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.2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)【明目标、知重点】1．理解样本数据标准差的意义，会计算样本平均数和标准差．2．体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征． 【填要点、记疑点】 1．标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].2．方差标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)． 【探要点、究所然】 探究点一 标准差问题 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？ 思考1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？答 经计算得：x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x 乙＝7.思考2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？答直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．思考3 对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？答还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．思考4 如何用数字去刻画这种分散程度呢？答考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示 .思考5 所谓“平均距离”，其含义如何理解？答假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x |(i ＝1,2，…，n )．于是，样本数据是x 1，x 2，…，x n 到x 的“平均距离”是 S ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n.由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：s ＝1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].思考6 标准差的取值范围如何？若s ＝0表示怎样的意义？答 从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数． 探究点二 方差思考1 方差的概念是怎样定义的？答 人们有时用标准差的平方s 2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s 2＝1n·[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．思考2 对于一个容量为2的样本：x 1，x 2(x 1＜x 2)，它们的平均数和标准差如果分别用x 和a 表示，那么x 和a 分别等于什么？答 x ＝12(x 1＋x 2)，a ＝12(x 2－x 1)．思考3 在数轴上，x 和a 有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？答 x 和a 的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围．思考 4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？答通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．例1 求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？解x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.根据标准差的公式，s甲＝110[7－72＋8－72＋…＋4－72]＝2；同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．反思与感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．跟踪训练1如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________． 答案 6.8解析 从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数，结合方差公式求解．依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 探究点三 标准差及方差的应用例2 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解 四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00，0.82，1.49，2.83.它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的．反思与感悟比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．跟踪训练2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，x甲＜x乙．即乙种玉米的苗长得高．(2)由方差公式得：s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，同理s2乙＝128.8，∴s2甲＜s2乙.即甲种玉米的苗长得齐．答乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．46 25.32 25.45 25.39 25.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.4225．39 25.43 25.39 25.40 25.4425．40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.4825．47 25.49 25.49 25.36 25.3425．33 25.43 25.43 25.32 25.4725．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)解用计算器计算可得x甲≈25.401，x乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．反思与感悟从上述例子我们可以看到，尽管总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变，这就会影响到我们对总体情况的估计．如果样本的代表性差，那么对总体所作出的估计就会产生偏差；样本没有代表性时，对总体作出错误估计的可能性就非常大．跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.解[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244. 因为0.244>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 【当堂测、查疑缺】1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 答案 B解析 A 中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C 中求和后还需取平均数；D 中方差越大，射击越不平稳，水平越低．2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677答案 B 解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0) ＝367. 3．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为 ( )A ．2，13B ．2,1C ．4，13D ．4,3答案 D解析 因为x ＝2，s 2＝13；所以X ＝3x －2＝4，S 2＝9s 2＝3，故选D.4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数标准差为2. 【呈重点、现规律】1．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．。
数学人教B 必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1．通过随机抽样，会用样本平均数估计总体平均数，会用样本标准差估计总体标准差． 2．掌握几个数据的标准差及方差的计算方法，理解数据标准差的意义和作用．1．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现____最多的数据叫做这组数据的众数． 即：众数是在样本数据中，频率分布______所对应的样本数据．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在____位置的一个数据(或____两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么x ＝____________________，叫做这n 个数的平均数．中所有个体的平均数叫做总体平均数． 中所有个体的平均数叫做样本平均数．【做一做1】10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＞b ＞cC ．a ＜c ＜bD ．c ＞a ＞b 2．样本方差、样本标准差数据的离散程度可以用____、____或______来描述．我们知道，样本方差描述了一组数据围绕______波动的大小．一般地，设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，定义s 2＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n，s ＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n .其中s 2表示________，s 表示__________．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【做一做2－1】样本101,98,102,100,99的标准差为( )． A ． 2 B ．0 C ．1 D ．2【做一做2－2】若k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为__________．1．平均数、中位数、众数的区别与联系剖析：平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的．计算平均数时全部数据都参加运算，因此，用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好．但是它也有缺点，主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的，会受到数据中那些没有代表性的极端值的影响．因此，有时在计算平均数时，先剔除个别缺乏代表性的特殊值，所得到的结果可能会更具有代表性．中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响，用中位数来反映一组数据中各数据大小的一般水平并不很精确．但中位数计算简单，与平均数相比，中位数不受数据中两端异常的特殊值的影响．从这个意义出发，它可以作为数据平均指标的代表值．众数并没有通常意义上的“平均”的含义．但众数在数据中出现的次数最多，说明该数值在数据中最具有代表性．众数不会受到数据中极端值的影响，但并不是每一组数据都是具有众数的．对于分组数据而言，众数常常依赖于分组的情况，分组数改变时，众数可能就有较大的变化，稳定性较差．同时众数也可能是不唯一的．2．方差、极差和标准差的特点剖析：方差、极差和标准差是从不同角度描述一组数据的离散趋势的．它们各自的特点及应用如下：虽然极差没有充分利用数据，不能提供更确切的信息，但由于只涉及两个数据，计算非常简便，所以极差在实际现场检查时经常利用，但极差没有考虑各中间值．方差充分利用了所得到的数据，提供了更确切的信息．在统计中，方差能够较好地区别出不同组数据的分散情况或程度，但方差的单位是原始观测数据的单位的平方．而标准差能够和方差一样区分数据的分散情况，且其单位与原始观测数据的单位相同．(1)当标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(2)数据组x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a，b为常数)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为as.题型一用众数、中位数、平均数估计总体(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？分析：本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及适用对象．反思：平均数受数据中的极端值的影响较大，降低了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更客观．题型二用方差或标准差估计总体【例2】某化肥厂甲、乙两个车间包装化肥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一袋称其重量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110估计甲、乙两车间所包装化肥每袋的重量，并说明哪个车间的技术好．分析：根据公式计算得平均数和方差，分析甲、乙两车间每袋重量的集中趋势和离散程度．反思：对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆，不能记错公式，造成计算上的失误，使得统计的结果失去真实的意义．另外，应用求得的标准差的结论时，要特别注意标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．题型三 样本数字特征的应用【例3】画出下列四组数据的频率分布条形图，并说明它们的异同点． (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：比较四组数据的异同可从它们的平均数、标准差这些数字特征入手，分析它们的集中趋势或离散程度．反思：频率分布条形图可以将我们所要求的平均数、众数、中位数、标准差等数据一一用图形直观显示出来，帮助我们获取有用的信息，特别是在对两组数据间进行比较时，应用非常方便．题型四 易错辨析【例4】若10个正整数的平方和是208，平均数是4，则这组数据的方差为多少？将这组数据同时减去3，则新数据的平均数为多少？方差为多少？错解：s 2＝110(x 21＋x 22＋…＋x 210－10x )＝16.8，这组数据都减去3后，平均数为4－3＝1，方差为16.8－9＝7.8.错因分析：对平均数、方差的公式不清楚，致使计算结果不正确．1能反映一组数据的离散程度的是( )． A ．频数 B ．平均数 C ．标准差 D ．极差2已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如下，则( )．A ．甲的中位数为21，乙的众数为26B ．甲的众数为21，乙的中位数为25C ．甲的中位数为21，乙的众数为31D ．甲的众数为21，乙的中位数为313甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如下，则下列说法正确的是( )．A ．甲的平均成绩比乙的平均成绩高B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小4已知一个样本数据是1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是__________． 5一组数据的每一个数据都减去80，得一组新数据．若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是______、______.答案： 基础知识·梳理1．(1)次数 最大值 (2)中间 中间 (3)1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) 总体 样本 【做一做1】 A 众数c ＝17，中位数b ＝15，平均数a ＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，所以a ＜b ＜c .2．极差 方差 标准差 平均数 样本方差 样本标准差【做一做2－1】 A 样本平均数x ＝15×(101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s 2＝15×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2，∴s ＝ 2.【做一做2－2】 12 设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k ， 则16[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 6－k )2]＝3， 而2(k 1－3),2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －3)，则所求方差为16[4(k 1－k )2＋4(k 2－k )2＋…＋4(k 6－k )2]＝4×3＝12.典型例题·领悟【例1】 解：(1)由表格可知：众数为200，中位数为220，平均数为(2 200＋250×6＋220×5＋200×10＋100)÷23＝300(元/周)．(2)虽然平均数为300元/周，但从表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．【例2】 解：x 甲＝17×(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100.x 乙＝17×(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100.s 2甲＝17×(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)＝247， s 2乙＝17×(102＋152＋102＋152＋252＋152＋102)＝1 6007＞s 2甲， ∵x 甲＝x 乙＝100，∴两车间所包装化肥每袋重量平均数都是100 kg.∵s 2甲＜s 2乙，∴s 甲＜s 乙，∴甲车间包装化肥的技术好．【例3】 解：四组数据的频率分布条形图如图所示．四组数据的平均数都是5，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们的标准差不同，说明数据的离散程度是不一样的．【例4】 正解：由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，展开整理可得s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n (x )2]， 这里由题设n ＝10，x 21＋x 22＋…＋x 210＝208，x ＝4，所以s 2＝110(208－10×42)＝4.8.一组数据同时减去a 后，平均数为x －a ，方差不变，所以都减去3后，平均数为1，方差为4.8. 随堂练习·巩固1．C 本题考查数据的基本特征量以及它们的含义，因为标准差反映数据的波动大小及离散程度，所以应选C.2．C3．C 由图可知甲的五次成绩分别为99,98,105,118,115，则可得甲的五次成绩的平均数为107，方差为66.8；乙的五次成绩分别为95,106,108,112,114，则可得乙的平均成绩为107，方差为44.4．2 由15(1＋3＋2＋5＋x )＝3，解得x ＝4，因为s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，所以标准差s ＝ 2.5．81.2 4.4 设这组数据为x 1，x 2，…，x n ，都减去80后，新数据为x 1′，x 2′，…，x n ′，则x 1′＋x 2′＋…＋x n ′n ＝1.2.所以x 1＋x 2＋…＋x n n ＝x 1′＋x 2′＋…＋x n ′＋80nn＝1.2＋80＝81.2，又方差是刻画数据离散程度的量，故各数据减(或加)上同一个数后，方差的大小不变．。
学习资料专题2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)如何根据样本数据的频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？(2)如何理解众数、中位数、平均数与极端数据的关系？(3)平均数向我们提供了样本数据的重要信息，平均数会使我们作出对总体的片面判断吗？(4)方差、标准差有什么区别与联系？[新知初探]1．众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．2．三种数字特征的比较名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；预习课本P3～6，思考并完成以下问题3.标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].(2)方差：标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． [点睛](1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．[小试身手]1．下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散解析：选D 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选D 将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a ＝110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b ＝15，众数c ＝17， 显然a ＜b ＜c ，选D.3．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )A ．减少计算量B ．避免故障C ．剔除异常值D ．活跃赛场气氛解析：选C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2[典例] (单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？[解] (1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋5610＝15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．[活学活用](广东高考)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x＝x1＋x2＋…＋x nn＝5，则所求均值x0＝2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2x n＋1n＝x1＋x2＋…＋x n＋nn＝2x＋1＝2×5＋1＝11.答案：11标准差(方差)的计算及应用[典例]甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？[解] (1)x甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2.(3)x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击情况波动比乙大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．计算标准差的5步骤(1)求出样本数据的平均数x .(2)求出每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )． (3)求出x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方值．(4)求出上一步中n 个平方值的平均数，即为样本方差． (5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．[活学活用]从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42； 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40. 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ 解：(1)x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)， x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)． 所以x 甲<x乙．即乙种玉米苗长得高． (2)s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2(cm 2)，s 2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝110×1 288＝128.8(cm 2)．所以s 2甲<s 2乙.即甲种玉米苗长得齐.[典例] 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数． [解] (1)由题图知众数为70＋802＝75.(2)由题图知，设中位数为x ，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x －70)，所以x ≈73.3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系[活学活用]为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________． (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________． (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________． 解析：(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13. (2)设中位数为x ，则0.2＋(x －55)×0.04＝0.5，x ＝62.5. (3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 答案：(1)13 (2)62.5 (3)64[层级一 学业水平达标]1．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A ．63B ．64C ．65D ．66解析：选 A 甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.2．下列说法中，不正确的是( ) A ．数据2,4,6,8的中位数是4,6 B ．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C ．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D ．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8×5＋7×311解析：选A 数据2,4,6,8的中位数为4＋62＝5，显然A 是错误的，B 、C 、D 都是正确的．故选A.3．已知一组数据，现将每个数据都加上m ，则新的一组数据的平均数与原来一组数的平均数相比( )A ．扩大到m 倍B ．增加m 倍C ．数值不变D ．增加m解析：选D 设原来一组数据为x 1，x 2，…，x n ，平均数x ，那么加上m 后得到的一组新数据为x 1＋m ，x 2＋m ，…，x n ＋m ，其平均数x ′＝m ＋x 1＋x 2＋…＋x nn＝m ＋x .故答案为D.4．如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )A ．46B ．36C ．56D ．60解析：选A 根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数为1 38030＝46.5．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 解：(1)由图可知众数为65， ∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x ，则0.3＋x ×0.04＝0.5，得x ＝5， ∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，故平均成绩约为67.[层级二 应试能力达标]1.如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分解析：选B 易得甲得分的中位数是32，乙得分的中位数是25，其和为32＋25＝57. 2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．9.4,0.484B ．9.4,0.016C ．9.5,0.04D ．9.5,0.016解析：选D x ＝9.4×3＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15(0.12×4＋0.22)＝0.016.3．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B解析：选B 由图易得x A ＜x B ，又A 波动性大，B 波动性小，所以s A ＞s B .4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x解析：选D 由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为m e ＝5＋62＝5.5.又众数为m 0＝5，平均值x ＝130(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝17930，∴m 0＜m e ＜x .5．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这五个数的标准差是________． 解析：由1＋2＋3＋4＋a5＝3，得a ＝5；由s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s ＝ 2.答案：526．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x ＝________. 解析：x ＝120(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.答案：9.57．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．解析：(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s ＝2. 答案：(1)7 (2)28．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为：x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为：s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．9．(广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2.(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学过程第1课时众数、中位数、平均数导入新课思路1在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征.(板书课题)思路2在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.推进新课新知探究提出问题(1)什么是众数、中位数、平均数？(1)如何绘制频率分布直方图？(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.讨论结果：(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息. (2)画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨论,并举例）对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.应用示例思路1例1 （1）若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是___________；（2）如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的样本平均数分别是x 和y,那么一组数x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n 的平均数是___________．活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.解：（1）NM NY MX ++； （2）2y x +. 例2 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平均分即可．解：用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班．思路2例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间． 睡眠时间人数 频率 ［6,6.5)5 0．05 ［6.5,7)17 0．17 ［7,7.5)33 0．33 ［7.5,8)37 0．37 ［8,8.5)6 0．06 ［8.5,9)2 0．02 合计 100 1分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739（h ）,故平均睡眠时间约为7.39 h ．解法二：求组中值与对应频率之积的和6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h ）.答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．分析：上述百分比就是各组的频率．解：估计该单位职工的平均年收入为12 500×10%+17500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).答：估计该单位人均年收入约为26 125元．知能训练从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资. 答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性.4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一些误导作用.课堂小结1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．作业习题2.2A组3.设计感想本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上,学习了利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,这是一种近似估计,但都能说明总体的分布特征,各有优缺点,讲解时紧扣课本内容,讲清讲透,使学生活学活用,会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,对总体作出正确的估计.(设计者:路波)第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示.所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+-Λ. 由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+-Λ. 意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709；x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s甲=2.用类似的方法，可得s乙≈1.095.由s甲>s乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40, (12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例 2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差. 天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390 灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命.解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2).故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.知能训练（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________.(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 试判断选谁参加某项重大比赛更合适？答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2(3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s , 乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a = 这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中。
