奈奎斯特曲线

奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。

该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。

下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。

奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。

该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。

在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。

传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。

传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。

对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。

根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。

这可以通过两个主要步骤来实现。

首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。

开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。

我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。

其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。

奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。

具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。

通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。

奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。

论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。

劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。

对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。

具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。

2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。

3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。

- 第一列的元素为0。

- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。

4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。

对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。

2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。

3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。

根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。

4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。

奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。

5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。

- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。

- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。

类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。

MATLAB是一种强大的数学软件，能够进行各种复杂的数学计算和绘图。

在信号处理和控制系统中，奈奎斯特曲线是一种常用的工具，用于分析系统的稳定性和性能。

在MATLAB中，可以使用一系列的函数和命令来绘制多条奈奎斯特曲线，并对这些曲线进行分析和比较。

本文将介绍MATLAB中绘制多条奈奎斯特曲线的方法和技巧，以及如何使用这些曲线来分析系统的性能。

1. 奈奎斯特曲线是什么奈奎斯特曲线是一种在复平面上描述系统频率响应和稳定性的工具。

对于一个给定的传递函数G(s)，奈奎斯特曲线将其频率响应表示为一个闭合曲线，曲线的形状和位置能够反映系统的稳定性和频率响应特性。

通过分析奈奎斯特曲线，可以得到系统的相位裕度、增益裕度和稳定裕度等重要参数，对系统进行性能分析和改进具有重要意义。

2. MATLAB中绘制奈奎斯特曲线的基本步骤在MATLAB中，绘制奈奎斯特曲线的基本步骤如下：（1）定义传递函数G(s)：使用MATLAB中的tf函数或者zpk函数来定义系统的传递函数，例如G=tf([1],[1 2 1])；（2）绘制奈奎斯特曲线：使用MATLAB中的nyquist函数来绘制奈奎斯特曲线，如nyquist(G)；（3）分析曲线特性：通过观察奈奎斯特曲线的形状和位置，可以得到系统的相位裕度、增益裕度等重要参数，从而进行系统性能分析和改进。

3. MATLAB中绘制多条奈奎斯特曲线的方法在实际工程中，通常需要对比系统的不同设计方案或者不同工况下的频率响应和稳定性特性。

在MATLAB中，可以使用hold on命令来绘制多条奈奎斯特曲线，并通过设置不同的颜色和线型来区分这些曲线。

下面给出了一个绘制多条奈奎斯特曲线的简单示例：``` matlabG1=tf([1],[1 2 1]);G2=tf([1],[1 3 2]);nyquist(G1);hold on;nyquist(G2);legend('G1','G2');```通过上面的示例，可以在同一张图中绘制出传递函数G1和G2对应的奈奎斯特曲线，并通过图例来区分这两条曲线。

多输入多输出系统的奈奎斯特曲线1. 奈奎斯特曲线概述奈奎斯特曲线是控制系统理论中的重要概念，用于描述系统的频率响应特性。

它由瑞典工程师哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出，被广泛应用于控制系统分析与设计中。

2. 奈奎斯特曲线的特点奈奎斯特曲线是一种极坐标图，通常用于分析系统的稳定性和频率响应特性。

它可以帮助工程师快速了解系统的频域特性，从而指导控制系统的设计与调节。

3. 奈奎斯特曲线的绘制奈奎斯特曲线是通过绘制系统的频率响应曲线来得到的。

通常会对系统进行正弦激励，测量输出信号与输入信号之间的频率响应关系，进而绘制奈奎斯特曲线。

4. 奈奎斯特曲线与系统稳定性的关系奈奎斯特曲线可以直观地反映系统的稳定性。

通过分析奈奎斯特曲线的特征，可以判断系统的稳定性以及阶跃响应的性能。

这对于控制系统的设计与调节具有重要意义。

5. 多输入多输出系统中的奈奎斯特曲线多输入多输出（MIMO）系统是现代控制系统中常见的一种形式。

在MIMO系统中，存在多个输入与多个输出信号之间的复杂耦合关系。

奈奎斯特曲线在MIMO系统中同样具有重要作用，可以帮助工程师全面了解系统的频率响应特性。

6. 使用奈奎斯特曲线分析MIMO系统对于MIMO系统，奈奎斯特曲线的分析可以帮助工程师理解系统的传递函数、阶跃响应、频率响应等性能特征。

通过绘制奈奎斯特曲线，可以直观地看出系统的稳定性以及频率响应特性，对系统的设计与调节有重要指导作用。

7. MIMO系统控制与设计中的应用在MIMO系统的控制与设计中，奈奎斯特曲线可以用于确定系统的稳定性边界、阶跃响应特性、频率响应特性等。

工程师可以通过分析奈奎斯特曲线来优化控制器的设计，提高系统的稳定性与性能。

8. 总结奈奎斯特曲线作为控制系统分析与设计中的重要工具，在MIMO系统中同样具有重要作用。

通过对奈奎斯特曲线的分析，可以全面了解系统的频率响应特性，指导系统的稳定性分析与控制器设计。

奈奎斯特采样定理（Nyquist）采样定理在1928年由美国电信⼯程师H.奈奎斯特⾸先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联⼯程师科捷利尼科夫⾸次⽤公式严格地表述这⼀定理，因此在苏联⽂献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始⼈C.E.⾹农对这⼀定理加以明确地说明并正式作为定理引⽤，因此在许多⽂献中⼜称为⾹农采样定理。

奈奎斯特采样定理解释了采样率和所测信号频率之间的关系。

阐述了采样率fs必须⼤于被测信号感兴趣最⾼频率分量的两倍。

该频率通常被称为奈奎斯特频率f N。

即：⾸先，我们要明确以下两点：采样的⽬的是为了利⽤有限的采⽤率，⽆失真的还原出原有声⾳信号的样⼦。

奈奎斯特采样定理也可以理解为⼀个正弦波每个周期最少取两个点才能把正弦波还原回去。

为更好理解其原因，让我们来看看不同速率测量的正弦波。

1. 假设 f S = f N可以看出，⽆论我们从哪⼀点开始采样，每次采集到的数据都是⼀样的，对应的频率成分为0Hz。

2. 假设 f S = (4/ 3) * f N以上采样到的曲线仍然⽆法还原原有波形的样⼦。

3. 假设 f S = 2 * f N如上图，将这些采样点连成线条，得到的信号形状为三⾓波，虽然信号的频率成分没有失信，但是很难保证信号的幅值不失真。

因为这两个采样点很难位于正弦信号的波峰与波⾕处。

也就是说，在很⼤程度上，采样后的信号的幅值是失真的。

我们再考虑如下情况：假设⼀条正弦曲线为sin(2π/t)，频率为1Hz。

我们以2Hz的频率对该曲线进⾏采样（每隔0.5s），可以得到3个红⾊采样数据，如下图：对于这三个点，我们不能确定它对应的正弦曲线是sin(2π/t)，因为sin(4π/t)等倍频曲线也会穿过这三个红⾊采样点：混叠如果信号的采样率低于两倍奈奎斯特频率，采样数据中就会出现虚假的低频成分。

这种现象便称为混叠。

下图显⽰了800 kHz正弦波1MS/s时的采样。

虚线表⽰该采样率时记录的混叠信号。