2x +y )-2x (x -y )=6x 2+3xy -2x 2+2xy =4x 2+5xy .当x =1,y =15时,原式=4×12+5×1×15=4+1=5.6.(-2)n -1x n x 的系数为1=(-2)1-1,次数为1;-2x 2的系数为-2=(-2)2-1,次数为2;4x 3的系数为4=(-2)3-1,次数为3;-8x 4的系数为-8=(-2)4-1,次数为4;….所以第n 个数据的系数为(-2)n -1,次数为n ,即(-2)n -1x n.研习预测试题1.C x 2+4x -1=(x 2+4x +4)-4-1=(x +2)2-5.2.C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形,其面积表达式为a 2-b 2.第二个图是一个梯形,下底为2a ,上底为2b ,高为(a -b ),其面积为12(2a +2b )(a -b )=(a+b )(a -b ),所以两个图验证了公式:a 2-b 2=(a +b )(a -b ).3.2-3m 由题意得此多项式为(m 2-2m )-(m 2+m -2)=m 2-2m -m 2-m +2=2-3m . 4.14 由题意得m +5=3,n =2,所以m =-2,所以n m =2-2=122=14. 5.10 m 2-n 2=(m +n )(m -n )=5×2=10. 6.35 2x -2y =2x ÷22y =2x ÷4y =3÷5=35. 7.解:(1)x 2+(2x +1)=x 2+2x +1=(x +1)2或x 2+(x 2-2x )=2x 2-2x =2x (x -1)或(2x+1)+(x 2-2x )=2x +1+x 2-2x =x 2+1.(2)由(1)可知,概率为23.。
1、几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.2、注意负数的乘方,若为偶数次方则为正数,奇数次方则为负数.即“奇负偶正”.例如:22()n n a a -=;2+121()n n a a +-=-.3应用公式的注意事项(1)完全平方公式的变换222()2a b a b ab +=+-222()+2a b a b ab +=-22()()+4a b a b ab +=-(2)分解因式时,特别是高次平方差公式要注意分解完全.例:44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=+-+(3)当平方差公式前含有系数时,要记得把系数写成平方数再用公式.例:22222516(5)(4)(54)(54)a b a b a b a b -=-=+-【方法技巧】 第二节 整式【知识梳理】(4)平方差公式一定是两个数平方异号才能用;完全平方公式一定要两个平方项同号才能用。
例:2222)()a ab b a b --=-+(-;2222)()a ab b a b +-=--(-;2222()()2)a b a b a ab b --=+=++(;22222()()()2)a b a b b a a ab b -+=-=-=-+(考点一:整式的基本概念例1、单项式﹣3πxy 2z 3的系数和次数分别是( )A .﹣π,5B .﹣1,6C .﹣3π,6D .﹣3,7变式1、单项式3x 2y 2的( )A .系数是0,次数是4B .系数是﹣1,次数是2C .系数是3,次数是4D .系数是﹣1,次数是3例2、下列各式中,是二次三项式的是( )A .B .32+3+1C .32+a+abD .x 2+y 2+x ﹣y变式1、下列关于多项式5ab 2﹣2a 2bc ﹣1的说法中,正确的是( )A .它的常数项是1B .它是四次两项式C .它的最高次项是﹣2a 2bcD .它是三次三项式例2、多项式的各项分别是( )A .B .C .D .变式1、多项式3x 2﹣2x ﹣1的各项分别是( )A .3x 2,2x ,1B .3x 2,﹣2x ,1C .﹣3x 2,2x ,﹣1D .3x 2,﹣2x ,﹣1考点二:幂的运算性质例1、(1)计算a 3•a 2正确的是( )A .aB .a 5C .a 6D .a 9【考点突破】(2)下列计算正确的是()A.a2•a3=a6B.(ab)2=a2b2C.(a2)3=a5D.a2+2a2=3a4(3)计算:a3÷a2=.(4)下列运算中,正确的是()A.x•x3=x3B.(x2)3=x5C.x6÷x2=x4D.(x﹣y)2=x2+y2变式1、(1)化简(﹣x)3(﹣x)2,结果正确的是()A.﹣x6B.x6C.x5D.﹣x5(2)下列运算正确的是()A.(a﹣3)2=a2﹣9B.a2•a4=a8C.=±3D.=﹣2(3)(﹣a5)2+(﹣a2)5的结果是()A.0B.﹣2a7C.2a10D.﹣2a10(4)计算:a8÷a4=.例2、已知2a=5,2b=3,求2a+b+3的值.变式1、(1)已知2m=3,4n=5,则23m+2n的值为()A.45B.135C.225D.675(2)已知x m=5,x n=7,求x2m+n的值.(3)若2•8n•16n=222,求n的值.考点三:整式的运算例1、计算6a2﹣5a+3与5a2+2a﹣1的差,结果正确的是()A.a2﹣3a+4B.a2﹣3a+2C.a2﹣7a+2D.a2﹣7a+4变式1、化简2(a﹣b)﹣(3a+b)的结果是()A.﹣a﹣2b B.﹣a﹣3b C.﹣a﹣b D.﹣a﹣5b变式2、若代数式2x3﹣8x2+x﹣1与代数式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含x2项,则m等于()A.2B.﹣2C.4D.﹣4例2、(1)计算:(﹣8ab)()=.(2)计算;(3)(2x﹣y)(x+y).变式1:(1)计算:(﹣3a2b)•(ab2)3=.(2).(3)计算:(3a+2)×(a﹣4)例3、(1)计算8x8÷(﹣2x2)的结果是()A.﹣4x2B.﹣4x4C.﹣4x6D.4x6(2)化简:(8a2b﹣4ab2)÷(﹣4ab)变式1、(1)计算:(6x3﹣9x2+3x)÷3x.(2)(﹣4a3﹣7a3b2+12a2b)÷(﹣2a)2.例4、化简:(x+5)(2x﹣3)﹣2x(x2﹣2x+3)变式1、化简:(x+5)(2x﹣3)﹣2x(x2﹣2x+3)例5、代数式y2+2y+7的值是6,则4y2+8y﹣5的值是()A.9B.﹣9C.18D.﹣18变式1、已知代数式x+2y的值是3,则代数式2x+4y+1的值是()A.1B.4C.7D.不能确定变式2、已知3﹣x+2y=0,则3x﹣6y+9的值是()A.3B.9C.18D.27变式3、已知a2﹣2b=1,则代数式2a2﹣4b﹣3的值是()A.1B.﹣1C.5D.﹣5例6、若x2﹣x﹣2=0,则(2x+3)(2x﹣5)+2=.变式1、已知4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2的值.考点四:乘法公式与因式分解例1、利用图中图形面积关系可以解释的公式是()A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.(a+b)(a2﹣ab+b3)=a3+b3例2、已知x+y=5,xy=6,则x2+y2的值是()A.1B.13C.17D.25变式1、计算:已知:a+b=3,ab=1,则a2+b2=.例3、如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为()A.3B.6C.±3D.±6变式1:在多项式x2+9中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式可以是()A.x B.3x C.6x D.9x例5、若x﹣=1,则x2+的值是()A.3B.2C.1D.4变式1、若x2+3x﹣1=0,则的值为()A.4B.7C.11D.﹣4例6、如图(一),在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图(二)),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是()A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2变式1、如图,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图1),把余下的部分拼成一个梯形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()A.a2﹣b2=(2a+2b)(a﹣b)B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2例7、计算(x﹣3y)(x+3y)的结果是()A.x2﹣3y2B.x2﹣6y2C.x2﹣9y2D.2x2﹣6y2解:(x﹣3y)(x+3y)=x2﹣(3y)2=x2﹣9y2,故选C.变式1:下列算式能用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(2b﹣a)B.C.(3x﹣y)(﹣3x+y)D.(﹣m﹣n)(﹣m+n)例8、因式分解:x2﹣3x=x(x﹣3).变式1、分解因式:2a2+ab=.例9、(1)分解因式:x2﹣9=.x2﹣6x+9=.x2﹣4x+4=.4x2﹣4xy+y2=.8a3﹣8a2+2a=.例10、若x2+px+q=(x+1)(x﹣2),则p=,q=.变式1、若x2﹣3x﹣10=(x+a)(x+b),则a=2或﹣5,b=﹣5或2.变式2、(1)分解因式:x2﹣2x﹣15=.(2)分解因式:2x2+x﹣6=.例11、多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为()A.2x﹣5y B.x﹣3y C.x+3y D.x﹣5y变式1、若将多项式x2﹣mx+6因式分解得(x+3)(x+n),则m n=.【分层训练】<A组>1.下列运算正确的是()A.(ab)2=ab2B.3a+2a2=5a2C.2(a+b)=2a+b D.a•a=a22.已知a+b=3,ab=﹣2,则a2+b2的值是.3.计算:(﹣2xy2)3=.4、①(2a﹣b)2=①(﹣12x5y3)÷(﹣3xy2)=.5、把多项式a2﹣4a分解因式为.6、把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是.7、已知x2+x﹣5=0,求代数式(x﹣1)2﹣x(x﹣3)+(x+2)(x﹣2)的值.8、已知x2﹣5x=3,求(x﹣1)(2x﹣1)﹣(x+1)2+1的值.9、已知x2+4x﹣5=0,求代数式2(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣2)2的值.10、如果m2﹣m=1,求代数式(m﹣1)2+(m+1)(m﹣1)+2015的值.11、已知x2﹣5x﹣4=0,求代数式(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)(x﹣2)的值.<B组>1、已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,则(2x﹣y)2+(2y﹣z)2+(2z﹣x)2的最大值是()A.12B.20C.28D.362、设a2+2a﹣1=0,b4﹣2b2﹣1=0,且1﹣ab2≠0,则=.3、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3﹣2mn+n3的值为﹣2.4、阅读下列文字与例题将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如:(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2)x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣(y2+2y+1)=x2﹣(y+1)2=(x+y+1)(x﹣y﹣1)试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=.5、观察并验证下列等式:13+23=(1+2)2=9,13+23+33=(1+2+3)2=36,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100,(1)续写等式:13+23+33+43+53=;(写出最后结果)(2)我们已经知道1+2+3+…+n=n(n+1),根据上述等式中所体现的规律,猜想结论:13+23+33+…+(n﹣1)3+n3=;(结果用因式乘积表示)(3)利用(2)中得到的结论计算:①33+63+93+…+573+603①13+33+53+…+(2n﹣1)3(4)试对(2)中得到的结论进行证明.参考答案【考点突破】考点一:整式的基本概念例1、解:根据单项式系数、次数的定义,单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是﹣3π,6.故选C.变式1.解:单项式3x2y2的系数是3,次数是4.故选C.例2、解:A、a2+﹣3是分式,故选项错误;B、32+3+1是常数项,可以合并,故选项错误;C、32+a+ab是二次三项式,故选项正确;D、x2+y2+x﹣y是二次四项式,故选项错误.故选C.变式1、解:5ab2﹣2a2bc﹣1的次数为4,项数为3,常数项为﹣1,最高次数项为﹣2a2bc故选(C)例2、解:﹣x2﹣x﹣1的各项分别是:﹣x2,﹣x,﹣1,故选B.变式1、解:多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是:3x2,﹣2x,﹣1.故选D.考点二:幂的运算性质例1、(1)解:a3•a2=a3+2=a5.故选B.(2)解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误;B、积的乘方等于乘方的积,故B正确;C、幂的乘方底数不变指数相乘,故C错误;D、合并同类项系数相加字母及指数不变,故D错误;故选:B.(3)解:a3÷a2=a.故答案是:a.(4)解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误;B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B错误;C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故C正确;D、差的平方等于平方和减积的二倍,故D错误;故选:C.变式1、(1)解:(﹣x)3(﹣x)2=(﹣x)3+2=﹣x5.故选D.(2)解:A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误;B、a2•a4=a6,故错误;C、=3,故错误;D、=﹣2,故正确,故选D.(3)解:(﹣a5)2+(﹣a2)5=a10﹣a10=0.故选:A.(4)解:a8÷a4=a4;故答案为:a4.例2、解:2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120.变式1、(1)解:原式=(2m)3•(22)n=33•5=135.故选B.(2)解:∵x m=5,x n=7,∴x2m+n=x m•x m•x n=5×5×7=175.(3)解:2•8n•16n,=2×23n×24n,=27n+1,∵2•8n•16n=222,∴7n+1=22,解得n=3.考点三:整式的运算例1、解:(6a2﹣5a+3 )﹣(5a2+2a﹣1)=6a2﹣5a+3﹣5a2﹣2a+1=a2﹣7a+4.故选D.变式1、解:原式=2a﹣2b﹣3a﹣b=﹣a﹣3b,故选B变式2、解:2x3﹣8x2+x﹣1+3x3+2mx2﹣5x+3=5x3+(2m﹣8)x2﹣4x+2,又两式之和不含平方项,故可得:2m﹣8=0,m=4.故选C.例2、(1)解:(﹣8ab)()=﹣8×a3b2=﹣6a3b2.故答案为:﹣6a3b2.(2)解:=,=;(3)解:(2x﹣y)(x+y)=x2+xy﹣y2.变式1:(1)解:原式=(﹣3a2b)•a3b6=﹣3a5b7.故答案是:﹣3a5b7.(2)解:=,=﹣x3y+(﹣6xy)﹣(﹣2x)=﹣x3y﹣6xy+2x.(3)解:(3a+2)×(a﹣4)=3a2﹣12a+2a﹣8=3a2﹣10a﹣8;故答案为:3a2﹣10a﹣8.例3、解:(1)8x8÷(﹣2x2),=[8÷(﹣2)](x8÷x2),=﹣4x6.故选C.(2)(8a2b﹣4ab2)÷(﹣4ab)=﹣2a+b.变式1、解:(1)(6x3﹣9x2+3x)÷3x=6x3÷3x﹣9x2÷3x+3x÷3x=2x2﹣3x+1.(2)(﹣4a3﹣7a3b2+12a2b)÷(﹣2a)2=(﹣4a3﹣7a3b2+12a2b)÷4a2=﹣a﹣ab2+3b.例4、解:(x+5)(2x﹣3)﹣2x(x2﹣2x+3)=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15.变式1、解:(x+5)(2x﹣3)﹣2x(x2﹣2x+3)=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15.例5、解:∵代数式y2+2y+7的值是6;∴y2+2y+7=6;∴y2+2y=﹣1;∴4y2+8y﹣5=4(y2+2y)﹣5=4×(﹣1)﹣5=﹣9.故选B.变式1、解:∵x+2y=3,∴2x+4y+1=2(x+2y)+1=2×3+1,=6+1,=7.故选C.变式2、解:∵3﹣x+2y=0,∴3x﹣6y=9,∴3x﹣6y+9=18,故选C.变式3、解:∵a2﹣2b=1,∴2a2﹣4b=2.∴原式=2﹣3=﹣1.故选:B.例6、解:∵x2﹣x﹣2=0,即x2﹣x=2,∴原式=4x2﹣4x﹣15+2=4(x2﹣x)﹣13=8﹣13=﹣5.故答案为:﹣5变式1、解:(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣(x2﹣y2)﹣2y2=﹣4xy+3y2 =﹣y(4x﹣3y).∵4x=3y,∴原式=0.考点四:乘法公式与因式分解例1、解:∵图中正方形的面积可表示为:a2+2ab+b2,也可表示为:(a+b)2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.例2、解:将x+y=5两边平方得:(x+y)2=x2+2xy+y2=25,将xy=6代入得:x2+12+y2=25,则x2+y2=13.故选B.变式1、解:∵a+b=3,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7.故答案为:7例3、解:∵(x±3)2=x2±6x+9,∴在x2+mx+9中,m=±6.故选D.变式1:解:①x2若为平方项,则加上的项是:±2x×3=±6x;②若x2为乘积二倍项,则加上的项是:()2=,③若加上后是单项式的平方,则加上的项是:﹣x2或﹣9.故为:6x或﹣6x或或﹣x2或﹣9.故选:C.变式2、解:根据题意,原式是一个完全平方式,∵64y2=(±8y)2,∴原式可化成=(x±8y)2,展开可得x2±16xy+64y2,∴kxy=±16xy,∴k=±16.故选:D.例5、解:当x﹣=1时,x2+===12+2=3.故答案为:A.变式1、解:∵x2+3x﹣1=0,∴x﹣=﹣3,两边平方.得x2+﹣2=9,∴x2+=11,故选C.例6、解:由题可得:a2﹣b2=(a﹣b)(a+b).故选:A.变式1、解:图1中,阴影部分的面积=a2﹣b2,根据图1可得,图2中梯形的高为(a﹣b),因此图2中阴影部分的面积=(2a+2b)(a﹣b),根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2﹣b2=(2a+2b)(a﹣b).故选A.例7、解:(x﹣3y)(x+3y)=x2﹣(3y)2=x2﹣9y2,故选C.变式1:解:A、(2a+b)(2b﹣a)=ab﹣2a2+2b2不符合平方差公式的形式,故错误;B、原式=﹣(+1)(+1)=(+1)2不符合平方差公式的形式,故错误;C、原式=﹣(3x﹣y)(3x﹣y)=(3x﹣y)2不符合平方差公式的形式,故错误;D、原式=﹣(n+m)(n﹣m)=﹣(n2﹣m2)=﹣n2+m2符合平方差公式的形式,故正确.故选D.例8、解:x2﹣3x=x(x﹣3).故答案为:x(x﹣3)变式1、解:2a2+ab=a(2a+b).故答案为:a(2a+b).变式2、解:原式=(b+c)(2a﹣3),故答案为:(b+c)(2a﹣3).例9、解:x2﹣6x+9=(x﹣3)2.x2﹣9=(x+3)(x﹣3).x2﹣4x+4=(x﹣2)2.4x2﹣4xy+y2,=(2x)2﹣2×2x•y+y2,=(2x﹣y)2.2a(2a﹣1)2例10、解:∵右边=x2﹣2x+x﹣2=x2﹣x﹣2,∴p=﹣1,q=﹣2.故答案为:﹣1,﹣2.变式1、解:∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2﹣3x﹣10,∴a+b=﹣3,ab=﹣10,解得a=2,b=﹣5或a=﹣5,b=2.故答案为:2或﹣5,﹣5或2.变式2、(1)解:原式=(x﹣5)(x+3).故答案为:(x﹣5)(x+3).(2)解:原式=(2x﹣3)(x+2).故答案为:(2x﹣3)(x+2)例11、解:2x2﹣xy﹣15y2=(2x+5y)(x﹣3y).故选:B.变式1、解:x2﹣mx+6=(x+3)(x+n)=x2+(n+3)x+3n,可得﹣m=n+3,3n=6,解得:m=﹣5,n=2,则原式=25.故答案为:25.【分层训练】<A组>1、解:A、(ab)2=a2b2,故此选项错误;B、3a+2a2无法计算,故此选项错误;C、2(a+b)=2a+2b,故此选项错误;D、a•a=a2,故此选项正确;故选:D.2、解:①a+b=3,ab=﹣2,①a2+b2=(a+b)2﹣2ab,=32﹣2×(﹣2),=9+4,=13.故答案为:13.3、解:(﹣2xy2)3,=(﹣2)3x3(y2)3,=﹣8x3y6.故填﹣8x3y6.4、解:①(2a﹣b)2=4a2+b2﹣4ab;故答案为:4a2+b2﹣4ab;①(﹣12x5y3)÷(﹣3xy2)=4x4y.故答案为:4x4y.5、解:原式=a(a﹣4).故答案为:a(a﹣4).6、解:原式=a(x2﹣2x+1)=a(x﹣1)2.故答案为:a(x﹣1)27、解:(x﹣1)2﹣x(x﹣3)+(x+2)(x﹣2)=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3,∵x2+x﹣5=0,∴x2+x=5,∴原式=5﹣3=2.8、解:(x﹣1)(2x﹣1)﹣(x+1)2+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣(x2+2x+1)+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1=x2﹣5x+1,∵x2﹣5x=3,∴原式=3+1=4.9、解:∵x2+4x﹣5=0,即x2+4x=5,∴原式=2x2﹣2﹣x2+4x﹣4=x2+4x﹣6=5﹣6=﹣1.10、解:原式=m2﹣2m+1+m2﹣1+2015=2m2﹣2m+2015=2(m2﹣m)+2015∵m2﹣m=1,∴原式=2017.11.解:(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)(x﹣2)=x2﹣4﹣(2x2﹣5x+2)=x2﹣4﹣2x2+5x﹣2=﹣x2+5x﹣6,∵x2﹣5x﹣4=0,∴x2﹣5x=4,∴原式=﹣(x2﹣5x)﹣6=﹣4﹣6=﹣10<B组>1、解:①实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,①(2x﹣y)2+(2y﹣z)2+(2z﹣x)2=5(x2+y2+z2)﹣4(xy+yz+xz)=20﹣2[(x+y+z)2﹣(x2+y2+z2)]=28﹣2(x+y+z)2≤28①当x+y+z=0时(2x﹣y)2+(2y﹣z)2+(2z﹣x)2的最大值是28.故选C.2、解:①a2+2a﹣1=0,b4﹣2b2﹣1=0,①(a2+2a﹣1)﹣(b4﹣2b2﹣1)=0,化简之后得到:(a+b2)(a﹣b2+2)=0,若a﹣b2+2=0,即b2=a+2,则1﹣ab2=1﹣a(a+2)=1﹣a2﹣2a=﹣(a2+2a﹣1),①a2+2a﹣1=0,①﹣(a2+2a﹣1)=0,与题设矛盾①a﹣b2+2≠0,①a+b2=0,即b2=﹣a,①==﹣=﹣()5=﹣25=﹣32.故答案为﹣32.解法二:①a2+2a﹣1=0,①a≠0,①两边都除以﹣a2,得﹣﹣1=0又①1﹣ab2≠0,①b2≠而已知b4﹣2b2﹣1=0,①和b2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等实根①+b2=2,×b2==﹣1,①(ab2+b2﹣3a+1)÷a=b2+﹣3+=(b2+)+﹣3=2﹣1﹣3=﹣2,①原式=(﹣2)5=﹣32.3、解:①m2=n+2,n2=m+2(m≠n),①m2﹣n2=n﹣m,①m≠n,①m+n=﹣1,①原式=m(n+2)﹣2mn+n(m+2)=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2(m+n)=﹣2.故答案为﹣2.4、解:原式=(a2+2ab+b2)+(ac+bc)=(a+b)2+c(a+b)=(a+b)(a+b+c).故答案为(a+b)(a+b+c).5、解:(1)(1+2+3+4+5)2=225(2)原式=[n(n+1)]2=n2(n+1)2(3)①原式=(3×1)3+(3×2)3+(3×3)3+…+(3×20)3 =27×13+27×23+27×33+…+27×203=27(13+23+33+ (203)=27××202×212=27×44100=1190700①原式=[13+23+33+…+(2n)3]﹣[23+43+63+…+(2n)3]=(2n)2(2n+1)2﹣8(13+23+33…+n3)=×4n2(2n+1)2﹣8××n2×(n+1)2=n2(2n+1)2﹣2n2(n+1)2=n2(2n2﹣1)=2n4﹣n2(4)①(n+1)3=n3+3n2+3n+1①(n+1)3﹣n3=3n2+3n+1①n3﹣(n﹣1)3=3(n﹣1)2+3(n﹣1)+1…①33﹣23=3×22+3×2+1,①23﹣13=3×12+3×1+1上述n个等式相加,得(n+1)3﹣13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n①3(12+22+…+n2)=(n+1)3﹣1﹣3(1+2+…+n)﹣n=(n+1)3﹣3×﹣(n+1)=(n+1)[(n+1)2﹣n﹣1]=(n+1)(n2+n)①12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)①(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1,①(n+1)4﹣n4=4n3+6n2+4n+1,①n4﹣(n﹣1)4=4(n﹣1)3+6(n﹣1)2+4(n﹣1)+1,…34﹣24=4×23+6×22+4×2+124﹣14=4×13+6×12+4×1+1上述n个等式相加,得(n+1)4﹣n4=4(13+23+…+n3)+6(12+22+…+n2)+4(1+2+…+n)+n,①4(13+23+…+n3)=(n+1)4﹣1﹣6(12+22+…+n2)﹣4(1+2+…+n)﹣n =(n+1)4﹣6×n(n+1)(2n+1)﹣4×﹣(n+1)=(n+1)[(n+1)3﹣n(2n+1)﹣2n﹣1]=(n+1)(n3+n2)①13+23+…+n3=n2(n+1)2故答案为(1)225;(2)n2(n+1)2。