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上海市进才中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)若A B A=I，求实数a的取值范围．18．求关于x的不等式23(32)20(R)ax a x a-++<Î的解集．19．（1）已知xÎR，比较2231x x+-与73x-的大小；（2）设x，y是不全为零的实数，试比较222x y+与2x xy+的大小，并说明理由．20．已知关于x的不等式()()()2245110Rk k x k x k--+++>Î的解集为M．(1)若1k=，求x的取值范围；(2)若RM=，求实数k的取值范围；(3)是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有n MÎ；对于任意负整数m，都有m MÏ”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．21．设A是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=Î且}u v¹为集合A的生成集．(1)当{}2,3,5A=时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B=，并说明理由．【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B \=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题一、填空题1．下面六个关系式：①{}a ∅⊆；②{}a a ⊆；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈，其中正确的是__．【正确答案】①③⑤【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，{},{,,}a a a a b c ∈∈，故②错误，⑤正确；由集合与集合的关系可知，{}{},{}{,},{,}a a a a b a b ⊆⊆∅⊆，故③正确，④⑥错误；故①③⑤2．集合{}22,{M y y x N x y ==-+=∣∣，则M N ⋂=__．【正确答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由函数的性质化简集合，再求交集.【详解】{}(]{21|2,2,|,3M y y x N x y ⎡⎫==-+=-∞===+∞⎪⎢⎣⎭，所以1,23M N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ．故1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数为________．【正确答案】2【详解】∵M ∪{1}={1,2,3}∴2∈M ，且3∈M∴集合M 可能为{2,3}或{1,2,3}故答案为24．写出2a >的一个必要非充分条件___________.【正确答案】1a >根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件.【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >，∴1a >是2a >的一个必要非充分条件.故1a >本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题.5．设实数集上不等式2103x x+<-的解集为A ，则A =R ð___________.【正确答案】1[,3]2-【分析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，再求R A ð即可.【详解】解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x >因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，所以1[,3]2R A -=ð故1[,3]2-本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.6．若关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，则实数k =________【正确答案】3-由题意利用判别式0∆=求出k 的值，再判断是否满足题意即可.【详解】关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，所以()214140k ∆=--⨯⨯=，解得3k =-或5k =；当3k =-时，不等式为2440x x -+≤，解集为{}2；当5k =时，不等式为2440x x ++≤，解集为{}2-，不合题意；综上知，实数3k =-，故答案为.3-7．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【正确答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．8．若实数,a b 满足1ab =,则222a b +的最小值为___________.【正确答案】【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】222a b +≥==当222a b =时，即141422a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩或141422a b -⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，等号成立.故答案为.本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.9．已知,,a b c ∈R 则下列命题正确的个数是___________.①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>，则111a b c <<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.【正确答案】3【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明．【详解】①若22ac bc >，显然20c >，则a b >，正确；②若22a b ->-，显然20b -≥，根据不等式的乘方的性质有，则()()2222a b ->-，正确；③若0a b c >>>，由0a b >>，则a b ab ab >，即11b a >，同理由0b c >>得11b c <，所以111a b c <<，正确；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，例如10,1a b ==，满足4,4a b ab +>>，但12b =<，错误．正确个数为3．故3．10．若不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是{|23}x x -<<，则不等式bx 2+ax +c ＜0的解集是______【正确答案】（-3，2）【分析】由题分析得b ＞0，且a b =1，c b=-6，再解一元二次不等式得解.【详解】∵不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是（-2，3），∴a ＞0，且对应方程ax 2-bx +c =0的实数根是-2和3，由根与系数的关系，得2323c a b a⎧=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即c a =-6，b a=1,∴b ＞0，且a b =1，c b =-6，∴不等式bx 2+ax +c ＜0可化为x 2+x -6＜0，解得-3＜x ＜2；∴该不等式的解集为（-3，2）．故答案为（-3，2）.本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，且223αβ+=，则实数p =_________【正确答案】1-【分析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，所以240p p ∆=-≥，解得4p ≥或0p ≤所以p pαβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为223αβ+=，所以()22223αβαβαβ+=+-=，即()223p p --=，解得1p =-或3p =（舍去）故1-本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.12．若关于x 的不等式224ax ax -≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】(]4,0-【分析】讨论0a =，0a ≠两种情况，由一元二次不等式的解法得出实数a 的取值范围.【详解】由题意得2240ax ax --≥的解集为∅，当0a =时，40-≥的解集为∅，当0a ≠时，20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<，综上，实数a 的取值范围是(]4,0-．故(]4,0-二、单选题13．设U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A = ；（2）A B B ⋃=；（3）A B ⋂=∅；（4）A B U ⋃=.其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．【详解】解：U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A A B ⋂=⇔⊆；（2）A B B A B ⋃=⇔⊆；（3）,A B x A =∅∀∈ ，则,,x B x B A B A B ∉∴∈∴=∅⇔⊆ ；（4）,A B U x A =∀∈ ，则,,x A x B A B U A B ∉∴∈∴=⇔⊆ ．其中与命题A B ⊆等价的命题个数有4．故选：D ．14．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【正确答案】C 【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案.【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S .故选：C15．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠【正确答案】C直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．16．一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】D【分析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于方程20ax bx c ++=，当2400b ac a ⎧∆=-=⎨<⎩，方程有解，此时20ax bx c ++>的解集为空集，故充分性不成立；若对于20ax bx c ++>当2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩时不等式的解集为R ，此时方程20ax bx c ++=无解，故必要性也不成立，故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选：D本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.三、解答题17．已知集合{}31,A x x x x =-≤∈R ，集合1,12x B x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R .（1）用区间表示集合A 与集合B ；（2）若定义集合A 为全集，求集合B 在集合A 中的补集B .【正确答案】（1）11,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11,32B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）111,432B ⎡⎫⎧⎫=⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.【分析】（1）根据绝对值不等式、分式不等式的解法分别求出集合A 和B ，再用区间表示即可；（2）直接利用补集的定义即可求解集合B 在集合A 中的补集B ．【详解】（1）由不等式|31|x x -，可得0x ≥，平方可得28610x x -+，解得1142x ，∴集合{||31|A x x x =-，11}{|}42x R x x ∈=，用区间表示为1[4A =，12．解不等式112x x -，即31012x x --，即31021x x --，解得1132x <，∴集合{|112x B x x =-，11}{|}32x R x x ∈=<．用区间表示为1[3B =，12．（2）集合1[4A =，1]2为全集，则集合1[3B =，1)2在集合A 中的补集1[4B =，11)32⎧⎫⋃⎨⎩⎭．本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．18．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【正确答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A∈因为命题p 为真命题所以210m -≥解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩所以112m ≤<所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题则12m <或m 1≥所以实数m 的范围为12m <或m 1≥本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.19．为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量p 万件与促销费用x (0x a ≤≤，a 为正常数)万元满足231p x =-+.已知生产该批产品p 万件需投入成本()102p +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20(4)p +元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？【正确答案】(1)4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)答案见解析.【分析】(1)根据利润等于销售量与产品单价之积减去生产产品的成本和促销费用，利用已知条件表示出利润y 即可；(2)由(1)中结论，利用导数求最大值并讨论参数a 的范围即可求解.【详解】(1)由题意知，()204102210y p x p p x p ⎛⎫ ⎪=+--+=-+⎝⎭，将231p x =-+代入化简，得4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)由(1)中知，4161y x x =--+(0x a ≤≤)，所以()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++，若1a >，当[0,1]x ∈时，0y '≥；当[1,]x a ∈时，0y '≤，所以函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减.所以当1x =时，y 取极大值，也是最大值，所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.若01a <≤，因为函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，所以函数4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增，所以当x a =时，函数有最大值，即投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大，综上，当1a >时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；当01a <≤时，投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大.20．（1）已知a b >，用比较法证明：33a b >；（2）已知,,0a b c >，用基本不等式证明：6b c c a a b a b c+++++≥，并注明等号成立条件；（3）已知332p q +=，用反证法证明：2p q +≤．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）计算23233()()204a b a b b b a ⎡⎤-=-++⎥⎣⎦>⎢，得到证明；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用均值不等式计算得到证明.（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，计算得到2(1)0q -<，不成立，得到证明.【详解】（1）a b >，2322323()()()(240b a b a ab b a b a b a b ⎡⎤-=-++=-++⎢⎥⎦>⎣，故33a b >；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6=，当且仅当a b c ==时取等号；（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，3328126p q q q +>-+，又332p q +=，所以228126q q >-+，即2210q q +<-，2(1)0q -<，矛盾，故2p q +≤．。
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
2020-2021学年上海市格致中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】 当0a b >>时，11a b<不成立；当110a b <<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．2．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃【答案】C【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．3．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ） A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠ 【答案】C【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．4．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．(5,3)(4,5)- B ．[5,3)(4,5]-C ．(5,3][4,5)-D ．[5,3][4,5]-【答案】B【解析】求出第一个不等式的解，讨论k 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k 的范围． 【详解】解：解不等式2280x x -->得2x <-或4x >， 解方程22(27)70x k x k +++=得172x ，2x k =-． （1）若72k -<-即72k >时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(,)2k --，若不等式组只有1个整数解，则54k --<-，解得：45k <，（2）若72k ->-即72k <时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(2-，)k -，若不等式组只有1个整数解，则35k -<-，解得：53k -<，综上，k 的取值范围是[5-，3)(4⋃，5]，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．二、填空题5．若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .【答案】{}4,9,16【解析】解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{}2|,B x x t t A ==∈，2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,{}4,9,16B ∴=，那么用列举法表示B ={}4,9,16.本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.6．方程组2354x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为___________.【答案】{(1,1)}-【解析】由二元一次方程，应用消元法或逆矩阵解方程组求解即可. 【详解】法一：由2354x y x y -=⎧⎨+=⎩，得231028x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴两式相加得：1111x =，1x =， 代入23x y -=，得1y =-，法二：由原方程组知：1251A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，34B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴12||11051A -==≠，即A 可逆，∴1121111511111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，有11231111151411111X A B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ∴1x =，1y =- 故答案为：{(1,1)}- 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，分别可用消元法、逆矩阵求解，属于简单题. 7．{|||1,}A y y x x ==-∈R ，2{|28,}B y y x x x ==-++∈R ，A B =___________.【答案】[1,9]-【解析】结合绝对值和二次函数的性质分别求出两函数的值域，从而可求出两集合的交集. 【详解】解：因为0x ≥，所以||11y x =-≥-，即[)1,A =-+∞，因为()2228199y x x x =-++=--+≤，所以(],9B =-∞，所以AB =[1,9]-，故答案为: [1,9]-. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.本题的关键是分别化简两集合.8．写出2a >的一个必要非充分条件___________. 【答案】1a >【解析】根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件. 【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >， ∴1a >是2a >的一个必要非充分条件. 故答案为：1a > 【点睛】本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题. 9．已知全集{4,3,1,2,0,1}U =---，2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+，若{3}A B ⋂=-，则UA B =___________.【答案】{3,1,0,1}--【解析】根据集合交集的定义，结合集合元素的互异性、集合并集和补集的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】因为{3}A B ⋂=-，所以有33a -=-或213a -=-或213a +=-，当33a -=-时，解得0a =，此时{0,1,3}A =-，{3,1,1}B =--，而{3,1}A B ⋂=-，这与已知矛盾，故不符合题意，舍去；当213a -=-时，解得1a =-，此时{0,1,3}A =-，{4,23,}B =--，符合题意，故1a =-；当213a +=-时，此方程无实根，综上所述：1a =-， 所以UAB ={3,1,0,1}--.故答案为：{3,1,0,1}-- 【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题，考查了集合并集和补集的运算，考查了数学运算能力.10．不等式2117x x+≤-的解集为___________.【答案】(,2](7,)-∞+∞【解析】对不等式移项通分，利用公式可得出不等式的解集． 【详解】2117x x +≤-等价于21-107x x +≤-，即3607x x-≤- 化简得()()270x x x --≥，不等于7 则原不等式的解集为(,2](7,)-∞+∞ 故答案为：(,2](7,)-∞+∞ 【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生计算能力，属于基础题． 11．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________. 【答案】{}1,0,2- 【解析】根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值.【详解】 因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.12．已知关于x 的不等式210ax bx +-≥的解集为11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集为___________. 【答案】(3,2)--【解析】由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根，求出65a b =-⎧⎨=⎩，再解不等式得解. 【详解】 由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根， 所以由根与系数的关系得11()23111()23b aa ⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩,解得65a b =-⎧⎨=-⎩. 不等式20x bx a --<即为2560x x ++<， 所以(2)(3)0x x ++< 所以解集为(3,2)--． 故答案为：(3,2)-- 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．若关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的解集是(3,)+∞，则m 的值为___________. 【答案】5【解析】由题意可得10m ->，22331m m m --=-，由此求得m 的值．【详解】解：关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的，即2(1)32m x m m ->--，它解集是(3,)+∞，故10m ->，22331m m m --=-，求得5m =，故答案为：5． 【点睛】本题主要考查含参数的一次不等式的解法，属于中档题．14．已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.【答案】2或32【解析】由题意知M 中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论23,x x 是否相等即可求实数a . 【详解】由题意知：2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=中元素，即为2()(1)0x a x ax a --+-=的解，∴0x a -=或210x ax a -+-=，可知：1x a =或23x x a += ∴当23x x ≠时，23a =；当23x x =时，332a =， ∴2a =或32a =， 故答案为：2或32【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.15．若三个关于x 的方程24430x x a +-+=，225(1)04a x a x ++-+=，2210x ax ++=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1(,1][,)4-∞--+∞【解析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a 的取值范围，进而可求出所求答案. 【详解】解：若三个方程都没有实根，则()()2222444316405142404440a a a a a a ⎧∆=--+=+<⎪+⎪∆=--⋅=--<⎨⎪∆=-<⎪⎩，解得114a -<<-，所以当至少有一个方程有实根时，1a ≤-或14a ≥-，故答案为: 1(,1][,)4-∞--+∞. 【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键.16．设数集4{|}5M x m x m =≤≤+，1{|}4N x n x n =-≤≤，且集合M ､N 都是集合{|01}U x x =≤≤的子集，如果把b a -称为非空集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N ⋂的“长度”的取值范围为___________. 【答案】11[,]204【解析】根据“长度”定义确定集合,M N 的“长度”，由M N ⋂“长度”最小时，两集合位于集合I 左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合M 的长度为45，集合N 的长度为14； 若集合M N ⋂的“长度”最小，则M 与N 分别位于集合I 的左右两端，MN ∴的“长度”的最小值为45411120+-=若集合M N ⋂的“长度”最大，则M 与N 分别重合的部分最多，MN ∴的“长度”的最大值为14则集合M N ⋂的“长度”的取值范围为11[,]204故答案为：11[,]204【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置.三、解答题17．已知集合2{|8160,,}A x kx x k x =-+=∈∈R R .（1）若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ； （2）若A 至多有两个子集，试求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k =，{2}A =；1k =，{4}A =；（2）{}[)01,+∞．【解析】（1）当0k =时，易知符合题意，当0k ≠时，利用0∆=即可求出k 的值； （2）由A 至多有两个子集，可知集合A 中元素个数最多1个，再分0k =和0k ≠两种情况讨论，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】（1）①当0k =时，方程化为：8160x -+=，解得2x =， 此时集合{2}A =，满足题意； ②当0k ≠时，方程28160kx x -+=有一个根，∴∆2(8)4160k =--⨯=，解得：1k =，此时方程为28160x x -+=，解得4x =，∴集合{4}A =，符合题意，综上所述，0k =时集合{2}A =；1k =时集合{4}A =； （2）A 至多有两个子集，∴集合A 中元素个数最多1个，①当0k ≠时，一元二次方程28160kx x -+=最多有1个实数根，∴∆2(8)4160k =--⨯，解得1k ，②当0k =时，由（1）可知，集合{2}A =符合题意， 综上所述，实数k 的取值范围为：{}[)01,+∞．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题． 18．已知a ∈R ，求关于x 的不等式2(21)20ax a x --->的解集. 【答案】见解析【解析】当0a =时，求解一次不等式，当0a ≠时，求出对应方程的根11x a=-，22x ，从而对a 分类讨论一元二次不等式的解集. 【详解】当0a =时，20x ->，∴2x >，则2(21)20ax a x --->的解集为(2,)+∞ 当0a ≠时，解2(21)20ax a x ---=，得11x a =-，22x ①当0a >时，12a-<，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,)(2,)a -∞-+∞. ②当0a <时，（1）12a -=，即12a =-，则2(21)20ax a x --->可化简为()220x -<，无解；（2）12a ->，即102a >>-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(2,)a -； （3）12a -<，即12a <-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,2)a-； 综上：（1）0a =时，解集为(2,)+∞；（2）当0a >时，解集为1(,)(2,)a -∞-+∞；（3）当12a =-时，无解； （4）当102a >>-时，解集为1(2,)a -； （5）当12a <-时，解集为1(,2)a-. 【点睛】 本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.19．已知集合{|2134}A x m x m =+≤≤+，{|17}B x x =≤≤.（1）若A B ⊂，求实数m 的取值范围；（2）若C B Z =，求C 的所有子集中所有元素的和.【答案】（1）(,3)[0,1]-∞-；（2）1792.【解析】（1）根据集合的包含关系求m 的取值范围即可；（2）首先确定子集的个数为72128=，根据元素与集合的关系判断每一个元素存在于多少个子集中，即可求和.【详解】（1）由A B ⊂，知：当A =∅时，2134m m +>+，解得3m <-；当A ≠∅时，2113473421m m m m +≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得01m ≤≤；∴综上，有(,3)[0,1]-∞-.（2）{1,2,3,4,5,6,7}C B Z ==，由C 的所有子集的个数为72128=，而对于任意元素子集：在任意子集中存在或不存在，即每一个元素都存在于64个子集中， ∴(1234567)641792++++++⨯=【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，由元素个数求所有子集中元素之和，利用元素与集合的关系判断元素存在的子集个数，属于基础题.20．设二次函数2()f x ax bx c =++，其中a ､b ､R c ∈. （1）若2(1)b a =+，94c a =+，且关于x 的不等式28200()x x f x -+<的解集为R ，求a 的取值范围；（2）若a ､b ､c Z ∈，且(0)f ､(1)f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根； （3）若1a =，21b k =-，2c k =，求证：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【答案】（1）1(,)2-∞-；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据不等式解集为R ，结合分式、二次函数的性质即可求参数a 的范围；（2）利用反证法，分类讨论12,x x 都为整数、1x 为整数，2x 不为整数，结合a 、b 的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.【详解】（1）由28200()x x f x -+<知：2282000x x ax bx c ⎧-+>⎨++<⎩且解集为R ， ∴2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩即208210a a a <⎧⎨+->⎩，解得：12a <-. （2）(0)f c =，(1)f abc =++均为奇数，知：+a b 为偶数，∴2()0f x ax bx c =++=有两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，1、当a 、b 为偶数时，若12,x x 都为整数，则b 、c 必须同时可被a 整除，显然不成立；若1x 为整数，2x 不为整数，211,ax bx 都为偶数，则2110ax bx c ++≠与题设矛盾；2、当a 、b 为奇数时，若12,x x 都为整数，12b x x a +=-必为奇数，则12,x x 必有一奇一偶，12x x 必为偶数，而c a为奇数，不成立；若1x =11()x ax b c +=-，当1x 为奇数时，1ax b +为偶数，则c 为偶数，与题设矛盾；当1x 为偶数时，1ax b +为奇数，则c 为偶数，与题设矛盾；综上，知：方程()0f x =无整数根；（3）由题意，知：22()(21)f x x k x k =+-+，若()0f x =有两个大于1的根时，有2121220k k k -⎧>⎪⎨⎪+>⎩，解得2k <-；若2k <-时，有()f x 开口向上且对称轴为12522k x -=>，2(1)20f k k =+>，22(21)4149k k k ∆=--=->，所以()0f x =有两个大于1的根；综上，有：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【点睛】本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件间的充要性.。
行知中学高一数学质量检测2022.10.12一､填空题（本大题共有12小题，满分36分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =，则A B = ___________.2.用描述法表示被5除余3的整数的集合为___________.3.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R = ，则实数a 的取值范围是______________________.4.下列语句①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数其中是命题的语句的序号有___________.5.若正数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值是______________.6.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则不等式[]124x <≤的解集为___________.7.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为____.8.对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________.9.若108a b -<<<，则a b +的取值范围是___________.10.关于不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则实数k 的取值范围是___________.11.若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3-- ，关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为________．12.已知存在a ，使得x x a b -+<对任意的[]1,2x ∈恒成立，则b 的取值范围___________.二､选择题（本大题共有4题，满分12分）13.已知a ，b 都是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.设0a b >>，则下列不等式中成立的是（）A.22ab a ba b +>>+B.22a b aba b +>>+C.22a b aba b+>>+D.22ab a ba b +>>+15.在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.44a -≤≤B.97a a ≥≤-或C.24a a ≤-≥或 D.24a -<<16.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合：①Z,0+1n n n n ∈≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，②{}R,0x x x ∈≠，③1Z,0n n n∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭，④整数集Z .其中，以0为聚点的集合有（）A.②③B.①④C.①③D.①②④三､解答题（本大题共有5题，满分52分）17.解不等式组：3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩.18.已知集合{}34A x x =-<≤，集合{}121B x k x k =+≤≤-，且A B A ⋃=，试求k 的取值范围．19.上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是3100(51x x+-元.(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.20.（1）求证：已知a ，b ，x ，()0,y ∈+∞，()222a b a bx y x y++≥+，并指出等号成立的条件；（2）求证：对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=至少有一个方程有实数根（反证法证明）；（3）求证：使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立的充要条件是A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++.21.定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中d c >.（1）若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；（2）已知实数a ，b （a b >），求111x a x b+≥--解集构成的各区间长度和；（3）已知关于x 的不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围.行知中学高一数学质量检测2022.10.12一､填空题（本大题共有12小题，满分36分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =，则A B = ___________.【答案】{}2【解析】【分析】根据补集及交集的定义运算即得.【详解】∵全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =，∴{}1,2,3B =，A B = {}2.故答案为：{}2.2.用描述法表示被5除余3的整数的集合为___________.【答案】{}|53,x x k k Z =+∈【解析】【分析】根据条件写出所求数的表达式即可.【详解】设所求数为x ，则53,x k k Z =+∈，则被5除余3的整数的集合为{}|53,x x k k Z =+∈；故答案为：{}|53,x x k k Z =+∈.3.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R = ，则实数a 的取值范围是______________________.【答案】1a ≤【解析】【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.【详解】在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使A B R = ，只有1a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.4.下列语句①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数其中是命题的语句的序号有___________.【答案】③④【解析】【分析】根据命题的概念即得.【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题，所以①为疑问句，不是命题；②不能判断真假，不是命题；③为假命题；④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④.故答案为：③④.5.若正数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值是______________.【答案】258【解析】【分析】可利用基本不等式求ab 的最大值.【详解】因为,a b 都是正数，由基本不等式有2a b +≥5≥，所以258ab ≤，当且仅当55,24a b ==时等号成立，故ab 的最大值为258.故答案为：258【点睛】易错点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.6.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则不等式[]124x <≤的解集为___________.【答案】[)1,3【解析】【分析】由[]124x <≤可得[]122x <≤，然后可得答案.【详解】由[]124x <≤可得[]122x <≤，因为[]x 表示不超过实数x 的最大整数，所以13x ≤<，即解集为[)1,3.故答案为：[)1,37.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为____.【答案】41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可得b a ，然后将二次不等式化简变形，把ba代入，最后根据一元二次不等式的解法可得结果.【详解】由已知ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，本题关键在于找到b a ＝15，考查分析能力以及计算能力，属基础题.8.对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________.【答案】22a -<≤【解析】【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、∆进行求解处理.【详解】当20a -=时，即2a =，则40->，无解，所以2a =；当20a -≠时，即2a ≠，要使不等式()()222240a x a x ----≥无解，则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=-----<⎩，解得22a -<<；综上，22a -<≤.故答案为：22a -<≤.9.若108a b -<<<，则a b +的取值范围是___________.【答案】()10,16-【解析】【分析】分0b ≥，0b <讨论，分别利用不等式的性质求出a b +取值范围，进而即得.【详解】当0b ≥时，有108a -<<，08b ≤<，故1016a b -<+<，即1016a b -<+<；当0b <时，100a -<<，100a b -<<<，故010b b <=-<，所以100a b a b -<+=-<；综上，1016a b -<+<.故答案为：()10,16-.10.关于不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则实数k 的取值范围是___________.【答案】12k <≤.【解析】【分析】通过解一元二次不等式以及利用集合的交集运算进行求解.【详解】由()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩有：()()()()210250x x x x k -+≥++≤⎧⎪⎨⎪⎩，由()()210x x -+≥有：1x ≤-或2x ≥，当52k -=-，即52k =，由()()250x x k ++≤有：52x =，不满足；当52k ->-，即52k <，由()()250x x k ++≤有：52x k -≤≤-，所以要使不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则21k -≤-<-，即12k <≤；当52k -<-，即52k >，由()()250x x k ++≤有：52k x -≤≤-，所以不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的解为52k x -≤≤-，显然不满足；综上，12k <≤.故答案为：12k <≤.11.若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3-- ，关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】依题意用1x-替换x ，可得1011kx bx ax cx -+<--，即121x -<-<-或123x <-<，即可解得；【详解】解：关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3-- ，用1x-替换x 不等式可以化为：1101111b k kx bx x ax cx a c x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+=+<--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()12,12,3x -∈-- 即121x -<-<-或123x<-<可得112x <<或1123x -<<-故答案为：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，考查转化思想，属于基础题.12.已知存在a ，使得0x x a b -+<对任意的[]1,2x ∈恒成立，则b 的取值范围___________.【答案】23b <-【解析】【分析】依题意可得0b <，则问题转化为存在a 使得b bx a x x x -<<+在[]1,2x ∈恒成立，然后求出()b g x x x=+的最小值和()bh x x x=-的最大值，即可得到不等式，求出参数b 的取值范围．【详解】解：问题等价于：当[]1,2x ∈时，||0x x a b -+<恒成立，显然0b <，当12x ≤≤，也即b bx a x x x+<<-恒成立，令()b g x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增，()max ()222ba g x g ∴>==+，令()bh x x x=-，则()h x在(上单调递减，)+∞上单调递增，①当4b ≤-时()bh x x x=-在[]1,2上单调递减，()min ()222b a h x h ∴<==-．2222b b a ∴+<<-，即2222b b+<-，解得0b <，所以4b ≤-．②当41b -<<-时，()bh x x x=-≥min ()a h x ∴<=，22ba ∴+<<即22b+<1212b --<<-+，所以41b -<<-．③当10b -≤<时()bh x x x=-在[]1,2上单调递增，()min ()11a h x h b ∴<==-．212ba b ∴+<<-，即212b b +<-，解得23b <-，所以213b -≤<-．综上可得当23b <-时，存在实数a ，使得不等式||0x x a b -+<对于任意的[]1,2x ∈都成立故答案为：23b <-．二､选择题（本大题共有4题，满分12分）13.已知a ，b 都是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b >推不出22a b >，如1a =，1b =-，满足a b >，但是22a b =，故充分性不成立，由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立；故“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件；故选：D14.设0a b >>，则下列不等式中成立的是（）A.22ab a ba b +>>+ B.22a b aba b +>>+C.22a b aba b+>>+ D.22ab a ba b +>>+【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式比较大小即可.【详解】0a b >> ，2a b+∴>2ab a b <=+22a b aba b+∴>>+.故选：B .【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号.（3）0,0a b >>时，2112a b a b+≥≥+，即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于等于它们的调和平均数.15.在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.44a -≤≤B.97a a ≥≤-或C.24a a ≤-≥或D.24a -<<【答案】C 【解析】【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．【详解】若方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=都没有实数根.则()()2122221601640443100a a a a ⎧=-<⎪⎪=--<⎨⎪=-+<⎪⎩ ，解得：24a -<<.则方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根.所以2a ≤-或4a ≥故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．16.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合：①Z,0+1nn n n ∈≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，②{}R,0x x x ∈≠，③1Z,0n n n ∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭，④整数集Z .其中，以0为聚点的集合有（）A.②③B.①④C.①③D.①②④【答案】A 【解析】【分析】先理解0x 为集合X 的聚点的含义，以0为聚点的集合,即对任意0a >，都存在x X ∈，使得0x a <<，对四个集合逐一分析，对①,当12a <时，不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合；对②，都存在2a x =，使得02ax a <=<，是以0为聚点的集合；对③，都存在1n a >，使10x a n<=<，是以0为聚点的集合；对④，当01a <<时，对任意的x ∈Z ，都有0x =或者1x ≥，不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合；【详解】①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点；②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2a x =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02a x a <=<，∴0是集合{}|0x x ≠的聚点；③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点；④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．综上可知②③正确.故选A三､解答题（本大题共有5题，满分52分）17.解不等式组：3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩.【答案】{|12x x <<或45}x <≤【解析】【分析】分别解出绝对值不等式与分式不等式，再取两不等式的解集的交集.【详解】解：因为3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩，对于3>1x -，即31x ->或31x -<-，解得4x >或2x <，对于+321x x -≥，即+3201x x --≥，即501x x -≤-，等价于()()51010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得15x <≤，所以不等式组的解集为{|12x x <<或45}x <≤.18.已知集合{}34A x x =-<≤，集合{}121B x k x k =+≤≤-，且A B A ⋃=，试求k 的取值范围．【答案】52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．【解析】【分析】由题意得，B A ⊆，结合数轴，分B =∅和B ≠∅两类进行讨论即可求出答案．【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，①当B =∅时，121k k +>-，∴2k <；②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得12131214k k k k +≤-⎧⎪-<+⎨⎪-≤⎩，解得522k ≤≤，综合①②可得k 的取值范围为52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题．19.上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是3100(51x x +-元.(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】（1）[3,10]；（2）以每小时6千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500元.【解析】【详解】(1)根据题意，3200(51)3000x x +-≥35140x x ⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤因此，所求x 的取值范围是[3,10](2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，元．因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元.考点：（1）列解不等式；（2）函数的最值．20.（1）求证：已知a ，b ，x ，()0,y ∈+∞，()222a b a b x y x y ++≥+，并指出等号成立的条件；（2）求证：对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=至少有一个方程有实数根（反证法证明）；（3）求证：使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立的充要条件是A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解.【解析】【分析】利用作差法、一元二次不等式的解法、反证法、分类讨论法、不等式的性质进行证明.【详解】（1）证明：(),0,x y ∈+∞ ，0,0xy x y ∴>+>，要证()222a b a b x y x y ++≥+，只需证()222()()a y b x x y xy a b ++≥+，()22222222222()()()(2)a yb x x y xy a b a yx a y b x b xy xya xyb abxy ++-+=+++-++ 222222()0a y b x abxy ay bx =+-=-≥，当且仅当ay bx =时取等号.（2）证明：假设对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=都无实数根，对于方程250x x m -+=有：12540m ∆=-<，解得254m >，对于方程2260x x m ++-=有：2186-0m ∆=-<（），解得478m <，由254478m m ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得，m 无解，故假设不成立.（3）证明：先证必要性，不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥可改写为关于x y -的二次式：()()()()()220A x y B A C y z x y C y z ------+-≥，①若0A =，则①式对一切实数x ，y ，z 成立，则只有0B C =≥，若0A ≠，则因为①式恒成立，所以0A >，()()()22240B A C y z AC y z ∆=-----≤恒成立，所以()240B A C AC ---≤，即()2222A B C AB BC CA ++≤++，所以必要性成立.再证充分性，若,,0A B C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++，若0A =，则由222B C BC +≤得()20B C -≤，所以B C =，所以0∆=，所以①式成立，题设成立.若0A >，则0∆≤，所以①式成立，题设成立.综上，充要性得证.21.定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中d c >.（1）若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；（2）已知实数a ，b （a b >），求111x a x b+≥--解集构成的各区间长度和；（3）已知关于x的不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）2（3）2027t <≤【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得()2212121264x x x x x x =-=+-，从而求得a 的值.（2）将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和.（3）先解出不等式33x -<的解集为A，不等式12>的解集为B ，根据A B 的长度为6，列不等式组，求出t 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，不符合题意.当0a ≠时，设方程221230ax x --=的两根为12,x x ，则121263,2x x x x a a+=⋅=-由题意可知()22121212236664x x x x x x a a =-=+-=+解得2a =-或3a =因为当3a =时，不等式的解集为两根两边范围，故舍所以2a =【小问2详解】原不等式111x a xb +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.【小问3详解】因为3306x x -<⇒<<，记()0,6A =，213402tx t >⇒+-<的解集为B ，不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集为A B设不等式12>等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩，所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂=，由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立.当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t >当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立.当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数2027t <≤.。
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B. C. D. 22ac bc>a b c c>a c b c +<+a b c>-2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C .D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C .有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=二、填空题：本题共10小题，共42分．5.已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =10. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+12. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 14. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a-<<+a 的取值范围是______.三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 16. ⑴当时，求证：；1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R kk x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...kktk t kt t aa a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11nnttt t a a===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B.C. D. 22ac bc>a b c c >a c b c +<+a b c>-【正确答案】A【分析】根据不等式的性质求解【详解】对于A. ，，则，成立20c >a b >22ac bc >对于B. ，，；10c <a b >a b c c <对于C. ，；a b >a c b c +>+对于D. 若，则不成立1,0,2a b c ===-故选A.2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示A B 的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；()A B A B ⋃ ð【详解】解：由，解得，所以，(2)0x x +<20x -<<}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=又，所以，，{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤(2,1]A B =- [1,0)A B =- 所以阴影部分表示的集合为，()(2,1)[0,1]A B A B ⋃=-- ð故选：C.3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C.D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--【正确答案】B【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不()22f x x ax a=+-a 等式，即得参数的取值范围.【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，220x ax a +-=()0,1()1,2令，则由题意可得，即，解得()22f x x ax a =+-()()()0011202440f a f a a f a a ⎧=->⎪=+-<⎨⎪=+->⎩0143a a a ⎧⎪<⎪<-⎨⎪⎪>-⎩，413m -<<-则方程在区间和各有一个根的充要条件是.220x ax a +-=()0,1()1,24,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：B.4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C. 有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=【正确答案】D【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式1>0x 解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式的解集为，20x bx a c x ≤++≤-[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>即的解集是，220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩[]{}123,x x x ⋃则不等式的解是或，不等式的解集是20x bx a ++≥{|x 2x x ≤3x x ≥}2x bx a c x ++≤-，13{|}x x x x ≤≤设，，，1x m =21x m =+3x n =(1)m n +<所以，，0c n -=n c =和是方程的两根，1m +n 20x bx a ++=则，，11b m n m c -=++=++(1)a m n mc c =+=+又，22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-所以是的一根，m 2x bx a c x ++=-所以存在无数对，使得．(,,)a b c 211x x -=故选：D ．关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．二、填空题：本题共10小题，共42分．5. 已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =【正确答案】(][),01,-∞+∞ 【分析】先解不等式，对集合A 进行化简，再求出集合A 的补集.【详解】即解得，211x -<1211x -<-<01x <<故，{}01A x x =<<又，R U =所以.(][),01,=-∞+∞ A 故(][),01,-∞+∞ 6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 【正确答案】0【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.m 【详解】解：因为，，，{1,}A m =-{}21,B m =A B =所以，解得，2211m m m m ⎧-=⎪-≠⎨⎪≠⎩0m =故0本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =【正确答案】2-【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.4a =2244a a --=当时，解得或4，2244a a --=2a =-当时，不符合题意，4a =当时，集合为，符合题意,2a =-{1,2,4}--所以．2a =-故．2-8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．【正确答案】.1,1a b ≠≠或【详解】分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.1a b ==,a b 1详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为1a b ==,a b 1,a b 1或.1a ≠1b ≠点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =【正确答案】0或94【分析】根据题意知道A 有一个元素，然后讨论a 是否为0，然后得出a 的值即可．【详解】的子集只有两个，有一个元素，A A ∴①时，，满足题意；0a =13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭②时，，解得，0a ≠940a ∆=-=94a =或．0a ∴=94故0或．9410. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒【正确答案】32a ≤-【分析】根据题意，由条件可得命题p 是命题q 的充分条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为，则命题p 是命题q 的充分条件，则，解得，即p q ⇒21210a a +≤-⎧⎨-≥⎩32a ≤-实数a 的取值范围是.32a ≤-故答案为：32a ≤-11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+【正确答案】2024【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求12x x +2122020x x -+出．【详解】，是方程的两个根，1x 2x 230x x +-=，，121x x ∴+=-123x x =-又，21130x x +-=，2113x x ∴=-21212122020320202023()2024x x x x x x ∴-+=--+=-+= 故 202412. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 【正确答案】15-【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，(2)(23)02x x x --≥⇒≥ 1.5≤x {2M N x x ==≥}1.5x ≤当时，由，可得，2x ≥|2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-=-当时，由，可得，1.5≤x |2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-+=-+因此有，|35|||x ax b -=+当时，；3,5a b ==-3(5)15a b ⋅=⨯-=-当时，，3,5a b =-=3515a b ⋅=-⨯=-故15-13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 【正确答案】7【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，12n a a a >>⋯>A 1234{,,,}a a a a即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.A n 【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为12,n a a a >>⋯>A 41234,,,a a a a 正项，则和均大于于是有从而矛盾！23a a +24a a +2,a 23241,a a a a a +=+=34,a a =所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取A A 3满足题意，{}3,2,1,0,1,2,3A =---，所以的最大值为．n 7故714. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a -<<+a 的取值范围是______.【正确答案】(1,1-【分析】根据给定条件，确定m 的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，0m =当时不等式组无解，求出a 的范围作答.1m =【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，2111222x -≥-21122x m -<12m >-m ∈Z 因此，N m ∈因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，21122x m x a -<<+则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组0m =211022x x a -<<+1m =无解，211122x x a -<<+由有解得有解，于是得，解得，211022x x a -<<+11x x a -<<⎧⎨>-⎩<1a -1>-a由无解得无解，于是得211122x x a -<<+1x x a ⎧<<⎪⎨>-⎪⎩1a -≥1a ≤因此，11a -<≤-所以a 的取值范围是.(1,1--故(1,1--结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则()y f x =D x D ∃∈()m f x <；若，使得成立，则.max ()m f x <x D ∃∈()m f x >min ()m f x >三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 【正确答案】（1） {}24x x -<<（2）(],1-∞【分析】（1）当时，化简集合A ，集合B ，再根据集合的并集运算可得解；2a =（2）即，抓住集合A 是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.A B A = A B ⊆【小问1详解】若，由，解得，则，2a =22x -<04x <<{}04A x x =<<又，即等价于，解得，2112x x -<+302x x -<+()()023x x +-<23x -<<则，{}23B x x =-<<.{}24A B x x ∴⋃=-<<【小问2详解】由等价于，A B A = A B ⊆当时，集合，符合；0a ≤A =∅A B ⊆当时，由，解得，0a >2x a -<22a x a -<<+即，又，{}22A x a x a =-<<+{}23B x x =-<<，解得，2223a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩01a <≤综上，实数的取值范围是.a (],1-∞16. ⑴当时，求证：； 1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 1【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】试题分析：⑴由，2222211(1)(1)(x x x x x x x x -+++-+=当时，可得，即可证明结论；1x >222(1)0,0,10x x x x ->>++>⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，,,a b c 11,1,1a b c <<<3a b c ++<进而，即可得到矛盾，即可作出证明．22(1)33a b c x ++=-+≥试题解析：⑴()()222221111x x x x x x x x -++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭∵ ∴x >1()22210,0,10x x x x ->>++>∴2211x x x x+>+⑵假设都小于，即a,b,c 11,1,1a b c <<<则有 ①3a b c ++<而 ②()222452133a b c x x x ++=-+=-+≥①与②矛盾故至少有一个不小于．a,b,c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R k k x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉【正确答案】（1） 1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）(](),17,-∞-+∞ （3）存在，5k =【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范2230k k --=R k 围．（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足M 245k k --条件即可．【小问1详解】当时，不等式为，即，解得，1k =22810x x -+>+()()41210x x +-<1142x -<<即x 的取值范围为.1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-①当时，不等式化为，时，解集为；1k =-10>1k ∴=-R ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；5k =610x +>x③当时，可得，()()22245014450k k k k k ⎧-->⎪⎨∆=+---<⎪⎩()()()(),15,,17,k k ∞∞∞∞⎧∈--⋃+⎪⎨∈--⋃+⎪⎩则k 的取值范围为；()(),17,k ∈-∞-+∞ 综上所述，实数k 的取值范围为.(](),17,-∞-+∞ 【小问3详解】根据题意，得出解集，，(,)M t =+∞[)1,1t ∈-当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件，5k =1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时，恒成立，不满足条件，1k =-10>当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k -->(,)t ∞+件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k --<(,)t ∞+件，综上，存在满足条件的值为5．k 18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...k k t k t k t t a a a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11n n tt t t a a ===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M 【正确答案】（1）E 不是，F 是（2）不存在，理由见解析（3）{1,2,3}【分析】（1）根据新定义计算即可判断；（2）若存在符合题意的实数z ，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可,,x y z z ,x y 判断；（3）不妨设A 中所有元素满足，从而可得，12n a a a <<<1212n n a a a a a a ⋅=+++ 进而可得，再分三种情况求解即可．121n a a a n -⋅< 234n n n ==≥、、【小问1详解】∵，1212⨯≠+∴E 不是“谐调集”，∵，(1)01(1)01-⨯⨯=-++∴F 是“谐调集”.【小问2详解】若存在符合题意的实数z ，则，2z xy x y xy x y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩∴，即，解得或或23z z z +=()210z z z --=0z =z =z=当时，则，不符合题意.0z =0,0x y ==当，z=x y xy +==由此，x 、y 是方程的实数解．20t =但，方程无实数解，所以不符合题意.2Δ40=-=<同理，当z =综上，不存在符合题意的实数.z【小问3详解】不妨设A 中所有元素满足，12n a a a <<<则，1212n n a a a a a a ⨯⨯⨯=+++ 于是，，1121211111n n n n n a a a a a a n a a a --⨯⨯⨯=++++<+++= 即，112n a a n a -⨯⨯⨯< 当时，则，2n =12a <∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，11a =2211a a ⋅=+当时，则，3n =123a a <∴12331,2,1212a a a a ==´´=++∴，33a =当时，4n ≥∵均为正整数，12,,,n a a a ∴，121,2,,n a a a n ³³³ ∴，12112(1)(2)(1)n a a a n n n -⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯-≥-- 又∵，121n n a a a ->⨯⨯⨯ ∴即，(2)(1)n n n >--2420n n -+<但当时，，矛盾．4n ≥242(4)20n n n n -+=-+>所以不存在符合题意的“谐调集”综上，符合题意的“谐调集”为．{1,2,3}方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
高一数学试卷时间：120分钟 满分150分一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.1.已知集合，，则______.2.不等式的解集是______.3.集合可以用列举法表示为______.4.设方程的两根为、，则______.5.已知不等式的解集为，则______.6.若要用反证法证明“对于三个实数a 、b 、c ，若，则或”，第一步应假设______.7.某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.8.已知集合是单元素集，则实数的取值集合为______.9.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.10.不等式的解集是______.11.已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______.12.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______.二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.13.给出下列关系式，错误的是（ ）A. B. C. D.14.“”是“或”的（ ）{}1,2,3,4A ={}πB x x =>A B = 101x x -<+()10,30x y P x y x y ⎧⎫+-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬--=⎩⎪⎪⎩⎭21830x x -+=1x 2x 1211x x +=210ax bx ++>{}12x x -<<a b +=a c ≠a b ≠b c ≠(){}21320A x a x x =-+-=a {}29180A x xx =-+<{}22560B x x ax a =-+=A B ≠∅ a ()2210x x x ++-≠m n R ∈x 23140x x m nx n⎧-+<⎪⎨<⎪⎩()9,13mn ()()(){}22,220,,A x y ax x a ay y a x R y R =++++>∈∈()()(){}22,1220,,B x y x x y y x R y R =++++>∈∈A B A B = a {}10,1,2∈{}1,2,3∅⊆{}{}11,2,3∈{}{}0,1,21,2,0=2024x y +<2012x <2012y <A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.已知关于x 的不等式，下列结论正确的是（ ）A.不等式的解集不可以是；B.不等式的解集可以是；C.不等式的解集可以是；D.不等式的解集可以是.16.已知a 、b 都是正数，集合，，若任意的，都有或.则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知集合，集合.（1）求集合；（2）若全集，求.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）.（1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）.使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且.（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值.220240mx nx ++>220240mx nx ++>R 220240mx nx ++>∅220240mx nx ++>{}2024x x <220240mx nx ++>()1,20240x a A x x a ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭()(){}0B x b x b x =+-≥m R ∈m A ∈m B ∈a b <a b ≤a b >a b≥{}2280A x x x =+-≤2716x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭B U R =B A p x 210160x x -+≤q x 22430x mx m -+≤0m >1m =p q x q p m ABCD EFGH 200AB =100BC =AE AH CF CG ===AE x =0100x <≤EFGH S x AE20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解决下列问题：（1）已知、，设，.比较与的大小；（2）已知命题P ：如果实数a 、b 为正数，且满足，则和中至少有一个成立.判断命题P 是否正确，并说明理由；（3______.（其中a ，b ，c ，d 都为正数）并给出它的代数证明.21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数和，定义集合.（1）设，，求；（2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围；（3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围.m n R ∈()()2214a m n =++()22b mn =+a b 2a b +=123b a +≥123a b+≥+≥()m x ()n x ()()()()(){},T m x n x x m x n x =<()3p x x =-()45q x x =--()()(),T p x q x ()1u x x =-()()22v x x a a =-+()()216w x a x =-+0x R ∈()()()][()()()0,,x T u x v x T v x w x ⎡⎤∈⎣⎦ a ()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =0x R ∈()()()0,x T f x h x ∈()()()0,x T g x h x ∈b2024学年第一学期单元考试高一数学试卷答案一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.12345660且78910111212二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.CACB三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）由得：，即，解得：，∴.（2）由（1）知：；由得：，解得：，即，∴.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵和至少有一个为真，∴或，∴，{}4()1,1-(){}2,1-a b =b c =1,18⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()1,3()(),11,-∞--+∞ 39-()(),11,-∞-+∞ 2716x x -≤-106x x -≤-()()16060x x x ⎧--≤⎨-≠⎩16x ≤<[)1,6B =()[),16,B =-∞+∞ 2280x x +-≤()()420x x +-≤42x -≤≤[]4,2A =-(][),26,B A =-∞+∞ p x 210160x x -+≤28x ≤≤1m =q 2430x x -+≤13x ≤≤p q 28x ≤≤13x ≤≤18x ≤≤∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分条件，∴∴，实数的取值范围是19.略20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）解：∵，∴，即；（2）命题正确用反证法证明如下：假设和都不成立，则且，由已知，实数、为正数实数，∴且，故，可得，与已知矛盾，故假设不成立，∴和中至少有一个成立. （3证明：x []1,80m >22430x mx m -+≤3m x m ≤≤q 3m x m ≤≤q p 238mm ≥⎧⎨≤⎩823m ≤≤m82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()222142a b m n mn -=++-+()22222222244444420m n m n m n mn m n mn m n =+++---=+-=-≥0a b -…a b …P 123b a +≥123a b+≥123b a +<123a b+<a b 123b a +<123a b +<22233a b a b ++<+2a b +>2a b +=123b a +≥123a b+≥≥22-()2222222222a c b d a c b d ab cd =++++-+++++又因为所以因为a ，b ，c ，d所以21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）已知，由，即当时，不等式化为，得，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，即，恒成立，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，得.此时，不等式的解为.综上所述，的解集为，即.（2）由题意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由（1）得，，，解得；由②得，，时，不等式化为恒成立，时，应满足，解得；综上知，的取值范围是.()()22ab cd ab cd ⎤=-+=-+⎥⎦()()()()222222222220a c b d ab cd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥()()()22222a c b d ab cd ++≥+()ab cd ≥+22+≥≥()3p x x =-()45q x x =--()()p x q x <354x x -+-<5x ≥354x x -+-<6x <56x ≤<35x ≤<354x x -+-<24<35x ≤<3x <354x x -+-<2x >23x <<()()p x q x <()2,6()()()(),2,6T p x q x =()212x x a a -<-+()()22216x a a a x -+<-+()()2221210x a x a a -++++>()()22214210a a a ∆=+-++<34a >-()22160a x a a ---+>1a =1160--+>1a ≠21060a a a ->⎧⎨--+>⎩12a <<a [)1,2（3）已知，，，由题意得，不等式组有解， 由，又， （1）当，即时，上式为，对任意桓成立.此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，，或，要使不等式组有解，则，或，解得，则有；③当，即时，，或.要使不等式组有解，则，或，解得，则有；综上所述，的取值范围是()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩()22221122b b f x x b x <⇔-<-<⇔-<<+()()()4214242200111x b x x b x b g x x x x +---++<⇔<⇔<⇔>---421b +=14b =-10>()(),11,x ∈-∞+∞ ()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩421b +<14b <-()242g x x b <⇔<+1x >()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩1422b b -<+112b +>67b >-6174b -<<-421b +>14b >-()21g x x <⇔<42x b >+()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩112b -<1422b b +>+4b <144b -<<b 6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A.B.C. D. 【答案】A【解析】由韦恩图可以看出, 阴影部分中的元素满足“是 的元素且是 的元素, 或是 的元素”, 由韦恩图与集合之间的关系易得答案.【详解】解: 由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是 的元素且是 的元素, 或是 的元素”,故阴影部分所表示的集合是()()()CA B A C B C =故选:【点睛】本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具. 2. 一元二次方程 有解是一元二次不等式 有解的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解: 对于方程 , 当 , 方程有解, 此时 的解集为空集, 故充分性不成立； 若对于 当 时不等式的解集为 , 此时方程 无解, 故必要性也不成立,故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选: D【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断, 属于基础题.3．已知 , , 若 , 则对此不等式描述正确的是（ ）A. 若 , 则至少存在一个以 为边长的等边三角形B. 若 , 则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形C. 若 , 则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形D ．若 , 则对满足不等式的 不存在以 为边长的直角三角形【答案】B【解析】本题可用排除法, 由 ,对于 , 若 , 可得 , 故不存在这样的 错误, 排除 ；对于 时, 成立, 而以 为边的三角形不存在, 错误, 排除 ；对于 时, 成立, 存在以 为边的三角形为直角三角形, 故 错误, 排除 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.二、填空题4. 设全集 , 集合 , , 则 ___________【答案】{1,3,4}【解析】根据集合交补含义可得.【详解】因为 , ,{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题, 考查集合的运算.5. 被4除余2的所有自然数组成的集合 ___________【答案】{}42,xx k k Z =+∈∣ 【解析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合{}42,B x x k k Z ==+∈ 故答案为: {}42,xx k k Z =+∈∣ 【点睛】此题为基础题, 考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.6. 满足 的集合 有___________个【答案】7【解析】依题意 且 且 至少有一个属于集合 , 再一一列举出来即可；【详解】解: 因为 , 所以 且 且 至少有一个属于集合 , 可能有 , , , , , , 共 个,故答案为: 7【点睛】本题考查集合的包含关系, 求集合的子集, 属于基础题.7. 集合 用列举法表示为_________.【答案】{1,2,3,4}【解析】因为 , 所以 可取 , 分别列方程解出 的值, 结合 , 可得 , 即 , 故答案为 .8．已知集合 , , 则 _________ 【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于集合A, B 表示二次函数的值域, 所以先利用配方法求出集合A, B, 再求交集【详解】解: 因为 , 所以 ,所以 ,因为 , 所以 ,所以 ,所以 ,故答案为:【点睛】此题考查集合的交集运算, 考查二次函数值域的求法, 属于基础题9．已知一元二次方程 的两个实根分别为 , , 且 , 则实数 _________【答案】1-【解析】利用根的判定式求出参数的取值范围, 再利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为一元二次方程 的两个实根分别为 , ,所以 , 解得 或所以pp αβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为 , 所以 , 即 , 解得 或 （舍去）故答案为:【点睛】本题考查根与系数的关系的应用, 属于基础题.10．若关于 的不等式 的解集为 , 则 _________【答案】1-【解析】依题意可得 与 是方程 的两根, 利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为关于 的不等式 的解集为 , 所以 与 是方程 的两根, 所以 , 解得所以1a b +=-故答案为:【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的关系, 属于基础题.11．已知等式 对 恒成立, 则 _________【答案】3-【解析】化简方程为 , 根据恒成立即可求解.【详解】因为 对 恒成立,所以对恒成立,所以,解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了方程的恒成立问题, 考查了运算能力, 属于中档题.12．若实数满足, 且, 则的最小值为______.【答案】【解析】利用基本不等式可得, , 再验证等号成立的条件即可.【详解】∵, , 当且仅当时等号成立.故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用, 运用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件, 属基础题.13．设, 一元二次方程有整数根的充要条件是__________【答案】3或4【解析】由一元二次方程有实数根△得；又, 则分别讨论为1, 2, 3, 4时的情况即可.【详解】解: 一元二次方程有实数根；又, 则时, 方程, 有整数根2；时, 方程, 有整数根1, 3；时, 方程, 无整数根；时, 方程, 无整数根．所以或.故答案为：3或4.【点睛】本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略, 属于基础题.14．定义, 设集合, , , 则集合__________【答案】{}0,8,10【解析】根据新定义依次求集合元素即可.【详解】{}{}{}()0,4,510,8,10A B C ∇∇=∇=故答案为: {}0,8,10【点睛】新定义题关键在于审题, 是高考常见题型.15．若 , 则 , 则称 是“对偶关系”集合, 若集合 的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个, 则实数 的取值集合为__________【答案】{}1,5-【解析】根据定义, 列举集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”的集合, 再去考查实数 的取值即可.【详解】解: 集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”有 与6, 与4, 2与0, 则 与7,这些组合的“对偶关系”有4对, 集合有 个.那么 , 可得 .当 时, 则 , 也满足“对偶关系”．可得实数 的取值集合为 .故答案为： .【点睛】本类问题通常以选择和填空出现, 考查集合和元素之间的关系, 有时也出现在以其他知识为背景的综合题中, 渗透集合的思想, 体现基础性与应用性. 属于基础题三、解答题16. 设 , 求关于 与 的二元一次方程组 的解集.【答案】分类讨论, 答案见解析.【解析】消元得 , 再对参数 分类讨论, 计算可得；【详解】解: 由 得 , 即 （）,当 时, 无解, 解集为 ,当 时, , , 解集为 ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法, 考查分类讨论思想, 属于基础题.17．已知命题方程有两个不相等的负根；命题方程无实根若命题与一真一假, 求实数的取值范围．【答案】44,1,33⎛⎤⎡⎫-∞-⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】先由已知条件求出为真时, 有, 为真时, 有, 再由命题与一真一假, 分情况求解即可【详解】解: 若为真, 则, 解得,若为真, 则, 解得,而命题与一真一假, 共有两种情况,①真假, 则或, 所以；②假真, 则, 所以；综上, 实数的取值范围是．【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围, 考查一元二次不等式的解法, 考查计算能力, 属于基础题18．距码头南偏东的400千米处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动, 距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后, 码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？【答案】小时后, 码头将受台风影响, 影响时间为小时.【解析】首先设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响, 再利用余弦定理即可得到答案.【详解】设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响,如图所示:所以, , ,设, 根据余弦定理得:解得或（舍去）, 所以, .因为, ,所以从现在起个小时后, 码头将受台风影响, 码头受台风影响的时间为小时. 【点睛】本题主要考查余弦定理得实际应用, 考查学生分析问题的能力, 属于中档题.19. （1）已知, 用比较法证明；（2）已知, 用反证法证明: ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）假设, 则, 结合（1）中的结论, 得到矛盾, 即可得证；【详解】解: （1）,因为, 取等号的条件为而, 故等号无法取得, 即又, 所以,所以33；a b（2）假设, 则, 所以由（1）得,所以,又, 所以,即矛盾, 所以假设错误,所以.【点睛】本题考查作差法比较大小以及反证法证明, 属于基础题.20. 设为正整数, 集合（）, 对于集合中的任意元素和, 记.（1）当时, 若, , 求和的值；（2）当时, 设是的子集, 且满足: 对于中的任意元素、, 当、相同时, 是奇数, 当 、 不同时, 是偶数, 求集合 中元素个数的最大值.【答案】（1） , ；（2）4.【解析】（1）利用 的定义, 求得 和 的值.（2）当 时, 根据 、相同时, 是奇数, 求得此时集合 中元素所有可能取值, 然后验证 、不同时, 是偶数, 由此确定集合 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当 时, 依题意当 、 相同时, 为奇数, 则 中有“ 个 和 个 ”或者“ 个 和 个 ”.当 、 不同时:①当 中有“ 个 和 个 ”时, 元素为 , 经验证可知 是偶数, 符合题意, 集合 最多有 个元素 .②当 中有“ 个 和 个 ”时, 元素为 , 经验证可知 是偶数, 符合题意, 集合 最多有 个元素 .综上所述, 不管是①还是②, 集合 中元素个数的最大值为 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用, 考查分析、思考与解决问题的能力, 属于中档题.。
2021-2022学年上海市洋泾中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ）. A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||||a b > D ．22a b > 【答案】B【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】解：对A ，0a b <<，11a b ∴>，故A 正确； 对B ，0a b <<，0b ∴->，即0a a b <-<， 11a a b∴>-，故B 错误； 对C ，0a b <<，0a b ∴->->，即||||a b ->-， 即||||a b >，故C 正确， 对D ，0a b <<，0a b ∴->->，即22()()a b ->-，即22a b >，故D 正确.故选：B.2．已知R a b ∈、，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（ ） A ．1a b >- B ．1a b >+C ．||||a b >D ．||a b >【答案】A【分析】根据必要不充分条件的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】解：使a b >成立的必要不充分条件，即a b >能得到哪个条件，而由该条件得不到a b >，故对于A 选项，a b >可以得到1a b >-，反之不成立，故1a b >-是a b >必要而不充分的条件；对于B 选项，1a b >+可以得到a b >，反之不成立，故1a b >+是a b >的充分不必要条件；对于C 选项，||||a b >是a b >的既不充分也不必要条件； 对于D 选项，||a b >是a b >的充分不必要条件. 故选：A ．3．三个集合A 、B 、C 满足,==A B C B C A ，那么一定有（ ） A ．A B C == B ．A B ⊆C ．,=≠A C A BD ．=⊆A C B【答案】D【分析】由题知C A ⊆且C B ⊆，进而结合交集运算求解即可. 【详解】因为A B C =，所以C A ⊆且C B ⊆，所以B C C =， 又B C A ⋂=，所以A C =， 所以=⊆A C B . 故选：D ．4．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数； （3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈． 则下列选项哪个是正确的（ ） A ．集合P 中一定有0但没有2 B ．集合P 中一定有0可能有2 C ．集合P 中可能有0可能有2 D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ． 假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中， 故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数）， 由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈， 得2,4,6,---均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾． 综上，0P ∈，2∉P . 故选:A ．二、填空题5．己知集合{,||,2}A a a a =-，若3A ∈，则实数a 的值为____________． 【答案】3-【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.【详解】由集合中元素的互异性得||a a ≠，故0a <，则20a -<，又3A ∈，所以||3=-=a a ，解得3a =-．故答案为：3a =- 6．不等式203->-xx 的解集是___________． 【答案】()2,3【分析】根据分式不等式等价于()()320x x -->，即可根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】203->-xx 等价于()()()()320320x x x x -->⇒--<,故解集为:()2,3, 故答案为：()2,37．若关于x 的不等式2250-+>x ax 的解集为(,1)(,)-∞+∞m ，则a m +的值为__________． 【答案】8【分析】根据题意得到1和m 是方程2250x ax -+=的两个根，结合根与系数的关系，列出方程组，即可求解.【详解】因为不等式2250-+>x ax 的解集为(,1)(,)-∞+∞m ， 可得1和m 是方程2250x ax -+=的两个根，所以1215m a m +=⎧⎨⨯=⎩，解得3,5a m ==，所以8+=a m .故答案为：88．若集合{(,)|23},{(,)|3}A x y x y B x y ax y =+==-=，则A B =∅，则实数a 的值为_________． 【答案】2-【分析】根据题意转化为23x y +=与3ax y -=平行，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，集合{(,)|23},{(,)|3}A x y x y B x y ax y =+==-=，因为A B =∅，可得方程组233x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线23x y +=与3ax y -=平行，可得13213a --=≠-，解得2a =-. 故答案为：2-.9．设:231,:27αβ<≤+-≤≤a x a x ，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],2-∞【分析】由题知(]2,31a a +是[]2,7-的真子集，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：因为α是β的充分非必要条件，(]2,31a a +是[]2,7-的真子集， 所以，当(]2,31a a +=∅时，231a a ≥+，解得1a ≤-， 当(]2,31a a +≠∅时，22317-≤<+≤a a ，解得12a -<≤． 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞ 故答案为：(],2-∞10．对于任意的222R,21ax bx x x x +-+∈+为定值，则a b +的值为___________．【答案】5【分析】由条件列方程求出,a b 即可. 【详解】因为22221ax bx x x +-++为定值，所以可设22221ax bx x t x +-+=+， 所以2222ax bx x tx t +-+=+恒成立， 所以2a t =，10b -=，2t =， 所以4a =，1b =， 所以5a b +=． 故答案为：5.11．已知全集{3,15U x x n n ==≤≤且N}n ∈，{}2|270,N A x x px p =-+=∈，{}2|150,N B x x x q q =-+=∈，且{3,9,12,15}=AB ，则p q +的值为_____________．【答案】66【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可. 【详解】解：因为全集{3,6,9,12,15}=U ，{3,9,12,15}=A B ，所以3，9，12，15中有两个属于A ，因为A 中的方程2270-+=x px 中，两根之积1227=x x ，所以3,9A ∈， 所以3912p =+=，又12,15A ∉，所以12,15B ∉，因为B 中的方程2150-+=x x q 中，两根之和3415x x +=，所以6,9B ∈， 则6954q =⨯=，所以66+=p q ． 故答案为：66.12．已知R 是全集，集合{}2|1,R A y y x x ==-+∈，集合{}|3||,R B x x a a ==+∈，则A B ⋃=______．【答案】(1,3)【分析】由题知(,1]A ∞=-，[3,)B =+∞，再进行集合运算即可.【详解】解：因为{}2|1,R (,1]A y y x x ==-+∈=-∞，{}|3||,R [3,)B x x a a ==+∈=+∞，所以(1,3)=A B ． 故答案为：(1,3)13．若“存在实数x ，使得2390ax ax -+≤成立”为假命题，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】[0,4)【分析】根据一元二次型不等式恒成立问题，分类讨论即可求解. 【详解】由题意知：对任意实数x ，都有2390ax ax -+>恒成立． 当0a =时，满足题意；当0a ≠时，2Δ9360a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<， 则实数a 的取值范围是[0,4)． 故答案为：[0,4)14．已知集合{1,2,3,4,5}A =，则集合A 的含偶数的子集的个数为___________．【答案】24【分析】根据结论分别求出集合A 的所有子集的个数和集合A 的不含偶数的子集的个数，由此可得结果.【详解】因为{1,2,3,4,5}A =，所以集合A 的所有子集共有52个， 又集合{1,3,5}的所有子集有32个，所以集合A 的含偶数的子集的个数为532224-=． 故答案为：24.15．设集合1,{}2,A m =，其中m 为实数，令{}2,B a a A C A B =∈=⋃，若C 的所有元素之和为5，则C 的所有元素之积为____________． 【答案】16-【分析】根据集合C 中的元素和为5可得集合B 的元素，从而可求集合C 中的元素，进而得到各元素的积.【详解】由题意得21,2,4,,m m （允许有重复）为集合C 的全部元素． 注意到，当m 为实数时，21245m m ++++>，21245m +++>故只可能是集合{1,2,4,}=C m ，且1245+++=m ，于是2m =-（经检验符合题意）， 此时集合C 的所有元素之积为124(2)16⨯⨯⨯-=-． 故答案为：16-16．已知0a >，若集合{}22222220,,A x x x a x x a a x A =---+-+--=∈⋂R Z 中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】[1,2)【分析】令222t x x =--，方程22222220x x a x x a a ---+-+--=即为2t a t a a -++=，所以a t a -≤≤，问题转化为函数222y x x =--的图象在直线y a =与y a =-之间只有两个整数x 满足，由函数图象易得结论．【详解】令222t x x =--，14x =时，min 178t =-，0x =时，2t =-，1x =时，1t =-，1x =-时，1t =，2x =时，4t =，方程22222220x x a x x a a ---+-+--=即为2t a t a a -++=，所以a t a -≤≤，作出函数222y x x =--的图象，如图，在直线y a =和y a =-之间只有两个整数解，则12a ≤<．故答案为：[1,2)．三、解答题17．已知集合{}{}2|680,|20,R A x x x B x mx m =-+<=-=∈，若A B A ⋃=，求实数m的取值范围．【答案】1{0},12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题知B A ⊆，进而结合0m =和0m ≠分类讨论求解即可.【详解】解：由题知：{}(){}2|6802,4,|20,R A x x x B x mx m =-+<==-=∈，因为A B A ⋃=，则B A ⊆， 当0m =时，B =∅，满足题意；当0m ≠时，2⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B m ，所以224<<m ，所以1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，实数m 的取值范围是1{0},12⎛⎫⎪⎝⎭．18．设1234,,,a a a a 是四个正数． (1)已知3124a a a a <，比较12a a 与1324a a a a ++的大小； (2)已知()()()()1234111116a a a a ++++<，求证：1234,,,a a a a 中至少有一个小于1． 【答案】(1)131224a a a a a a +<+ (2)证明见解析【分析】(1)利用比差法比较12a a 与1324a a a a ++的大小； (2)利用反证法证明.【详解】(1)因为1234,,,a a a a 是四个正数，3124a a a a <，所以1423a a a a <，所以()()131214122314231224224224a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++，因为1423a a a a <，所以14230a a a a -<，因为1234,,,a a a a 是四个正数，所以224()0a a a +>， 所以1312240a a a a a a +-<+ 所以131224a a a a a a +<+ (2)假设1234,,,a a a a 都不小于1，则1(1,2,3,4)n a n ≥=，那么()()()()12341111222216a a a a ++++≥⨯⨯⨯=与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以1234,,,a a a a 中至少有一个小于1． 19．不等式112+≥x 的解集为A ，关于x 的不等式23(53)50+++<x a x a 的解集为B ． (1)求集合A ，集合B ； (2)若集合N A B中有2021个元素，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析. (2)[2022,2021)a ∈--【分析】（1）根据绝对值不等式的解法和含参二次不等式的解法求解即可； （2）由题知A B 中包含2021个正整数，进而当53a <，531,,322A B a ⎛⎤⎡⎫=--- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭才能满足题意，再求解范围即可. 【详解】(1)解：由112+≥x ，解得12x ≥或32x ≤-，所以31,,22⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A 23(523)5(35)()0+++=++<x x a x x a ，当53a -<-，即53a >，53-<<-a x ；当53a =时，不等式解集为∅；当53->-a ，即53a <时，53-<<-x a ；所以，当53a >时，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当53a =时，B =∅；当53a <时，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(2)解：若集合N A B中有2021个元素，则A B 中包含2021个非负整数；又31,,22⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A ， 所以，要使则AB 中包含2021个正整数，则53a <，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,531,,322A B a ⎛⎤⎡⎫=--- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,所以A B 中的正整数为1，2，…，2021，所以202120221253a a a ⎧⎪<-≤⎪⎪->⎨⎪⎪<⎪⎩，解得20222021a -≤<-.所以[)2022,2021a ∈--．20．给定的正整数(2)n n ≥，若集合{}12,,,n A a a a M =⊆满足1212+++=⋅n n a a a a a a ，则称A 为集合M 的n 元“好集”．(1)写出一个实数集R 的2元“好集”； (2)证明：不存在自然数集N 的2元“好集”． 【答案】(1)11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】(1)根据新定义确定实数集R 的一个2元“好集”；(2) 设{}12A a ,a =是自然数集N 上的一个2元“好集”，且12a a <，讨论1a 与0的关系，推出矛盾，完成证明. 【详解】(1)因为111122-+=-⨯，又11,R 2⎧⎫-⊆⎨⎬⎩⎭， 所以11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭是实数集R 的一个2元“好集”；(2)设{}12A a ,a =是自然数集N 上的一个2元“好集”，不妨设12a a <，①若10a =，则2N a *∈，故1212a a a a +=⨯不成立；②若1N a *∈，由1212a a a a +=⋅得()1122121=⋅-=-a a a a a a ， 所以1121a a a -=，因为12,N a a *∈且12a a <，所以11201,1N a a a <<-∈， 故1121a a a -=不成立， 综上所述，自然集N 不存在2元“好集”．21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？ （2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x-∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素.【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--．12A ∈，12112A ∴=∈-．A ∴中至少还有两个元素为1-，12；（2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠，则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-，故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合． （3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m-⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1.由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，第 11 页 共 11 页 设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.。
