河北中考数学复习第2讲整式

第2讲整式1. (2019，河北)用一根长为a cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)第1题图A. 4 cmB. 8 cmC. (a＋4)cmD. (a＋8)cm【解析】由图形观察出正方形的边长增加2 cm，则周长增加8 cm.2. (2019，河北)有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．现左右手中同样的盘子中都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(A)A BC D【解析】设“”的质量为a，“”的质量为b，“”的质量为c.若各个选项中左右两边相等，则选项A可表示为2a＝3b.选项B可表示为a＋2c＝2b＋2c，即a＝2b. 选项C可表示为a＋c＝2b＋c，即a＝2b.选项D可表示为2a ＝4b，即a＝2b.只有选项A与其他等式不同．3. (2019，河北)若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n的值是(A)A. －1B. －2C. 0D. 1 4【解析】∵2n＋2n＋2n＋2n＝2n×4＝2n×22＝2n＋2，∴2n＋2＝2.∴n ＋2＝1，即n＝－1.4. (2019，河北)将9.52变形正确的是(C)A. 9.52＝92＋0.52B. 9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C. 9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D. 9.52＝92＋9×0.5＋0.52【解析】利用乘法公式简便计算，正确运用完全平方公式.9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52.5. (2019，河北)若a，b互为相反数，则a2－b2＝0 .【解析】∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0.∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝0.6. (2019，河北)嘉淇准备完成题目：化简(■x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“■”印刷不清楚．(1)他把“■”猜成3，请你化简(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他的妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“■”是几？【思路分析】(1)去括号，合并同类项即可．(2)整式加减的结果是常数，即二次项的系数等于0.解：(1)原式＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.(2)设“■”内的数字为a.原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.因为妈妈看到该题的结果是常数，所以a－5＝0，即a＝5.所以原题中“■”为5.列代数式例1 (2019，桂林)用代数式表示：a的2倍与3 的和．下列表示正确的是(B)A. 2a－3B. 2a＋3C. 2(a－3)D. 2(a＋3)【解析】a的2倍，即2a；2a与3的和，即2a＋3.针对训练1 (2019，衢州)有一张边长为a cm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b cm ，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一 方案二方案三训练1题图小明发现这三种方案都能验证公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.对于方案一，小明是这样验证的：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【思路分析】 方案二是将图形分割成一个正方形和两个矩形来计算；方案三是将图形分割成一个正方形和两个梯形来计算．解：方案二：a 2＋ab ＋(a ＋b )b＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.方案三：a 2＋[a ＋（a ＋b ）]b 2＋[a ＋（a ＋b ）]b 2 ＝a 2＋ab ＋12b 2＋ab ＋12b 2 ＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.求代数式的值例2 (2019，河北)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5nm＋10＝ 1 . 【解析】2mn＋3m－5nm＋10＝2(m＋3)＋3m－5(m＋3)＋10＝2m＋6＋3m－5m－15＋10＝1.针对训练2 (2019，邢台一模)若m－x＝2，n＋y＝3，则(m－n)－(x ＋y)的值为(A)A. －1B. 1C. 5D. －5【解析】(m－n)－(x＋y)＝(m－x)－(n＋y)＝－1.整式的运算例3 (2019，张家口宣化区二模)两个多项式A，B，其中B＝－x2＋3x－5.在求A－B时，小明看错题目，误看成了A＋B，结果得到x2－6.(1)求多项式A和A－B；(2)若|x－1|＝2 0180，求A－B的值．【思路分析】(1)根据B与A＋B可求得A，进而求得A－B.(2)由|x－1|＝2 0180可得|x－1|＝1，进而求得结果．解：(1)由题意，得A＋B＝x2－6.∵B＝－x2＋3x－5，∴A＝2x2－3x－1.∴A－B＝(2x2－3x－1)－(－x2＋3x－5)＝3x2－6x＋4.(2)∵|x－1|＝2 0180＝1，∴(x－1)2＝1.∴A－B＝3x2－6x＋4＝3(x－1)2＋1＝3×1＋1＝4.针对训练3 (2019，张家口桥西区模拟)已知多项式A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.(1)如图，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同．请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是①；写出正确的解题过程；训练3题图(2)小亮说：“只要给出x2－2x＋1的合理的值，即可求出多项式A 的值．”小明给出x2－2x＋1的值为4，请你求出此时A的值．【思路分析】正确使用完全平方公式．解：(1)①A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5.(2)∵x2－2x＋1＝4，即(x－1)2＝4，∴x－1＝±2.∴A＝5x－5＝5(x－1)＝±10.因式分解例4 (2019，恩施州)因式分解：8a3－2ab2＝2a(2a＋b)(2a－b) .【解析】8a3－2ab2＝2a(4a2－b2)＝2a(2a＋b)(2a－b).针对训练4 (2019，安徽)下列分解因式正确的是(C)A. －x2＋4x＝－x(x＋4)B. x2＋xy＋x＝x(x＋y)C. x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D. x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)【解析】A. －x2＋4x＝－x(x－4)．B. x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)．C. x(x－y)＋y(y－x)＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2.D. x2－4x＋4＝(x－2)2.一、选择题1. (2019，石家庄新华区质检)计算－a2＋2a2的结果是(A)A. a2B. －a2C. 2a2D. 0【解析】根据合并同类项法则进行计算．2. (2019，南京)计算a3·(a3)2的结果是(B)A. a8B. a9C. a11D. a18【解析】根据幂的运算法则，得a3·(a3)2＝a3·a6＝a9.3. (2019，唐山路南区二模)下列算式中，结果等于x 6的是(A)A. x 2·x 2·x 2B. x 2＋x 2＋x 2C. x 2·x 3D. x 4＋x 2【解析】 选项A 结果为x 6.选项B 结果为3x 2.选项C 结果为x 5.选项D 已是最简结果．4. (2019，邯郸一模)下列运算中，正确的是(A)A. (a 3)3＝a 9B. a 2·a 2＝2a 2C. a －a 2＝－aD. (ab )2＝ab 2【解析】 选项A 结果正确．选项B 结果为a 4.选项C 已是最简结果．选项D 结果为a 2b 2.5. 下列计算正确的是(D)A. (3xy 2)3＝9x 3y 6B. (x ＋y )2＝x 2＋y 2C. x 6÷x 2＝x 3D. 2x 2y －12yx 2＝32x 2y【解析】 选项A 结果为27x 3y 6.选项B 结果为x 2＋2xy ＋y 2.选项C 结果为x 4.选项D 结果正确．6. (2019，张家口桥西区模拟)已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，则代数式(n ＋x )－(m －y )的值是(D)A. 99B. 101C. －99D. －101【解析】 (n ＋x )－(m －y )＝n ＋x －m ＋y ＝－(m －n )＋(x ＋y )＝－101.7. (2019，唐山丰南区一模)如果a ，b 互为相反数，x ，y 互为倒数，那么14(a ＋b )＋72xy 的值是(C)A. 2B. 3C. 72D. 4【解析】 将a ＋b ＝0，xy ＝1代入，原式＝72.8. (2019，唐山路北区一模)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(C)A. a (m ＋n )＝am ＋anB. a 2－b 2－c 2＝(a －b )(a ＋b )－c 2C. 10x 2－5x ＝5x (2x －1)D. x 2－16＋6x ＝(x ＋4)(x －4)＋6x【解析】 选项A 是整式乘法，选项B ，D 的结果是和的形式，只有选项C 结果是乘积的形式．9. (2019，河北)计算852－152的结果是(D)A. 70B. 700C. 4 900D. 7 000 【解析】 原式＝(85＋15)×(85－15)＝100×70＝7 000.10. (2019，石家庄长安区质检)下列各式中，不是多项式2x 2－4x ＋2的因式的是(D)A. 2B. 2(x －1)C. (x －1)2D. 2(x －2)【解析】 2x 2－4x ＋2＝2(x 2－2x ＋1)＝2(x －1)2.二、 填空题11. (2019，株洲)单项式5mn 2的次数是 3 .【解析】 m ，n 的指数的和．12. (2019，石家庄质检)若x a y 与3x 2y b 是同类项，则ab 的值为 2 .【解析】 根据同类项的定义可知a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.13. (2019，岳阳)已知a 2＋2a ＝1，则3(a 2＋2a )＋2的值为 5 .【解析】 将a 2＋2a ＝1代入，原式＝ 3×1＋2＝5.14. (2019，菏泽)若a ＋b ＝2，ab ＝－3，则代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值为 －12 .【解析】 a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝－3×22＝－12.15. (2019，株洲)因式分解：a 2(a －b )－4(a －b )＝ (a －b )(a ＋2)(a －2) ．【解析】 a 2(a －b )－4(a －b )＝(a －b )(a 2－4)＝(a －b )(a ＋2)(a －2)．三、 解答题16. (2019，扬州)化简：(2x ＋3)2－(2x ＋3)(2x －3)．【思路分析】 计算中正确运用乘法公式．解：原式＝4x 2＋12x ＋9－4x 2＋9＝12x ＋18.17. (2019，邵阳)先化简，再求值：(a －2b )(a ＋2b )－(a －2b )2＋8b 2，其中a ＝－2，b ＝12.【思路分析】 计算中正确运用乘法公式，化简后，再代入求值． 解：原式＝a 2－(2b )2－(a 2－4ab ＋4b 2)＋8b 2＝a 2－4b 2－a 2＋4ab －4b 2＋8b 2＝4ab .将a ＝－2，b ＝12代入，得原式＝4×(－2)×12＝－4.18. (2019，石家庄桥西区质检)(1)计算：972－32；(2)已知a ＝－13.6，b ＝3.6，求代数式a 2＋2ab ＋b 2的值．【思路分析】 (1)运用平方差公式因式分解．(2)先运用完全平方和公式因式分解再求值．解：(1)原式＝(97＋3)×(97－3)＝100×94＝9 400.(2)原式＝ (a ＋b )2.当 a ＝－13.6，b ＝3.6时，原式＝(－13.6＋3.6)2＝(－10)2＝100.1. (2019，石家庄新华区质检，导学号5892921)已知(x －1)3＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则a ＋b ＋c ＋d 的值为(B)A. －1B. 0C. 1D. 无法确定【解析】 当x ＝1时，已知等式可化为0＝a ＋b ＋c ＋d .2. (2019，张家口桥东区模拟)若M ＝(x －3)(x －5)，N ＝(x －2)(x －6)，则M 与N 的关系为(B)A. M ＝NB. M >NC. M <ND. M 与N 的大小由x 的取值而定【解析】∵M＝x2－8x＋15，N＝x2－8x＋12，∴M－N>0.∴M>N.3. (2019，张家口桥东区模拟，导学号5892921)若a≠0，b≠0，则代数式a|a|＋b|b|＋ab|ab|的取值共有(A)A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解析】分情况讨论．若a>0，b>0，原式＝3；若a>0，b<0或a<0，b>0或a<0，b<0，原式＝－1.4. (导学号5892921)已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy ＋4y2的值为0.36 .【解析】将已知的两个等式相加，得2x＋4y＝1.2，∴x＋2y＝0.6.∴x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2＝0.36.5. (2019，达州)已知a m＝3，a n＝2，则a2m－n的值为 4.5 .【解析】a2m－n＝(a m)2÷a n＝32÷2＝4.5.6. (导学号5892921)若a2n＝9，b2n＝25，则(ab)n＝±15 .【解析】根据幂的运算，得a2n b2n＝[]（ab）n2＝9×25，∴(ab)n ＝±15.。

第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.知识点二：整式的运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n；(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn；(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n；(4)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0).5.整式的乘除运算(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.6.混合知识点五：因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.。

整式知识点梳理考点01 代数式1.代数式的概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。

单独一个数或一个字母也是代数式.运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。

2.代数式的书写规则：（1）含有乘法运算的代数式的书写规则：字母与字母相乘，乘号一般可以省略不写，字母的排列顺序不变.数字与字母相乘，乘号一般也可以省略，但数字一定要写在字母的前面，且当数字是带分数时，必须写成假分数的形式.数字与数字相乘，乘号不能省略.带括号的式子与字母的地位相同。

（2）含有除法运算的代数式的书写规则：当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”，而改用分数线.因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线。

（3）含有单位名称的代数式的书写规则：若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位.若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可。

3.代数式的值（1）代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。

（2）求代数式的值的步骤：第1步：代入，用具体数值代替代数式里的字母.第2步：计算，按照代数式里指明的运算，计算出结果。

（3）求代数式的值时要注意：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替.如果代数式里省略了乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号.代入数值时，不能改变原式中的运算符号及数字。

(4)运算时，要注意运算顺序。

（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要求先算括号里面的）考点02 单项式和多项式一、单项式1.单项式的概念：如3、a 、xy 、ab 31-等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

2.单项式中不能含有加减法运算，但可以含有除法运算。

3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数.（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数.（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号.（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

整式的运算复习考点攻略考点01 整式的有关概念1．整式：单项式和多项式统称为整式．2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中.每一个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例1】单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【例2】下列说法中正确的是（ ）A ．25xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1.次数为0C ．222xyz -的次数是6D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D【解析】A.25xy -的系数是–15.则A 错误；B.单项式x 的系数为1.次数为1.则B 错误；C.222xyz -的次数是1+1+2=4.则C 错误；D.xy ＋x –1是二次三项式.正确.故选D.【例3】若单项式32m x y 与3m nxy +是同类项.2m n +_______________．【答案】2【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩221242m n +=⨯+==故答案为：2．【例4】按一定规律排列的单项式：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….第n 个单项式是（ ）A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A 【解析】解：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【例5】如图.图案均是用长度相等的小木棒.按一定规律拼搭而成.第一个图案需4根小木棒.则第6个图案需小木棒的根数是（ ）A ．54B ．63C ．74D ．84【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒. 拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒. 拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒. 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒. …拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时.n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.考点02 整式的运算1．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -. 2. 整式的加减：几个整式相加减.如有括号就先去括号.然后再合并同类项。