大学物理(2-1)课后题答案

第二章牛顿定律2 -1如图(a)所示,质量为m的物体用平行于斜面的细线联络置于圆滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动 ,当物体刚离开斜面时,它的加快度的大小为()(A) gsin θ(B) gcos θ(C) gtan θ(D) gcot θ剖析与解当物体走开斜面瞬时 ,斜面对物体的支持力消逝为零,物体在绳索拉力 F Ｔ (其方向仍可认为平行于斜面 )和重力作用下产平生行水平面向左的加快度a,如图 (b) 所示 ,由其可解得合外力为 mgcot θ,应选 (D)．求解的重点是正确剖析物体刚走开斜面瞬时的物体受力状况和状态特点．2 -2 用水平力 F N把一个物体压着靠在粗拙的竖直墙面上保持静止．当 F N渐渐增大时 ,物体所受的静摩擦力 F f的大小 ()(A)不为零 ,但保持不变(B)随 F N成正比地增大(C)开始随 F N增大 ,达到某一最大值后 ,就保持不变(D)没法确立剖析与解与滑动摩擦力不一样的是 ,静摩擦力可在零与最大值μF N范围内取值．当F N增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加 ,但详细大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知 ,物体向来保持静止状态 ,故静摩擦力与重力大小相等 ,方向相反 ,并保持不变 ,应选 (A) ．2 -3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率()(A)不得小于(C)不得大于μgR (B) 一定等于μgRμgR (D) 还应由汽车的质量m 决定剖析与解由题意知 ,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只好由路面与轮胎间的静摩擦力供给,能够供给的最大向心力应为μF N．由此可算得汽车转弯的最大速率应为 v＝μRg．所以只需汽车转弯时的实质速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选 (C) ．2 -4 一物体沿固定圆弧形圆滑轨道由静止下滑,在下滑过程中 ,则 ( )(A)它的加快度方向永久指向圆心,其速率保持不变(B)它遇到的轨道的作使劲的大小不停增加(C)它遇到的合外力大小变化 ,方向永久指向圆心(D)它遇到的合外力大小不变 ,其速率不停增加剖析与解 由图可知 ,物体在下滑过程中遇到大小和方向不变的重力以实时辰指向圆轨道中心的轨 道支持力 F N 作用 ,其合外力方向并不是指向圆心 ,其大小和方向均与物体所在地点有关．重力的切向分 量 (m g cos θ) 使物体的速率将会不停增加 ( 由机械能守恒亦可判断 ),则物体作圆周运动的向心力 (又称法向力 )将不停增大 ,由轨道法向方向上的动力学方程F Nmgsin θ mv 2可判断 ,随 θ 角的不停增R大过程 ,轨道支持力 F N 也将不停增大 ,因而可知应选 (B) ．2 -5 图 (a)示系统置于以 a ＝ 1/4 g 的加快度上涨的起落机内 ,A 、B 两物体质量相同均为 m,A 所在的桌面是水平的 ,绳索和定滑轮质量均不计 ,若忽视滑轮轴上和桌面上的摩擦,其实不计空气阻力 ,则绳中张力为 ( )(A) 58 mg (B) 12 mg (C) mg (D) 2 mg剖析与解此题可考虑对 A 、B 两物体加上惯性力后 ,以电梯这个非惯性参照系进行求解． 此时 A 、B两物体受力状况如图 (b)所示 ,图中 a ′为 A 、B 两物体相对电梯的加快度 ,ma ′为惯性力． 对 A 、B 两物体 应用牛顿第二定律 ,可解得 F ＝ 5/8 mg ．应选 (A) ．Ｔ议论 关于习题 2 -5 这种种类的物理问题 ,常常从非惯性参照系 (此题为电梯 )察看到的运动图像较为 明确 ,但因为牛顿定律只合用于惯性参照系,故从非惯性参照系求解力学识题时,一定对物体加上一个虚构的惯性力．如以地面为惯性参照系求解,则两物体的加快度 a A 和a B 均应付地而言 ,此题中 a A 和 a 的大小与方向均不相同．此中 aA 应斜向上．对 a A 、a 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律 ,求解BB过程较繁．有兴趣的读者不如自己试试试看．2 -6 图示一斜面 ,倾角为 α,底边 AB 长为 l ＝ 2.1 m,质量为 m 的物体从题 2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动 ,斜面的摩擦因数为 μ＝ 0.14 ．试问 ,当 α为何值时 ,物体在斜面上下滑的时间最短？ 其数值为多少？剖析动力学识题一般分为两类：(1) 已知物体受力争其运动状况；(2) 已知物体的运动状况来剖析其所受的力．自然,在一个详细题目中,这两类问题并没有截然的界线,且都是以加快度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．此题重点在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝ f(t),而后运用对 t 求极值的方法即可得出数值来．解取沿斜面为坐标轴Ox,原点 O 位于斜面极点,则由牛顿第二定律有mgsin α mgμcosαma(1) 又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有l 1 at2 1g sin α μcosαt 2cosα 2 2则t2l(2) gcosαsin α μcosα为使下滑的时间最短,可令dt0 ,由式(2)有dα则可得此时sin αsin α μcosαcosαcosα μsin α0 tan 2α 1 , 49oμt 2l 0.99 sgcosαsin α μcosα2 -7 工地上有一吊车 ,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为 m 2 k g,乙块＝ 2.00 10×1质量为 m2＝ 1.00 ×102 kg．设吊车、框架和钢丝绳的质量不计．试求下述两种状况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作使劲：(1) 两物块以 10.0 m ·ｓ-2的加快度上涨； (2) 两物块以 1.0 m ｓ·-2的加快度上涨．从此题的结果,你能领会到起吊重物时一定迟缓加快的道理吗？剖析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．办理动力学识题往常采纳“隔绝体”的方法物体所受的各样作使劲 ,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．依据连结体中物体的多少可列出相应数量的方程式．联合各物体之间的互相作用和联系 ,可解决物体的运动或互相作使劲．,剖析解按题意 ,可分别取吊车(含甲、乙 )和乙作为隔绝体,画示力争 ,并取竖直向上为Oy 轴正方向 (如图所示 )．当框架以加快度 a 上涨时 ,有FＴ-(m1 ＋ m )g ＝(m ＋ m )a (1)2 1 2FN2- m g ＝ m a (2)2 2解上述方程 ,得F ＝ 1 2 (3)ＴFN2 ＝m (g ＋ a) (4) 2(1)当整个装置以加快度 a ＝ 10 m ·ｓ-2上涨时 ,由式 (3) 可得绳所受张力的值为FＴ＝10×3 N乙对甲的作使劲为N2 N2 2(g ＋ a) ＝3F′＝-F ＝ -m 10× N(2)当整个装置以加快度 a ＝ 1 m·ｓ-2上涨时 ,得绳张力的值为FＴ＝10×3 N此时 ,乙对甲的作使劲则为F′ N2＝103× N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,因为起吊加快度不一样 ,绳中所受张力也不一样,加快度大 ,绳中张力也大．所以,起吊重物时一定迟缓加快,以保证起吊过程的安全．2 -8 如图 (a)所示 ,已知两物体 A、 B 的质量均为 m ＝ 3.0kg 物体 A 以加快度 a ＝ 1.0 m ·ｓ-2 运动 ,求物体 B 与桌面间的摩擦力． (滑轮与连结绳的质量不计)剖析该题为连结体问题 ,相同可用隔绝体法求解．剖析时应注意到绳中张力大小到处相等是有条件的 ,即一定在绳的质量和伸长可忽视、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不一样的．解分别对物体和滑轮作受力剖析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体 A 、B 及滑轮列动力学方程,有m A g -F Ｔ＝m A a (1)F′1 -Fｆ＝ m B a′(2)ＴF′ -2FＴ1＝ 0 (3)Ｔ考虑到 mＴＴＴ1 Ｔ,a ′＝ 2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力A ＝mB ＝m, F ＝F′ ,F ＝ F′1F f mg m 4m a7.2 N2议论动力学识题的一般解题步骤可分为：(1) 剖析题意 ,确立研究对象,剖析受力 ,选定坐标； (2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组； (3) 解方程组 ,得出文字结果； (4) 查对量纲 ,再代入数据 ,计算出结果来．2 -9 质量为m′的长平板 A 以速度v′在圆滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块 B 轻轻安稳地放在长平板上 ,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板获得共同速度？剖析当木块 B 安稳地轻轻放至运动着的平板 A 上时 ,木块的初速度可视为零,因为它与平板之间速度的差别而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．依据牛顿定律可获得它们各自相对地面的加快度．换以平板为参照系来剖析,此时 ,木块以初速度-v ′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动 ,其加快度为相对加快度,按运动学公式即可解得．该题也可应用第三章所叙述的系统的动能定理来解．将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变成木块和平板一同运动的动能,而它们的共同速度可依据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,依据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板挪动的距离即可求出．解 1 以地面为参照系 ,在摩擦力 Fｆ＝μmg的作用下 ,依据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程F ｆ＝μ mg＝ma1F ′ｆ＝-F ｆ＝ m′a2a1和 a2分别是木块和木板相对地面参照系的加快度．若以木板为参照系,木块相对平板的加快度 a ＝ a1＋ a2 ,木块相对平板以初速度- v ′作匀减速运动直至最后停止．由运动学规律有2- v′＝ 2as由上述各式可得木块有关于平板所挪动的距离为sm v 22 μg m m解 2 以木块和平板为系统 ,它们之间一对摩擦力作的总功为W ＝F ｆ(s ＋l ) -F ｆl＝μ mgs式中 l 为平板相对地面挪动的距离．因为系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,依据动量守恒定律,有m′v′＝ (m′＋ m) v″由系统的动能定理 ,有μmgs 1 m v 2 1 m m v 22 2由上述各式可得sm v 22 μg m m2 -10 如图 (a)所示 ,在一只半径为 R 的半球形碗内 ,有一粒质量为 m 的小钢球 ,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时 ,它距碗底有多高？剖析保持钢球在水平面内作匀角速度转动时,一定使钢球遇到一与向心加快度相对应的力(向心力 ), 而该力是由碗内壁对球的支持力 F N的分力来供给的 ,因为支持力 F N一直垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示 Oxy 坐标 ,列出动力学方程 ,即可求解钢球距碗底的高度．解取钢球为隔绝体 ,其受力剖析如图 (b) 所示．在图示坐标中列动力学方程F N sin θ ma n mRω2sin θ(1)F N cosθ mg (2)且有由上述各式可解得钢球距碗底的高度为R h cos θ(3)Rgh Rω2可见 ,h 随 ω的变化而变化．2 -11 火车转弯时需要较大的向心力,假如两条铁轨都在同一水平面内 (内轨、外轨等高 ),这个向心力只好由外轨供给 ,也就是说外轨会遇到车轮对它很大的向外侧压力 ,这是很危险的．所以 ,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,一定使外轨适合地超出内轨,称为外轨超高．现有一质量为m 的火车 ,以速率 v 沿半径为 R 的圆弧轨道转弯 ,已知路面倾角为 θ,试求： (1) 在此条件下 ,火车速率 v 0 为多大时 ,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？(2) 假如火车的速率 v ≠v 0 ,则车轮对铁轨的侧压力为多少？剖析如题所述 ,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平重量F N sin θ 提供 (式中 θ角为路面倾角 )．从而不会对内外轨产生挤压． 与其对应的是火车转弯时一定以规定的速率v 0行驶．当火车行驶速率 v ≠v 0 时,则会产生两种状况： 如下图 ,如 v ＞ v 0 时 ,外轨将会对车轮产生斜向 内的侧压力 F 1 ,以赔偿原向心力的不足,如 v ＜ v 0时 ,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F 2 ,以抵消剩余的向心力 ,不论哪一种状况火车都将对外轨或内轨产生挤压． 由此可知 ,铁路部门为何会在每个铁轨的转弯处规准时速 ,从而保证行车安全．解 (1) 以火车为研究对象 ,成立如下图坐标系．据剖析 ,由牛顿定律有F N sin θ mv 2(1)RF N cos θ mg 0(2)解 (1)(2) 两式可得火车转弯时规定速率为v 0gRtan θ(2) 当 v ＞ v 0 时 ,依据剖析有F N sin θ F 1cos θ m v2(3)RF N cos θ F 1sin θ mg 0(4)解 (3)(4) 两式 ,可得外轨侧压力为F 1 m v 2cos θ gsin θR当 v ＜ v 0 时,依据剖析有2F N sin θ F 2cos θ mv(5)RF N cos θ F 2sin θ mg(6)解 (5)(6) 两式 ,可得内轨侧压力为F 2 m gsin θ v 2cos θR2 -12 一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁．设演员和摩托车的总质量为 m,圆筒半径为 R,演员骑摩托车在直壁上以速率 v 作匀速圆周螺旋运动 ,每绕一周上涨距离为 h,如下图．求壁对演员和摩托车的作使劲．剖析 杂技演员 (连同摩托车 )的运动能够当作一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加．其旋转一周所形成的旋线轨迹睁开后,相当于如图 (b)所示的斜面． 把演员的运动速度分解为图示的 v 1 和 v 2 两个重量 ,明显 v 1是竖直向上作匀速直线运动的分速度 ,而 v 2则是绕圆筒壁作水平圆周运动的分速度,此中向心力由筒壁对演员的支持力F N 的水平重量 F N2 供给 ,而竖直重量 F N1则与重力相均衡．如图 (c) 所示 ,此中 φ角为摩托车与筒壁所夹角．运用牛顿定律即可求得筒壁支持力 的大小和方向解 设杂技演员连同摩托车整体为研究对象 ,据 (b)(c)两图应有FN1mg 0(1) F N 2m v 2(2)Rv 2vcos θ v2πR(3)R 2 h 22πF NF N 21 F N 2 2(4)以式 (3) 代入式 (2),得22 22 2m4π R v4π RmF N 222222v2(5)RhR 4πRh 4π将式 (1) 和式 (5)代入式 (4),可求出圆筒壁对杂技演员的作使劲( 即支承力 )大小为2222224πRF NFN1F N 2 m g2 2 v2h4πR与壁的夹角 φ为FN 222arctan4πRv2arctan2 2FN 14πRh g议论 表演飞车走壁时 , 演员一定控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方向 ,以保证三者之间知足解题用到的各个力学规律．2 -13 一质点沿 x 轴运动 ,其受力如下图 ,设 t ＝ 0 时 ,v 0＝ 5m ·ｓ-1,x 0＝ 2 m, 质点质量 m ＝ 1kg, 试求该 质点 7ｓ末的速度和地点坐标．剖析 第一应由题图求得两个时间段的 F(t)函数 ,从而求得相应的加快度函数,运用积分方法求解题目所问 ,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时辰相对应． 解 由题图得F t2t, 0 t 5s 35 5t,5s t 7s由牛顿定律可得两时间段质点的加快度分别为a 2t , 0 t 5sa 35 5t , 5s t 7s对 0 ＜ t ＜ 5ｓ 时间段 ,由 adv 得dtvd tv 0 adtv积分后得 v 5 t 2再由 vdx 得dtxt dxvdtx 0积分后得 x 2 5t1 t 33将 t ＝ 5ｓ 代入 ,得 v 5＝ 30 m ·ｓ-1 和 x 5 ＝ 68.7 m 对 5ｓ＜ t ＜7ｓ 时间段 ,用相同方法有vtdva 2dtv 0 5 s得v 35t2xt再由dx vdtx5 5 s得x ＝23 -82.5t ＋将 t ＝7ｓ代入分别得 v 7＝ 40 m ·ｓ -1 和 x 7 ＝ 142 m2 -14 一质量为 10 kg 的质点在力 F 的作用下沿 x 轴作直线运动 ,已知 F ＝120t ＋ 40,式中 F 的单位为 N, t 的单位的ｓ．在 t ＝ 0 时 ,质点位于 x ＝5.0 m 处 ,其速度 v 0 ＝6.0 m ·ｓ-1 ．求质点在随意时辰的速度和地点．剖析 这是在变力作用下的动力学识题． 因为力是时间的函数 ,而加快度 a ＝ dv/dt,这时 ,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程 ,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义 v ＝dx /d t,用积分的方法可求出质点的地点．解 因加快度 a ＝ dv/dt,在直线运动中 ,依据牛顿运动定律有120t40m dvdt依照质点运动的初始条件 ,即t 0 ＝ 0 时 v 0 ＝ 6.0 m ｓ·-1 ,运用分别变量法对上式积分,得vt4.0 dtdv 0 vv ＝2又因 v ＝ dx /dt,并由质点运动的初始条件： t 0 ＝ 0 时 x 0 ＝ 5.0 m,对上式分别变量后积分 ,有xt6.0t 2dtdxx 0x ＝2 +2.0 t 32 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为10×3 kg ．飞机以 55.0 m ｓ·-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动 ,若阻力与时间成正比 ,比率系数 α＝ 5.0 ×102 N ·ｓ -1,空气对飞机升力不计 ,求： (1) 10 ｓ后飞机的速率； (2) 飞机着陆后 10ｓ内滑行的距离．剖析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动． 其水平方向所受制动力 F 为变力 ,且是时间的函数．在求速率和距离时,可依据动力学方程和运动学规律,采纳分别变量法求解．解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有 Fma mdvαtαt dtdtvdt vmv 0得v v 0α t 22m所以 ,飞机着陆 10ｓ后的速率为v ＝ 30 m ｓ· -1xt α t 2 dt又dxv 0x02m故飞机着陆后 10ｓ内所滑行的距离s x x 0 v 0tα t 3 467 m6m2 -16 质量为 m 的跳水运动员 ,从 10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为 h ．把跳水运动员视为质点 ,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为 bv 2 ,此中 b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴,求： (1)运动员在水中的速率v 与 y的函数关系；(2) 如 b/m＝-1 , 跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率v 0的1 /10？(假设跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰巧相等)剖析该题能够分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后 ,物体受重力 P、浮力 F 和水的阻力 F ｆ的作用 ,其协力是一变力 ,所以 ,物体作变加快运动．固然物体的受力剖析比较简单 ,可是 ,因为变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、地点的函数 ),对这种问题列出动力学方程其实不复杂 ,但要从它计算出物体运动的地点和速度就比较困难了．往常需要采纳积分的方法去解所列出的微分方程．这也成认识题过程中的难点．在解方程的过程中 ,特别需要注意到积分变量的一致和初始条件确实定．解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为v02gh运动员入水后,由牛顿定律得P -F ｆ-F ＝ma由题意 P ＝ F、 F ｆ＝ bv2 ,而a ＝ dv /dt ＝ v (d v /dy),代入上式后得-bv2＝ mv (d v /dy)考虑到初始条件 y0＝0 时 , v0 2gh ,对上式积分,有mv dvtdy0b v0 vv v0e by / m 2ghe by / m(2) 将已知条件 b/m ＝ 0.4 m -1 ,v ＝0 代入上式 ,则得y m ln v 5.76 mb v0*2 -17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片构成．每一叶片的质量m＝ 136 kg,长 l ＝ 3.66 m．求当它的转速 n＝ 320 r/min 时 ,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度必定、厚度平均的薄片)剖析 螺旋桨旋转时 ,叶片上各点的加快度不一样,在其各部分双侧的张力也不一样；因为叶片的质量是连续散布的 ,在求叶片根部的张力时 ,可选用叶片上一小段 ,剖析其受力 ,列出动力学方程 ,而后采纳积分的方法求解．解 设叶片根部为原点 O,沿叶片背叛原点 O 的方向为正向 ,距原点 O 为 r 处的长为 dr 一小段叶片 ,其 双侧对它的拉力分别为 F Ｔ(r) 与 F Ｔ (r ＋ dr )．叶片转动时 ,该小段叶片作圆周运动 ,由牛顿定律有dF T F T rF T r drmω2 rdrl因为 r ＝l 时外侧 F Ｔ ＝ 0,所以有t dF Tlm ω2F T rl r drrF T m ω2 2r 22πmn 22r 2rll2ll上式中取 r ＝0,即得叶片根部的张力F Ｔ 0 ＝10×5 N负号表示张力方向与坐标方向相反．2 -18 一质量为 m 的小球最先位于如图 (a)所示的 A 点 ,而后沿半径为 r 的圆滑圆轨道 ADCB 下滑．试求小球抵达点 C 时的角速度和对圆轨道的作使劲．剖析 该题可由牛顿第二定律求解． 在取自然坐标的状况下 ,沿圆弧方向的加快度就是切向加快度a ,ｔ与其相对应的外力 F 是重力的切向重量 mgsin α,而与法向加快度 a n 相对应的外力是支持力 F N 和重力ｔ的法向重量 mgcos α．由此 ,可分别列出切向和法向的动力学方程F ＝ mdv/dt 和F n ＝ma n ．因为小球在ｔ滑动过程中加快度不是恒定的 ,所以 ,需应用积分求解 ,为使运算简易 ,可变换积分变量． 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度 ,方法比较简易．但它不可以直接给出小球与圆弧表面之间的作使劲．解 小球在运动过程中遇到重力 P 和圆轨道对它的支持力 F N ．取图 (b) 所示的自然坐标系,由牛顿定律得F tmgsin α mdv(1)dtF n F Nmgcos α mmv 2(2)R由 vdsr α r α运动到点 C 的始末条件 ,进行积分 ,有d ,得 dtd ,代入式 (1),并依据小球从点 Adtdtvvαv 0d90org sin αd αv v得v2rgcos α则小球在点 C 的角速度为ωv2 cos α/rr g由式 (2)得F Nm mv 2 mgcos α 3mgcos αr由此可得小球对圆轨道的作使劲为F NF N 3mgcos α负号表示 F ′N 与 e n 反向．2 -19 圆滑的水平桌面上搁置一半径为 R 的固定圆环 ,物体紧贴环的内侧作圆周运动 ,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为 v 0 ,求： (1) t 时辰物体的速率； (2) 当物体速率从 v 0减少到 12 v 0时 ,物体所经历的时间及经过的行程．剖析运动学与动力学之间的联系是以加快度为桥梁的,因此 ,可先剖析动力学识题．物体在作圆周运动的过程中,促进其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力 F N和环与物体之间的摩擦力 F ｆ,而摩擦力大小与正压力 F N′成正比 ,且F N与F N′又是作使劲与反作使劲 ,这样 ,便可经过它们把切向和法向两个加快度联系起来了 ,从而可用运动学的积分关系式求解速率和行程．解 (1) 设物体质量为 m,取图中所示的自然坐标 ,按牛顿定律 ,有mv2F N ma nRdvF f ma tdt由剖析中可知,摩擦力的大小 Fｆ＝μF ,由上述各式可得N2μv dvR dt取初始条件 t ＝0 时 v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有t R v dvdt20 μ v0 vv Rv0R v0μt(2)当物体的速率从 v 0减少到 1/2v 0时 ,由上式可得所需的时间为tRμv0物体在这段时间内所经过的行程t stRv0dt vdtv0μt0 RsRln 2μ2 -20 质量为 45.0 kg 的物体 ,由地面以初速 60.0 m·ｓ-1 竖直向上发射 ,物体遇到空气的阻力为 F r＝kv, 且 k ＝ 0.03 N/( m-1最大高度为多少？ｓ· )． (1) 求物体发射到最大高度所需的时间．(2)剖析物体在发射过程中 ,同时遇到重力和空气阻力的作用,其协力是速率v 的一次函数 ,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时 ,只需采纳分别变量的数学方法即可．可是,在求解高度时 ,则一定将时间变量经过速度定义式变换为地点变量后求解 ,并注意到物体上涨至最大高度时 ,速率应为零．解 (1) 物体在空中受重力 mg 和空气阻力 F r ＝ kv 作用而减速．由牛顿定律得mg k mdv(1)vdt依据始末条件对上式积分,有t vddtmvvv 0mg kvtmln 1 kv 06.11 skmgdv dv(2) 利用v 的关系代入式 (1),可得dtdydvmg kv mv分别变量后积分y 0dyv 0mvdvmgkv故m mg ln 1kv 0 v 0183 mykmgkv 0 和 y 2议论 如不考虑空气阻力 ,则物体向上作匀减速运动．由公式tv 0 分别算得 t ≈ｓ和g2gy ≈184 m,均比实质值略大一些．2 -21 一物体自地球表面以速率 v 0 竖直上抛．假设空气对物体阻力的值为F r ＝ kmv 2 ,此中 m 为物体的质量 ,k 为常量．试求： (1) 该物体能上涨的高度； (2)物体返回地面时速度的值． (设重力加快度为常量． )剖析因为空气对物体的阻力一直与物体运动的方向相反 ,所以 ,物体在上抛过程中所受重力 P 和阻力 F r 的方向相同；而下落过程中 ,所受重力 P 和阻力 Fr 的方向则相反．又因阻力是变力 ,在解动力学方程时 ,需用积分的方法．解 分别对物体上抛、 下落时作受力剖析 ,以地面为原点 ,竖直向上为 y 轴 (如下图 ) ．(1) 物体在上抛过程中 ,依据牛顿定律有mg km 2 m dv m vdvv dt dy 依照初始条件对上式积分,有y 0 v ddy v2v0 g kvy 1ln g kv 2 2k g kv02物体抵达最高处时, v ＝ 0,故有hymax 1 ln g kv 022k g (2)物体下落过程中 ,有2vdvmg kmv m对上式积分 ,有ydy 0vdv0 v0 g k2vkv 2 1/ 2v则v0 1g2 -22 质量为 m 的摩托车 ,在恒定的牵引力 F 的作用下工作 ,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是 v m．试计算从静止加快到mv /2所需的时间以及所走过的行程．剖析该题依旧是运用动力学方程求解变力作用下的速度和地点的问题,求解方法与前两题相像,只是在解题过程中一定想法求出阻力系数k．因为阻力 Fr ＝ kv2 ,且 F r又与恒力 F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加快度为零 ,此时速度达到最大．所以,依据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走行程时,需对变量作变换．解设摩托车沿 x 轴正方向运动 ,在牵引力 F 和阻力 F r同时作用下 ,由牛顿定律有F k 2 m dv(1)v dt当加快度 a ＝ dv/dt ＝ 0 时,摩托车的速率最大,所以可得k＝F/v m2 (2) 由式 (1) 和式 (2)可得依据始末条件对式(3)积分 ,有t mdtFF 1 v 2 m dv (3)v m2 dt1v m v2 12 dv1 2v m则tmv m ln3 dvmvdv 2F(3)积分 ,有又因式 (3) 中 m,再利用始末条件对式dtdxxmdxF 1v m v212 dv0 12v m则xmv m2ln40.144 mv m 22F3F*2 -23 飞机下降时 ,以 v 0 的水平速度下落伍自由滑行,滑行时期飞机遇到的空气阻力 F 1＝ -k 1 v 2, 升力F 2＝ k 2 v 2, 此中 v 为飞机的滑行速度 ,两个系数之比 k 1/ k 2 称为飞机的升阻比．实验表示,物体在流体中运动时 ,所受阻力与速度的关系与多种要素有关 ,如速度大小、流体性质、物体形状等．在速度较小或流体密度较小时有 F ∝ v,而在速度较大或流体密度较大的有 F ∝ v 2 ,需要精准计算时则应由实验测定．此题中因为飞机速率较大,故取 F ∝v 2 作为计算依照．设飞机与跑道间的滑动摩擦因数为μ,试求飞机从触地到静止所滑行的距离．以上计算实质上已成为飞机跑道长度设计的依照之一．剖析 如下图 ,飞机触地后滑行时期遇到 5 个力作用 ,此中 F 1 为空气阻力 , F 2 为空气升力 , F 3 为跑道作用于飞机的摩擦力 , 很明显飞机是在合外力为变力的状况下作减速运动 ,列出牛顿第二定律方程 后 ,用运动学第二类问题的有关规律解题．因为作用于飞机的合外力为速度 v 的函数 ,所求的又是飞机 滑行距离 x,所以比较简易方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换 ,将 dt 用dx取代 ,获得一个有关 v 和 x 的微分方程 ,分别变量后再作积分．v解 取飞机滑行方向为 x 的正方向 ,着陆点为坐标原点,如下图 ,依据牛顿第二定律有F N k 1v 2m dv(1)k 2v 2dtF Nmg 0(2)将式 (2)代入式 (1),并整理得μmg k μkv 2m dvm dv12dt v dx分别变量并积分 ,有vm dvv2dxμmgk 1 μk 2v 0v得飞机滑行距离xm ln μmg k 1 μk 2 v 2(3)2 k 1 μk 2 μmg考虑飞机着陆瞬时有 F N ＝ 0 和v ＝ v 0 ,应有 k 2v 02＝ mg,将其代入 (3)式 ,可得飞机滑行距离 x 的另一表达。

λdx'L2L 3L λdx xP0dxx习 题 十10-1 卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到1510-m 时，它们之间的斥力仍遵守库仑定律。

已知金原子核中有79个质子，α粒子中有2个质子，每个质子的带电量为C 106.119-⨯，α粒子的质量为6.682710-⨯kg 。

当α粒子与金原子核相距6.91210-⨯m 时，试求：(1) α粒子所受的力；(2) α粒子的加速度。

[解] (1) α粒子电量2e ，金核电量为79e 。

α粒子所受的库仑力为()N 1064.7109.6792414142122210--⨯=⨯⋅==ee rq q F πεπε(2) α粒子的加速度223274s m 1014.11068.61064.7⨯=⨯⨯==--m F a10-2 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元x Lq q d d =，它在P 点产生的电场强度为()()x x d L Lq x dL q E d 41d 41d 22-+=-+=πεπε则整个带电直导线在P 点产生的电场强度为()()d L d q x x dL Lq E L+=-+=⎰0241d 41πεπε故()i E d L d q+=04πε10-3 两根相同均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ，沿同一直线放置，两细棒间最近距离也是L ，如图所示。

设棒上的电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。

[解一] 先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。

计算左棒场强再求右棒所受电场力。

建立如图所示坐标系，在距O 点为x 处取微元x d λ，它在距O 点x '处产生的场强为()204d d x x xE -'=πελ因此左棒在x '处产生的场强为()⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'=-'=⎰x Lx x x xE L1144d 02πελπελ 在x '处取电荷元x 'd λ，它受到的左棒的电场力为x x Lx E x F '⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'=⋅'=d 114d d 02πελλ右棒受的总电场力为34ln423ln 23ln 4d 114d 022320232πελπελπελ=⎪⎭⎫ ⎝⎛---='⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'==⎰⎰L L LL LL x x L x F F L L LL[解二] 求电荷元dx λ与x d 'λ的库仑力叠加。

第二章 能量守恒 动量守恒选择题2－1 有一劲度系数为k 的弹簧(质量忽略不计),垂直放置,下端悬挂一质量为m 的小球.现使弹簧为原长,而小球恰好与地面接触.今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚脱离地面为止,在上提过程中外力做的功为 （ A ）(A)222m g k ; (B)222m g k ;(C) 224m g k; (D) 224m g k.2－2 一弹簧长00.5m l =,劲度系数为k ,上端挂在天花板上,当下端吊一小盘后,长度变为10.6m l =.然后在盘中放一物体,使弹簧长度变为20.8m l =.放物后,在弹簧伸长的过程中,弹性力所做的功为 （ C ）(A) 0.80.6d kx x -⎰; (B) 0.80.6d kx x ⎰;(C) 0.30.1d kx x -⎰; (D) 0.80.1d kx x ⎰.2－3 如图所示,一单摆在点A 和点A '之间往复运动,就点A 、点B 和点C 三位置比较,重力做功的功率最大位置为 （ B ）(A) 点A ; (B) 点B ; (C) 点C ; (D) 三点都一样.2－4 今有质量分别为1m 、2m 和3m 的三个质点,彼此相距分别为12r 、23r 和31r .则它之间的引力势能总和为 （ A ）(A) 233112122331m m m m m m G r r r ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭; (B) 233112122331m m m m m m G r r r ⎛⎫++ ⎪⎝⎭; (C) 2331121223312m m m m m m G r r r ⎛⎫-++⎪⎝⎭; (D) 2331121223312m m m m m m G r r r ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.2－5 有下列几种情况:(1) 物体自由落下,由物体和地球组成的系统; (2) 使物体均匀上升,由物体和地球组成的系统;(3) 子弹射入放在光滑水平面上的木块,由子弹和木块组成的系统; (4) 物体沿光滑斜坡向上滑动,由物体和地球组成的系统.机械能守恒的有 （ C ）(A) (1)、(3); (B) (2)、(4); (C) (1)、(4); (D) (1)、(2).2－6 质量分别为m 和4m 的两个质点,沿一直线相向运动.它们的动能分别为E 和4E ,它们的总动量的大小为 （ C ）(A)(C)-.2－7 质量为m 的小球,以水平速度v 与竖直的墙壁作完全弹性碰撞.以小球的初速度v的方向为O x 轴的正方向,则此过程中小球动量的增量为 （ D ） (A) m i v ; (B) 0; (C) 2m i v ; (D) 2m -i v .2－8 如图所示,质量为1k g 的弹性小球,自某高度水平抛出,落地时与地面发生完全弹性碰撞.已知在抛出1s 后又跳回原高度,而且速度的大小和方向和刚抛出时相同.在小球与地面碰撞的过程中,地面给它的冲量的大小和方向为 （ A ）(A) 19.8kg m s -⋅⋅,垂直地面向上;19.8kg m s-⋅⋅,垂直地面向上;(C) 119.6kg m s -⋅⋅,垂直地面向上; (D) 14.9kg m s-⋅⋅,与水平面成o45角.2－9 一炮弹由于特殊原因,在弹道最高点处突然炸成两块,如果其中一块做自由落体下落,则另一块的着地点 （ A ）(A) 比原来更远; (B) 比原来更近; (C) 仍和原来一样; (D) 条件不足,不能判定.2－10 在下列陈述中,正确的是 （ A ） (A) 物体的动量不变,动能也不变; (B) 物体的动能不变,动量也不变; (C) 物体的动量变化,动能也一定变化; (D) 物体的动能变化,动量却不一定也变化.2－11 如图所示,一光滑圆弧形槽m '放置于光滑的水平面上,一滑块m 自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下,不计空气阻力,对这一过程,下列陈述正确的为 （ C ）(A) 由m 和m '组成的系统动量守恒; (B) 由m 和m '组成的系统机械能守恒; (C) 由m 、m '和地球组成的系统机械能守恒; (D) m 对m '的正压力恒不作功.2－12 如图所示,质量为20g 的子弹,以1400m s-⋅的速率沿图示方向射入一原来静止的、质量为980g 的摆中.摆线不可伸缩,质量忽略不计.子弹射入后,摆的速度为 （ A ）(A) 14m s -⋅; (B) 18m s -⋅; (C) 12m s -⋅; (D) 11.79m s -⋅. 计算题2－13 用力推物体,使物体沿O x 轴正方向前进,力在O x 轴上的分量为510x F x =+式中x 的单位为m ,x F 的单位为N .求当物体由0x =移到4m x =时,力所做的功.解 在物体由0x =移到4m x =的过程中,力所做的功为()214d 510d 100J x x x A F x x x ==+=⎰⎰2－14 一个不遵守胡克定律的弹簧,它的弹性力F 与形变x 的关系为3F kx b x =--式中,411.1610N m k -=⨯⋅,531.610N mb -=⨯⋅,求弹簧变形由10.2m x =到20.3mx =时,弹性力所做的功.解 在弹簧变形由1x 到2x 的过程中,弹性力所做的功为221132244212111d ()d ()()24x x x x A F x kx b x F x k x x b x x ==-+=----⎰⎰将10.2m x =和20.3m x =代入上式,可得2244212142254411()()2411 1.1610(0.30.2) 1.6010(0.30.2)J 550J24A k x x b x x =----⎡⎤=-⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-=-⎢⎥⎣⎦2－15 如果子弹穿入墙壁时,所受的阻力与穿入的深度h 成正比,证明当子弹的初速度增大为原来的2倍时,子弹进入墙壁的深度也增大2倍.证 在穿进墙壁后,子弹所受的阻力为F kh =-,式中k 为常数.设子弹进入墙壁的最大深度为m h ,则在子弹穿入过程中,阻力做的功为m 2m 01d 2h A kh h kh =-=-⎰子弹在最大深度m h 时的速度为零.由外力的功等于始末二状态之间的动能的增量,有22m ax 01122kh k -=-v式中0v 是子弹的初速度,即子弹与墙壁接触瞬间的速度.k 和子弹质量m 均为常数,因此子弹的初速度0v 和子弹进入墙壁的最大深度m h 成正比,子弹的初速度增大为原来的2倍时,子弹进入墙壁的最大深度也增大为原来的2倍.2－16 如图所示,一质量为4k g 的小球,从高度3m h =处落下,使弹簧受到压缩.假定弹簧的质量与小球相比可以略去不计,弹簧的劲度系数1500N m k -=⋅.求弹簧被压缩的最大距离.解 小球从开始下落,到弹簧达到最大压缩x 量为止,下落距离为h x +.这期间, 由小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒.由于小球的动能增量为零,因此21()02kx m g h x -+=即2220m g m g x x h kk--=将2249.80.1568500m g k⨯⨯==,3m h =代入上式,可解得0.769m x =2－17 测定矿车的阻力因数μ(即阻力与矿车对轨道正压力的比值)的设施如图所示.测定时使矿车自高度h 处从静止开始下滑,滑过一段水平距离2l 后停下.已知坡底的长度为1l ,证明12h l l μ=+.证 设矿车质量为m ,则矿车在坡道上下滑时所受的正压力大小为co s m g θ.式中θ为斜面与水平面的夹角.由功能原理,矿车所受的力在全过程中所做的功,等于其始末二状态之间的动能增量,而动能的增量为零,于是2co s 0co s l m g h m g m g l μθμθ--=由此可得12()h l l μ=+2－18 一颗子弹由枪口射出时速率为0v ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合外力为F a bt =-式中a 、b 为常量.(1) 设子弹走到枪口处,所受的合力刚好为零,求子弹走完枪筒全长所需的时间; (2) 求子弹所受的冲量; (3) 求子弹的质量.解 (1) 子弹走到枪口处,所受的合力刚好为零:00F a bt =-=由此可得子弹走完枪筒全长所需的时间为0a t b=(2) 在[]00,t ,子弹所受的冲量为022200011()d ()222t a aaI a b t t a t b t ab bb b=-=-=-=⎰(3) 由动量原理I m =∆v ,而子弹的初速度为零,于是有0I =m v由此可得子弹的质量为2I a b ==m v v2－19 一质量为m 的质点,在O xy 平面上运动,其位置矢量为cos sin a t b t ωω=+r i j求从0t =到π2t ω=时间内,质点所受的合外力的冲量.解 质点的速度为d sin co s d a t b t tωωωω==-+r i j v0t =时, 质点的速度为1b ω=j vπ2t ω=时, 质点的速度为2ππsin co s 22a b a ωωωωωωω=-+=-i j i v由动量原理, 在0t =到π2t ω=时间内质点所受的合外力的冲量为21m m m a m b ωω=-=--I i j v v2－20 有一横截面积为20.2m S =的直角弯管,水平放置,如图所示.管中流过流速为13.0m s-=⋅v 的水.求弯管所受力的大小和方向.解 d m 的水转过直角,经历的时间为∆l t =v,式中l 为弯管14圆弧的长度;动量改变的大小为d m ,方向与水平成o45角.由动量定理,弯管给d m 的水的平均作用力的大小为2d d d d m m m F l tl===∆v圆弧弯管长度的水的质量为d m mS l ρ==⎰.这么多的水转过直角,弯管所给的平均作用力的大小为2223231100.20 3.0N 2.5510NS l F S ll====⨯⨯⨯=⨯v v v方向与水平成o45角,斜向上.此力的反作用力即为水管所受的力,大小为32.5510N F '=⨯方向与水平成o45角,斜向下.2－21 水力采煤是利用水枪在高压下喷出来的强力水柱,冲击煤层而使煤层破裂.设所用水枪的直径为30m m ,水速为160m s-⋅,水柱与煤层表面垂直,如图所示.水柱在冲击煤层后,沿煤层表面对称地向四周散开.求水柱作用在煤层上的力.解 设水在煤层表面均匀四散,则煤层所受的合力在沿煤层表面的方向上的分量为零.在t ∆时间内,有质量为m tS ρ=∆v 的水到达煤层表面.式中v 为水速, S 为水柱截面积.在垂直于煤层的方向上,其动量的变化为()2x m tS ρ∆=-∆v v由动量定理,()x x F t m ∆=∆v ,可求得水柱所受的冲力在垂直于煤层的方向上的分量为x F S ρ=-2v水柱作用在煤层上的力是x F i 的反作用力,垂直指向煤层,大小为2432π 3.01011060N 2545N 4F S ρ-⨯⨯'==⨯⨯⨯=2v2－22 在铁轨上,有一质量为40t 的车辆,其速度为11.5m s -⋅,它和前面的一辆质量为35t 的静止车辆挂接.挂接后,它们以同一速度前进.求:(1) 挂接后的速率;(2) 质量为35t 的车辆受到的冲量. 解 (1) 由动量守恒定律,有21122()m m m m +=+v v v式中11 1.5m s -=⋅v 是140t m =的车辆的初速度,20=v 是230t m =的车辆的初速度;v 是两辆车一起运动的速度.由此可得311113124010 1.5m s0.8m s(4035)10m m m --⨯⨯==⋅=⋅++⨯v v(2) 质量为235t m =的车辆受到的冲量等于其动量的增量:34235100.8N s 2.8010N s I m ==⨯⨯⋅=⨯⋅v2－23 一个质量为60kg 的人,以12.0m s -⋅速率跳上一辆以11.0m s -⋅的速率运动的小车.小车的质量为180k g .(1) 如果人从小车后面跳上去,求人和小车的共同速度 (2) 如果人从小车前面跳上去,求人和小车的共同速度. 解 以小车前进方向为正方向.由动量守恒定律121122()m m m m +=+v v v式中v 是人和小车的共同速度, 1v 是人的速率, 12 1.0m s -=⋅v 是小车的速率. 由上式可得112212m m m m +=+v v v(1) 如果人从小车后面跳上去,则人的速度11 2.0m s -=⋅v ,人和小车的共同运动的速度为1111221260 2.0180 1.0m s1.25m s(60180)m m m m --+⨯+⨯==⋅=⋅++v v v(2) 如果人从小车前面跳上去,则人的速度11 2.0m s -=-⋅v ,人和小车的共同运动的速度为1111221260( 2.0)180 1.0m s0.25m s(60180)m m m m --+⨯-+⨯==⋅=⋅++v v v2－24 一炮弹竖直向上发射,初速度为0v .在发射后经过时间t ,在空中自动爆炸.假定炮弹爆炸后分成质量相等的A 、B 、C 三块碎片.其中A 块的速度为零, B 、C 两块的速度大小相同,且B 块的方向与水平成α角.求B 、C 两块碎片的速度大小和C 块的方向.解 临爆炸前,炮弹的速度在竖直方向,大小为0g t =-v v .其方向可能竖直向上,亦可能竖直向下.设炮弹的质量为m ,爆炸后瞬时B 、C 两块的速度分别为B v 和C v .由动量守恒定律B C 1133m m m +=v v v图示为速度竖直向上时的动量守恒的矢量图,图中π2βα=-.若速度竖直向下,亦可作出相似的动量守恒的矢量图.由于B 、C 两块的速度大小相同,即B C =v v ,因此动量守恒的矢量图为等腰三角形,C v 与竖直面的夹角亦为β,与水平面的夹角亦为α;与B v 之间的夹角为π2α-,且B C 11sin sin 33m m m αα+=v v v将0g t =-v v 和B C =v v 代入,即可求得B 、C 两块碎片的速度大小为0B C 32sin g t α-==v v v2－25 如图所示,有一空气锤,质量为200kg m =,由高度0.45m h =处受工作气缸中压缩空气的压力及重力的作用而落下,摩擦阻力可以忽略.已知工作气缸内压缩空气对锤头的平均压力37.0010N F =⨯,锤头与工件的碰撞时间为0.010s t =,求锤头锻打工件时的平均冲力.解 设锤头到达工件,与工件接触瞬时的速度为v .由功能原理,有21()2F m g h m +=v由此可得=v这时,汽缸内的压强已经很小,对锤头的压力可以忽略.锤头锻打工件时的过程中,受到的向上的平均冲力为1F .以竖直向下为正方向,由动量原理,有()1Fm g t m -+∆=-v可得1F 的大小为15200 2009.8N 1.29010N0.010m F m g m gt ⎛⎫=+=⎪∆⎝⎭⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭v工件所受的打击力是1F 的反作用力,平均大小亦为51.29010N ⨯,方向竖直向下.若不忽略汽缸内的压缩空气对锤头的压力,且认为大小亦为37.0010N F =⨯,则有()1F F m g t m '-++∆=-v由此可得锤头和工件所受的打击力的平均大小()53511 1.290107.0010N1.3610N F F F '=+=⨯+⨯=⨯2－26 两个形状相同质量均为m '弧形光滑导轨A 和B ,放在光滑地板上,且在同一竖直平面内,A 和B 的下端均和地板相切,如图所示.今有一质量为m 的小物体,由静止从高度为0h 的A 的顶端下滑,求m 在B 导轨上上升的最大高度.解 设小物体下滑至地面时,物体速度为v ,导轨A 的速度为A v .在小物体下滑的过程中,小物体、导轨A 和地球组成的系统机械能守恒,有22A 01122m m m g h '+=v v小物体和导轨A 组成的系统在水平方向上动量守恒,有A 0m m '+=v v联立解此二方程,可得=v设小物体沿导轨B 上升的最大高度为h ,此时二者一起运动的速度为B v .在小物体上升的过程中,小物体、导轨B 和地球组成的系统机械能守恒,有221B 11()22m m g h m m '=++v v小物体和导轨B 组成的系统在水平方向上动量守恒,有B ()m m m '=+v v联立解此二方程,可得22()m h m m g'='+v将=v 代入上式,可得20m h h m m '⎛⎫= ⎪'+⎝⎭。

质点动力学习题答案欧阳光明（2021.03.07）2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.图2-1X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v由①、②式消去t ，得2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.解：⑴研究对象：m⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：合力：f P F+=y 分量：dtdVm KV mg =-- 即dt mKV mg dV 1-=+mg Ke KV mg K V t m K1)(10-+=⇒-①0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为)1ln(ln 000mgKV K mmg KV mg K m t +=+=② ∵dtdyV =∴Vdt dy =021()1K t m mmg KV e mgt K K-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦③ 0t t =时，max y y =，2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为mxg l，根据牛顿定律，有 图2-4通过变量替换有 m dvxg mv l dx =0,0x v ==，积分00l vm xg mvdv l =⎰⎰由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl =2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝12g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少?解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示．(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有题2-5图联立，解得g a ='方向向下 (2)2m 对地加速度为22ga a a =-'=方向向上 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a+=' ∴g g g a a a 25422221=+=+'=a a '=arctanθo 6.2621arctan ==，左偏上． 2-6 一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？ 解：设物体沿+x 方向运动，25250501===⎰⎰tdt Fdt I N·S （1I 沿i方向）7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S （2I 沿i方向）∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I∴3)()(12=∆∆p p2-7 一弹性球，质量为020.0=m kg ，速率5=v m/s ，与墙壁碰撞后跳回.设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α︒=，⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I ⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ，求碰撞过程中小球受到的平均冲力?F = 解:i i i mv i I I x10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F=(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解: (1)由题意，子弹到枪口时，有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量 将ba t =代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-10 木块B 静止置于水平台面上，小木块A 放在B 板的一端上，如图所示. 已知0.25A m =kg ，B m ＝0.75kg ，小木块A 与木块B 之间的摩擦因数1μ＝0.5，木板B 与台面间的摩擦因数2μ＝0.1. 现在给小木块A 一向右的水平初速度0v ＝40m/s ，问经过多长时间A 、B 恰好具有相同的速度？（设B 板足够长）它将受解：当小木块A 以初速度0v 向右开始运动时，到木板B 的摩擦阻力的作用，木板B 则在A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B 与小木块A 视为一个系统，A 、B 之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B 之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过t ∆时间，A 、B 具有相同的速度，根据质点系的动量定理0()k A B A F t m m v m v -∆=+-再对小木块A 单独予以考虑，A 受到B 给予的摩擦阻力'K F ，应用质点的动量定理'0k A B F t m v m v -∆=- 以及'1k A F m g μ= 解得0012121(),A A B v v v m v t m m gμμμμμ-=-∆=+-图2-10代入数据得 2.5v =m/s t ∆=7.65s2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为1m 和2m ，子弹穿过两木块的时间各为1t ∆和2t ∆，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F ，求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动.解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为1v ，初始两木块静止，由动量定理，于是有设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为2v ，对第二块木块，由动量定理有 解以上方程可得2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解：设开始下落时0t =，在任意时刻t 落到桌面上的链长为x ，链未接触桌面的部分下落速度为v ，在dt 时间内又有质量dm dx ρ=（ρ为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予dm 的冲量等于dm 的动量增量，即 所以2dxF vv dtρρ== 由自由落体的速度22v gx =得这是t 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力'F F =，'F 方向向下，t 时刻桌面受的总压力等于冲力'F 和t 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以图2-11所以3Nxgρ= 即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量. 2-13一质量为50kg 的人站在质量为100kg 的停在静水中的小船上，船长为5m ，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离. 解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m ，船的质量为M ，应用动量守恒得 其中v ，V 分别为人和小船相对于静水的速度， 可得m -MV =v 人相对于船的速度为'M mM+=-=v v V v 设人在t 时间内走完船长l ，则有在这段时间内，人相对于地面走了0tx vdt =⎰所以Mlx M m=+船头移动的距离为'53ml x l x M m =-==+2-14质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m ，速度0v 的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动.求： (1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量； (2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；(3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为u ，子弹和木块组成系统动量守恒（1）0()mv m M u =+ 所以0mv u m M=+（2）子弹的动量20m m v P mu m M==+（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为2-15质量均为M 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为m的人自一辆车跳入另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解：质量为m 的人，以相对于地面的速度v 从车A 跳到车B ，此时车A 得到速度1u ，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得人到达车B 时，共同得速度为2u ，由动量守恒得人再由车B 以相对于地面的速度v 跳回到车A ，则车B 的速度为'2u ，而车A 与人的共同速度为'1u ，如图所示，由动量守恒得联立方程解得：'22m u v M ='12mu v M m=+ 所以车B 和车A 得速率之比为2-16体重为P 的人拿着重为p 的物体跳远，起跳仰角为ϕ，初速度为0v . 到达最高点时，该人将手中的物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系从最高点到落地，人做平抛运动所需时间0sin v t gϕ= 跳远距离增加为2-17铁路上有一平板车，其质量为M ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m ，相对平板车的速度均为u . 问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少？（1）N 个人同时跳离；（2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解：取平板车和N 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有()0Mv Nm v u +-= 所以N 个人同时跑步跳车时，车速为（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得第二个人跳车时，有以此类推，第N 个人跳车时，有所以1111()2NN n muv mu M m M m M Nm M nm ==++⋅⋅⋅=++++∑因为1112M m M m M Nm>>⋅⋅⋅>+++ 故N v v >2-18质量为kg 10的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。

习题二2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。

[解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律tv mma f d d == 即tv mkv d d ==- 所以t mk v v d d -=对等式两边积分⎰⎰-=tvv t m k v v 0d d 0得t mkv v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xv mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即xvmv kv d d =- 所以v x mkd d =-对上式两边积分⎰⎰=-000d d v sv x mk 得到0v s m k-=-即kmv s 0=2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。

若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为[证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。

由牛顿第二定律得即tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d dy得mktF mg kv F mg -=---ln即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。

求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

习 题 四4-1 一飞轮的半径为2m ，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。

当重物下落时可使飞轮旋转起来。

若重物下落的距离由方程2at x =给出，其中2s m 0.2=a 。

试求飞轮在t 时刻的角速度和角加速度。

[解] 设重物的加速度为t a ，t 时刻飞轮的角速度和角加速度分别为ω和β，则a txa 2d d 22t ==因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 βR a =t则 2t rad/s 0.220.222=⨯===R a R a β 由题意知 t =0时刻飞轮的角速度00=ω 所以 rad 0.20t t t ==+=ββωω4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s 内其角速度均匀地增加到200minrad，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。

又过了5s 后，飞轮停止转动。

若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间 [解] 分三个阶段进行分析10 加速阶段。

由题意知 111t βω= 和 11212θβω= 得22111211t ωβωθ==20 匀速旋转阶段。

212t ωθ= 3制动阶段。

331t βω= 33212θβω= 22313213t ωβωθ== 由题意知 100321=++θθθ 联立得到πωωω210022312111⨯=++t t t所以 s 1836020025602002660200210022=⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯=ππππt 因此转动的总时间 s 19418356321=++=++=t t t t4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A ，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。

设齿轮的半径为5cm ，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A 相邻的齿孔B 。

(1)若测得这时齿轮的角速度为600s r ，齿轮到反射镜的距离为500 m ，那么测得的光速是多大(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大[解] (1) 齿轮由A 转到B 孔所需要的时间5103126005002⨯=⨯==ππωθt所以光速 s m 10310315002285⨯=⨯⨯==TL c(2) 齿轮边缘上一点的线速度s m 1088.1260010522⨯=⨯⨯⨯==-πωR v齿轮边缘上一点的加速度()25222s m 1010.71052600⨯=⨯⨯⨯==-πωR a4-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。

第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-o20(2)(31)s g u ∴=-把式（2）代入式（1）得，()222200.1983u v v=+2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=r r r由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，习题2－2图Ao B rCT902n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g rrv mg mg rmg ααααωαααα=-===+==-=-⎰⎰o r得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。

解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+-2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。

大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案习 题 二2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 tv m ma f d d ==即 tv mkv d d ==-所以t m k v v d d -=对等式两边积分 ⎰⎰-=t v v tm k v v 0d d 0得t mk v v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xvmv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 xvmvkv d d =- 所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-000d d v sv x m k得到v s mk-=-即 kmv s 0=2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。

若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。

由牛顿第二定律得t vm ma f F mg d d ==-- 即tvmma kv F mg d d ==-- 整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分 ⎰⎰=--t v mt kv F mg v00d d 得mktF mg kv F mg -=---ln即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kF mg v 1mgFf2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。

2-1 如题2-1图所示，弹簧秤挂一滑轮，滑轮两边各挂一质量为m 和2m 的物体，绳子与滑轮的质量忽略不计，轴承处摩擦忽略不计，在m 及2m 的运动过程中，弹簧秤的读数为[ ]A. 3mg .B. 2mg .C. 1mg .D. 8mg / 3.答案： D题 2-1图 2-2 一质点作匀速率圆周运动时，[ ] A.它的动量不变，对圆心的角动量也不变。

B.它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。

C.它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

D.它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

答案： C2-3 质点系的内力可以改变[ ] A.系统的总质量。

B.系统的总动量。

C.系统的总动能。

D.系统的总角动量。

答案： C2-4 一船浮于静水中，船长L ，质量为m ，一个质量也为m 的人从船尾走到船头。

不计水和空气阻力，则在此过程中船将：[ ] A.不动 B.后退LC.后退L 21 D.后退L 31答案： C2-5 对功的概念有以下几种说法：[ ]①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。

在上述说法中：A.①、②是正确的。

B.②、③是正确的。

C.只有②是正确的。

D.只有③是正确的。

答案： C2-6 某质点在力(45)F x i =+（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。

在从x=0移动到x=10m的过程中，力F所做功为 。

答案： 290J2-7 如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为μ，当这货车爬一与水平方向成θ角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最小加速度 。

＜ ＜ ＜ ＜ ＜m 2m答案： ()cos sin g μθθ-2-8 一质量为1Kg 的球A ，以5m /s 的速率与原来静止的另一球B 作弹性碰撞，碰后A 球以4m /s 的速率垂直于它原来的运动方向，则B 球的动量大小为 。

P第十二章12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x xq q d d =点产生的电场强度为()xx d L Lq x d L qE d 41d 41d 2020-+=-+=πεπε则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为()d L d qx x d L Lq E L+=-+=⎰002041d 41πεπε故()iE d L d q+=04πε12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处点O 的电场强度。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量l R Q q d d π=dq 在O 点的电场强度20204d 4d d R lR Q R qE πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在x lR Q E E d sin 4sin d d 302x ⋅=⋅=θεπθ θd d R l =θεπθd 4sin d 202x RQ E =2020202x x 2d 4sin d R QR Q E E E επθεπθπ====⎰⎰ 方向沿x 轴正方向12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E 。

[解] θd 对应的无限长直线单位长带的电量为θπλd d =q它在轴线O 产生的电场强度的大小为d θRRq E 0202d 2d d επθλπε==因对称性yd E 成对抵消RE E 02x 2d cos cos d d επθθλθ=⋅=R R E E 02202x 2d cos 2d επλεπθθλπ===⎰⎰ ，方向沿x 轴的正方向。

12-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心点O 处的场强。

习 题 七7-1 如图所示，O S O S 21=。

若在O S 1中放入一折射率为n ，厚度为e 的透明介质片，求O S 1与O S 2之间的光程差。

如果1S 和2S 是两个波长为λ的同相位的相干光源，求两光在O 点的相位差。

[解] O S 1与O S 2的几何路程相等 光程差为()e n 1-=δ 位相差为()e n 122-==∆λπδλπϕ7-2 一束绿光照射到两相距 0.6mm 的双缝上，在距双缝2.5m 处的屏上出现干涉条纹。

测得两相邻明条纹中心间的距离为2.27mm ，试求入射光的波长。

[解] 由杨氏双缝干涉知，dD x λ=∆ 所以5448m 10448.55.21060.01027.2733=⨯=⨯⨯⨯=∆=---D xd λÅ7-3 如图所示，在双缝干涉实验中，21SS SS =，用波长为λ的单色光照S ，通过空气后在屏幕E 上形成干涉条纹。

已知点P 处为第3级干涉明条纹，求1S 和2S 到点P 的光程差。

若整个装置放于某种透明液体中，点P 为第4级干涉明条纹，求该液体的折射率。

[解] 1S 和2S 到P 点的光程差满足λλδ312==-=k r r 整个装置放置于液体中，1S 和2S 到P 点的光程差满足()λδ412=-=r r nλλ43=n 所以得到 33.134==n7-4 如习题7-1图所示，1S 和2S 是两个同相位的相干光源，它们发出波长λ＝5000Å的光波，设O 是它们中垂线上的一点，在点1S 与点O 之间的插入一折射率n ＝1.50的薄玻璃，点O 恰为第4级明条纹的中心，求它的厚度e 。

[解] 在O 点是第4级明条纹的中心 光程差 λδ4=-=e ne所以 410414⨯=-=n e λÅ7-5 初位相相同的两相干光源产生的波长为6000Å的光波在空间某点P 相遇产生干涉，其几何路径之差为6102.1-⨯m 。

如果光线通过的介质分别为空气(11=n )、水(=2n 1.33)或松节油(=3n 1.50)时，点P 的干涉是加强还是减弱。

绪论单元测试1【判断题】(2分)大学物理是面向理工科大学生的一门重要的必修基础课，该课程讲授的物理学知识、思想和方法是构成学生科学素养的重要组成部分.A.错B.对第一章测试1【单选题】(10分)质点由一点运动到另外一点，则下列说法正确的是A.位移是唯一的B.各点的位置矢量是唯一的C.路程是唯一的D.位移的大小等于路程2【单选题】(10分)以下关于加速度的说法中的是A.加速度决定了物体速度的变化B.物体速度大，加速度一定大C.加速度为零的物体速度不一定为零D.物体加速度大小越来越小时，物体的速度仍将可能增加3【单选题】(10分)质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈。

在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为A.0，2πR/TB.0，0C.2πR/T，2πR/TD.2πR/T，04【单选题】(10分)气球正在上升，气球下系有一重物，当气球上升到离地面100m高处，系绳突然断裂，重物下落，这重物下落到地面的运动与另一个物体从100m高处自由落到地面的运动相比，下列哪一个结论是正确的A.落地时的速度相同B.下落的时间相同C.下落的位移相同D.下落的路程相同5【单选题】(10分)某人骑自行车以速率v向正西方向行驶，遇到由北向南刮的风（设风速大小也是v），则他感到风是从A.西北方向吹来B.西南方向吹来C.东北方向吹来D.东南方向吹来6【判断题】(10分)电子很小可以视为质点，而太阳很大不能视为质点.A.对B.错7【判断题】(10分)质点做匀加速运动，其轨迹一定是直线.A.对B.错8【判断题】(10分)物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率是不可能的.A.对B.错9【判断题】(10分)质点作匀速圆周运动时速度一定不变.A.对B.错10【判断题】(10分)同一物体的运动，如果选取的参考系不同，对它的运动描述也不同.A.错B.对第二章测试1【单选题】(10分)在下列关于力与运动关系的叙述中，正确的是A.若质点所受合力的大小不变，则一定作匀加速直线运动B.若质点所受合力越大，则质点速度必定越大C.若质点所受合力恒定，肯定不会作曲线运动D.若质点所受合力的方向不变，则一定作直线运动E.若质点从静止开始，所受合力恒定，则一定作匀加速直线运动2【单选题】(10分)质量为m的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k，k为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是A.B.C.D.3【单选题】(10分)体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是A.谁先到达不能确定B.同时到达C.乙先到达D.甲先到达4【单选题】(10分)功的概念有以下几种说法：1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加.2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零.3）作用力与反作用力大小相等，方向相反，所以两者所做功的代数和必为零.上列说法中A.3）正确B.1）、2）正确C.2）、3）正确D.2）正确5【单选题】(10分)在下列关于动量的表述中，不正确的是A.动量守恒是指运动全过程中动量时时(处处)都相等B.内力不影响系统的总动量，但要影响其总能量C.系统的内力无论为多大，只要合外力为零，系统的动量必守恒D.内力对系统内各质点的动量没有影响6【判断题】(10分)物体只有作匀速直线运动和静止时才有惯性.A.错B.对7【判断题】(10分)摩擦力总和物体运动的方向相反.A.对B.错8【判断题】(10分)质量为m的质点以速度v沿一直线运动，则它对空间任一点的角动量都为零.A.对B.错9【判断题】(10分)牛顿运动定律在任何参考系中都成立.A.对B.错10【判断题】(10分)一个不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.A.错B.对第三章测试1【单选题】(10分)下面几种运动属于定轴转动的是A.滚动车轮的运动B.抽油机活塞的运动C.电风扇叶片的运动D.陀螺的运动2【单选题】(10分)刚体绕定轴作匀变速转动时，刚体上距轴为r的任一点的A.切向、法向加速度的大小均保持恒定B.切向、法向加速度的大小均随时间变化C.法向加速度的大小恒定，切向加速度的大小变化D.切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小变化3【单选题】(10分)刚体角动量守恒的充分而必要的条件是A.刚体所受合外力矩为零B.刚体不受外力矩的作用C.刚体所受的合外力和合外力矩均为零D.刚体的转动惯量和角速度均保持不变4【单选题】(10分)有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上(1)这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2)这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3)当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4)当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．在上述说法中A.只有(1)是正确的B.(1)、(2)、(3)、(4)都正确C.(1)、(2)、(3)都正确，(4)D.(1)、(2)正确，(3)、(4)5【单选题】(10分)一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地拿着二哑铃．在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的A.机械能不守恒，角动量守恒B.机械能守恒，角动量不守恒C.机械能不守恒，角动量也不守恒D.机械能守恒，角动量守恒6【判断题】(10分)刚体的转动惯量只与转轴和刚体总质量有关.A.错B.对7【判断题】(10分)一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水平位置自由下摆，棒作匀角加速转动.A.对B.错8【判断题】(10分)刚体定轴转动时所有质点的角速度和角加速度都相同．A.错B.对9【判断题】(10分)刚体作定轴转动时，刚体角动量守恒的条件是刚体所受的合外力等于零．A.错B.对10【判断题】(10分)一个质量为m的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，此时圆盘转动的角速度为ω.若小虫沿着半径向圆盘中心爬行，则圆盘的角速度变大．A.错B.对第四章测试1【单选题】(10分)有下列几种说法：（1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的；（2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；（3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同．其中说法是正确的是A.全部说法都是正确的B.只有（1）、（3）是正确的C.只有（2）、（3）是正确的D.只有（1）、（2）是正确的2【单选题】(10分)在狭义相对论中，下列说法中正确的是：（1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速；（2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的；（3）在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的；（4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些.A.（1），（2），（3）B.（1），（3），（4）C.（1），（2），（4）D.（2），（3），（4）3【单选题】(10分)宇宙飞船相对于地面以速度0.8c直线飞行，一光脉冲从船尾传到船头．飞船的静止长度是100m，则地球观察者测出光脉冲从船尾到船头两个事件的空间间隔为A.300mB.100mC.60mD.500/3m4【单选题】(10分)在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，则乙相对于甲的运动速度是（c表示真空中光速）A.（4/5）cB.（3/5）cC.（2/5）cD.（1/5）c5【单选题】(10分)粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的3倍时，其动能为静止能量的A.2倍B.4倍C.5倍D.3倍6【判断题】(10分)经典力学中的所有基本定律，如动量守恒定律，角动量守恒定律，机械能守恒定律都具有伽利略变换不变性．A.对B.错7【判断题】(10分)狭义相对论的两条基本原理是狭义相对性原理和光速不变原理．A.错B.对8【判断题】(10分)我们把与物体保持静止的参考系所测得的长度称为物体的固有长度.A.错B.对9【判断题】(10分)光子的静止质量为零.A.对B.错10【判断题】(10分)在某个惯性系中有两个同时同地发生的事件，在对该系有相对运动的其他惯性系中，这两个事件不一定是同时同地发生的．A.对B.错第五章测试1【单选题】(10分)一质量为m的物体挂在劲度系数为k的轻弹簧下面，振动角频率为f，若把此弹簧分割成四等份，将物体m挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是A.0.5fB.fC.2fD.3f2【单选题】(10分)一质点作简谐振动，周期为T.质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为A.T/6B.T/4C.T/12D.T/83【单选题】(10分)一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动,若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的A.竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动B.两种情况都不能作简谐振动C.竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动D.两种情况都可作简谐振动4【单选题】(10分)一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量变为A.4EB.E/2C.E/4D.2E5【单选题】(10分)一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的A.3/2B.3/4C.1/4D.1/26【判断题】(10分)质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期.A.对B.错7【判断题】(10分)一个作简谐振动的物体，其位移与加速度的相位始终相差πA.对B.错8【判断题】(10分)一个作简谐振动的物体处于平衡位置处时具有最大的速度和最大的加速度.A.对B.错9【判断题】(10分)简谐运动的动能和势能都随时间作周期性的变化，且变化频率与位移变化频率相同.A.对B.错10【判断题】(10分)两个相同的弹簧挂着质量不同的物体，当它们以相同的振幅作简谐振动时，振动总能量相同.A.错B.对第六章测试1【单选题】(10分)在相同的时间内，某种波长的单色光在空气中和在玻璃中A.传播的路程不相等，走过的光程不相等B.传播的路程不相等，走过的光程相等C.传播的路程相等，走过的光程相等D.传播的路程相等，走过的光程不相等2【单选题】(10分)用白光光源进行双缝实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色的滤光片遮盖另一条缝，则A.干涉条纹的亮度将发生改变B.产生红光和蓝光两套彩色条纹C.干涉条纹的宽度将发生改变D.不产生干涉条纹3【单选题】(10分)在双缝干涉实验中，两条缝的宽度原来是相等的，若其中一缝的宽度略变窄(缝中心位置不变)，则A.不再发生干涉现象B.干涉条纹的间距不变C.干涉条纹的间距变宽D.干涉条纹的间距变窄4【单选题】(10分)在光栅衍射实验中，与缺级级数有关的量为A.入射光波长B.光栅常数C.屏到光栅的距离D.入射光强度5一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是A.红光B.紫光C.绿光D.黄光6【判断题】(10分)获得相干光源只能用波阵面分割和振幅分割这两种方法来实现.A.对B.错7发光的本质是原子、分子等从具有较高能级的激发态到较低能级的激发态跃迁过程中释放能量的一种形式.A.对B.错8【判断题】(10分)光波的相干叠加服从波的叠加原理,不相干叠加不服从波的叠加原理.A.错B.对9【判断题】(10分)光程是将光在不同介质中走过的实际路程折合成在真空中走过的路程.A.对B.错10【判断题】(10分)双折射现象是光从光疏介质进入光密介质时发生的一种现象.A.对B.错第七章测试1【单选题】(10分)水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了A.B.25％C.66.7％D.50％2【单选题】(10分)一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们A.温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强B.温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强C.温度相同、压强相同D.温度、压强都不相同3【单选题】(10分)关于温度的意义，有下列几种说法：(1)气体的温度是分子平均平动动能的量度.(2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义.(3)温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同.(4)从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.这些说法中正确的是A.(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)、(4)C.(1)、(2)、(4)D.(1)、(2)、(3)4【单选题】(10分)下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线A.B.C.D.5【单选题】(10分)玻尔兹曼分布律表明：在某一温度的平衡态，(1)分布在某一区间(坐标区间和速度区间)的分子数，与该区间粒子的能量成正比.(2)在同样大小的各区间(坐标区间和速度区间)中，能量较大的分子数较少；能量较小的分子数较多．(3)在大小相等的各区间(坐标区间和速度区间)中比较，分子总是处于低能态的概率大些．(4)分布在某一坐标区间内、具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比，与粒子能量无关．以上四种说法中A.只有(2)、(3)是正确的B.只有(1)、(2)、(3)是正确的C.只有(1)、(2)是正确的D.全部是正确的6【判断题】(10分)只有对大量分子的集体，温度的微观意义才成立.A.错B.对7【判断题】(10分)物体的熔解、凝固、蒸发等现象都属于热现象.A.错B.对8【判断题】(10分)一切互为热平衡的热力学系统不一定具有相同的温度.A.错B.对9【判断题】(10分)表征系统热平衡的宏观性质的物理量为压强.A.对B.错10【判断题】(10分)每个分子的质量、速度和能量属于微观量.A.错B.对第八章测试1【单选题】(10分)关于可逆过程和不可逆过程的判断：(1)可逆热力学过程一定是准静态过程.(2)准静态过程一定是可逆过程.(3)不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程.(4)凡有摩擦的过程，一定是不可逆过程.以上四种判断，其中正确的是A.(1)、(4)B.(2)、(4)C.(1)、(2)、(3)D.(1)、(2)、(4)2【单选题】(10分)质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍，那么气体温度的改变(绝对值)在A.等压过程中最大，绝热过程中最小B.绝热过程中最大，等温过程中最小C.等压过程中最大，等温过程中最小D.绝热过程中最大，等压过程中最小3【单选题】(10分)两个相同的容器，容积固定不变，一个盛有氨气，另一个盛有氢气（看成刚性分子的理想气体），它们的压强和温度都相等，现将5J的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氨气也升高同样的温度，则应向氨气传递的热量是A.5JB.3JC.2JD.6J4【单选题】(10分)1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A、B两态的压强、体积和温度都知道，则可求出A.气体的质量B.气体所作的功C.气体传给外界的热量D.气体内能的变化5【单选题】(10分)一定量的某种理想气体起始温度为T，体积为V，该气体在下面循环过程中经过三个平衡过程：(1)绝热膨胀到体积为2V，(2)等体变化使温度恢复为T，(3)等温压缩到原来体积V，则此整个循环过程中A.气体对外界作正功B.气体向外界放热C.气体内能减少D.气体内能增加6【判断题】(10分)用旋转的叶片使绝热容器中的水温上升(焦耳热功当量实验)，这一过程是可逆的.A.错B.对7【判断题】(10分)不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体，液体温度在升高，若将液体看作系统，则外界对系统作功，系统的内能增加.A.对B.错8【判断题】(10分)热力学系统的状态发生变化时，其内能的改变量只决定于初末态的温度而与过程无关.A.对B.错9【判断题】(10分)不作任何热交换也可以使系统温度发生变化.A.对B.错10【判断题】(10分)对物体加热也可以不致升高物体的温度.A.对B.错。

大学物理2-1第八章(气体动理论)习题答案第8 章8-1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?(设温度为27℃)[解] 由理想气体状态方程P?nkT得P?故N?NVkT，N??11PVkT?300 ?61.33?10?1?101.38?10?23?3.21?10(个) 38-2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线。

(1)已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度。

(2)将上述状态变化过程在V?T图(T为横轴)中画出来，并标出状态变化的方向。

[解] (1)由理想气体状态方程PV/T＝恒量，可得：由A→B这一等压过程中VATAVBVA?VBTB2010 则TB??TA??300?600 (K)因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则TC?TB?600 (K)C→D为等压过程，则VDTD?VCTCTD?VDVC?TC?2040?600?300 (K)(2)403020100)8-3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是?0，求：(1)两部分的分子数密度和压强各是多少?(2)取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?[解] (1) 分子数密度n1?N1V1?2N1V8-1 n2?N2V2?2N2V由压强公式：P?13nmV2，132mN1V03VNV?2可得两部分气体的压强为P1?n1mV0?2P2?13n2mV0?22mN2V03V2(2) 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为n?N1?N2V混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：P?13nmV0?2(N1?N2)mV03V28-4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K 时的压强。

大学物理2-1第九章(热力学基础)习题答案习 题 九9-1 一系统由图示的状态a 经acd 到达状态b ，系统吸收了320J 热量，系统对外作功126J 。

(1)若adb 过程系统对外作功 42J ，问有多少热量传入系统? (2)当系统由b 沿曲线ba 返回状态a ，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少?[解] 由热力学第一定律A E Q +∆= 得AQ E -=∆在a <b 过程中，E E E a b∆=-JA Q 19412632011=-=-= 在adb 过程中 JA E Q 236421942=+=+∆=在ba 过程中 JA E A E E Q b a 27884194333-=--=+∆-=+-=本过程中系统放热。

9-2 2mol 氮气由温度为 300K ，压强为510013.1⨯Pa(1atm)的初态等温地压缩到 510026.2⨯Pa(2atm)。

求气体放出的热量。

[解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以J P P RT M m A Q mol T 3211046.321ln 30031.82ln ⨯-=⨯⨯⨯===即气体放热为J 31046.3⨯。

9-3 一定质量的理想气体的内能E 随体积的变化关系为E - V 图上的一条过原点的直线，如图所示。

试证此直线表示等压过程。

[证明] 设此直线斜率为k ，则此直线方程为kvE =又E 随温度的关系变化式为Tk T C M M E v mol'=⋅=所以T k kV '=因此C kk T V ='=(C 为恒量) 又由理想气体的状态方程知，C TpV '= (C '为恒量)所以 p 为恒量 即此过程为等压过程。

9-4 2mol 氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：(1)沿l →m →2路径。

(2)1→2直线。

试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化。

第二章 质点动力学四、习题选解2-1 光滑的水平桌面上放有三个相互接触的物体，它们的质量分别为.4,2,1321kg m kg m kg m ===（1）如图a 所示，如果用一个大小等于N 98的水平力作用于1m 的左方，求此时2m 和3m 的左边所受的力各等于多少？（2）如图b 所示，如果用同样大小的力作用于3m 的右方。

求此时2m 和3m 的左边所受的力各等于多少？（3）如图c 所示，施力情况如（1）， 但3m 的右方紧靠墙壁（不能动）。

求此时2m 和3m 左边所受的力各等 于多少？解：（1）三个物体受到一个水平力的作用，产生的加速度为a()a m m m F 321++=232114-⋅=++=sm m m m F a用隔离法分别画出32,m m 在水平方向的受力图（a ），题2-1（a ）图由a m F =a m f f23212=- a m f323= 2332f f =N f 5623=N f 8412=（2）由()a m m m F321++=232114-⋅=++=sm m m m F a用隔离法画出321m m m 、、在水平方向的受力图（b ）由a m F= 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-3223122112121232323f f ff a m f a m f f a m f F解得： N f 1412= N f 4223=题2-1（b ）图（3）由于321m m m 、、都不运动，加速度0=a ，三个物体彼此的作用力都相等，都等于FN f f 982312== 2-2 如图所示，一轻质弹簧连接着1m 和2m 两个物体，1m 由细线拉着在外力作用下以加速a 竖直上升。

问作用在细线上的张力是多大？在加速上升的过程中，若将线剪断，该瞬时1m 、2m 的加速度各是多大？解：（1）分别画出1m 、2m 受力的隔离体如图（a ），题2-2（a ）图取向上为正方向，由牛顿第二定律⎪⎩⎪⎨⎧='=-'=--f f a m g m f a m g m f T 2211故 ()()a g m m g m g m a m a m T ++=+++=212121 （2）将线剪断，画出21m m 、的隔离体图，如图（b ）题2-2（b ）图 取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得⎪⎩⎪⎨⎧='=-'=--f f a m g m f a m g m f 222111 得⎪⎩⎪⎨⎧+--==-=)(/)'(121222a g m m g a a m g m f a 1a 的方向向下，2a的方向向上。